连续系统时域与复频域分析的计算机仿真

2010届毕业设计（论文）材料系部电气与信息工程学生姓名指导教师职称教授专业电子信息工程技术班级电信0701班学号2010年5月材料清单1、毕业设计（论文）课题任务书2、指导教师评阅表3、答辩及最终成绩评定表4、毕业设计说明书5、附录2009届毕业设计（论文）课题任务书系电气与信息工程系专业电子信息工程技术指导教师学生姓名课题名称连续系统时域与复频域分析的计算机仿真内容及任务1绪论11信号的基本概念111信号的定义及分类112常用信号12系统的基本概念121系统的分类与描述122系统的基本结构123线性系统的性质2连续系统的时域分析21系统的微分方程描述及其算子表示211系统的微分方程描述212系统微分方程的算子表示22系统的零输入响应与零状态响应221系统的零输入响应222系统的零状态响应与完全响应的概念23冲激函数与阶跃函数24冲激响应与阶跃响应25卷积及其应用251卷积的概念及其性质252卷积的计算26连续系统时域分析举例27连续系统时域分析的MATLAB实现3连续系统的复频域分析31拉普拉斯变换311拉普拉斯变换的定义312常用信号的拉普拉斯变换32拉氏变换的性质321延时特性322复频移特性323微分定理324积分定理325卷积定理326始值定理与终值定理33拉氏反变换部分分式展开法34系统的复频域分析341系统函数HS342用单边拉普拉斯变换分析系统343电路的复频域分析35系统函数HS的零、极点分析351HS的零、极点352HS的零、极点分布与时域特性的关系353HS的零、极点分布与频域特性的关系36系统稳定性分析361系统稳定性准则362系统稳定性判定方法37连续系统复频域分析的MATLAB实现拟达到的要求或技术指标起止日期工作内容2010213220收集资料、熟悉毕业设计课题2010221228总体方案设计201031316广州益能环保设备公司实习经理助理2010319325认真阅读收集的资料，总结出可燃性气体浓度检测和毒性检测有关资料并整理成文档作出电路图2010326330认真学习收集的资料，掌握烟雾报警器的原理，并根据相应的传感器设计出相应的报警器电路图20104144通过对收集资料的学习和平时的积累，掌握酒精与氢气检测电路的原理，并作出电路图201045411认真阅读自己的对论文初稿进行修改和完善，编写毕业设计说明书2010412415通过指导老师曹教授的指点，对毕业设计文档进行相应的修改，以符合设计要求进度安排2010515517教师评阅设计，学生进行总结，并准备答辩主要参考资料1闵大镒、朱学勇，信号与系统M，成都电了科技大学出版社，1998。2燕庆明，信号与系统第二版M，北京高等教育出版社，2001。3吴湘淇、肖熙、郝晓莉，系统与信号处理的软硬件实现M，北京电子工业出版社，2002。4吴湘淇，信号、系统与信号处理（上册、下册）M北京电子工业出版社，1996。5朱钟霖、周宝珀，信号与线性系统分析M，北京中国铁道出版社，1982。6吴大正，信号与线性系统分析第三版M北京高等教育出版社，1999。7郑君里、应启珩、杨为理，信号与系统M，北京高等教育出版社，2000。8吴新余，信号与系统时域、频域分析及MATLAB软件的应用M，北京电子工业出版社，1999。9梁虹，梁洁，陈跃斌，信号与系统分析及MATLAB实现M，北京电子工业出版社，2002。10阎鸿森，信号与线性系统M，西安西安交通大学出版社，1999。教研室意见年月日系主管领导意见年月日2009届毕业设计（论文）指导教师评阅表系电气与信息工程系学生姓名学号班级电信0701专业电子信息工程技术指导教师姓名课题名称连续系统时域与复频域分析的计算机仿真评语（包括以下方面，学习态度、工作量完成情况、材料的完整性和规范性；检索和利用文献能力、计算机应用能力；学术水平或设计水平、综合运用知识能力和创新能力；）是否同意参加答辩是否指导教师评定成绩分值指导教师签字年月日2009届毕业设计（论文）答辩及最终成绩评定表系（公章）学生姓名学号班级电信0701答辩日期课题名称连续系统时域与复频域分析的计算机仿真指导教师评定成绩评定分值教师1教师2教师3教师4教师5小计课题介绍思路清晰，语言表达准确，概念清楚，论点正确，实验方法科学，分析归纳合理，结论严谨，设计（论文）有应用价值。30必答题40答辩表现思维敏捷,回答问题有理论根据，基本概念清楚，主要问题回答准确大、深入,知识面宽。自由提问30合计100答辩评分分值答辩小组长签名答辩成绩A40指导教师评分分值指导教师评定成绩B60说明最终评定成绩AB，两个成绩的百分比由各系自己确定，但应控制在给定标准的10左右。