悬链线拱实用内力解析解研究

悬链线拱实用内力解析解研究摘要由于悬链线拱桥内力解析解研究还很不充分，无法用解析法求解悬链线拱的常数表达式以及拱的内力解析解。为完善悬链线拱桥的内力解析解，解决沿悬链线拱轴曲线积分没有精确的显示表达式的问题，提出利用近似弧长微分原理即用悬索线弧长微分代替悬链线弧长微分，从而得出沿悬链线拱轴曲线积分的显示表达式，简化了拱桥的内力计算，给出了精度较高的拱桥常数表达式以及拱的内力解析解。本文基于近似弧长微分基本原理，首先计算得到了悬链线两铰拱和无铰拱的常变位、弹性压缩系数等常数的实用表达式，并对两铰拱和无铰拱的常数进行精度分析，证明了本文方法求得的常数表达式具有较高的精度。再以悬链线两铰拱和无铰拱为例，推导了在主拱圈自重作用、桥面系均布荷载作用下拱的内力表达式。最后，以跨径为255M的上承式悬链线拱桥为例，计算悬链线两铰拱和无铰拱分别在主拱圈自重和桥面系均布荷载下拱的内力并与有限元法的计算结果对比和分析。同时，本文还探讨了在拱轴系数变化时，近似弧长微分原理的误差变化情况，以及用本文方法计算拱的内力时，拱轴系数变化对本文方法误差的影响。本论文通过对算例的计算表明，利用悬索线弧长微分近似代替悬链线弧长微分所求得的内力结果与有限元法计算的轴力数值相差很小，而计算的弯矩数值比有限元法大，误差稍大，但在工程实际中偏于安全，说明可以使用本文方法计算拱在实际荷载工况下的内力。本文基于对拱的常数以及拱的内力分析，说明了本文方法与有限元法相比具有更一般的表达式，同时具有满足工程实际的精度。关键词悬链线；弧长微分；内力；悬索线RESEARCHONPRACTICALANALYTICSOLUTIONOFCATENARYARCHBRIDGESABSTRACTDUETOTHEINTERNALFORCEOFCATENARYARCHBRIDGEANALYTICALSOLUTIONRESEARCHALSOISNOTVERYFULL,CANTUSEANALYTICMETHODTOSOLVETHECONSTANTEXPRESSIONOFCATENARYARCHANDARCHINTERNALFORCEANALYTICSOLUTIONANALYTICALSOLUTIONSTOPERFECTTHEINTERNALFORCEOFCATENARYARCHBRIDGE,SOLVEALONGTHECURVEOFTHECATENARYARCHAXISINTEGRALNOACCURATEEXPRESSIONOFPROBLEM,PUTFORWARDUSINGTHEAPPROXIMATEARCLENGTHDIFFERENTIALPRINCIPLEWITHARCLENGTHDIFFERENTIALINSTEADOFCATENARYSUSPENSIONCABLELINEDIFFERENTIAL,ARCLENGTHCALCULATEDALONGTHECATENARYARCHAXISSHOWEDEXPRESSIONOFCURVILINEARINTEGRAL,SIMPLIFIESTHEINTERNALFORCECALCULATIONOFARCHBRIDGE,GIVESAHIGHPRECISIONOFTHEARCHBRIDGEANDINTERNALFORCEOFTHECONSTANTEXPRESSIONANDANALYTICALSOLUTIONBASEDONTHEESSENTIALPRINCIPLEOFARCLENGTHDIFFERENTIAL,CALCULATEDBYTHEFIRSTTWOHINGEDARCHANDCATENARYOFHINGELESSARCHOFTENPRACTICALEXPRESSIONSOFDEFLECTIONANDELASTICCOMPRESSIONCOEFFICIENTCONSTANT,ANDTHETWOHINGEDARCHANDHINGELESSARCHCONSTANTPRECISIONANALYSIS,PROVESTHATTHEMETHODOFCONSTANTEXPRESSIONWITHHIGHPRECISIONAGAINWITHTWOHINGEDARCHANDCATENARYHINGELESSARCH,FOREXAMPLE,INTHEMAINARCHRINGWASDEDUCED,GRAVITYISFLOORSYSTEMUNDERTHEACTIONOFUNIFORMLYDISTRIBUTEDLOADANDINTERNALFORCEOFTHEEXPRESSIONFINALLY,INORDERTOSPANOF255MCATENARYDECKARCHBRIDGEASANEXAMPLE,THECALCULATIONOFTHETWOHINGEDARCHANDCATENARYHINGELESSARCHINWEIGHTOFTHEMAINARCHRINGANDBRIDGEDECKARCHOFTHEINTERNALFORCEUNDERUNIFORMLYDISTRIBUTEDLOADANDCOMPAREDWITHTHERESULTSOFFINITEELEMENTMETHODFEMANDANALYSISATTHESAMETIME