高等数学-微积分12下3

第三节全微分及其应用一、全微分的概念及其计算1）、自变量增量和函数增量。设函数在点的一00,YXP邻域内有定义，对于此邻域中的任一点，我们称为自变量的增量，我们称00,YX00,YXFYXFFYFZ为全增量（即函数增量）。定义1如果函数在点的全增量YXFZ,00,YXP00,YXFFYXFZ可以表示为其中、22YXYBXAZAB只与点有关,则称函数在点处可00YXPFZ,00,YXP微。而称为函数在点的全微YX分，记为，即。DZDBA注为时，的高阶22YX0,YX22YX无穷小，即。LIM220YXYX1）全微分和连续的关系定理1（可微分的必要条件）如果函数在点YXFZ,可微分，则函数在点连续。00,YXPYXFZ,00P证明若函数在点处可微,即YXFZ,022YXYBXAZ0000,LIMLIMLI000YXFFFYXFYXFY2000LILI,XYBXAFZFYXYX0,F即函数在点连续。YXFZ,00,YXP结论可微一定连续。2）偏导数和全微分的关系。定理2（可微分的必要条件）如果函数在点YXFZ,可微分，则函数在点的偏导数00,YXPYXFZ,00P存在，且函数在点的全00|,|YXYXZF,YX微分为。YZDZXYX00|证明设，我们只需证明22BA，。设则有，XZY0|ZYX0|0YXAZXFF00,两边同除以得XXAZYFYXF000,XXYFFXZXXYLIM,LIM|00000AAAXXLILI00设同理可证。0XBYZX0|注全微分。DDZ例1函数在点处00,22YXYXF0,偏导数，且，0,XF,YF,LIM20FXYX即在点在点处连续，,220,0,YXYFXFZYX不存在220LIMYX结论偏导数存在连续也不一定可微。定理3（可微分的充分条件）如果函数在点YXFZ,的某邻域内偏导数存在，且00,YXPFYXF,在点连续，则函数在点FFYX,00,XPYXFZ,可微分。00,证明000,YXFYXFZ00,YXFFYXF000YXFXF固定函数是关于的一元函数，且当充分小时函数在闭区Y间（或）上连续可导；固定函数是关于的一0,XX,0XY元函数，且当充分小时函数在闭区间（或）上Y0,Y,0连续可导。根据拉格朗日中值定理，存在（或01,X）和（或）使得X,0102,YY,02XFFYFX,10YYX200因为两偏导数在连续，且当（或）时有,XP0X0Y（或），所以01X02Y011,LIM,LI010YXFYFFXYXY022,LI,LI00FFFYYXYX故有，01,YXFYFX020,YXFXFY其中当，时（即）有。因此有,0YXYXFYXFZY00,剩下只需证明。LIM220YX由即有以上结论。1,12222Y如果函数在区域内每一点都可微分，则称XFZ,D此函数在区域上可微分，其全微分记为D。DYZXDYXFDYXFDZY,类似可定义二元以上函数的全微分，例如如果函数可微分，则及其微分微ZYXFU,。DZUYDXU例2求函数在点处的全微分。2LNZ,1解因为,1222YXYX222Z5|,51|212YXYXZ因此有。DDZ例3求函数的全微分。XYYXF2,3解DYDDYDFYX,例4求函数的全微分。ZEU2SIN2解DZEDYZYEZDXXEDZUYDXUYXY2SINSIN2SIN2222例5试证明函数在点001I,XF3,处可微。证明，01SIN9LIM3,0220XFXX03,YF在点处函数全增量为,