高等数学-微分方程

第五讲微分方程一、微分方程的概念微分方程的阶、线性微分方程、微分方程的解、特解、通解。未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，如未知函数是多元2XDYEX函数的微分方程称为偏微分方程，如。2SINZXY二、一阶常微分方程变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程、贝努力方程，以上方程主要使用积分法求通解，在求通解过程中，注意换元法的使用。一阶全微分方程，积分因子。三、可降阶的高阶微分方程,0,0NYFXFYXFY四、高阶线性微分方程线性方程解的结构、二阶线性常系数齐次微分方程、二阶线性常系数非齐次微分方程、阶线性常系数齐次微分方程。1）朗斯基行列式由定义在区间上的个次可微函数IK1作成的行列式2,KYXYX12121112,KKKKKYXYXWXYXX称为这些函数的朗斯基行列式。性质1若函数在区间上线性相关，则在区间上它们的朗12,KYXYXII斯基行列式等于零。证明若函数在区间上线性相关，则存在不全为零的常数12,KI使得，所以方程组12,KC20KCYXCYX有非零解，因此在区间上它们的朗斯基行2111120KKKKYXCYXCYXCYXI列式等于零。性质2如果是阶齐次线性常微分方程在区间上的线性无12,NI关的解，则它们的朗斯基行列式在区间上任意点都不等于零。I证明对于阶齐次线性常微分方，若N1110NNYAXYAXY它的解的朗斯基行列式在处为零，则说明方程组12,NYXX0I有非零解，再利用此阶齐次线性常微分102001110200NNNNCYXCYXCYXCYXCYXN方程可得10200,12KKKNCYXK其中是不全为零的常数，利用泰勒级数在区间上有12,NCI120NCYXCYX这与线性无关矛盾。12,NYX2）讨论欧拉方程，其中是111NNNXYPPXYFX1,NP常数，的解的结构。设，则有TE1122NNNTTTDDDDYEETXTXX121NNNTTTTYYYEBEBEDXDXDX121NN其中为常数。12,NB欧拉方程可化为121NNNTNNDYDYDYAAPFETTTT其中为常数。121,NA这样欧拉方程就转化为高阶线性微分方程。例1设函数在一含原点的某区间内连续，并对任意的有FXI,XYI，求函数。FXYYFXFY0FAF解当时，有0221100FF取，则有YXFXFXX1F00LIMLIM1XXFFFFFXX21XFAF解微分方程得，由得，所以ARCTNFAXC0CTN例2设为连续函数，且有,FXGYFXDGXY1）若存在函数使得，求函数；UD2）若，求函数使得。FXUD解1）在函数使得，则有YFXGXYFF设，则有TXY1FTGFTGCFTT所以。CFXGX2）由1）可得，FXYFDGYCXXDLNLNDYYXY所以。LNUXYC例3设二阶常系数线性非齐次方程为，其中为常数，若其YPFX,PQ特征根分别为，证明该方程的通解为12,R112212RXRXRYEEFDXC证明因为是特征方程的根，利用根与系数的关系可得12,R0PQ1212,RRQ方程可化为YPFX1212YRYRFXF设，则有，这是一阶线性微分方程，解得1UYR2URFX221RRXEFDC即有2211RXRYF这又是一阶线性微分方程，所以有112212RXRXREEFDCX例4求解方程组，初始条件为当时，,NDYZZY0X。1,0YZ解两方程相加得，1NZDX当时，由初始条件可得，所以0NNYZC1CNNYZX两方程相减得1DYZZXLNLNYXC由初值条件可得，所以有10CZ解方程组可得1NYZX112NNYXXZ当时，由初始条件可得，所以0NLYXC0CXYZE两方程相减得NDZYZYZ1LNX由初值条件可得，所以有，最后可得10CYZE,22XXYECHXESHX例5设是连续函数，是方程的1,PX1,Y120YPXY两个线性无关的解。证明如果是的两个零点，则之间必有,X,的一个零点。2YX证明因为是方程的两个线性无关的解，所以12,YX120YPXY无零解。如果是的两个零点，则，120X,1220,Y无妨设，若在上无零点，则函数在区间上2YX,12YXF,可导，且，由罗尔中值定理可得，至少存在一点使得0F,12210YY即有，这与已知矛盾，因此之间必有的一个零点。120Y,2YX例6已知是某二阶常系数线性非齐2213,XXXXEYEYE次微分方程的三个解，试求此微分方程。解设此微分方程为，则有