,THISARTICLEALSODISCUSSESTHEARCHAXISCOEFFICIENTCHANGE,CHANGEOFTHEAPPROXIMATIONERROROFARCLENGTHDIFFERENTIALPRINCIPLE,ANDTHEMETHODINTHISPAPERWHENCALCULATINGTHEINTERNALFORCESOFARCH,ARCHAXISCOEFFICIENTCHANGEONTHEINFLUENCEOFMETHODERRORINTHISPAPERTHISPAPERBASEDONTHEEXAMPLEOFCALCULATIONSHOWSTHATUSINGTHECABLELINEARCLENGTHDIFFERENTIALAPPROXIMATIONINSTEADOFCATENARYARCLENGTHDIFFERENTIALINTERNALFORCESOBTAINEDBYNUMERICALRESULTSWITHFINITEELEMENTMETHODTOCALCULATETHEAXIALFORCEDIFFERENCEISVERYSMALL,ANDCALCULATIONOFTHEBENDINGMOMENTVALUEISGREATERTHANTHEFINITEELEMENTMETHOD,THEERRORISLARGER,BUTITSSAFETYINENGINEERINGPRACTICE,THATCANUSETHEMETHODTOCALCULATETHEARCHUNDERTHEACTUALLOADCONDITIONOFINTERNALFORCESINTHISPAPER,BASEDONTHECONSTANTOFARCHANDTHEINTERNALFORCEANALYSISOFARCH,COMPAREDWITHTHEFINITEELEMENTMETHODFEMMETHODPRESENTEDINTHISPAPERWITHAMOREGENERALEXPRESSION,SATISFYTHEACCURACYOFTHEENGINEERINGPRACTICEKEYWORDSCATENARYARCLENGTHDIFFERENTIALANALYTICALSOLUTIONCABLELINE目录主要符号说明1第一章绪论211常用的几种拱轴线212悬链线拱的计算方法及研究意义6121计算方法6122研究意义713悬链线拱内力解析解的研究现状714本文主要研究工作9第二章近似弧长微分基本原理1121近似弧长微分的提出1122近似弧长微分的算例验证1123本章小结13第三章悬链线拱的常数计算1531悬链线两铰拱常数计算1532悬链线无铰拱常数计算16第四章拱的常数精度分析1941悬链线拱常数比较19411悬链线两铰拱常数对比19412悬链线无铰拱常数对比1942精度分析20421两铰拱常数精度分析20422无铰拱常数精度分析20第五章悬链线拱的内力计算3751悬链线两铰拱内力计算37511主拱圈自重内力37512桥面系自重内力3852悬链线无铰拱内力计算39521主拱圈自重内力40522桥面系自重内力4153悬链线实用内力系数42第六章算例分析4561悬链线拱桥算例4562悬链线两铰拱内力分析4563悬链线无铰拱内力分析5164本章小结57第七章结论与展望5871结论5872展望59致谢60参考文献61附录MATLAB部分M文件621实用表达式推导6211两铰拱表达式6212无铰拱表达式632实用表达式校核6621两铰拱表达式校核6622无铰拱表达式校核703内力实用系数8031两铰拱内力实用系数8032无铰拱内力实用系数894实用表达式精度分析11041数值积分方法11042英国MEXE法13843本文方法168主要符号说明F主拱圈的计算矢高；L主拱圈的计算净跨径；M悬链线拱轴线的拱轴系数；A悬索线拱形参数；HH悬链线两铰拱常变位；H悬链线两铰拱弹性压缩系数；YS弹性中心到拱顶的距离；11、22、33悬链线无铰拱常变位；、1悬链线无铰拱弹性压缩系数；HG主拱圈自重荷载G作用下悬链线两铰拱推力；HQ桥面系自重荷载Q作用下悬链线两铰拱拱推力；A截面面积；E材料的弹性模量；I材料的抗弯惯性矩；M结构任一截面的弯矩N结构任一截面的内力；第一章绪论11常用的几种拱轴线拱轴线是指主拱圈各横向截面形心间的连线1。拱轴线的形状不仅直接影响主拱圈内力及截面的应力分布，而且与施工安全性、结构耐久性、经济合理性等密切相关。所以，选择合理的拱轴线是拱桥设计工作中最重要的工作之一。拱是以受压为主的结构11。当拱在荷载的作用下，拱圈压力线（拱圈相邻截面压力合力点之连线）与拱轴线完全重合时，则拱上各截面将只产生轴力而不产生弯矩和剪力。此时，拱各截面都处于均匀受压状态，因而材料能得到充分的利用，这时用材最为经济，因此称这样的拱轴线为合理拱轴线。而在工程实际中不可能存在这样的拱轴线，因为主拱会受到恒载、使用荷载、温度变化以及材料收缩、徐变等的作用，即使是在恒载的作用下压力线与拱轴线相吻合，一旦活载作用于主拱圈，其压力线就随之改变，相应于活载的不同类型和不同布置，其压力线是互不相同的。因此，与压力线始终相吻合的拱轴线是不存在的，拱轴线的选择只能是将主拱截面的弯矩尽量减小而已。