2009届毕业设计说明书连续系统时域与复频域分析的计算机仿真系、部电气与信息工程系学生姓名指导教师职称教授专业电子信息工程技术最终评定成绩分数等级答辩委员会主任签名年月日班级电信0701班完成时间2010年5月目录1绪论11信号的基本概念111信号的定义及分类112常用信号12系统的基本概念121系统的分类与描述122系统的基本结构123线性系统的性质2连续系统的时域分析21系统的微分方程描述及其算子表示211系统的微分方程描述212系统微分方程的算子表示22系统的零输入响应与零状态响应221系统的零输入响应222系统的零状态响应与完全响应的概念23冲激函数与阶跃函数24冲激响应与阶跃响应25卷积及其应用251卷积的概念及其性质252卷积的计算26连续系统时域分析举例27连续系统时域分析的MATLAB实现3连续系统的复频域分析31拉普拉斯变换411拉普拉斯变换的定义412常用信号的拉普拉斯变换32拉氏变换的性质421延时特性422复频移特性423微分定理424积分定理425卷积定理426始值定理与终值定理33拉氏反变换部分分式展开法34系统的复频域分析441系统函数HS442用单边拉普拉斯变换分析系统443电路的复频域分析35系统函数HS的零、极点分析451HS的零、极点452HS的零、极点分布与时域特性的关系453HS的零、极点分布与频域特性的关系36系统稳定性分析461系统稳定性准则462系统稳定性判定方法37连续系统复频域分析的MATLAB实现4结术语参考文献致谢附录1绪论计算机是如何处理大量的数据程控电话是怎样实现通话的电视广播系统是怎样工作的高保真音响设备中的放大器应具有什么样的性能从若干煤矿往若干发电厂调运煤炭时，哪个运输方案最为经济如何按照合理的人口总数与年龄结构来确定计划生育政策。这样的问题还可以举出很多。地球同步轨道上的人造地球卫星如何在运动中保持与地球的定点通信如何按照投入产出来考查企业的工作。它们分属于许多完全不同的领域，看起来相互之间也没有什么必然的联系。但是，仔细分析表明，它们之间都是有关“信号与系统”的问题。正是基于要分析和解决这些问题，迫切要求有统一的、简洁的、行之有效的分析方法以资应用，从而形成了一个新的学科分支“信号与系统”。1948创立的系统论、信息论和控制论三大科学理论，对于信号与系统学科的发展起到非常重要的奠基和推动作用。系统论是美国生物学家贝格朗菲创立的，他为确立适用于系统的一般原则做出了重要贡献。信息论是美国数学家仙农建立的，它是现代通信理论的基础，在计算技术、自动控制等方面得到广泛应用。控制论是美国数学家维纳提出的，它促进了通信、计算机和人工智能等方面得到广泛应用。随着大规模集成工艺和计算机技术的飞速发展，近几十年来，信号与系统学科得到惊人的发展。信号与系统的基本概念与分析方法还在不断的发展，其应用范围也在不断的扩大，它在通信、航空与航天、电工及电子电路、机械、声学、地震学及探矿、生物工程、能源、化学等许多领域里起着重要的作用。因此，“信号与系统”不仅是电工及无线电技术类专业的重要课程，也是所有的工程专业的重要课程。本论文共四章，第一章为基础理论部分，讲述信号与系统的基础知识、常用信号、系统的描述等；第二章至第三章为应用部分，分别介绍了连续系统的时域频域及复频域等；第四章为论文小结，总结了整篇论文。12信号的基本概念121信号的定义及分类1、信号的定义按照现代汉语词典的定义，信号是“用来传递信息或命令的光、电波、声音、动作等”。也就是说，信号是运载与传递信息的载体与工具。物质的一切运动或形态的变化，广义地说都是一种信号（SIGNAL），即信号是物质运动的表现形式。通常，传送消息的信号形式都是随时间变化的。如温度信号、压力信号、光信号、电信号等，他们反映的事物在不同时刻的变化状态。由于电信号处理起来比较方便，所以工程上常把非电信号转变为电信号进行传输。数学上，信号表示为一个或多个自变量的函数。一般连续信号表示为时间T的函数,离散信号表示为序号K的函数。函数的图形则称为信号的波TFKF形。在叙述上，常常将“信号”与“函数”不加区分地互相混用。在电系统中，信号的两种主要形式是电压信号和电流信号，可分别用时间函数和表示。若和表示输入信号，一般记为；若和TUITUITFTU表示输出信号，一般记为。IY2、信号的分类按照信号的不同性质与数学特征，可以有多种不同的分类方法。例如，按照信号的物理特性，可以分为光信号、电信号等；按照信号的用途，可以分为雷达信号、电视信号、通信信号等；按照信号的数学对称性，可以分为奇信号、偶信号、非对称信号等；从能量的角度出发，可以分为功率信号与能量信号；从信号的特征出发，可以分为连续信号与离散信号、确定信号与随机信号、周期信号与非周期信号，等等。从信号特征的分类方法，则是我们在信号分析中最常用到的。122常用信号1、单位阶跃信号T信号分析中经常用到的阶跃信号。在整个时间区间内，只在T0处有T一个间断点，除此之处，对任意的确定时刻，都有确定的值。可见，阶跃信0T号也是一个连续信号。在间断点处，信号的取值规定为左极限与右极限和的一半。