矩阵的等价标准形的应用

矩阵的等价标准形的应用设矩阵的秩RANK，则存在M阶可逆矩阵P和N阶可逆阵Q，使MNAR，0REAQ我们把称为A的等价标准形熟知两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们0RE具有相同的等价标准形矩阵的等价标准形能帮助我们解决许多问题例1每个方阵A均可写成，其中B是可逆阵，C是幂等阵（即）2C证设A的秩RANK，则存在可逆阵P和Q，使记，R0REAQBP，显然B是个可逆阵，是个幂等阵，并且10RECQ2例2设N阶方阵A的秩RANK，证明存在可逆阵P，使的后行全是零R1ANR证存在可逆阵P和Q，使，从而的后行全10RE10REQPR是零例3设N阶矩阵A的秩RANK，证明存在非零N阶矩阵B，使RNA证由例1知存在可逆阵和幂等阵，使记，显然，且12A1212E0B22210BAEE例4设N阶矩阵A，B满足，证明B证存在N阶矩阵P，Q，使得，这里RANKA，我们断言事实上，0RRRN从易知ABE，110REABPQB，1R由此显然得到，此时，从而，进而RN1PAQBE11BPABQBAE例5设N阶幂等阵A（即）的秩RANK，证明存在可逆阵P，使2AR10REPA证存在可逆阵R和T，使，记，其中为R阶方阵，则10R12TR1T，1111120REAR从即知，从而2A211R，21111000TTR因此，且，注意到的秩等于R，知R阶方阵的秩RANK21T11R11T，必须，随之得到RRE110RERA现令可逆阵，可验证10RNRRPE111111000RNRNRRRRNRNRERAARE例6设N阶幂等阵A的秩等于R，证明（I）RANKRANK；E（II）TRRANKA；（III）任何实幂等阵均可分解为两个实对称矩阵的乘积证由例5知存在可逆阵P（当A为实阵时，P亦可取为实阵），使得10RE（I）此时，这样10NRERANKRANKAERN（II）TRTRRANKA1PR（III）易知，显然111000RRREEEAPPPP和都是实对称阵，从而也是实对称阵0REP1例7若N阶阵A满足RANKRANK，AEN则A是个幂等阵证由例2知存在可逆阵P和，其中是R阶方阵，RANKA，使得1234Q1R,121213400REP又从条件知的秩RANK，的秩也等于，必ANR1210RNREQPANR须，即，这时10REQ1RE22210RRQPAPA是个幂等阵，进而A是个幂等阵例81设A是个N阶对合阵（即），RANK，证明2EAR（I）存在可逆阵P，使1RNRPA（II）RANKRANKEAN（III）每个实对合阵均可表为两个实对称矩阵之积2若N阶阵A满足RANKRANK，则A是对合阵EN证注意到A是对合阵当且仅当是幂等阵，利用例57的结论即得12例9（I）设N阶阵A的秩等于R，满足，此处证明存在可逆阵P，使得2A01REPA（II）设A，B是如下的N阶矩阵，1A0NB证明存在可逆阵P，使1B证（I）我们仿照例5的思路来进行存在可逆阵R，使，1210AR其中是R阶方阵从知，即12A211RAA，121212000A于是，且注意到，的秩RANK，因此，21AA1212,AA11R1RAAE20RERA记，P显然是可逆的，并且210RNREAPRA221100RRRNRNRAEEAR（II）显然A的秩RANK，又容易验证，故据（I）即知结论2例10设A是个矩阵，B是个矩阵，证明MMNEABEA证设A的秩RANK，存在M阶可逆阵P和N阶可逆阵Q，使，记分块R0REPQ阵，其中为R阶方阵，则有1234BQP1100RRMMMEEEAPQBPQBP123412100RRMMRRRBEEQBP，同理可得，1NRNEBAEB因此证明了进一步地，MNMEABMNMNAEBA例11设矩阵A的秩等于R，证明对任意矩阵B，0是AB的至少重特征值，R0是BA的至少重特征值NR证从例10的证明直接推出例12计算行列式11212212NNNNXYXY解根据例10可知112112222121212,NNNNNNNXYXYXEYXY12NXXY例13设A是个N阶可逆阵，和是两个N维列向量证明RANK当且仅当AN1证由例10得，注意到1111NAEAE，的秩RANK当且仅当当且仅当，即0A00A1例14设均不为0，计算行列式12,NA123123NAANN解因均不为0，故对角阵是可逆的，由例13可得12,NA12NAA11223111223,21,NNAAANNAN11NIIA例15设A是个矩阵，B是个矩