根据混凝土拱桥恒载比重大的特点，在实用中一般采用恒载压力线作为拱轴线，恒载越大，这种选择就越显得合理。而对于活载很大的铁路混凝土拱桥，则可以考虑采用恒载加一半活载（全桥均匀分布）的压力线作为拱轴线。事实上超静定拱在恒载作用下，主拱的轴线将产生压缩变形，由此必将引起一定的弯矩，其实际压力线与设计拱轴线一定是不吻合的。因此要选择一条能够使恒载作用下截面弯矩为零的拱轴线是不可能的。一般来说，拱桥拱轴线的选择应满足一下要求能够尽量减小主拱截面的弯矩，同时使其在温度变化导致混凝土膨胀收缩、徐变等影响下各主要截面的应力相差不大；使线形美观，且便于施工。目前，我国常用的拱轴线主要有圆弧线1,3、抛物线1,3、悬链线1,3、悬索线2。1圆弧线圆弧线拱轴线线形简单，全拱的曲率相同，施工起来较为方便。但圆弧拱的拱轴线与恒载压力线偏离较大，拱圈的各个截面受力不均匀。因此圆弧线通常用于20M以下的小跨径拱桥。圆弧线拱轴方程为2110SINCO24XYRLFL式中圆弧线拱轴线的圆半径；R圆弧线拱轴线的计算矢高；F圆弧线拱轴线的计算跨径。L当计算矢高和计算跨径已知时，根据上述几何关系可算出各几何量。FL圆弧线拱轴线线形的计算简图如图11所示图11圆弧线拱轴线计算简图FIG11CALCULATIONDIAGRAMFORCIRCULARARCHBRIDGEAXIS在不计材料的弹性压缩影响的情况下，圆弧形拱轴线是对应于拱圈沿跨径承受均匀的径向压力（相当于同一深度静水压力）下的压力线，然而，实际的恒载布置与作用并非如此，拱轴线与压力线存在偏离。当较小时，两者相差并不大，但当接近FLFL时，恒载压力线的两端将位于拱脚截面中心以上相当远。因此圆弧线一般常用于20M12以下的小跨径拱桥。有些大跨径钢筋混凝土拱桥，为了方便拱节段的预制拼装，简化施工，也采用圆弧线作为拱轴线。例如1961建成的法国SERRIERE桥，跨径125M，采用了等截面圆弧线拱圈。我国亦有200M跨径拱桥采用等截面圆弧拱轴线的设计方案。2抛物线根据结构力学相关知识，在竖向均布荷载作用下，拱的压力线是二次抛物线。则对于恒载集度接近均匀的拱桥往往可以采用二次抛物线作为拱轴线。抛物线的拱轴线方程为214FYXL式中圆弧线拱轴线的计算矢高；F圆弧线拱轴线的计算跨径。L全空腹的拱桥荷载分布相对均匀，采用二次抛物线作为拱轴线是可行的。在一些大跨径拱桥中，由于拱上建筑的特殊性（如腹孔跨径特别大等），为了使拱轴线尽量与恒载压力线相吻合，也常采用高次抛物线（三次、四次或六次抛物线）作为拱轴线，例如主跨390M的钢筋混凝土拱桥前南斯拉夫KRK桥采用的拱轴线即为三次抛物线，我国湖南省某跨径107M的双曲拱桥采用六次抛物线作为拱轴线。抛物线拱轴线线形的计算简图如图12所示图12抛物线拱轴线计算简图FIG12CALCULATIONDIAGRAMFORPARABOLICARCHBRIDGEAXIS3悬链线对于恒载集度（单位长度上的重力）由拱顶向拱脚连续分布、逐渐增大的拱，其恒载压力线为悬链线，在恒载作用下不计材料弹性压缩影响等因素时，拱圈中仅有轴力，不存在弯矩与剪力。对于实腹式拱桥，由于拱上建筑结构形式与布置发生变化，其恒载从拱顶到拱脚不再是连续分布的，它既承受拱圈的自重，又承受拱上立柱（横墙）传来的集中恒载。直接采用其恒载压力线作为拱轴线时，其线形不是一条光滑顺畅的曲线，难于用连续函数来表达，对设计计算、施工及美观均不利，在实际上也有采用。所以，目前最普遍的做法还是采用悬链线作为空腹式拱桥的拱轴线，虽然恒载压力线与拱轴线间存在偏离，但计算表明该偏离通常对拱圈控制截面受力是有利的，并且，仅需使拱轴线与恒载压力线在拱顶、跨径四分之一点和拱脚五个点相重合（称为“五点重合法”）可实现拱内弯矩的最小化。另外，悬链线拱轴线对各种空腹式拱上建筑的适用性较强，并有现成完备的计算图表可以利用。因此，悬链线是目前大、中跨径拱桥常采用的拱轴线形。悬链线拱轴线线形的计算简图如图13所示图13悬链线拱轴线计算简图FIG13CALCULATIONDIAGRAMFORCATENARYARCHBRIDGEAXIS其拱轴线方程为122LN1FYCHKMXKC式中悬链线拱轴线的计算矢高；F悬链线拱轴线的计算跨径；L悬链线拱轴线的拱轴系数，。MJDGM但对于大跨径空腹式拱桥而言，其压力线与拱轴线偏离较大，则应计入偏离弯矩的影响，这时实际压力线将不通过上述五点（拱顶、两点和两拱脚五点）。4L4悬索线悬索线是沿主拱圈弧长均布荷载的压力线2，即等截面主拱圈的自重压力线。以悬索线作为拱轴线，裸拱施工阶段结构安全性好，能降低拱桥最危险阶段的施工风险7。悬索线作为拱轴线已经运用于石拱桥、劲性骨架拱桥和钢管混凝土拱桥13，具有较好的发展前景。其拱轴线方程为1XYACH式中以拱顶为原点方向下的竖向坐标；Y以拱顶为原点的方向向右的水平坐标；X悬索线拱形参数，与计算矢高、计算跨径的相对比值及有关的常数。A悬链线拱轴线线形的计算简图如图14图14悬索线拱轴线计算简图FIG14CALCULATIONDIAGRAMFORCABLEARCHBRIDGEAXIS12悬链线拱的计算方法及研究意义在拱桥总体布置、细部尺寸、施工方案等确定后1，需进行计算，包括成桥状态受力分析和强度、刚度、稳定性验算以及必要的动力分析，施工阶段结构受力分析和验算，总称为拱桥计算。