因此，ERRORNOBOOKMARKNAMEGIVEN2/102/1阶跃信号表达式为AT0TF0TT0218将YX0、YX0、YXN10代入上式及其直至N1阶导函数表达式积分常数A1、A2、AN当特征根为共轭的复根或虚根时，YXT最终表达式中相应的两复数项可通过欧拉公式COST05EJTEJT及SINTJ05EJTEJT化简为三角实函数。2特征根含有重根不妨设特征根P1为R重根，其余特征根为单根更复杂的情况以此类推，则零输入响应YXT的通解表达式为219确定积分常数的方法同上。3求解零输入响应YXT的基本步骤1通过微分算子方程或传输算子的分母多项式DP求系统的特征根。2写出YXT的通解表达式，如式218或式219所示。3由系统的0状态值与0瞬时的零输入系统求出零输入系统的0初始条件YXJ0,J0,1,2,N1。4将0初始条件代入YXT的通解表达式及其直至N1阶导函数表达式，求得积分常数A1,A2,AN。5写出所得的解YXT，必要时画出YXT的波形。23冲激函数与阶跃函数一、单位阶跃函数U（T）0T0U（T）1T0其波形如图所示，在跳点T0处，函数值未定义。有时也可以定义为1/2，即U（0）1/2。这里我们不定义U（0）的值。二、单位冲激函数单位冲激函数又称为狄拉克函数。它具有选择性。24冲激响应与阶跃响应一、冲激响应当激励为单位冲激函数时，电路的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用H（T）表示。如图所示的一阶RC电路，在激励作用前处与零状态。现讨论电压源为单位冲激函数时，电容电压的冲激响应。根据图可以列出电容电压UC（T）为待求响应的微分方程DUC/DT1UC/RCUS/RC二、阶跃响应当激励为单位阶跃函数时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用G（T）表示。我们还用上面的图为例说明阶跃响应G（T）应该是方程DG（T）/DTG（T）/RCU（T）/RC25卷积及其应用任意两个函数卷积DTFTY21积分限由存在的区间决定，即由的范围决定。,021TF卷积的图解说明积分变量改为，积分结果是T的函数；11FTF对时延T，2222FF时延倒置T相乘1TF乘积的积分DTF21卷积的性质代数性质交换律分配律结合律微分积分性质与冲激函数或阶跃函数的卷积卷积的应用用T函数序列表示任意信号0DTFTF利用卷积求系统的零状态响应0,0TTHFTG27连续系统时域分析的MATLAB实现用MATLAB实现信号连续系统的复频域分析41拉普拉斯变换411拉普拉斯變換的定義一個實函數，其單邊拉普拉斯變換LAPLACETRANSFORM定義為TFSF0DTEFSFS式中為複數，FS稱為的拉氏變換（或象函數），而稱為FSJSTTF的拉氏反變換（或原函數）。式41表明，拉氏變換是一種積分變換。它把原函數乘以再對T進行積分，其結果成為複變數S的復函數，即拉氏變TFESTSF換是把時域內的函數變換到S域內的複變函數。因為中除FJ了虛部外還有實部，故常稱S為複頻率。J从上式可見，一個時域函數的拉氏變換存在的條件為該式右端的積分為有限值，即要求0DTEFS由於TTJTST故對某些值，只要使得0LIMETFTT則FS必然存在。式41中的積分下限取為是為了考慮中可能包含有出現在T0瞬間0TF的沖激信號，如果中無沖激，則積分下限可寫為零。TF如果已知，可求出它對應的原時域函數。可以證明，從到SFTFSF的拉氏反變換由下式確定TF42JSTDEFTF21式41和42稱為拉普拉斯變換對，通過式41的拉氏變換可將時域函數變換為複頻域S域的函數（象函數）；反之，由式42可把複頻域函TFS數反變換為對應的時域函數。式41和42可記為SFTFLSFTFL1TFS上述變換的對應關係也經常簡記為TF拉氏變換也是線性積分變換，因此有線性性質，即432121SFASTFATF412常用信號的拉普拉斯變換以下用定義式41計算一些常用信號的拉氏變換。1、單位沖激信號T10DTESFS即T472、單位階躍信號TSEDTETSFTSS100即ST148由於的單邊拉氏變換其積分區間為，故對定義在上的實函TF,0,數進行單邊拉氏變換時，相當於的變換，所以常數1的拉氏變換與TF的拉氏變換相同，即有TS1同理，常數A的拉氏變換為，即SASA3、正弦信號TSIN由於21SINEJTTJT故LLSFITEJTJT應用例41和例42的結果，並利用線性性質，得2121SJSJS即2SINT49同理可得余弦信號的拉氏變換為TCOS2CSST4104、單邊衰減正弦信號SINTET由於EJJTETJTTJTJTT21SIN由線性性質得LSFSINTETLJ21ETJTJ即2SINSTET411同理可得單邊衰減余弦信號的拉氏變換為COSTET4122TT5、斜波函數TL0DTETS由分部積分公式00VUUV令UT，則DUDT，可得DTEVSSET201SDTSETEFST即4132ST推廣上述結果可得21JSJSJ414132NNST為了應用方便，常用函數的拉氏立變換列於表41。