湖北省武汉二中广雅中学2015-2016学年九年级上月考数学试卷（三）含答案解析

湖北省武汉二中广雅中学 2015年九年级（上）月考数学试卷（三） （解析版） 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 方程 4x（ x 2） =25 的一次项系数和常数项分别为（ ） A 2， 25 B 2， 25 C 8， 25 D 8， 25 2 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 下列事件是必然事件的是（ ） A地球绕着太阳转 B抛一枚硬币，正面朝上 C明天会下雨 D打开电视，正在播放新闻 4 如图，弦 B=25，则 O=（ ） A 20 B 30 C 40 D 50 5 方程 5x 1=4两根之和为（ ） A B C D 6 袋子中装有 2 个红球、 3 个白球和 3 个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，是白球的概率为（ ） A B C D 7 二次函数 y= 6x+21 的图象顶点坐标为（ ） A（ 6， 3） B（ 6， 3） C（ 6， 75） D（ 6， 75） 8 如图，在矩形 ， ， ， 别与 O 相切于 E， F， G 三点，过点 D 作 O 的切线 点 M，切点为 N，则 长为（ ） A B C D 2 9 如图，在直角坐标系中，已知点 A（ 3， 0）、 B（ 0， 4），对 续作旋转变换，依次得到 1、 2、 3、 4、 ， 16 的直角顶点的坐标为（ ） A（ 60， 0） B（ 72， 0） C（ 67 ， ） D（ 79 ， ） 10 在 ， C=90， 0， 2，点 D 为线段 一动点以 O 于点 E，连 最小值为（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 方程 x（ x 4） =2（ x 4）的解为 12 将抛物线 y=2（ x+3） 2+5 向右平移 2 个单位后的抛物线解析式为 13 已知点 A（ a， 1）与点 B（ 3， b）关于原点对称，则线段 14 有两人患了流感，经过两轮传染后共有 242 人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了 x 人，则可列方程为 15 边心距为 2 的正六边形的面积为 16 将边长为 的正方形 边长为 的正方形 图摆放，点 G 恰好落在线段 连 为 三、解答题（共 8 题，共 72 分） 17 解方程： 36x 2=0 18 已知二次函数图象的顶点为（ 3， 1），与 y 轴交于点（ 0， 4） （ 1）求二次函数 解析式； （ 2）求函数值 y 4 时，自变量 x 的取值范围 19 如图， O 中，弦 C （ 1）求证： D （ 2）若 D=60， O 的半径为 2，求弧 长 20 如图，方格纸中的每个小正方形都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点 顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （ 1）画出 于点 P 成中心对称的 坐标为 （ 2）画出 点 P 逆时针方向旋转 90后 所得到的 坐标为 （ 3）在（ 2）中线段 点 P 按逆时针方向旋转 90后得到线段 程中所扫过的面积为 21 如图，在 ， C，以 直径的 O 交 点 D，交 点 E，过点 D 作 足为点 F，连接 （ 1）求证：直线 O 相切； （ 2）若 ， ，求 长 22 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价， 将该产品按拟定的价格进行试销，通过对 5 天的试销情况进行统计，得到如下数据： 单价（元 /件） 30 34 38 40 42 销量（件） 40 32 24 20 16 （ 1）计算这 5 天销售额的平均数（销售额 =单价 销量）； （ 2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量 y（件）与单价 x（元 /件）之间存在一次函数关系，求 y 关于 x 的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）； （ 3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（ 2）中的关系，且该产品的成本是 20 元 /件为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多 少？ 