拱桥计算方法包括解析法和有限元法两种。121计算方法1解析法解析法计算就是直接采用力学方法进行主拱内力分析。当采用恒载压力线作为拱轴线时，并且认为拱是绝对刚性的，即拱轴长度是不变的。此时，拱轴线处于理想状态，在恒载作用下拱内仅产生轴向压力而无弯矩和剪力。但事实上拱并不是绝对刚性的，主拱圈在轴向压力作用下，将产生弹性压缩变形，拱轴会缩短，由此会在无铰拱中产生弯矩和剪力，这就是弹性压缩影响。拱圈的轴向力主要是由恒载和活载作用产生的，因此，拱圈弹性压缩对内力的影响也要在恒载和活载内力计算中分别计入。拱圈弹性压缩影响与恒载、活载作用下产生的内力是同时发生的。但为了计算方便，先计算不考虑弹性压缩时的内力，再计算由弹性压缩引起的内力，然后将两者叠加。这种计算方法称为叠加法，主要是针对解析法而言的。当采用有限元分析时，由于已经考虑弹性压缩影响，内力计算则不需分布进行。对于常规拱桥，可利用文献3提供的已有表格进行计算，即手册法计算，以减轻工作量。2有限元法有限单元法的理论基础是变分原理10。最常用的变分原理有最小势能原理、最小余能原理和混合变分原理等。采用不同的变分原理，将得到不同的未知场变量。当采用最小势能原理时，必须假设单元内位移场函数的形式。这种以位移作为基本未知量的分析方法称作位移法。进行静力分析时，对大多数问题，应用位移法较为简单。因此有限元法得到了广泛的应用。有限元法的主要优点是概念浅显，易于掌握，既可以从直观的物理模型来理解，也可以按严格的数学逻辑来研究；适应性强，应用范围广，不仅能成功地分析具有复杂边界条件、非线性、非均质材料、动力学等难题，而且还可以推广到解答数学方程中的其它边值问题，如热传导、流体力学等问题；已经出现了许多大型结构分析通用程序，如SAP，NASTRAN，ANSYS，ABAQUS等，可以直接应用。这些优点，使有限单元法得到了广泛的应用和发展。122研究意义悬链线拱桥的常规计算方法是根据文献3所提供的计算表格查表计算,计算工作量大,效率和精度较低。尽管目前有ANSYS,SAP等有限元系统以及桥梁专用设计程序等可用于桥梁结构设计,但受到软件版权、大型系统操作复杂等因素的制约,在普通桥梁工程技术人员中尚未得到普及应用。有限元法在进行结构分析和计算时也有其明显的缺陷，因有限元法是利用直梁单元逼近曲梁单元，单元数量会明显的影响到有限元法的精度，因此需要相应的解析解校核有限元法的结果。同时，基于建模的水平和边界条件、载荷工况的模拟是否真实等，其精确度浮动性比较大。在拱桥理论部分，为研究拱的力学性能，需要计算拱的弹性常数，在文献3也通过简化的计算方法求解相关的数值。因此，相关的解析法在拱桥理论部分依旧实用。同时，对于普通拱桥，往往可以直接通过手册法进行设计和计算，但由于悬链线拱内力解析解研究不充分，手册中仅提供了特定拱轴系数下相关的拱的常数。因此，研究悬链线拱内力解析解很有必要。13悬链线拱内力解析解的研究现状文献3中详细介绍了解析法计算拱的过程，并且给出了方便计算的相关表格，大大减少了在拱桥设计与计算中的工作量。对于悬链线无铰拱，在计算无铰拱的内力（恒载、活载、温度变化、混凝土收缩和拱脚变位等）时，为了简化计算，常利用拱的弹性中心法。对于具有结构对称性的拱，弹性中心在对称轴上，为了简化计算手续，常用简支曲梁为基本结构。现以求解悬链线无铰拱的弹性中心以及弹性中心内力为例，说明悬链线拱内力解析解的研究现状。1弹性中心图15无铰拱计算简图FIG15HINGELESSARCHCALCULATIONDIAGRAM由结构力学可得出弹性中心距拱顶的距离为1SDEIY式中1CH1FYKM221DTANDCOSXXYX对于等截面悬链线拱120S1HSHDKKFYFM其中可由文献附录（III）3可查得。1由于曲线积分无法求解，则得不到的显示解，因此手册中仅仅给出了由数值积分SY得到的系数。1在求得弹性中心距拱顶的距离后，进一步求解弹性中心内力。2弹性中心内力由于悬链线无铰拱的对称性及弹性中心所具有的特性，利用弹性中心最终相对变位为零的条件，得出下列法方程式11P22330X式中21112221S222333221221P1P02222SDLEIIEIDIILL1SHDSHDE44IDCIISSSSSSAASSMYFXMKKFYM1S023312223P3P0C11SHLL1SHDSHDEI8I8EIAAAASFKYMKKK、称为“常变位”，它仅与拱的几何性质有关，而与拱的外荷载无关；123、称为“载变位”，它与拱的几何性质及外荷载均有关系。PP由上可知，由于曲线积分无法解决，使得悬链线无铰拱的内力解析解没有显示表达式。可以得出结论悬链线无铰拱内力解析解有待于进一步的研究。14本文主要研究工作目前，计算机应用程序越来越频繁的在科研和设计中使用，例如MATLAB拥有强大的数学工具箱可以解决积分、微分、矩阵等数学问题，然而，对于悬链线拱计算时的曲线积分问题，使用MATLAB等通用程序也无法解决，其原因是这类积分本身就是无法解决的。