常用函數的拉氏立變換原函數TF象函數SF原函數TF象函數SF/TTNTEATA1TEA1S21S1NAS2ASSINTCOTEATSINTEATCOSBTATATMEK12S2AS21BSMAK42拉氏變換的性質拉氏變換建立了信號在時域和複頻域之間的對應關係，故變換本身的一些重要性質能夠反映信號的時域特性和複頻域特性間的聯繫。掌握這些性質不但為求解一些較複雜信號的拉氏變換帶來方便，而且有助於求解拉氏反變換。除前面已討論的線性性質外，還有一些重要性質分別討論如下。421延時特性若SFTF則4150000TSFETTFT證明L00000TSTSTDEFDETTFTTF令，則，上式改寫為XT0DX,L0000SFEXFEEFTFTSSTTS上式規定，即限定波形沿時間軸向右平移。在使用這一性質時，要注意0T區分下列不同的四個時間函數。其中，只有最後一個函00000TTFTFTTFTF和；數才是原有始信號延時後所得的延時信號，只有它的拉氏變換才能應用延時特性來求取。的結果表明，正是沿T軸向右平移所得4SF004TTTFT0T的信號，如圖44所示。它可以直接應用延時特性求得變換式，即002041STSTTTEDESF延時特性的一個重要應用是求從T0開始的週期信號的拉氏變換。設為如圖45所示的單邊週期信號，則可將分解表示為TFTF321TFTTF式中為第一週期波形的函數運算式，為第二週期波形的函數運算1TF2TF式，其餘類推。每後一個週期在前一個週期波形延時後出現，從而可將表TF示為211TTTFTTTFTF若11SFTF則根據延時特性，可寫出的象函數為TF12211STSSTEFEFS上式右端括弧內為無窮等比級數，利用等比級數求和公式可得416ST1上式表明，從T0開始的單邊週期信號的拉氏變換等於其第一個週期波形的拉氏變換式乘以。STE1422複頻移特性若SFTF則41700SFETFTS證明L000000SFDTETFDTETFTFSSTTS該性質表明時間函數乘以，其變換式在S域內移動。式中可為實TS0數或複數。423微分定理若SFTF則4180/FSTF進而有41901/21NNNFFFFST證明由拉氏變換定義000/SFFDTETFETDFSSTSTT對於的二階導數的變換式可以應用式418求得如下TF/T0/FFSFTFD即0/2/FFTF如反復運用上述方法就可得出01/21NNNNNFFSFSFTF如果為一有始函數，則均為零，於是式418和TF001/）（、419可簡化為/STF420FTFNN例如的拉氏變換為TNNNST應用拉氏變換的時域微分定理可將時域內的微分方程轉化為S域內的代數方程，並且使系統的初始條件，很方便地歸併到變換00/、FFF式中去，再對S域的代數方程求解後，就可以通過反變換直接求出系統的全回應。故時域微分定理在系統分析中是十分有用的。424積分定理若SFTF則421SDFT0證明由拉氏變換定義得LDTEFFSTT00利用分部積分公式，令VDTEFUST,0則STFD1,故L0001DTEFSDFSEDFSTT上式前項當時,因而為零；當時,，故第一項TSTET0F為零；所以SFDFT0425卷積定理若2211SFTF則4222121STF證明從卷積與拉氏變換定義出發，則有LDTETFTFS02121令於是有,DXTEEXTSXXSST则2102021SFXEFEFSS卷積定理的重要應用之一是用於系統分析。因為零狀態回應THFTYF取拉氏變換，有SHFSYF426始值定理與終值定理始值定理敘述如下若，且為真分數，則的始值為SFTFSTF4230LIMS若為假分數，則可分解為S1SFNS其中為S整次冪的多項式，為真分數，然後再將代入式4231S1SF中進行計算。應該注意無論拉氏變換中積分限所規定的是、還是，用式4230求的始值必定為。當然，在處不出現沖激信號時，TF0FT。另外，如果不存在，但也可能存在。因此，0FLIMSFS這個定理只適應存在的情況。F終值定理敘述如下若，且的收斂域包括軸，則的終值為SFTFSJTF424LI0S用式424計算的終值時，當S0時，不能無限大，因此，要求TFSF的收斂域包括軸。SFJ同樣，如果不存在，但也可能存在。因此，這個定理只適應FLIM0SS存在的情況。或者說，應為收斂函數。例如，當為週期函數時，FTFTF終值定理就不適應了。表42拉氏變換的性質名稱時域0TF複頻域SF定義線性頻移特性延時特性尺度變換卷積定理DSEFJTFJT211TFATF0ETS0TTF,A21TFDTEFS021SA0SFET1AS21微分定理積分定理初值定理終值定理/TFNTDXF0,TNLIMSFFS0S001/2NNFFSSFFSFN43拉氏反變換部分分式展開法應用拉氏變換法求解系統的時域回應時，不僅要根據已知的激勵信號求其象函數還必須把回應的象函數再反變換為時間函數，這就是拉氏反變換。求拉氏反變換最簡單的方法是利用拉氏變換表，但它只適用於有限的一些簡單變換式，而從系統求得的象函數一般並非表中所列的形式。