阵，证明下面的SYLVESTER秩不等式MNNLRANKABRANKRANKAB证设A的秩等于R，B的秩等于S，存在M阶可逆阵P，N阶可逆阵Q和R，L阶可逆阵S，使得，0REAPQ0SERS记，其中是矩阵，则1234TQR1TRS，1000RSETABPQRSPS注意到P、T、S都是可逆阵，RANK，故TNRANKRANKRANK，101T而是T中去掉后行、后列所得的矩阵，而在矩阵中去掉一行（列），矩阵的秩最多减少1NRS1，因此RANKRANKAB1TNRSRN例16设A、B、C是任意三个矩阵，乘积ABC有意义，证明下面的FROBENIUS秩不等式RANKABCRANKRANKRANKBABC证设A是矩阵，B是矩阵，C是矩阵，且设RANK，则存在M阶可逆阵LMPRP和N阶可逆阵Q，使现作分块阵，是矩阵，0REPQ12,P12QPR是矩阵，则1R，1121200RREB于是根据例15得到RANKRANKRANKRANKABC1PQ1AP1QCRRANKRANKRRANKRANKRANKB例17设矩阵A的秩等于R，证明存在可逆阵、使PA的后行全为零，AQMNMNMR的后列为零R证存在可逆阵P和Q，使得，显然的后行为零，0RE10REPAQR而且的后列为零10REAQNR例18设A、B是两个等秩的矩阵，若存在N阶矩阵U，使，则存在可逆阵V，MAB使V证设A、B的秩等于R，从例17知存在可逆阵P和Q，使，1,0A1,0B其中，都是秩为R的矩阵现作适当的分块，则有1N12,12，121,0PA，112,QBB从而，并且进一步可得1AP，111APBUQP注意到的秩等于R，故R阶方阵的秩也等于R，即是可逆的，于是有1AVV11111,0,00,NRNRBQAAPEE显然是可逆的，我们把它的逆记为V，则10NRVPEB例19试从等价标准形的角度给出齐次线性方程组的一种解法0MNAX解设A的秩等于R，存在M阶可逆阵P和N阶可逆阵Q，使，于是线性方0REP程组可化为0X，110REX记，则原方程组等价于121NYYQX，120RNYE即令，容易验证都是120RYY121,RQQQ12,RNQ的解，从而它们构成的一基础解系0AXAX下面是具体的操作过程首先构造矩阵，NMABE然后对矩阵B作如下的初等变换（I）对A（即B的前M行）作初等的行变换，（II）对B作初等的列变换，则经过有限次上述的初等变换后，B可变为，0RNEABQ此时Q的后个列向量构成的一基础解系NR0X例20试从等价标准形的角度给出非齐次线性方程组的一种解法MNAXB解下面仅给出具体的操作过程，至于其原理可按例19的方式得到首先构造矩阵，10NMNBBE然后对矩阵B作如下形式的初等变换（I）对B的前M行作行的初等变换，,AB（II）对B的前N列作列的初等变换，E则经过有限次上述变换后，B可变为，0RNEABBBQ记，此时可得如下的结论有解当且仅当11RMBB121,RNQQQAXB；当时，是的一个120R120RMBB12RQBQB特解，是所对应的齐次线性方程组的一基础解系,RNQAXAX例21试从等价标准形的角度给出可逆矩阵的逆矩阵的一种求法解设A是个N阶可逆阵，A的秩等于N，存在可逆阵P和Q，使，进E1APQ而这给出了求逆矩阵的一种方法1QP首先构造矩阵，20NEB然后对B进行如下形式的初等变换（I）对B的前N行进行初等的行变换，,AE（II）对B的前N列进行初等的列变换，则经过有限次上述变换后，B可变为，0AEPBQ由此求得1AQP例22设A是给定的矩阵，X是矩阵，求矩阵方程的所有解XMNNAX解设A的秩RANK，取定M阶可逆阵P和N阶可逆阵Q，使得R，0REA代入，得到X，00RRQPXQ，110RREE，110RRPXQ现记，其中是R阶方阵，代入上式得到1234MNXPQ112123411242000RRXE，由此得到，因此我们解得了1X20，1340XPQ其中是R阶对称矩阵，是个任意的矩阵134,XMRN反过来，对任意矩阵，其中是对称矩阵，我们容易验证MN1340XPQ1X这样我们就求出了的全部解AXA例23设，则矩阵方程,MNPQNQMPMBXMYAABC有解当且仅当和等价0AC证若X，Y满足方程，则Y，0000MNPQEEXAAYBACB因此与等价0ABC反过来，如果与等价，那么它们具有相等的秩设RANK，RANK，0ABARBS存在可逆的，使得,MNPQPMQRMTA，0REA0SERT则有，00RSEPAQRBT，123400RSCCTE其中，为矩阵又记1234CPT1R