误差理论与数据处理-第三章 误差的合成与分配

合肥工业大学误差理论与数据处理第三章误差的合成与分配合肥工业大学误差理论与数据处理教学目标本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量方案的确定等问题。通过本章的学习，读者应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以及误差的合成和分配。合肥工业大学误差理论与数据处理重点和难点N函数系统误差N函数随机误差N函数误差分布的模拟计算N随机误差的合成N未定系统误差和随机误差的合成N误差分配N微小误差取舍准则N最佳测量方案的确定合肥工业大学误差理论与数据处理间接测量函数误差间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理一、函数系统误差计算第一节函数误差间接测量的数学模型与被测量有函数关系的各个直接测量值Y间接测量值求上述函数Y的全微分，其表达式为合肥工业大学误差理论与数据处理和的量纲或单位不相同，则起到误差单位换算的作用和的量纲或单位相同，则起到误差放大或缩小的作用由Y的全微分，函数系统误差的计算公式为各个输入量在该测量点处的误差传播系数第一节函数误差代数和法合肥工业大学误差理论与数据处理几种简单函数的系统误差1、线性函数2、三角函数形式系统误差公式第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高H50MM，弦长S500MM。已知，弓高的系统误差H01MM,玄长的系统误差H1MM。试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。【解】建立间接测量大工件直径的函数模型不考虑测量值的系统误差，可求出直径测量值第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理车间工人测量弓高H、弦长L的系统误差直径的系统误差故修正后的测量结果计算结果误差传递系数为第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理二、函数随机误差计算第一节函数误差数学模型目标确定推导合肥工业大学误差理论与数据处理函数标准差计算或第I个直接测得量的标准差第I个测量值和第J个测量值之间的相关系数第I个测量值和第J个测量值之间的协方差第I个直接测得量对间接量在该测量点处的误差传播系数第一节函数误差方和根法合肥工业大学误差理论与数据处理或相互独立的函数标准差计算若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项令第一节函数误差则当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式第I个直接测得量的极限误差合肥工业大学误差理论与数据处理三角形式的函数随机误差公式1）正弦函数形式为函数随机误差公式为第一节函数误差2）余弦函数形式为函数随机误差公式为三角函数标准差计算3）正切函数形式为函数随机误差公式为4）余弦函数形式为函数随机误差公式为合肥工业大学误差理论与数据处理【解】【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高H50MM，弦长S500MM。已知，弓高的系统误差H01MM,玄长的系统误差H1MM。试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。已知，有修正后的测量结果第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系函数随机误差公式当相关系数时当相关系数时2、相关系数估计第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理相关系数的确定可判断的情形断定与两分量之间没有相互依赖关系的影响当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然与属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量与虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关1、直接判断法第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理可判断或的情形断定与两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然与属于同一体系的分量，如用1M基准尺测2M尺，则各米分量间完全正相关第一节函数误差2、试样观察法和简略计算法（1）观察法合肥工业大学误差理论与数据处理第一节函数误差（2）简单计算法简单计算法其中，N2N3N4N10（3）直接计算法直接计算法根据的多组测量的对应值，按如下统计公式计算相关系数、分别为、的算术平均值（4）理论计算法理论计算法合肥工业大学误差理论与数据处理第二节随机误差的合成任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响。标准差合成极限误差合成解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响随机误差的合成形式包括合肥工业大学误差理论与数据处理一、标准差合成合成标准差表达式Q个单项随机误差，标准差误差传播系数V由间接测量的显函数模型求得V根据实际经验给出V知道影响测量结果的误差因素而不知道每个和第二节随机误差的合成合肥工业大学误差理论与数据处理当误差传播系数、且各相关系数均可视为0的情形第二节随机误差的合成若各个误差互不相关，即相关系数则合成标准差用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量合肥工业大学误差理论与数据处理二、极限误差合成单项极限误差单项随机误差的标准差单项极限误差的置信系数合成极限误差合成标准差合成极限误差的置信系数第二节随机误差的合成合成极限误差计算公式合肥工业大学误差理论与数据处理根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成各个置信系数、不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同第二节随机误差的合成IJ为第I个和第J个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。应用极限误差合成公式时，应注意合肥工业大学误差理论与数据处理当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目Q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布合成极限误差若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式第二节随机误差的合成时此时合肥工业大学误差理论与数据处理第三节系统误差合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类1）已定系统误差2）未定系统误差定义误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号合成方法按照代数和法进行合成I为第I个系统误差，AI为其传递系数系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除合肥工业大学误差理论与数据处理二、未定系统误差的合成第三节系统误差合成（一）未定系统误差的特征及其评定定义误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围E的系统误差特征1）单项系统误差在重复测量中不具有抵偿性。2）随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概率分布，具有随机误差的特性。表示符号极限误差E标准差U合肥工业大学误差理论与数据处理1、标准差合成第三节系统误差合成（二）未定系统误差的合成未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。