為此，這裏要介紹對進行反變換的一般方法。SF對線性系統而言，回應的象函數在本節中，無論是輸入信號還是輸出SF信號的象函數均用表示常具有有理分式的形式，它可以表示為兩個實係數SF的S的多項式之比，即425ASSABBNNMMSDN011式中的和為正整數，且。為有理分式。對此形式的象函數NF可以用部分分式展開法或稱為分解定理將其表示為許多簡單分式之和的形式，而這些簡單項的反變換都可以在拉氏變換表中找到。部分分式展開法簡單易行，避免了應用式42求反變換時要計算複變函數的積分問題。用部分分式展開有理分式時，第一步是把有理分式化為真分式。若S，則FS為真分式；若，則MNMN0SDNASF其中，餘數項便是一個真分式。上式中的A是一個常數，其對應的/0時間函數為。所以在下面的討論中都假定為真分式。TASF用部分分式展開有理分式，首先必須求出DS0的根。下麵就這些根SF的不同情況分別討論的展開方法。1、DS0有N個單根的情況設個單根分別為。於是可以展開為NP，21S42621NPKSKPSF式中等是待定係數。這些係數可以按下述方法確定，把上式兩邊NKK、21都乘以，得NPSKPSKKSFPS2111令，則等式除第一項外都變為零，這樣就求得1111PSSK同理可求得。所以確定式426中各待定係數的公式為N，、32427NFPIPSIII,32,1由於FSNS/DS,所以1IIIPSIIPDNSK因為是DS0的一個根，因上面關於的運算式為0/0的不定式，可以用羅IPIK必塔法則來確定的值如下IKLIMLI/IIPSIPSPDNSDNK所以確定式426中各待定係數的另一公式為/IIPKNI,321428於是，所對應的原函數為SFTFTPNINIITPIIEDNEKTF11/4292、DS0具有共軛複根的情況由於DS是S的實係數多項式，所以DS0若出現複根，則必然共軛成對。若DS0有一對共軛複根，則有JAPJ21,JSJASJASJASDNFJASKJ/2/1由於是實係數多項式之比，故必為共軛複數。如設，則F21,K11JEK，於是在的展開式中，將包含如下兩項12JEKSJAKJK21在對應的原函數中將包含如下分量TF430COS211112TEKEEKATTJTJATTJAJ3、DS0具有重根的情況設DS中含有的因式，則為DS0的三重根。對這類進31PS1PSF行分解時，首先假設存在著常數，使得的展開式中包含如下與32K、SF有關的3項，即1P431NIIIPSKPSKSKPSF231211現在的問題是如何確定。若把式431兩邊都乘以，則、31PS被單獨分離出來，即1K432NIIIPSKPSKPSKPSF23112132311所以便可確定如下11311PSFSK再對式432兩邊對S求導一次，則被分離出來，即2KNIIPSKSDSFPSD231131312所以便可以確定如下12K13112PSFSDK利用同樣的方法可以確定313121PSS因此，式431對應的拉氏反變換為132212131TEKTETKTEKTFPINIPPTP45系統的複頻域分析451系統函數SH1、系統函數的定義在第2章中，我們曾經討論過單輸入、單輸出LTI系統微分方程的一般形式為43301101TFBTFTFBTFYAYATYMMNN設輸入信號為因果信號，且系統初始狀態為零。對式433兩邊進行拉氏變換得01101SFBSSFBSYAYASMMNN整理上式得434SFSHFASSANNM011式中為系統零狀態回應，為系統函數，NM。為此可見系統函YFH數定義為系統零狀態回應的象函數與設輸入信號的象函數之比。系統函數SHS僅與系統本身結構和元件參數有關，與激勵包括初始值和回應的形式無關。系統函數的物理意義與系統的性質、激勵變數和回應變數不同而不同。SH例如RLC單口網路的端口電壓和電流，其中一個為激勵變數，另一SUSI個為回應變數，它們之比，即系統函數就有兩種情況H若為回應變數，為激勵變數，則系統函數為SUSI1ZIH這時系統函數就是這個單口網路即系統的輸入阻抗。1S若為激勵變數，為回應變數，則系統函數為UI2SYSH這時系統函數就是這個單口網路即系統的輸入導納。22、系統函數與單位沖激回應的關係STH在第2章中，曾經得出系統的單位沖激回應與輸入信號的卷積THTF是系統的零狀態回應，即TYFTFHF由卷積定理對上式進行拉氏變換得SFHSYF其中L435DTEHTS0上式表明系統的單位沖激回應的拉氏變換就是系統函數；反之，TSH是的拉氏反變換，即它們構成一對拉氏變換對THSH436THS由此可見，求系統函數有三種途徑H1在系統零狀態條件下，由系統微分方程的拉氏變換求得；SH2在己知系統的單位沖激回應條件下，是由的拉氏變換求THSHTH得；3在己知和條件下，由它們之比求得，即SFYFS437SHF如果因果系統是穩定的，即HS的特徵根RE，於是的收斂0MAXJSH域包括軸，因此有J438JSJ這樣就把系統傳輸算子、頻率特性和複頻域特性三者聯繫起PHS來了。