高等数学-华南理工大学高等数学竞赛2008解答

华南理工大学2008年数学竞赛试卷一、单项选择题（本大题共15分，每小题3分）1若，则在点处（C）713LIM10XFFFX1A）连续，但不一定可导；B必可导，但；0FC，但不是的极值；10F1FFXD，但是的极小值2设，则（D）2,YTXFXYED0,1XYFA）；B；C；D12E2E3若函数在点处及都存在，则在点处（C）FX00FX0FFX0A）不一定有定义；B有定义，但不一定连续；C连续，但不一定可导；D必可导14函数在点处沿的方向导数（D）COSYUXEZ0,P2,1L0PULA）；B；C；D3IJ3IJ5、给定函数满足方程，其中的取值情况应该是（1FXC21XFFTDCB）A可取任意常数；（B）；（C）；（D）C2C二、填空题（本大题共15分，每小题3分）若在连续，则2SIN1,0,0AXEFX,A2设，则的间断点为2LIM1NXFF0X_姓名学号学院专业座位号密封线内不答题密封线线曲线的渐近线方程为1LN0YXEX1YXE已知，且，则XXFFF2LN5设，其中具有二阶连续导数，则1ZFYXY,F2ZXYYF三、（本题14分）设函数在有二阶连续导数，且，而FX0,101FF，求证0,1FX104DF证明由已知，存在使,CMAX0CFM所以1100FXDFDM因为在上满足拉格朗日定理条件，F,C所以，即1100,FFFCC1FCMF类似地，因为在上满足拉格朗日定理条件，FX,所以，即2211,1FCCFC21FC于是211120XFXDFXDDFFFMM4CC四、（本题14分）一细长梁，两端固定，受力变形后其形状如图中虚线所示（图略，其中中点与端点都有水平切线）。请根据变形后曲线的特点，写出可能描写曲线的方程YFX参考答案或42021681FAL24028LN1AXLFXE或或002402816LN1AAFXEXEXL02COS1AXFXL五、（本题14分）计算曲线积分，其中为圆周23LDYIL上依逆时针方向自点到点的一段有向曲线2210XY,1,解由于在原点以外有22233YXYXXY由曲线积分与路径无关的条件，可以改换路径，参数化为21或，51323COS,6INXTY723COS,6INXTY1365429IDT六、（本题14分）计算曲面积分1COSCOSZXIEXDYZEZDY，其中是由双曲线绕轴旋转所生成之旋转曲面，其法2935YXY向量与轴夹锐角Y解是右侧229Z取方向与Y轴正向一致1,16YX应用高斯公式5223116SINSI5ZXYDDIXDVDZX523116945YD另外由于关于XOZ和YOZ对称，由第二型曲面积分的对称积分性质，可知24422001199IDZXRDRY七、（本题14分）设平面上的两条曲线都经过点，已知上点的纵坐12,L1,1L标与横坐标之比关于的变化率等于2；而上点的纵坐标与横坐标之YXXYX乘积关于的变化率也等于2求有这两曲线所围成的平面图形的面积。X解由已知，212,1DYLYX12,1DXYLYX2129LN4ADX备选题1、（本题14分）设有半径为的球面，其中心恰在给定的球面R上，问为何值时在定球面内部的面积最大并求这个最大值22XYZA简答设球心为，则球面为0,22XYZAR4222221,ZARXYDR1323222041,7XYDRDASZDS备选题2、（本题14分）设已知连接两点的,0,1,AB直线段，求线段绕轴旋转所得倒的曲面的面积ABZ解的方程为，