高数习题答案- 2005-2006第二学期试卷分析

一、选择题（每小题3分，共15分）1）设，且可导，则为（）YZXFFUZXYA、B、22C、D、XYZ分析2,ZYYFFXFFXX，应选D。XYFZ2）从到一平面引垂线，垂足为点，则此平面方程为（,1P0,25M）A、B、360XYZ360XYZC、D、22分析向量是此平面的法向量，由点法式方程，此平面方程为2,36PM，应选B。050360XYZXYZ3）微分方程的通解为（）1XA、B、21LNYC12LNYXCC、D、2XXX分析，应选D。112LL1YYYX4）设平面曲线为下半圆周，则曲线积分等于（L22LYDS）A、B、C、D、234分析曲线参数方程为，COS2INXY，应选A。2221SINCOSLDSD5）累次积分（）24121XXYYDEDEA、B、C、D、E34分析作直线,2XXXY和曲线，它们所围成的区域为积分区域。Y21,XY原式2211YYDEED，应选A。221YE二、填空题（每小题3分，共15分）1）已知单位向量适合等式，则,ABC0ABCABCA。分析因为，所以02，又因为是单位向量，因此20ABCABCA,ABC32）设，则。2YUXD分析221LNYXD3）曲面在点处的切平面方程是3XYZA0,A。分析设，3,FXYZ2,3,3XYZFZXFYZ220,0,0XYZAAA所求切平面方程为230XZX4）微分方程的特解形式为。2XYE分析解特征方程得，是单特征根，所以微分0R1,3R1方程由特解形式。XYABE5）设是球面的外侧，则曲面积分的值22XYZA322XDYZXZDYA为。分析因为，所以22XYZ33221DXDYXDYZXZDYAA再利用高斯公式得2234XYZAXDYZXZDZA三、A（非化工类做本题，化工类不做本题）（本题7分）求幂级数的收敛域及其收敛域上的和函数。13NX解，此幂级数收敛半径为11LIMLI33NN3当时，发散；当时，收敛X1NXX113NNX此幂级数的收敛域为。3,设，1NXS11133NNXXSXX00LNXXSTSDTTLN33,0,1XSXB（化工类做本题，非化工类不做本题）（本题7分）一条直线在平面上，且与另两条直线及20XY114YZL（即）都相交，求该直线方程。24120XYZL2421XZLY解设所求直线与已知直线的交点分别为122,4,1TTTT而这两点一定在已知平面上，所以，所求直线方程为120,3TT2XYZ四、A（非化工类做本题，化工类不做本题）（本题7分）求函数在处的幂级数展开式。LN4FX01解011LN455NNXXX其中，上式两边积分得5X110LN4LN4LN5LN5XXTTDDT其中，10L5N101LN515NNXFXX211100L5NN11111LN55NNNXXX其中，1162L5NN5B（化工类做本题，非化工类不做本题）（本题7分）求函数在点处的梯度及沿梯度方向上的方向导数。223UXYZ01,M解，所求梯度为,3XYZU2,11,241UL五、应用题（本题8分）做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能用料最省解设圆柱形桶高为米，底面半径为米，则有HX221H再设表面积为平方米，此题即求表面积的最小值Y22X332140YXX当底面半径为时用料最省。31六、计算题（本题8分）设积分域为所围成，试计算二重积分D24,0,XYXY。SIND解22200COSISIN1COS4DRXYRD七、计算题（本题8分）计算三重积分，式中为由所确定的圆台体。ZDV21ZXY解方法一、用截面法2423115ZZV方法二、用球面坐标202,0,4COSCS223COS4413300INSIINOCZDVDDD4220152COS88八、A（非化工类做本题，化工类不做本题）（本题8分）将函数展成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围。12XFX解22200111COSCOSSIN2NNXNXXAFDD222001IICONNBF其中或。1SIN2NXFX0XB（化工类做本题，非化工类不做本题）（本题8分）设在上有连续的一阶导数，求曲线积分F,2211LYFXDYFXDY为从点到点的直线段。L3,A,B解设21,XPXYFXYQXYFY21FF此积分与路径无关2122233112LYFXXDYFXDYFDFYD112332332FF23231FYDFY九、计算题（本题8分）计算曲面积分，其中为上半球面。XZS220ZXYZR解222222,XYZRYR21XYXYRXYDSXZDX222232XYRXYRRXYDDXY注这里利用了对称性。十、计算题（本题8分）求微分方程的解。COS2TAN20,1XXDYXEY解此为一阶线性微分方程。方法一、利用公式（略）方法二、常数变异法。先求的通解，变量分离两边积分得TAN0DYX1COSLLSIINSINXCDYDX令，把代入原方程得CUSIUXCOSCOS2TAN02TANSIININCOSXXXUXEECOSCOSXXUEUC原方程的通解为，由初值条件得COS2INXY21XYC的解为COS2TAN0,1XXDXEYCOSINXE十一、证明题（本题4分）试证明在不连续，但存在一阶偏24,0,0YXYFX,0导数。解当时，极2YKX2242000LIM,LILIM1XXXYYKFK限与有关，所以在不连续，,F,000,LILIXXXFFX0,00,LIMLIM0YYYFYFF十二、计