另外，系統的單位階躍回應也可以很方便求出。我們知道，在時域，TS階躍回應是沖激回應的積分，即TDHS0由積分定理得4391SHS對上式進行拉氏反變換就可以得到單位階躍回應，即TSL1440TS1S3、系統函數的性質SH綜合上分析，系統函數具有下列一些性質S1系統函數取決於系統的結構和元件參數，與輸入信號無關。它確定系S統在複頻域的特徵；2系統函數是一個實係數有理分式，其分子、分母多項式的根為實數或H共軛複數；3系統函數為系統沖激回應的拉氏變換；S4系統函數是一個實係數有理分式，其分母多項式的根為系統的特徵根SH或稱為固有頻率。或者說，系統函數的分母多項式決定了系統的性質。SH5表徵系統特性的、和具有下列的相互轉換關係PJPSJP453電路的複頻域分析從例415可以看出，用拉氏變換求電路的回應，還要列寫電路的微分方程，這樣感覺不方便，而且列寫電路微分方程工作量大，要尋找更筒便的方法。如果在經典法的求解過程中，應用拉氏變換來求解微分方程和初始條件確定的時域回應，可使問題得到部分簡化。但是，微分方程特別是高階微分方程的建立及相應的初始條件的確定是很繁瑣的。為此，我們希望能找到一種更簡便的方法，它既不需要建立微分方程，也不需要確定非獨立的或高階的初始條件，與此同時，它又能利用我們以前學過的諸多電路定理及分析方法。這樣的方法稱之為複頻域分析法（亦稱運算法）。它將時域中的電路問題變換成複頻域中的電路問題，並在複頻中應用電路定理及分析方法求出相應的解答，再通過拉氏反變換得到電路的時域回應。由於需要將時域中的電路問題變換成複頻域中對應的電路問題，因此，首先必須確定時域中電路的基本定律和元件的電壓電流關係在複頻域中對應形式，下麵我們首先來分析電路元件的複頻域模型。1、電路元件的複頻域模型1電阻元件的複頻域模型在時域電路中，圖48（A）所示的電阻元件的電壓電流關係為TRITU圖48電阻及其運算電路對上式分別進行拉氏變換可得442SRIU上式即為電阻元件的電壓電流關係的複頻域形式，相應的運算電路如圖48B所示。可見歐姆定律在複頻域中仍然成立。2電感元件的複頻域模型ABC圖49電感及其運算電路在時域電路中，圖49（A）所示的電感元件的電壓電流關係為DTILTU或TLLLITI_001對這兩式分別進行拉氏變換可得LLLISIU（443）或SISLIL01（444）以上兩式即為電感元件的電壓電流關係的複頻域形式，與之相應的運算電路分別如圖49（B）和圖49C所示。其中，是時的與）SL0ISULI之比，稱為電感的運算阻抗；相應地，稱為電感L的運算導納；L1和反映了電感中初始電流的作用，分別稱為電感的附加電壓源0LISI和附加電流源。3電容元件的複頻域模型ABC圖410電容及其運算電路在時域電路中，圖410（A）所示的電容元件的電壓電流關係為01_0CTCUDITU或DTTIC對這兩式分別進行拉氏變換可得445SUISCUCC01或446CCCI以上兩式即為電容元件的電壓電流關係的複頻域形式，與之相應的運算電路分別如圖410（B）和圖410C所示。其中，稱為電容的運算阻抗，SC稱為電S1容的運算導納；而和則分別稱為電容的附加電流源和附加電壓_0CCUSC源。4耦合電感元件的複頻域模型AB圖411耦合電感及其運算電路在時域電路中，圖411A所示的耦合電感元件的電壓電流關係為DTILTIMU2121對這兩式分別進行拉氏變換可得（447）021211IISIISLU4482122LMIS以上兩式即為耦合電感元件的電壓電流關係的複頻域形式，與之相應的運算電路如圖411B所示。其中，稱為互感的運算阻抗；而和SM01MI都是互感的附加電壓源。02I此外，如受控源、理想變壓器等電路元件的特性方程的複頻域形式可以根據它們在時域中的特性方程經拉氏變換來求得，相應的運算電路則與其時域電路相似。這裏就不一一列舉了。2、電路的複頻域模型通過上述分析，我們已經獲得了理想電路元件的複頻域電路模型。這樣，時域電路變換為複頻域電路就比較容易了。其步驟如下1計算各儲能元件的初始條件，進而獲得其複頻域電路模型；2用理想電路元件（不包括電源）的複頻域電路模型代替該元件；3用、代替相應的及；SIUSSIU4用、代替原電路中相應的及。I3、基爾霍夫定律的複頻域形式下麵我們來推導基爾霍夫定律的運算形式。利用拉氏變換的線性性質容易推導得到基爾霍夫定律的運算形式。基爾霍夫電流定律的時域運算式為01KMI對上式進行拉氏變換，並應用拉氏變換的線性性質可得（449）1SIKM這就是基爾霍夫電流定律的複頻域形式，它表明對任一節點，流出該節點的所有支路電流的象函數代數和恒等於零。同理，可得基爾霍夫電壓定律的複頻域形式為（450）01SUKN上式表明對任意一回路，沿該回路的所有支路電壓的象函數的代數和恒等於零。4、電路的複頻域分析舉例除增加了反映初始條件的附加電源外，線性電路的複頻域法（或運算法）在形式上完全和正弦交流電路的相量法相似。