23 已知，正方形 边长为 4，点 E 是对角线 长线上一点， D将 顺时针旋转 度（ 0 360）得到 ，点 B、 E 的对应点分别为 B、 E （ 1）如图 1，当 =30时，求证： BC= （ 2）连接 BE、 当 BE=，请用图 2 求 的值； （ 3）如图 3，点 P 为 中点，点 Q 为线段 BE上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段 度的取值范围为 24 已知抛物线 y= 直线 y= x+1 交于 A、 B 两点（ A 在 B 的左侧） （ 1）求 A、 B 两点的坐标 （ 2）在直线 下方的抛物线上有一点 D，使得 积最大，求点 D 的坐标 （ 3）把抛物线向右平移 2 个单位，再向下平移 m（ m 0）个单位，平移后的抛物线与 x 轴交于 E、 F 两点，直线 y 轴交于点 C当 m 为何值时，过 E、 F、 C 三点的圆的面积最小，最小面积是多少？ 2015年湖北省武汉二中广雅中学九年级（上）月考数学试卷（三） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1方程 4x（ x 2） =25 的一次项系数和常数项分别为（ ） A 2， 25 B 2， 25 C 8， 25 D 8， 25 【考点】 一元二次方程的一般形式 【分析】 根据去括号、移项，可得一元二次方程的一般形式，根据 bx+c=0（ a， b， c 是常数且 a 0） b， c 分别叫一次项系数，常数项，可得答案 【解答】 解：去括号、移项，得 48x 25=0 一次项系数和常数项分别为 8， 25， 故选： D 【点评】 一元二次方程的一般形式是： bx+c=0（ a， b， c 是常数且 a 0）特别要注意 a 0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 二次项， 一次项， c 是常数项其中 a， b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 2下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】 解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确 故选 D 【点评】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后 可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 3下列事件是必然事件的是（ ） A地球绕着太阳转 B抛一枚硬币，正面朝上 C明天会下雨 D打开电视，正在播放新闻 【考点】 随机事件 【分析】 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件 【解答】 解： A、地球绕着太阳转是必然事件，故 A 符合题意； B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故 B 不符合题意； C、明天会下雨是随机事件，故 C 不符合题意； D、打开电视，正在播放新闻是随机事件，故 D 不符合题意； 故选： A 【点评 】 本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 4如图，弦 B=25，则 O=（ ） A 20 B 30 C 40 D 50 【考点】 圆周角定理 【分析】 先根据平行线的性质求出 A 的度数，再由圆周角定理即可得出结论 【解答】 解： B=25， A= B=25 A 与 O 是同弧所对的圆周角与圆心角， O=2 A=50 故选 D 【点评】 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 5方程 5x 1=4两根之和为（ ） A B C D 【考点】 根与系数的关系 【分析】 把方程化为一般形式后，根据根与系数的关系得到两根之和即可 【解答】 解： 5x 1=4 45x+1=0， 设方程 45x+1=0 的两根设为： x1+ 故选： A 【点评】 本题考查了根与系数的关系：若 一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的两根时， x1+ ， 6袋子中装有 2 个红球、 3 个白球和 3 个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，是白球的概率为（ ） A B C D 【考点】 概率公式 【分析】 让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率 【 解答】 解： 布袋中装有 2 个红球、 3 个白球和 3 个黄球，共 8 个球，从袋中任意摸出一个球共有 10 种结果，其中出现白球的情况有 3 种可能， 是白球的概率是 ， 故选 B 【点评】 本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（ A） = 7二次函数 y= 6x+21 的图象顶 点坐标为（ ） A（ 6， 3） B（ 6， 3） C（ 6， 75） D（ 6， 75） 【考点】 二次函数的性质 【分析】 把函数的一般式化成顶点式，即可求得顶点坐标 【解答】 解： y= 6x+21= （ x 6） 2+3， 二次函数 y= 6x+21 的图象顶点坐标为：（ 6， 3） 故选 B 【点评】 此题主要考查了二次函数的性质，利用顶点 