因此，本文基于对弧长微分近似的研究，提出了对弧长微分进行近似替换，以求得曲线积分的显示解。曲线积分不能解决的问题早已经被提出，对于此类问题，之前的科学工作者也提出了弧长微分进行替换，英国MEXE法提出了将曲线积分替换为直线积分，使得曲线积分的表达式较为简单，但是这种误差较大，不能满足精度要求，所以本文工作就是利用误差更小的弧长微分进行近似计算，再求出悬链线拱的内力解析解。本文利用近似弧长微分求解出了相关的内力解析解，包括拱的常变位和载变位以及弹性压缩系数等，并且通过计算给出了内力的实用系数，以便于实际工程的使用。为了考察本文的实用内力解析解的精度，分别使用数值积分法，英国MEXE法，本文方法，以及手册法对悬链线两铰拱和无铰拱进行计算，并将每种计算得到的结果与数值积分方法对比。最后，本文以一座跨径为255M的上承式悬链线拱桥为例，利用有限元软件计算其内力，与本文方法的结果相比较，并且进行误差分析，最后验证了本文方法较英国MEXE方法有更高的精度，比有限元法有更一般的表达式，并且符合工程实际所需要的精度要求。总之，本文的主要工作如下（1）对近似弧长微分基本原理进行表述，说明如何进行简化计算，并且用实例对近似原理进行分析，比较在拱轴系数不同时近似计算的误差变化；（2）利用近似弧长微分原理对悬链线两铰拱及无铰拱进行计算，首先求出常变位及载变位的表达式，再分别求出在主拱圈自重荷载作用和桥面系均布荷载作用下拱的载变位的表达式；（3）分别计算在主拱圈自重荷载作用和桥面系均布荷载作用下，拱内力值的相关系数；（4）对本文方法得出的相关表达式进行精度考核，对两铰拱和无铰拱的常数分别采用数值积分法，英国MEXE法，本文方法，以及手册法计算，最后进行比较和精度分析；（5）以一座跨径为255M，矢跨比为1/6的上承式悬链线拱桥进行内力计算，再与有限元法计算的结果进行比较，通过得到的内力结果，进行本文方法的误差分析；（6）对本文方法进行总结，考察进一步完善不同拱轴线的拱桥内力解析解以及近似弧长微分原理在拱桥理论中应用的可能。第二章近似弧长微分基本原理21近似弧长微分的提出在悬链线拱桥计算中，有大量的沿悬链线拱轴的曲线积分，这些积分中都含有弧长微分，其表达式为2D1SYX以拱顶为坐标原点的悬链线方程为CHFKM代入此方程后无法得到含弧长微分的曲线积分的显示表达式，其原因是弧长微分表达形式复杂。为了得到曲线积分的表达式，必须对弧长微分进行近似替代，英国MEXE法曾提出用直线积分代替曲线积分，其本质是采用的弧长微分替换，通过替换可以求出相DSX应的曲线积分，但这种方法不仅仅误差很大而且无法求解在工程实际中拱的内力。胡常福4,8等通过对实际非线性微分方程实用解析解的误差分析表明，当矢跨比相同时，常用拱轴线的弧长微分数值相差很小，因此沿相近拱轴曲线积分结果满足工程精度的要求。而在所有拱轴线中，悬索线的弧长微分表达式最简单，如下所示DCHXSA式中，为拱形参数，其数值可查文献6。A通过这种近似替换可以求出之前无法解决的曲线积分，使悬链线拱内力解析解的一类问题得到解决。22近似弧长微分的算例验证近似弧长微分基本原理的应用可以完善拱的解析法，而在悬链线拱的计算中，利用近似弧长原理时需要考虑拱轴系数不同对近似弧长微分的精度影响。在拱的计算中，相关变量满足以下的关系2D1DXCOSXY现近似弧长微分原理中相关变量的关系为DHCSXA因此，现通过算例分析这种近似弧长微分在不同的拱轴系数下21COSY的误差。某上承式悬链线拱桥，跨径为30M，矢跨比为1/6，现验证拱轴系数分别为1347、1756、224、35时近似弧长微分的精确度。1当时，精确值和近似值的比较如图21，从图中可以看出，两种结果能1347M够较好的吻合，具有较高的精度，经计算最大误差为06。图21悬链线拱轴比较（,）1COS30ML16F347FIG21COMPAREOFCENTENARYARCHAXISANGLEFUNCTIONCOS2当时，整体线形能较好的吻合，其最大误差为24。1756M图22悬链线拱轴比较（,）1COS30ML16F75FIG22COMPAREOFCENTENARYARCHAXISANGLEFUNCTIONCOS3当时，最大误差为42，除拱脚外，近似值均与精确值相差较小。24M图23悬链线拱轴比较（,）1COS30ML16F24FIG23COMPAREOFCENTENARYARCHAXISANGLEFUNCTIONCOS4当时，整体误差进一步增大，其中最大误差为79。35M图24悬链线拱轴比较（,）1COS30ML16F35FIG24COMPAREOFCENTENARYARCHAXISANGLEFUNCTIONCOS由以上四个图可以看出，本文采用的近似弧长微分原理具有较高的精度，能够与精确值较好的吻合，可以满足工程实际所需的精度。但随着拱轴系数的增大，这种弧长近似微分的误差逐渐增大，且两端的误差最大。所以拱轴系数越小，利用近似弧长微分原理简化计算就愈得合理。23本章小结近似弧长微分原理的提出解决了沿悬链线拱轴的曲线积分不能求解的问题，避免了因在实际计算中使用数值积分而使得计算过程复杂的问题，并且以其较高的精确度和简化的公式而获得了实用性。本文提出利用近似弧长微分原理求解悬链线拱的内力解析解，即利用的近似替换。