相量法把待求的正弦量變換為相量複數，從而把求解正弦電流電路的問題歸結為求解以相量為變數的線性代數方程；運算法把待求的時間函數變換為對應的象函數，從而把問題歸結為求解以象函數為變數的線性代數方程。在相量法中，一旦求得相量之後，利用相量與正弦量的變換關係能方便地求得相應的正弦量；在運算法中，一旦求得象函數之後，利用拉氏反變換就可以求得對應的時間函數。所以相量法和運算法都有一個時域到頻域、頻域到時域的變換過程。當電路的所有的初始條件為零時，電路元件的電壓電流關係的相量形式與運算形式是類似的，加之基爾霍夫定律的相量與運算形式也是類似的，所以對於同一電路列出的相量方程和零狀態下的運算形式的方程在形式上相似，儘管兩種方程具有完全不同的意義。相量方程用來求解正弦穩態回應，它描述了電路的激勵相量與回應相量之間的關係；零狀態下的運算形式的方程用來求解線性電路的零狀態回應，它描述電路激勵與零狀態回應的象函數之間的關係。兩者在形式上相類似說明拉氏變換揭示了存在於電路中的時域特性與正弦穩態特性之間的緊密關係。在非零狀態條件下，電路方程的運算形式中還應該考慮附加電源的作用，當電路中的非零獨立初始條件考慮成附加條件之後，電路方程的運算形式仍然和相量方程相似，所以相量法中的各種計算方法和定理在形式上完全可以移用於運算法。由此可知，前面介紹的各種電路分析方法如支路法、網孔法、節點法、等效變換法等和電路定理如疊加定理、戴維南定理和諾頓定理等形式上完全可以運用於運算法之中，因而，可以根據運算電路列出必要的代數方程，解出待求回應的象函數，再利用拉氏反變換即可以求出時域的電路回應。採用這種分析方法，不必列出電路的微分方程，而且初始條件已考慮在附加電源之中，不需要確定積分常數。所以該法比時域分析中的經典法要優越得多。其一般步驟如下1確定動態元件的初始條件；2將時的時域電路變換成相應的運算電路；0T3用以前學過的任何一種方法分析運算電路，求出待求回應的象函數；4對待求回應的象函數進行拉氏反變換，即可確定時域中的待求回應。下麵舉例說明其解題方法。46系統函數HS的零、極點分析461系統函數HS的零、極點一個系統在複頻域內的輸入、輸出特性完全由其系統函數以多項式之SH比的形式出現，即011SDNASSABBSHNNM的分母多項式DS0的根稱為系統函數的極點，而的分子多項式NSSH0的根稱為系統函數的零點。極點使HS變為無窮大，而零點使變為零。利用系統函數的零、極點，又可以把的分子、分母改寫為線性因數的S乘積如下451NPPMIINMSZASSZH10210式中Z1、Z2、ZM為系統函數的零點；S1、S2、SN是系統函數的極點，為一常係數。如的零點ZI，極點SP和常係數A0已知，則系統ABANM0SH函數就完全確定。其中零、極點對系統特性起著主要作用若把的零、極點SH一一表示在S平面上，則稱為系統函數的零極點圖其中零點用”表示。若為N重零點或極點,可在其旁注以N。例如某系統函數1213541632224JSJSSSH故其極點為,二階極點1一階共軛共點23JS零點為,一階零點01Z,一階零點32Z該系統函數的零、極點圖示於圖419。為了直觀起見，現以圖420所示的RLC並聯電路的阻抗函數為系統函數來說明零、極點圖的意義。該系統函數45211212PSCLRSCIUSH這裏A01/C，S0為零點，P1、P2為極點。當P11J1，P21J1時，阻抗函數系統函數為無窮大；在零點處，阻抗函數為零。由於阻抗函數的SH模是S的函數，但，即阻抗函數的模同時是和兩個變數的函數。J把、看成三維空間，所以可在三維空間中把它們表示出來，如圖421所示。462的零、極點分佈與時域特性的關係SH1、的極點分佈與時域特性的關係由於複頻域的系統函數對應著時域系統的單位沖激回應，故極點SHTH在平面的位置確定了的模式。設僅有個單極點，則有STHSNJNJSKS1對應的單位沖激回應為TH1TEKTNJSJ可見，的每一個極點對應的一個。若具有下麵的部分SHJTHTESJSH分式展開形式20201ASSASH對應的單位沖激回應為THSINSIN00TETETATAT2、的零點分佈與時域特性的關係SH的零點分佈只影響單位沖激回應的幅值和相位，不影響單位沖激TH回應的模式。例如，設TH23SH對應的零點為，而極點，對應的單位沖激回應1Z23,21JSJS為TH4532COS3TETT若改為SH231S即極點不變，零點改為，則1Z2233SSSH其反拉氏變換為454452COSIN03TTETHTT比較式454、式453，可知，系統零點改變後極點不變，只是單位沖激回應的幅值和初相位發生變化，但不改變單位沖激回應的模式。THTH463HS的零、極點分佈與頻域特性的關係對於圖424所示RLC串聯電路，設零狀態回應為U2，可求得系統函數電壓傳輸函數為455LCSRSLRSUH11212如果輸入為正弦電壓,，TUUCO11則正弦穩態回應必為同頻率的正弦電壓。