高等数学-微积分12下18

第五节对坐标的曲面积分一、引入问题怎样计算不可压缩流体流过某曲面的流量计算自来水的流量，设水速为，水管的截面积为，则流VS量为。（截面与速度方向垂直）（如图1）VS若考虑的截面不与速度垂直其面积为法向量为，此时流AN量还是NVVA,COS有向曲面我们考虑一般曲面，取定了法向量即选YXZ,定了侧的曲面称为有向曲面。正侧上侧、右侧、前侧；负侧下侧、左侧、后侧。对于闭曲面分为内侧、外侧。如果速度不是常量（与时间无关），流过某曲面（非平面），怎么求流量（如图2）速度为，流过曲面的流量ZYXRZYXQZPV,1化整为零把分割成小块，NNIS,3212近似代替在中任取一点这一点处的单位法ISIIZYX,向量作为一小片的法向量设为，流过IIIINCOS,COSIS的流量为IIIIIIISRSQPVNCOS（注意符号）XYIXYIYZIS3积零为整；NIXYIXYIYZIS14无限趋近取为这小块曲面面积的最大值NIXYIXZIYZISRQSP10LM记为DXYZDY二、第二型曲线积分的定义设是定义在可求面积的Z,YXR,ZQ,ZYXPA有向曲面上的向量值函数1）化整为零把分割成小块，NNIS,32,12）近似代替在中任取一点这一点处的单ISIIZYX,位法向量作为一小片的法向量设为I，做乘积IIINCOS,COSIIIIIIISRSQSPACOSS（注意符号）XYIXYIYZI3）积零为整；NIXYIXYIYZISS14）无限趋近取为这小块曲面面积的最大值，如果对于任意的分割，任意取的点极限IIZYX,NIXYIXZIYZISRQSP10LM则称此极限为向量值函数在曲面上的积分。A记为RDXYQZPDY注如改变曲面的侧，则积分值反号。三、怎样计算第二型曲面积计算，关键是处理把方程可化为，PDYZZYX,并取前侧NIYZIIISZYDYZ10,LM其中为在面上的投影YZDDP,YZDOZ例1计算曲面积分，其中是球面的XYZD122ZYX外侧并满足的部分。0,X解把曲面方程表示成关于的函数的形式，要做到这ZYX,一点必须把曲面分成两块，其方程分别为21和；YXZ21YXZ它们在面上的投影为同一平面区域XOY0,2YXYXDXY按题意取上侧，取下侧，因此1221XYZDXYZZDXYXYDDXY2211XYD210221SINCORRD1522SIN1030DRRD点评在计算第二类曲面积分时，首先要确定积分曲面向那个坐标面上投影，主要看积分表达式来确定，如例1中积分表达式中有所以应向面上投影；其次把曲面方程化DXYXOY为显函数形式，如例1中确定向面上投影后，曲面方程应化为关于的函数的形式，如果不能用一个显函数表ZYX,示就应把曲面分割成若个块；最后把曲面积分化为二重积分。例2计算，其中为平面XZDYYXDZ在第一卦限部分的上侧。63ZYX解1）在面上的投影为O且，曲面指定62,0,ZYZYDYZ32ZYX方向为前侧，所以63232603YDDZDYZXDYZYZ2）在面上的投影为且O,0,XXZDXZ，曲面指定方向为右侧，所以3ZXY3232602XDDZDXZDXZ3）在面上的投影为OY且，曲面指定63,0,YXXZXYYXZ3方向为上侧，所以326236230XDDYDXYXXZDYY原式。1例3计算，其中，DXYRZYDZRX33322ZYXR为球面的外侧。22A解由于积分曲面和被积函数具有对称性，所以有DXYRZRYDZRX333因此我们只需计算，此时把曲面方程化为关于3Z的显函数，必须要分成上下两块YX,取上侧；取下221YXAZ222YXAZ侧，它们在面上的投影都为，所以OYYXDY12333333DXYRZRZDRZDXRZDZRXXYXYDDXYAAY3223224660223223RDDDXY点评在计算第二类曲面积分时，一定要分析清楚积分曲面和被积函数的一些特征，如对称性等，以便简化计算过程。四、两类曲面积分之间的联系RDXYQZPDYINIIIISRQP10COSSCOSLMDSRQPCOSCOS例4计算，其中是锥面DXYZYDZXX2被平面所截下的有限部分下侧。2YZ1解我们考虑把以上曲面积分化为第一类曲面积分，此曲面上一点处的法向量为因为是取下侧1,22YXYX，所以轴的坐标应为负值。此法向量的单位向量为Z。且此曲面在面上的投影1,222YXYXXOY为圆盘,DDSZDXYZDZX22310322223RYXYD42点评有时运用第二类曲面积分的基本方法计算非常繁杂，如例2，用基本方法做要考虑曲面对三个坐标面的投影，计算量很大，若把它转化为第一类曲面积分可大大简化计算，如例3。在转化为第一类曲面积分时，关键是怎样确定指向定向曲面所指定的一侧的法向量，基本方法如下1）如果指