DCHXSA目前，在拱桥计算中还存在着许多类似的问题，近似弧长微分原理能够完善拱桥的内力解析解以及求解拱的常数如抗推刚度和抗弯刚度等。因此，近似弧长微分原理的应用具有广阔的前景。第三章悬链线拱的常数计算31悬链线两铰拱常数计算在悬链线拱的内力计算中，有一类常数仅与拱的几何性质有关，而与外荷载的大小无关，例如拱的常变位，弹性压缩系数等，传统上采用数值积分5计算这些常数本文利用近似弧长微分原理，首先计算两铰拱的常数。两铰拱为一次超静定结构，只有一个常变位，本文将无铰拱的常变位用表示，两2铰拱的常变位用表示，以示区别，相应的两铰拱的相关数值均用下标。HH已知悬链线方程为1CH1FYKM引入本文方法，略去轴向力对常变位的影响，则常变位可表示为2L2221H2222424DDCH1CDEIIEILLSHCH24L16C1SH06EISSYFMFXSKFAAKAMKAAFAM若计入轴向力对常变位的影响，即考虑弹性压缩的影响，则常变位可以表示为22H2HDEII11SSSMNUU式中，可表示如下HU2HDEAISSNUM引入本文方法，可求得的实用表达式如下HUL222HL221LL21142422221DDCOSDCHEAIIATANT0L6IAL4CHS4SHC16LSSSAXNAUMYFFKFMEKAFKKKMA24242S106AMKAA32悬链线无铰拱常数计算无铰拱为三次超静定结构，一般采用弹性中心法计算无铰拱，引入本文方法，则弹性中心到拱顶的距离为L21SL22CH1DLDSHCSHEI114FXKYMAKKFAFMMX无铰拱有三个常变位，通过近似弧长微分得到其表达式如下L2212L222S2SS24242LDCHDSEIEI1CHDIL16SHCHSLEI1L06HC4C4SSMXAFXKYMAMFYKAKAKFAKSS231SHEIFYMYFAL222231LLDCHDSH4C8SHEIEISMXAAA在恒载的轴向力作用下，拱圈的弹性压缩会引起沿跨径方向的长度缩短，由于无铰拱是超静定结构，因此弹性压缩会引起拱桥的附加水平推力（作用在弹性中心，方向与推力相反），所以必须考虑拱桥的弹性压缩影响。而由弹性压缩引起拱桥的附加内力内力表达式为1UH式中，和为无铰拱的弹性压缩系数U1因此，必须首先计算和，才能得到附加水平推力的值。利用近似弧长微分原理，U1可求得无铰拱的的实用表达式如下所示L22L22SLL2114242222SSDCOSDCHEAIICTANT0L6IA4L6SHCHSLHC24CHSAXAUYFKYMEMKAFAYFKFKAA2SS4231406AFYYMFK同样可求得无铰拱的的实用表达式如下所示1UL212L22SCHDDEACOSII1SSXAUYFKYXM利用MATLAB通用程序，可以计算出的显示表达式如下1U24241222SS2SS424LH10L6IAL16SCHHLHCCH31406AMKAUFAMYFKKFAKAAFYMYFMK由以上的计算可以看出，悬链线两铰拱和无铰拱的常数均有其实用表达式，虽有部分表达式较为复杂，但相对于数值积分方法还是很大程度上简化了计算，并且可以利用实用表达式对拱的常数进行参数分析，得到拱的各个参数对这些常数的影响，从而更好地研究拱的力学性质。第四章拱的常数精度分析41悬链线拱常数比较本文利用近似弧长微分原理得到悬链线两铰拱及无铰拱的一系列实用表达式，现考察实用表达式的精度，分别利用数值积分（方法1）、英国MEXE法（方法2）、本文方法（方法3）、手册法（方法4）计算拱的常数，以数值积分方法为精确值，将四种方法得到的数值均除以数值积分方法得到的数值，比较每种方法的精度。数值积分法是指利用编写M文件，在MATLAB中实现对悬链线拱常数的求解，其具体的M文件以及相关介绍见本文附录I。英国MEXE法是指利用水平直线积分替换曲线直线积分，其具体求解通过MATLAB通用程序实现，本文方法和英国MEXE法求解拱的常数的M文件见本文附录I。手册法指的是通过查询文献3的附表，而手册中的数据也是通过数值积分得到的。411悬链线两铰拱常数对比悬链线两铰拱为一次超静定结构，仅有一个常变位，现给出了未考虑轴向力影响的常变位的常数以及考虑轴向力影响的弹性压缩系数的常数对比。由于拱轴系数不同会影响到本文方法的精度，现本文对拱轴系数为1347、1756、224、35时分别考察实用表达式的精度。悬链线两铰拱常数对比见表41、42、43、44。412悬链线无铰拱常数对比悬链线无铰拱是三次超静定拱，有三个常变位。悬链线无铰拱共中有六个常数，分别为弹性中心到拱顶的距离，三个常变位、，以及弹性压缩系数和。SY123U1现将这六个常数，分为三组，分别进行四种方法的对比。同时，为了考察拱轴系数对本文方法的影响，本文对拱轴系数为1347、1756、224、35时分别考察无铰拱常数表达式的精度。现将无铰拱的六个常数分组如下第一组常数为弹性中心和常变位；SY1第二组常数为常变位和常变位；23第三组常数为弹性压缩系数和。