人教版高中数学知识点总结新

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【111】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性（2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集NNZQR（3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一AMAM（4）集合的表示法自然语言法用文字叙述的形式来描述集合列举法把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合描述法|具有的性质，其中为集合的代表元素XX图示法用数轴或韦恩图来表示集合（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集含有无限个元素的集合叫做无限集不含有任何元素的集合叫做空集【112】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA（或A中的任一元素都属于B1AA23若且，则BCA4若且，则BAB或BA真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不属于A（1）（A为非空子集）2若且，则BA集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A1AB2BAAB（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，1N2N21N21N它有非空真子集2N【113】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集AB且|,XA（1）A（2）（3）BBA并集或|,XB（1）（2）A（3）BBA补集UA|,XA且12UUA【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|0XA|XA|或|,|0AXBCC把看成一个整体，化成，AXB|X型不等式来求解|0（2）一元二次不等式的解法判别式24BAC00二次函数20YX的图象OOLO一元二次方程20AXBCA的根21,24BACX（其中12X12BXA无实根A20AXBCA的解集或1|X2X|2BXAR2的解集12|12函数及其表示【121】函数的概念（1）函数的概念设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合ABFAX中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法FXB则）叫做集合到的一个函数，记作FFAB函数的三要素定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足,ABABXB,AB的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的X,AXBX集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的,A集合分别记做,AB注意对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须|XABB（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则是整式时，定义域是全体实数FX是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合FX对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1中，TANY2KZ零（负）指数幂的底数不能为零若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数FX的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是若已知的定义域为，其复合函数FX,AB的定义域应由不等式解出FGXAGXB对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法观察法对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程YFXYX，则在时，由于为实数，故必须有20AYXBC0A,，从而确定函数的值域或最值4Y不等式法利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【122】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都ABFAB有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合BF到的映射，记作FAB给定一个集合到集合的映射，且如果元素和元素对应，那么我们把元,ABAB素叫做元素的象，元素叫做元素的原象BAYXO13函数的基本性质【131】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X1、X2,当X1FX2，那么就说FX在这个区间上是减函数YFXYXOXX2FXFX1（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数，令，若为增，为增，则YFGXUGXYFUGX为增；若为减，为减，则为增；若YFXF为增，为减，则为减；若为减，UXYFXY为增，则为减GXYFG（2）打“”函数的图象与性质0AFX分别在、上为增函数，分别在FX,、上为减函数,0A（3）最大（小）值定义一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足YFXIM（1）对于任意的，都有；I（2）存在，使得那么，我们称是函数的最大值，记作0X0FFXMAXFM一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足（1）对于任意的，都有YFXIMXI；（2）存在，使得那么，我们称是函数的最小值，记FX00FXF作MA【132】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法如果对于函数FX定义域内任意一个X，都有FXFX,那么函数FX叫做奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性如果对于函数FX定义域内任意一个X，都有FXFX,那么函数FX叫做偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于Y轴对称）若函数为奇函数，且在处有定义，则FX0X0F奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反YY在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象（1）作图利用描点法作图确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换0,|HYFXYFXH左移个单位右移个单位,|KK上移个单位下移个单位伸缩变换01,YFXYFX伸缩,A缩伸对称变换XYFYFX轴YFXFX轴原点1直线|YYYYFXYFX去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象|XFX保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章基本初等函数21指数函数【211】指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果，且，那么叫做的次方根当是奇数时，,1NXARXNNXAN的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次AN方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根NAN式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