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一、填空题（每小题4分，共20分）1）。039LIMXYXY091LIM63XYXY2,其中。2LDSA2LADS22LYA3）向量场的散度为。XYIZJZK34）在点处。2UXY0,1DU23320011XXYYDD5）交换二次积分的积分次序。2113200,XXDFYDFYD1320,YFXD二、（本题8分）设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。,ZFXF2ZY解2223212122,4YFXZYYYFFFFFFXXX三、（本题8分）求函数在圆域的最大值和最小值。2,F解方法一当时，找驻点24XY，得唯一驻点0,0XFF0,当时，是条件极值，考虑函数2Y，解方程组22,4FXXYXY可得204YX2,0X所求最大值为，最小值为。方法二设，则且，这变22,ABY,FXYAB4,0,AB成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为。方法三圆域可写成24XY2COS01,2INXRRY2,COSFR最大值为4，最小值为。四、（本题8分）求锥面被柱面割下部分曲面面积。2ZXY2XY解21XYDDDD五、（本题8分）计算。22200XAZYZ解此三重积分积分区域在面上的投影为，即圆域OY2,0XYX的上半部分，设此部分为，则2XYXY原式2222COS23200416COS9XYDAAADXYRDD六、（本题8分）计算曲面积分，其中是半球面IZYZXY的上则。22ZRXY解设为，并取下则，是围成的区域，由高斯公式120,ZR1,得原式12YDVXZYDXZY22233440XYRR七、（本题7分）计算曲线积分，其中表示包含点在内的简21LXDYXAL1,0单闭曲线，沿逆时针方向。解在的内部作圆并取逆时针方向，L221CXYR的参数方程为CCOS0INRY由格林公式有222011LCXDYXDYXDA八、（本题7分）求如下初值问题的解21,Y解此为可降阶微分方程第三种类型。设，则，原方程化为PYDPY21P变量分离两边积分得21DY1LNLPC由可得1,0Y1C2Y解可得，21Y21DX2LNYC由可得1,0Y1所求解为。2LYX九、（本题7分）求方程的通解。24E解先求的通解，解特征方程得特征根，所以0Y240R2R的通解为421XXCE因为是单特征根，所以原方程有特解形式，代入原方程得22XYAE2144XAE原方程通解为21XXYC十、（非化工类做）（本题6分）证明阿贝尔定理如果幂级数收敛，则0NAX适合不等式的一切幂级数都绝对收敛；如果幂级数发散，0X0NXA10N则适合不等式的一切使幂级数发散。00N十一、（非化工类做）（本题7分）将函数展成余弦级数。21FXX十二、（非化工类做）（本题6分）求幂级数的收敛半径和收敛域。13NN十、（化工类做）（本题6分）计算二重积分，其中为圆域。DXYD22XYA十一、（化工类做）（本题7分）求由方程组所确定的及2230ZXYZYX的导数及。ZXDYZX十二、（化工
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