U1四种方法的常数对比见下表45至41642精度分析421两铰拱常数精度分析通过对两铰拱两个常数的对比，本文对表中的数据进行了分析如下1与方法一（数值积分）相比，本文方法求得和的精度均在98以上，且总HU体来说的精度比常变位的精度更高；HUH2与方法二（英国MEXE）相比，本文方法的精度均高于英国MEXE法，且矢跨比越大，英国MEXE方法精度越差，而本文方法的精度因矢跨比的变化改变不大。3与方法四（手册法）相比，本文方法与手册法的精度较为接近。整体来说，手册法的精度比本文方法略高。422无铰拱常数精度分析通过对无铰拱三组数据的对比分析，本文对表中的数据进行了分析如下1方法1（数值积分法）相比本文方法求得的均小于数值积分的数值，精度SY均在97以上；本文方法求得的误差在1以内；的精度在95以上，其误差12增大和的误差由一定的关系；在拱轴系数为1347、1756时，的精度均在99以SY3上，当拱轴系数增大时，误差增大，但不超过5；从表中可以看出，的个别误差达1U到了3左右，总体误差在1左右；的误差在4以内；U2与方法2（英国MEXE法）相比，本文方法的精度整体高于方法2，当矢跨比较大时，本文方法的精度远高于英国MEXE法，当矢跨比减小时，方法2的精度有所提高；3与方法3（手册法）相比，本文方法的精度与手册法的精度较为接近，手册法的误差在2以内；4总体来说，本文方法的误差在5以内，且大部分常数值的误差在2以内，有较高的精度。此外，本文方法的误差随着拱轴系数的增大而略有增加。表41拱轴系数时四种方法的常数对比M1347矢跨比积分常数方法比较1/31/41/51/61/71/81/91/10乘数方法1006695100361550022687001559400113970008706000687600055751/110000001000000100000010000001000000100000010000001000000方法2006017100338460021662001504300110520008462000668600054152/1898726936140954834964636969708971936972336971438方法3006660300360370022594001550300113040008611000678000054773/1994796996740995915994134991819989074985978982524方法400668620036061002259100154970011298000860800067770005476H4/19986689974119957749937639913259886959856389822373LEI方法1136928415262501619653167846317173171744023176297617767711/110000001000000100000010000001000000100000010000001000000方法2184657518465751846575184657518465751846575184657518465752/113485701209877114010611001581075268105880210474191039287方法3137511715273941620218167935317187321746023176560017800673/110042601000750100034910005301000824100114710014891001855方法413694601526640162034016795101719250174601017655401779980HU4/1100012910002561000424100062410011261001139100145510018062IAF表42拱轴系数时四种方法的常数对比M1756矢跨比积分常数方法比较1/31/41/51/61/71/81/91/10乘数方法1006787900366800023023001582800115690008837000698000056591/110000001000000100000010000001000000100000010000001000000方法2006110400343710021998001527600112230008593000678900054992/1900189937052955468965128970079972328972730971851方法3006777100366410022964001575300114840008747000688700055633/1998408998938997426995265992639989821986641983161方法400677910036586002292700157310011470000873900068810005560H4/19987049974469958289938649914299888609858529825073LEI方法1135082615034401594594165220916904021716726173545117491081/110000001000000100000010000001000000100000010000001000000