式直接得出二次函数顶点坐标的求法是考查重点，同学们应重点掌握 8如图，在矩形 ， ， ， 别与 O 相切于 E， F， G 三点，过点 D 作 O 的切线 点 M，切点为 N，则 长为（ ） A B C D 2 【考点】 切线的性质；矩形的性质 【分析】 连接 矩形 ，得到 A= B=90， B=4，由于 别与 O 相切于 E， F， G 三点得到 0，推出四边形 正方形，得到 F=G=2，由勾股定理列方程即可求出结果 【解答】 解：连接 在矩形 ， A= B=90， B=4， 别与 O 相切于 E， F， G 三点， 0， 四边形 正方形， F=G=2， ， O 的切线， E=3， G， 2 在 ， （ 3+2=（ 3 2+42， ， = ， 故选 A 【点评】 本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键 9如图，在直角坐标系中，已知点 A（ 3， 0）、 B（ 0， 4），对 续作旋转变换，依次得到 1、 2、 3、 4、 ， 16 的直角顶点的坐标为（ ） A（ 60， 0） B（ 72， 0） C（ 67 ， ） D（ 79 ， ） 【考点】 规律型：点的坐标 【分析】 根据题目提供的信息，可知旋转三次为一个循环，图中第三次和第四次的直角顶点的坐标相同，由 时直角顶点的坐标可以求出来，从而可以解答本题 【解答】 解：由题意可得， 转三次和原来的相对位置一样，点 A（ 3， 0）、 B（ 0， 4）， ， ， 0， 旋转到第三次时的直角顶点的坐标为：（ 12， 0）， 16 3=51 旋转第 15 次的直角顶点的坐标为：（ 60， 0）， 又 旋转第 16 次直角顶点的坐标与第 15 次一样， 旋转第 16 次的直角顶点的坐标是（ 60， 0） 故选 A 【点评】 本题考查规律性：点的坐标，解题的关键是可以发现其中的规律，利用发现的 规律找出所求问题需要的条件 10在 ， C=90， 0， 2，点 D 为线段 一动点以 O 于点 E，连 最小值为（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 【考点】 切线的性质 【分析】 连接 得 0，从而知点 E 在以 直径的 Q 上，继而知点 Q、 E、 B 共线时 小，根据勾股定理求得 长，即可得答案 【解答】 解：如图，连接 0， 点 E 在以 直径的 Q 上， 0， E=5， 当点 Q、 E、 B 共线时 小， 2， =13， B ， 故选： B 【点评】 本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定 E 点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11方程 x（ x 4） =2（ x 4）的解为 4 或 2 【考点】 解一元二次方程 【分析】 方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可 【解答】 解：方程变形得： x（ x 4） 2（ x 4） =0， 因式分解得：（ x 4）（ x 2） =0， 解得： ， 故答案为 4 或 2 【点评】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 12将抛物线 y=2（ x+3） 2+5 向右平移 2 个单位后的抛物线解析式为 y=2（ x+1） 2+5 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 根据函数图象向 左平移加，向右平移减，可得答案 【解答】 解：将抛物线 y=2（ x+3） 2+5 向右平移 2 个单位，所得抛物线的解析式为 y=2（ x+3 2） 2+5，即 y=2（ x+1） 2+5 故答案为： y=2（ x+1） 2+5 【点评】 本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减 13已知点 A（ a， 1）与点 B（ 3， b）关于原点对称，则线段 2 【考点】 关于原点对称的点的坐标 【分析】 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数， 纵坐标互为相反数，可得 a、 b 的值，再根据勾股定理，可得答案 【解答】 解：由点 A（ a， 1）与点 B（ 3， b）关于原点对称，得 a= 3， b= 1 A（ 3， 1）， B（ 3， 1） 由勾股定理得 = =2 ， 故答案为： 2 【点评】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点 的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数得出 a、 b 的值是解题关键，又利用了勾股定理 14有两人患了流感，经过两轮传染后共有 242 人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了 x 人，则可列方程为 2+2x+（ 2+2x） x=242 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】 