若测量过程中有S个单项未定系统误差，它们的标准差分别为U1，U2，US，其相应的误差传递系数为A1，A2，AS，则合成后未定系统误差的总标准差U为合肥工业大学误差理论与数据处理式中，IJ为第I个和第J个误差项的相关系数第三节系统误差合成当IJ0时2、极限误差的合成因为各个单项未定系统误差的极限误差为若总的未定系统误差极限误差表示为则有合肥工业大学误差理论与数据处理第三节系统误差合成或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，即，则上式可简化为则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为合肥工业大学误差理论与数据处理第四节系统误差与随机误差的合成一、按极限误差合成测量过程中，假定有R个单项已定系统误差，S个单项未定系统误差，Q个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为1、单次测量情况若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为式中，R为各个误差之间的协方差之和。合肥工业大学误差理论与数据处理当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总的极限误差可简化为第四节系统误差与随机误差的合成一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即2、N次重复测量情况当每项误差都进行N次重复测量时，由于随机误差间具有抵偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在抵偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数N。总极限误差为合肥工业大学误差理论与数据处理第四节系统误差与随机误差的合成二、按标准差合成测量过程中，假定有S个单项未定系统误差，Q个单项随机误差，它们的标准差分别为1、单次测量情况若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为式中，R为各个误差之间的协方差之和。若用标准差来表示系统误差和随机误差的合成公式，则只考虑未定系统误差与随机误差的合成。合肥工业大学误差理论与数据处理当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总标准差为2、N次重复测量情况当每项误差都进行N次重复测量时，由于随机误差间具有抵偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在抵偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数N。第四节系统误差与随机误差的合成总极限误差变为合肥工业大学误差理论与数据处理【例】在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为，已知工件的和高度为，求测量结果及其极限误差。第四节系统误差与随机误差的合成序号123456误差因素极限误差随机误差未定系统误差备注阿贝误差光学刻尺刻度误差温度误差读数误差瞄准误差光学刻尺检定误差081050351251未修正时计入总误差修正时计入总误差合肥工业大学误差理论与数据处理【解】两次测量结果的平均值为根据万能工具显光学刻线尺的刻度误差表，查得在50MM范围内的误差00008MM，此项误差为已定系统误差，应予修正。则测量结果为第四节系统误差与随机误差的合成在万工显上用影像法测量平面工件尺寸时，其主要误差分析如下1、随机误差由读数误差和工件瞄准引起，其极限误差分别为合肥工业大学误差理论与数据处理1）读数误差2）瞄准误差第四节系统误差与随机误差的合成2、未定系统误差由阿贝误差等引起，其极限误差分别为1）阿贝误差2）瞄准误差3）温度误差4）光学刻度尺的检定误差合肥工业大学误差理论与数据处理第四节系统误差与随机误差的合成3、计算测量值及其误差（两种情况）未修正光学刻尺刻度误差时测量结果可表示为已修正光学刻尺刻度误差时测量结果可表示为合肥工业大学误差理论与数据处理第四节系统误差与随机误差的合成【例】TC328B型天平，三等标准砝码，称钢球质量，一次称量，求测量结果的标准差。1随机误差天平示值变动性所引起的误差2未定系统误差砝码误差天平示值误差合肥工业大学误差理论与数据处理第四节系统误差与随机误差的合成三项误差互不相关，且各个误差传播系数均为1，因此误差合成后可得到测量结果的总标准差为最后测量结果应表示为（倍标准差）合肥工业大学误差理论与数据处理第五节误差分配误差分配给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待。假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有若已经给定，如何确定DI或相应的I,使其满足式中，称为部分误差，或局部误差合肥工业大学误差理论与数据处理一、按等影响原则分配误差等影响原则各分项误差对函数误差的影响相等，即由此可得或用极限误差表示函数的总极限误差各单项误差的极限误差第五节误差分配进行误差分配时，一般应按照下述步骤合肥工业大学误差理论与数据处理二、按可能性调整误差1对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本为代价。按等影响原则分配误差的不合理性2当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。第五节误差分配合肥工业大学误差理论与数据处理测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径D及高度H，根据函数式三、验算调整后的总误差误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。第五节误差分配【例】求得体积V，若要求测量体积的相对误差为1，已知直径和高度的公称值分别为，试确定直径D及高度H的准确度。合肥工业大学误差理论与数据处理一、按等影响分配原则分配误差得到测量直径D与高度H的极限误差第五节误差分配【解】计算体积体积的绝对误差合肥工业大学误差理论与数据处理用这两种量具测量的体积极限误差为因为查资料，可用分度值为01MM的游标卡尺测高，在50MM测量范围内的极限误差为，用002MM的游标卡尺测直径，在20MM范围内的极限误差为。第五节误差分配二、调整后的测量极限误差显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。若改用分度值为005MM的游标卡尺来测量直径和高度，在50MM测量范围内的极限误差为。此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分得到补偿。合肥工业大学误差理论与数据处理调整后的实际测量极限误差为因为因此调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。第五节误差分配合肥工业大学误差理论与数据处理微小误差测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响，可以忽略不计的误差。已知测量结果的标准差若将其中的部分误差取出后，则得如果，则称为微小误差。第六节微小误差取舍准则测量误差的有效数字取一位某项部分误差舍去后，满足或则对测量结果的误差计算没有影响。合肥工业大学误差理论与数据处理测量误差的有效数字取二位或对于随机误差和未定系统误差，微小误差取舍准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果的十分之一到三分之一。对于已定系统误差，按百分之一到十分之一原则取舍。第六节微小误差取舍准则某项部分误差舍去后，满足应用计算总误差或进行误差分配时，若发现有微小误差，可不考虑该项误差对总误差的影响。选择高一级精度的标准器具时，其误差一般应为被检器具允许误差的1/103/10。合肥工业大学误差理论与数据处理最佳测量方案的确定当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，才能使测量结果的误差最小。研究间接测量中使函数误差为最小的最佳测量方案。函数的标准差为欲使为最小，可从哪几方面来考虑第七节最佳测量方案的确定考虑因素因为已定系统误差可以通过误差修正的方法来消除，所以设计最佳测量方案时，只需考虑随机误差和未定系统误差的影响。研究对象和目标合肥工业大学误差理论与数据处理一、选择最佳函数误差公式间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则应选取包含直接测量值最小的函