方法2181838218183821818382181838218183821818382181838218183822/113461261209481114034211005761075710105921510477871039605方法3135141115021951594133165271116917221718759173815517524883/1100043399917299971110003041000781100118410015581001932方法413510001503820159526016532301692290171865017379401752220HU4/1100012910002531000418100061810011171001121100143410017792IAF表43拱轴系数时四种方法的常数对比M24矢跨比积分常数方法比较1/31/41/51/61/71/81/91/10乘数方法1006883700372200023369001606800117450008972000708600057451/110000001000000100000010000001000000100000010000001000000方法2006205900349080022341001551500113990008727000689500055852/1901533937881956017965597970528972689973085972240方法3006897000372610023343001600900116690008887000699600056523/110019291001100998895996341993516990534987296983781方法400687480037126002327300159710011646000887400069870005646H4/19987019974809958919939669915689890289860519827723LEI方法1133239814806941569619162605516636001689555170806417215931/110000001000000100000010000001000000100000010000001000000方法2179041917904191790419179041917904191790419179041917904192/113437561209175114067111010811076232105969910482151039978方法3132793514772251568276162629816649411691724171093817251383/199665099765799914410001491000806100128410016831002059方法413325701481060157026016270401665430169142017104701724610HU4/1100012910002471000408100060510011001001104100140910017522IAF表44拱轴系数时四种方法的常数对比M35矢跨比积分常数方法比较1/31/41/51/61/71/81/91/10乘数方法1007084000383450024087001656500121100009251000730600059231/110000001000000100000010000001000000100000010000001000000方法2006403100360170023051001600800117610009004000711500057632/1903879939284956990966350971192973333973741972954方法3007145500385440024126001653800120510009176000722300058343/1100867910051851001620998345995140991915988522984975方法400707510038251002399100164680012011000915300072080005824H4/19987429975519960079941399918219893539864739832873LEI方法1129570314355091520044157416516104511635703165381216671141/110000001000000100000010000001000000100000010000001000000方法2173528017352801735280173528017352801735280173528017352802/113392581208826114159911023491077512106087710492611040889方法3128174514280511517335157424616121561638433165728616712193/19892289948059982181000051