大学数学竞赛-第三届大学生数学竞赛模拟训练一答案

模拟训练一一、解答下列各题（每小题5分，共15分）1）设函数在点处具有三阶导数，求证FX3130LIMKHKCFXKHFX证明31330023LILIHHKFXHFXFX2063LIHFXFX319MFXH039LI4222HFXFFHFXFHFXF2）设是平面上一条分段光滑的简单闭曲线，其单位法向量为，证L,NABC明所围成的面积等于12LBZCYDXAZDYBXDZA证明LZZZ12DYXDYADZBXCDYZBZCABX22ADS3）判断级数的敛散性。21COSNN解此级数是正项级数，用根式判别法判别，因为21LNCOS1LIMCOSLICOSIMNNNE，所以此级数收敛。11COS2LIMLIMNNEE二、（10分）设曲面是由一段空间曲线绕轴旋转一2,01CXTYTZTZ周所成，其法向量指向与轴正方向成钝角，已知连续函数满足Z,FXY22,FXYXYZFXYZD求函数。,FZ解对于旋转面上任一点，对应空间曲线上一点和一个一,XYZC200,TT点为圆心的圆，其中，因此我们有0,Z20T5XYZ此旋转面方程为。2XYZ设，则有2,AFDX2,FXYZXYZA高斯公式2,XYZYAD对偶性和对称性252XYDD21205153412XYZZD所以。23,FZ三、（15分）设，试分别求级数01SIN1,NAXD的和。11,4NN解111000SISINSINNNKKKAXDXDXD11100COSINKKKKKK22KN211114NNNA2111114222NNNNNNA1N考虑幂级数211NSXX221ARCTNNSSX。144NA四、（17分）给定方程，证明32YFX1）如果在上有界，则上述方程的每一个解也在上有界；FX0,0,2）如果，则上述方程的每一个解当时也趋近0。LIMXX证明解方程得通解，运用常数变异法设方程320Y21YCE的特解形式为32YFX21XXYE若令，则有210XXCEE2XXCEF解方程组得221XXF212,XXFCEF2200,XTTEFDEFD方程的通解为32YX222100XXTTXCEEFDEFD1如果时，存在常数使得，则有0,XM222100XXTTXYEEFDEFD2XXXTXTCTCT22100XXXTXTECEMDCEMD221123XXXXCM2）如果，则对于任给的，存在，当时有LIM0XF010X1X3FX222100XXXTTXYCEEDEFD111122220033XXXXTXTXTTXXFDFED又因为存在当时有21111222200,3XXXXTXTXTTXXCEFDCEFDEDED所以，取，当时恒有1MA,X22200XXTTXYEEFDEFD五、（16分）已知函数在上三阶可导，且，证F,11,0,FF明对任意的，存在使得,X,2113XFF证明对任意取定的，构造函数0,X222110,13TFXGTFT因为，由罗尔中值定理可得，存在使00X12,X得120G又因为，22331FXTGTFTG再利用罗尔中值定理，存在使得34120,340G对函数在区间上运用罗尔中值定理，存在使得GT34,34,0,10即2213FXF21XFXF六、（12分计算1NDIXN解设，则有012NAAXXN011211NAXXN分别取可得,2,XN0111,KNKNAAANN1102KNKDXIDXXN1001LNLNKKKKC101LKNNCKX因为，所以我们有0NKNK10LIMNNCXK由此可得1101LN2KNCNKDXIX七、（15分）设有二阶连续的偏导数，证明,UYVYDCUVUVDXYDSNA其中是区域的边界，是曲线的外法线方向导数。C2,XYN证明设曲线的单位外法向量为，则曲线沿逆时针方向的单位切向量为,ABC，因为,BACC