数当为奇数时，为任意实数；NA当为偶数时，A根式的性质；当为奇数时，；当为偶数时，NNA0|NA（2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是且0的正分数指数0,MNANN1幂等于0正数的负分数指数幂的意义是且01,MNNAN的负分数指数幂没有意义注意口诀底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质0,RSRSAR0,RSRASRRRBBR【212】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数0XYA1101A图象定义域R值域0,过定点图象过定点，即当时，1X1Y奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数R在上是减函数R函数值的变化情况10XXA01XXA变化对图象的影响A在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低AA22对数函数【221】对数与对数运算（1）对数的定义若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，0,1XANA且XANLOGAXN叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化LOG0,1XAX01XYX,O101XX,OY（2）几个重要的对数恒等式，LOG10AL1ALOGBA（3）常用对数与自然对数常用对数，即；自然对数，即（其中）LN10LLNNLOGE2718（4）对数的运算性质如果，那么,0,AM加法减法LOGLLOGAALLOGLAAAMN数乘NNRLOGN换底公式LOGLOG0,BAABLL0,1OGBA且【222】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数LOG0AYX1101A图象定义域0,值域R过定点图象过定点，即当时，1,1X0Y奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数0,在上是减函数,01XYO,XLOGAYX01XYO,XLA函数值的变化情况LOG01LAAXLOG01LAAX变化对图象的影响A在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高6反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式YFXACYFX子如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值XA和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，XYXXYFX记作，习惯上改写成1XF1F（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式中反解出；YFX1FY将改写成，并注明反函数的定义域1XFY1FX（8）反函数的性质原函数与反函数的图象关于直线对称F1YFYX函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域YX1F若在原函数的图象上，则在反函数的图象上,PABYFX,PBA1YFX一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数23幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数YXX（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限图象关于轴对称；是奇函数时，图象分布在第一、三象限图象关于原点对称；是非奇非Y偶函数时，图象只分布在第一象限过定点所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点0,1,单调性如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数如果，则幂函数0,0的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴0,XY奇偶性当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当（其中QP互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，,PQZPQQPYX则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数YX图象特征幂函数，当时，若，其图象在直线下方，,0YX101XYX若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，11其图象在直线下方补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式顶点式两根式20FXABC20FXAHKA（2）求二次函数解析式的方法12F已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便XFX（3）二次函数图象的性质二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是20FABC,2BA24,BAC当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当0,2BA,2BA时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在2BXA2MIN4ACFX0,2BA上递减，当时，,2B2MAX4CBF二次函数当时，图象与轴有两个交点0FXAC20X1212,0,|MXA（4）一元二次方程根的分布0ABC一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程的两实根为，且令20AXBCA12,X12X，从以下四个方面来分析此类问题开口方向对称轴位置FA判别式端点函数值符号2XAKX1X2XY1X20AOAB0FKXY1X2OABK0A0FX1X2KXY1X20AOABK0KFXY1X2OABK0A0FX1KX2AFK00KFXY1X2AOXY1X2OK0A0FK1X1X2K2XY1X20AOKKFFABXY1X2O0AKKFFABX有且仅有一个根X1（或X2）满足K1X1（或X2）K2FK1FK20，并同时考虑FK10或FK20这两种情况是否也符合XY1X20AOKF0KFXY1X2O0AK01F0FK1X1K2P1X2P2此结论可直接由推出（5）二次函数在闭区间上的最值0FABC,PQ设在区间上的最大值为，最小值为，令X,PQMM012XPQ（）当时（开口向上）0若，则若，则若，则2BAMF2BPQABFA2QFQ若，则，则02BXAMFQ02BXAMFP当时开口向下若，则若，则若，则2BPAFP2BQA2BFAQMFQ若，则，则02BXAMFQ02BXAMFP第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念对于函数，把使成立的实数叫做函数DXFY0XFX的零点。DXFY2、函数零点的意义函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零0FXFYXFY点3、函数零点的求法求函数的零点XFY（代数法）求方程的实数根；10FXY0AOABX2PQFPFQXY0AOABX2PQFPFQFXY0AOABX2PQFPFQ2BAXY0AOABX2PQFPFQA0XY0AOABX2PQFPFQ0AXY0AOABX2PQFPFQ2BFXY0AOABX2PQFPFQ2BXY0AOABX2PQFPFQ2B0AXY0AOABX2PQFPFQ2BXY0AOABX2PQFPFQ2BA0X（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利2XFY用函数的性质找出零点4、二次函数的零点二次函数02ACBXY），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次X函数有两个零点），方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个2交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零0CBXA点高中数学必修2知识点第一章空间几何体11柱、锥、台、球的结构特征12空间几何体的三视图和直观图1三视图正视图从前往后侧视图从左往右俯视图从上往下2画三视图的原则长对齐、高对齐、宽相等3直观图斜二测画法4斜二测画法的步骤（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）平行于Y轴的线长度变半，平行于X，Z轴的线长度不变；（3）画法要写好。