先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程 【解答】 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人， 第一轮传染后患流感的 人数是： 2+x， 第二轮传染后患流感的人数是： 2+x+x（ 1+x）， 而已知经过两轮传染后共有 242 人患了流感，则可得方程， 2+2x+（ 2+2x） x=242 故答案为： 2+2x+（ 2+2x） x=242 【点评】 本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程 15边心距为 2 的正六边形的面积为 24 【考点】 正多边形和圆 【分析】 根据题意画出图形，先求出 明 出 A，再根据直角三角形的性质求出 长，再根据 S 六边形 =6S 可得出结论 【解答】 解：如图所示， 图中是正六边形， 60 B， 等边三角形 B， ， =4 ， S 4 2 =4 ， 正六边形的面积 =6S 4 =24 故答案为： 24 【点评】 本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质，求出 面积是解答此题的关键 16将边长为 的正方形 边长为 的正方形 图摆放，点 G 恰好落在线段 连 为 【考点】 正方形的性质 ；全等三角形的判定与性质；勾股定理 【分析】 连接 较于点 O，利用 出线段 C、 利用勾股定理即可求 【解答】 解：（ 1）如图 1， 四边形 边形 是正方形， D= ， E= ， 0， 5， 5， ， ， 在 ， ， 5， 0， ， 设 OC=k，则 k， 5+ k= ， D= ， O+， 在 ， ， ， = ， 故答案为 【点评】 本题考查全等三角形的判定 和性质、相似三角形的判定和性质、以及勾股定理的运用，正确添加辅助线，灵活运用三角形全等或相似是解题的关键 三、解答题（共 8 题，共 72 分） 17解方程： 36x 2=0 【考点】 解一元二次方程 【分析】 先根确定 a=3， b= 6， c= 2，算出 46+24=60 0，确定有解，最后代入求根公式计算就可以了 【解答】 解： a=3， b= 6， c= 2， 46+24=60 0， x= ， ， 【点评】 本题考查了运用求根公式法解一元二次方程，解答过程中先要把方程化为一般形式，再确定 a、 b、 c 的值，求出 的值判断有无解是关键 18已知二次函数图象的顶点为（ 3， 1），与 y 轴交于点（ 0， 4） （ 1）求二次函数解析式； （ 2）求函数值 y 4 时，自变量 x 的取值范围 【考点】 待定系数法求二次函数解析式 【分析】 （ 1）已知函数的顶点坐标，就可设出函数的顶点式，利用待定系数法求解析式 （ 2）根据二次函数的开口方向，顶点坐标以及对称性即可求解 【解答】 解：（ 1）设抛物线的解析式为 y=a（ x 3） 2 1， 把（ 0， 4）代入得 9a 1= 4， 解得 a= 所以二次函数解析式为 y= （ x 3） 2 1； （ 2） a= 0， 抛物线开口向下， 顶点为（ 3， 1）， 点（ 0， 4）对称点为（ 6， 4）， 函数值 y 4 时，自变量 0 x 6 【点评】 本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤，以及对称性是解决问题的关键 19如图， O 中，弦 C （ 1）求证： D （ 2）若 D=60， O 的半径为 2，求弧 长 【考点】 圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算 【分析】 （ 1）由在同圆中，弦相等，则所对的弧相等和等量加等量还是等量求解； （ 2）根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，得出弧 对的圆心角，再由弧长公式计算即可 【解答】 证明：（ 1） C， = + = + = D； （ 2） D=60， 弧 对的圆心角 =120， l= = = ， 弧 长为 【点评】 本题考查了弧、弦、圆心角以及弧长的计算，熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键 20如图，方格纸中的每个小正方形都是边 长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点 顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （ 1）画出 于点 P 成中心对称的 坐标为 （ 0， 3） （ 2）画出 点 P 逆时针方向旋转 90后所得到的 坐标为 （ 2， 1） （ 3）在（ 2）中线段 点 P 按逆时针方向旋转 90后得到线段 程中所扫过的面积为 【考点】 作图 【分析】 （ 1）利用网 格特点和中心对称的性质画出点 A、 B、 C 的对称点 可得到 后写出点 坐标； （ 2）利用网格特点和旋转的性质画出点 A、 B、 C 的对称点 可得到 后写出点 坐标； （ 3）根据扇形的面积公式，利用线段 