2因而可用相量法求其正弦穩態下的輸出電壓相量與輸入電壓相量之比為2U1圖424RLC串聯電路456LCJRJJLRUJH11212這裏,反映了網路或系統在正弦穩態下的傳輸函數隨頻率變化的規律，JH故稱為系統的頻率特性或頻率回應。比較式455和456，可見，在正弦穩態情況下，系統的頻率特性可以直接由系統函數運算式中令得到，即JSHJS457JSJ一般是複數，可表示為JHEJHJJ通常把隨變化的關係稱為系統的幅頻特性，隨變化的關係稱J為相頻特性。由於是在時的一個特例，因此可以推知系統的JHSJ頻率特性與相應的零、極點有著密切的關係。由式451，將S換為，SJ有458NPPMIISJZAJH10由此可寫出系統的幅頻特性為NPPMIISJZAJH10相頻特性為NPPMIISJZJ11ARCTARCTN為了更為直觀地看出零、極點對系統頻率特性的影響，還可以通過在S平面上作圖的方法定性繪出頻率特性。觀察式458，其分母的任一因數可以用從極點引向虛軸上動點的向量表示；分子中任一因數SJPSPJMP可以用從零點引向虛軸上動點的向量表示，如圖425所示向ZIZINI量的長度分別為和,向量與實軸間的夾角分別為和，於是有MPNIPINPMIIMAAJH10210NPMINM1212當角頻率從零起漸漸增大並最後趨於無限大時，對應動點自原點沿虛軸向J上移動直到無限遠。在此過程中各個向量的長度和夾角也隨之改變，因而可用圖解的方法，定性地畫出和隨變化的曲線來。JH47系統穩定性分析471系統穩定性準則1、系統穩定性的時域準則直觀地看，當一個系統受到某種干擾信號的作用時，這個系統偏離了原來的工作狀態，當干擾信號消失後，這個系統又恢復到原來的工作狀態，則稱這個系統是穩定的，否則，這個系統不穩定。我們需要的是一個穩定系統，因為只有在系統穩定狀態下系統才能正常工作。這就是我們討論系統穩定性的實際意義。那麼，什麼是系統的穩定性我們需要給定一個確切的定義。一個系統如果它對任何有界輸入的回應是有限的，那麼這個系統就形成漸近穩定，或者說是穩定的。即輸入信號為，且滿足下麵條件TF459FMTF若系統的回應為460YT這裏，、為有限正數，則此系統是穩定的。FMY上述定義是很難檢驗的，因為我們不可能檢驗每一個輸入信號是否有界。但我們可以改變一種說法，即一個系統的穩定性準則可以等效於461MDTH0其中，為有限正數；為系統的單位沖激回應。上式表明如果一個系統的單位沖激回應絕對可積積分值是有限的，則此系統是穩定的。這是因為線性時不變系統的回應為462TFHTY將式459代入上式並取絕對值得FMT即DHDHTYFF00將式461代入上式得463TF上式右邊當然還是有限正數。這表明如果一個系統的單位沖激回應絕對可積積分值是有限的，任何有界輸入信號的回應也有界，則此系統是穩定的。這種說法等效於式461的系統穩定性準則。2、系統穩定性的複頻域準則我們知道THSH即系統的單位沖激回應的拉氏變換就是系統函數。這樣，判定式SH461是否成立，取決於是否有界，判定是否有界，可以由系統函數TTH的極點分佈情況來確定。例如給出一個系統函數為SH201SSH顯然，這個系統不穩定，因為系統函數有位於右半S平面的極點。也就是SH說，其系統的單位沖激回應無界，不滿足式461。因此，在輸入信號有界的情況下，我們通過系統函數的極點分佈情況來確定系統的穩定性。其準則是1如果系統函數的所有極點都位於左半S平面，這個系統是漸近穩SH定；2如果系統函數有簡單極點位於軸上，其餘極點都位於左半SJ平面，這個系統是條件穩定也稱為臨界穩定；3如果系統函數有多重極點位於軸上，這個系統是不穩定的；SHJ4如果系統函數有一個或一個以上的極點位於右半S平面，這個系統是不穩定的。總之，系統的穩定性取決於系統本身的結構和元件參數，與輸入信號無關。我們規定輸入信號有界，是因為如果輸入信號無界，雖然系統本身穩定，其回應也是無界的。這種情況實際是不存在的，因為無界信號是物理不可實現的。在實際工程中，我們規定輸入信號有界，指的是輸入信號的幅值在一定的範圍內；輸入信號的頻率在一定的範圍內，輸入到系統的信號不能超過所規定的範圍。至於輸入信號的幅值、頻率範圍的限值，是根據實際工作需要而給定的。472系統穩定性判定方法實際上，為了判定系統的穩定性，只需判定的極點是否落在S左半平SH面即可。但是，當的階數大於三以上，求極點就不是一件容易的事了，必SH須尋找其他方法來判定系統的穩定性，其中羅斯霍爾茨準則和謝聶準則就是最常用的兩種方法。1、羅斯霍爾茨穩定性判定法系統函數的一般形式是SASSABBNNMMSDNH011式中的M和N為正整數，且。如果系統穩定，則的所有極點全部D落在S左半平面。羅斯霍爾茨準則無需直接去求這些極點，而是另辟新徑。羅斯霍爾茨準則具體內容在這裏不作祥細討論，有興趣的讀者可以考參文獻1。這裏僅給出幾個有實用價值的結論1系統穩定的必要條件中全部係數不缺SDNKA,210,項且同符號，即各係數中不存在零值項，而且要麼全為正；要麼全為負值。2對於一階、二階系統二階重根系統除外