5用斜二测画法画出长方体的步骤（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图13空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积各个面面积之和2圆柱的表面积3圆锥的表面积2RLS4圆台的表面积5球的表面积22RLRLS4R（二）空间几何体的体积1柱体的体积2锥体的体积HV底HSV底313台体的体积4球体的体积HSS31下下上上（34第二章直线与平面的位置关系21空间点、直线、平面之间的位置关系2111平面含义平面是无限延展的DCBA2平面的画法及表示（1）平面的画法水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。3三个公理（1）公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为ALBLLAB公理1作用判断直线是否在平面内（2）公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为A、B、C三点不共线有且只有一个平面，使A、B、C。公理2作用确定一个平面的依据。（3）公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为PL，且PL公理3作用判定两个平面是否相交的依据212空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系相交直线同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线同一平面内，没有公共点；异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为设A、B、C是三条直线ABCB强调公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用判断空间两条直线平行的依据。3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点A与B所成的角的大小只由A、B的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；两条异面直线所成的角0，；当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作AB；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。213214空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系（1）直线在平面内有无数个公共点（2）直线与平面相交有且只有一个公共点（3）直线在平面平行没有公共点LACBAPL共面直线AC2指出直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用A来表示AAAA22直线、平面平行的判定及其性质221直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为线线平行，则线面平行。符号表示ABAAB222平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示ABABPAB2、判断两平面平行的方法有三种（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。223224直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为线面平行则线线平行。符号表示AAABB作用利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示AABB作用可以由平面与平面平行得出直线与直线平行23直线、平面垂直的判定及其性质231直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面互相垂直，记作L，直线L叫做平面的垂线，平面叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。LP2、判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点A定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；B定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。232平面与平面垂直的判定1、二面角的概念表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭LB2、二面角的记法二面角L或AB3、两个平面互相垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。233234直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间直线、平面的位置关系平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系第三章直线与方程31直线的倾斜角和斜率31倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念当直线L与X轴相交时,取X轴作为基准,X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直线L的倾斜角特别地,当直线L与X轴平行或重合时,规定02、倾斜角的取值范围0180当直线L与X轴垂直时,903、直线的斜率一条直线的倾斜角90的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母K表示,也就是KTAN当直线L与X轴平行或重合时,0,KTAN00当直线L与X轴垂直时,90,K不存在由此可知,一条直线L的倾斜角一定存在,但是斜率K不一定存在4、直线的斜率公式给定两点P1X1,Y1,P2X2,Y2,X1X2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率斜率公式KY2Y1/X2X1312两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果K1K2,那么一定有L1L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即321直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程直线经过点，且斜率为L,0YXPK00XKY2、直线的斜截式方程已知直线的斜率为，且与轴的交点为K,BB322直线的两点式方程1、直线的两点式方程已知两点其中YY1/Y,221YX,2121YXY2XX1/XX22、直线的截距式方程已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中L0,A,0B0,BA323直线的一般式方程1、直线的一般式方程关于的二元一次方程（A，B不同时为0）YX,CYX2、各种直线方程之间的互化。22121PXY33直线的交点坐标与距离公式331两直线的交点坐标1、给出例题两直线交点坐标L13X4Y20L12XY20解解方程组得X2，Y240所以L1与L2的交点坐标为M（2，2）332两点间距离两点间的距离公式333点到直线的距离公式1点到直线距离公