程中所扫过的面积为 =S 扇形 S 扇形 行计算即可 【解答】 解：（ 1）如图， 所作，点 坐标为（ 0， 3）； （ 2）如图， 所作，点 坐标为（ 2， 1）； （ 3） =2 ， ， 线段 S 扇形 S 扇形 = 故答案为（ 0， 3），（ 2， 1）， 【点评】 本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等 的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了扇形的面积公式 21如图，在 ， C，以 直径的 O 交 点 D，交 点 E，过点 D 作 足为点 F，连接 （ 1）求证：直线 O 相切； （ 2）若 ， ，求 长 【考点】 切线的判定 【分析】 （ 1）连接 用 C， C，证得 证 O 的切线； （ 2）根据内接四 边形的性质得到 80，由于 80，得到 于 B= B，推出 据相似三角形的性质得到 ， 到 B= 得 ， D= ， ，即可得到结论 【解答】 （ 1）证明：如图， 连接 C， B= C， C， C， B， 点 D 在 O 上， 直线 O 相切； （ 2）解： 四边形 O 的内接四边形， 80， 80， B= B， ， B= E， ， O， D= ， ， ， ， B 【点评】 此题考查切线的判定，三角形相似的判定与性质，圆内接四边形的性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可 22（ 10 分）（ 2015宁夏）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对 5 天的试销情况进行统计，得到如下数据： 单价（元 /件） 30 34 38 40 42 销量（件） 40 32 24 20 16 （ 1）计算这 5 天销售额的平均数（销售额 =单价 销量）； （ 2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量 y（件）与单价 x（元 /件）之间存在一次函数关系，求 y 关于 x 的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）； （ 3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（ 2）中的关系，且该产品的成本是 20 元 /件为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？ 【考点】 二次函数的应用 【分析】 （ 1）根据题中表格中的数据列出算式，计算即可得 到结果； （ 2）设 y=kx+b，从表格中找出两对值代入求出 k 与 b 的值，即可确定出解析式； （ 3）设定价为 x 元时，工厂获得的利润为 W，列出 W 与 x 的二次函数解析式，利用二次函数性质求出 W 最大时 x 的值即可 【解答】 解：（ 1）根据题意得： =）； （ 2）根据题意设 y=kx+b， 把（ 30， 40）与（ 40， 20）代入得： ， 解得： k= 2， b=100， 则 y= 2x+100； （ 3）设定价为 x 元时，工厂获得的利润为 W， 根据题意得： W=（ x 20） y=（ x 20）（ 2x+100） = 240x 2000= 2（ x 35） 2+450， 当 x=35 时， W 最大值为 450， 则为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为 35 元 【点评】 此题考查了二次函数的应用，待定系数法确定一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键 23（ 10 分）（ 2015 秋 武汉校级月考）已知，正方形 边长为 4，点 E 是对角线长线上一点， D将 点 A 顺时针旋转 度（ 0 360）得到 ，点 B、 E 的对应点分别为 B、 E （ 1）如图 1，当 =30时，求证： BC= （ 2）连接 BE、 当 BE=，请用图 2 求 的值； （ 3）如图 3，点 P 为 中点，点 Q 为线段 BE上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段 度的取值范围为 4 +2 【考点】 四边 形综合题 【分析】 （ 1）先由正方形的性质得到直角三角形 经过简单计算求出角，判断出 即可； （ 2）先判断出 ，再根据旋转角和图形，判断出 可； （ 3）先判断出点 Q 的位置， 小时和最大时的位置，进行计算即可 【解答】 解：（ 1）如图 1， 连接 BC， 四边形 正方形， D， D=2 5， D， E=2 在 ， 0， E=30， E=45 30=15， 由旋转有， B= 30， 5， 在 中， ， ， C， （ 2）如图 2， 由旋转得， D， 在 中， ， ， 由旋转得， 90， = 45， （ 3）如图 3， 由点到直线的距离，过点 P 作 ，点 P 是 点， ， ， 在旋转过程中， 旋转到点 E 在 延长线时，点 Q 和点 E 重合， E= ， Q+ +2，