2015中考分类汇编图形的相似专题复习(含答案解析)版中等难道

图形的相似专题复习教师版一选择题（共15小题）1（2014包头）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DEBC，EFAB若AD2BD，则的值为（）ABCD2（2014牡丹江）若XY13，2Y3Z，则的值是（）A5BCD53（2015株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB1，CD3，那么EF的长是（）ABCD4（2014宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，AB8，AD3，BC4，点P为AB边上一动点，若PAD与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A1个B2个C3个D4个5（2015呼伦贝尔）如图把ABC沿AB边平移到ABC的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是ABC面积的一半，若AB，则此三角形移动的距离AA是（）A1BC1D6（2015大庆模拟）如图，在ABC中，D是BC的中点，DEBC交AC与E，已知ADAB，连接BE交AD于F，下列结论BECE；CADABE；AFDF；SABF3SDEF；DEFDAE，其中正确的有（）个A5B4C3D27（2014莱芜）如图，在ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DEAC，若SBDESCDE14，则SBDESACD（）A116B118C120D1248（2014荆州）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使ADC与ABD相似，可以添加一个条件下列添加的条件其中错误的是（）AACDDABBADDECAD2BDCDDCDABACBD9（2014丰南区二模）如图，等腰直角ABC的直角边长为3，P为斜边BC上一点，且BP1，D为AC上一点，若APD45，则CD的长为（）ABCD10（2015甘南州）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设OCD的面积为M，OEB的面积为，则下列结论中正确的是（）AM5BM4CM3DM1011（2015青海）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）ABCD12（2014宁波）如图，梯形ABCD中，ADBC，BACD90，AB2，DC3，则ABC与DCA的面积比为（）A23B25C49D13（2014盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AECF于点H，AD3，DC4，DE，EDF90，则DF长是（）ABCD14（2014南平）如图，ABC中，AD、BE是两条中线，则SEDCSABC（）A12B23C13D1415（2015江夏区模拟）如图所示，已知点A（0，0），C（0，1）在ABC内依次作等边三角形，使一边在X轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个AA1B1，第2个B1A2B2，第3个B2A3B3，则第N个等边三角形的边长等于（）ABCD二填空题（共6小题）16（2014湖州）如图，已知在RTOAC中，O为坐标原点，直角顶点C在X轴的正半轴上，反比例函数Y（K0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD若OCDACO，则直线OA的解析式为17（2015连云港）如图，在ABC中，BAC60，ABC90，直线L1L2L3，L1与L2之间距离是1，L2与L3之间距离是2，且L1，L2，L3分别经过点A，B，C，则边AC的长为18（2014滨州）如图，平行于BC的直线DE把ABC分成的两部分面积相等，则19（2014海南）如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆O的直径，且AB4，AC5，AD4，则O的直径AE20（2014牡丹江）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB2M，它的影子BC16M，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM12M，MN08M，则木竿PQ的长度为M21（2014咸宁）如图，在ABC中，ABAC10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），ADEB，DE交AC于点E，且COS下列结论ADEACD；当BD6时，ABD与DCE全等；DCE为直角三角形时，BD为8或；0CE64其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）三解答题（共9小题）22（2015泰安模拟）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为T秒（1）求直线AB的解析式；（2）当T为何值时，APQ与AOB相似（3）当T为何值时，APQ的面积为个平方单位23（2014义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P（1）若AECF；求证AFBE，并求APB的度数；若AE2，试求APAF的值；（2）若AFBE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长24（2014梅州）如图，在RTABC中，B90，AC60，AB30D是AC上的动点，过D作DFBC于F，过F作FEAC，交AB于E设CDX，DFY（1）求Y与X的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求X的值；（3）当DEF是直角三角形时，求X的值25（2015泰安）如图，在ABC中，ABAC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且APDB（1）求证ACCDCPBP；（2）若AB10，BC12，当PDAB时，求BP的长26（2015湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证ABEDEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长27（2014泸州）如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2CECA（1）求证BCCD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AFCD交CD的延长线于点F，若PBOB，CD，求DF的长28（2015武汉）已知锐角ABC中，边BC长为12，高AD长为8（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K求的值；设EHX，矩形EFGH的面积为S，求S与X的函数关系式，并求S的最大值；（2）若ABAC，正方形PQMN的两个顶点在ABC一边上，另两个顶点分别在ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长29（2015温州模拟）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F问（1）图中APD与哪个三角形全等并说明理由；（2）求证APEFPA；（3）猜想线段PC，PE，PF之间存在什么关系并说明理由30（2014柳州）如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQAB的延长线于点Q（1）求线段PQ的长；（2）问点P在何处时，PFDBFP，并说明理由图形的相似专题复习教师版参考答案与试题解析一选择题（共15小题）1（2014包头）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DEBC，EFAB若AD2BD，则的值为（）ABCD【考点】平行线分线段成比例菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】根据平行线分线段成比例定理得出2，即可得出答案【解答】解DEBC，EFAB，AD2BD，2，2，故选A【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例2（2014牡丹江）若XY13，2Y3Z，则的值是（）A5BCD5【考点】比例的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据比例设XK，Y3K，再用K表示出Z，然后代入比例式进行计算即可得解【解答】解XY13，设XK，Y3K，2Y3Z，Z2K，5故选A【点评】本题考查了比例的性质，利用“设K法”分别表示出X、Y、Z可以使计算更加简便3（2015株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB1，CD3，那么EF的长是（）ABCD【考点】相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】易证DEFDAB，BEFBCD，根据相似三角形的性质可得，从而可得1然后把AB1，CD3代入即可求出EF的值【解答】解AB、CD、EF都与BD垂直，ABCDEF，DEFDAB，BEFBCD，1AB1，CD3，1，EF故选C【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现1是解决本题的关键4（2014宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，AB8，AD3，BC4，点P为AB边上一动点，若PAD与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A1个B2个C3个D4个【考点】相似三角形的判定；直角梯形菁优网版权所有【分析】由于PADPBC90，故要使PAD与PBC相似，分两种情况讨论APDBPC，APDBCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数【解答】解ABBC，B90ADBC，A180B90，PADPBC90AB8，AD3，BC4，设AP的长为X，则BP长为8X若AB边上存在P点，使PAD与PBC相似，那么分两种情况若APDBPC，则APBPADBC，即X（8X）34，解得X；若APDBCP，则APBCADBP，即X43（8X），解得X2或X6满足条件的点P的个数是3个，故选C【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键5（2015呼伦贝尔）如图把ABC沿AB边平移到ABC的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是ABC面积的一半，若AB，则此三角形移动的距离AA是（）A1BC1D【考点】相似三角形的判定与性质；平移的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出AB，再求AA就可以了【解答】解设BC与AC交于点E，由平移的性质知，ACACBEABCASBEASBCAAB2AB212ABAB1AAABAB1故选A【点评】本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等6（2015大庆模拟）如图，在ABC中，D是BC的中点，DEBC交AC与E，已知ADAB，连接BE交AD于F，下列结论BECE；CADABE；AFDF；SABF3SDEF；DEFDAE，其中正确的有（）个A5B4C3D2【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】要解答本题，首先由中垂线的性质可以求得BECE，利用外角与内角的关系可以得出CADABE，通过作辅助线利用等腰三角形的性质和三角形全等可以得出EFFHHB，根据等高的两三角形的面积关系求出AFDF，SABF3SDEF，利用角的关系代替证明54，从而得出DEF与DAE不相似根据以上的分析可以得出正确的选项答案【解答】解D是BC的中点，且DEBC，DE是BC的垂直平分线，CDBD，CEBE，故本答案正确；C7，ADAB，8ABC67，8C4，C467，46，即CADABE，故本答案正确；作AGBD于点G，交BE于点H，ADAB，DEBC，23，DGBGBD，DEAG，CDECGA，BGHBDE，EHBH，EDA3，51，CDCGDEAG，HGDE，设DGX，DE2Y，则GBX，CD2X，CG3X，2X3X2YAG，解得AG3Y，HGY，AH2Y，DEAH，且EDA3，51DEFAHFAFDF，故本答案正确；EFHFEH，且EHBH，EFBF13，SABF3SAEF，SDEFSAEF，SABF3SDEF，故本答案正确；126，且46，23，534，54，DEFDAE，不成立，故本答案错误综上所述正确的答案有4个故选B【点评】本题考查了中垂线的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的中位线及相似三角形的判定及性质和等积变换等知识7（2014莱芜）如图，在ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DEAC，若SBDESCDE14，则SBDESACD（）A116B118C120D124【考点】相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】设BDE的面积为A，表示出CDE的面积为4A，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后求出DBE和ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出ABC的面积，然后表示出ACD的面积，再求出比值即可【解答】解SBDESCDE14，设BDE的面积为A，则CDE的面积为4A，BDE和CDE的点D到BC的距离相等，DEAC，DBEABC，SDBESABC125，SACD25AA4A20A，SBDESACDA20A120故选C【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用BDE的面积表示出ABC的面积是解题的关键8（2014荆州）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使ADC与ABD相似，可以添加一个条件下列添加的条件其中错误的是（）AACDDABBADDECAD2BDCDDCDABACBD【考点】相似三角形的判定；圆周角定理菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】由ADCADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用【解答】解如图，ADCADB，A、ACDDAB，ADCBDA，故A选项正确；B、ADDE，DAEB，ADCBDA，故B选项正确；C、AD2BDCD，ADBDCDAD，ADCBDA，故C选项正确；D、CDABACBD，CDACBDAB，但ACDABD不是对应夹角，故D选项错误故选D【点评】此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用9（2014丰南区二模）如图，等腰直角ABC的直角边长为3，P为斜边BC上一点，且BP1，D为AC上一点，若APD45，则CD的长为（）ABCD【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】APBCPAC45PAC；PDCPACAPD45PAC，所以APBPDC，从而证明ABPPCD，得比例线段求解【解答】解等腰直角ABC的直角边长为3，BP1，BC3，PC31APBCPAC45PAC；PDCPACAPD45PAC，APBPDC又BC45，ABPPCDBPABCDPC，即13CD（31），CD故选C【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形的性质，寻找相似图形是关键10（2015甘南州）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设OCD的面积为M，OEB的面积为，则下列结论中正确的是（）AM5BM4CM3DM10【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质菁优网版权所有【分析】先根据平行四边形的性质求出OCDOEB，再根据相似三角形的性质解答即可【解答】解ABCD，OCDOEB，又E是AB的中点，2EBABCD，（）2，即（）2，解得M4故选B【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到平行四边形的性质等知识，难度适中11（2015青海）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）ABCD【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质菁优网版权所有【分析】根据题意得出DEFBCF，那么；由AEED21可设EDK，得到AE2K，BC3K；得到，即可解决问题【解答】解如图，四边形ABCD为平行四边形，EDBC，BCAD，DEFBCF，设EDK，则AE2K，BC3K；，故选A【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出DEFBCF是解题的关键12（2014宁波）如图，梯形ABCD中，ADBC，BACD90，AB2，DC3，则ABC与DCA的面积比为（）A23B25C49D【考点】相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】先求出CBAACD，求出，COSACBCOSDAC，得出ABC与DCA的面积比【解答】解ADBC，ACBDAC又BACD90，CBAACD，AB2，DC3，ABC与DCA的面积比为49故选C【点评】本题主要考查了三角形相似的判定及性质，解决本题的关键是明确ABC与DCA的面积比13（2014盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AECF于点H，AD3，DC4，DE，EDF90，则DF长是（）ABCD【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质菁优网版权所有【专题】几何综合题【分析】设DF和AE相交于O点，由矩形的性质和已知条件可证明EF，ADEFDC，进而可得到ADECDF，由相似三角形的性质对应边的比值相等即可求出DF的长【解答】解设DF和AE相交于O点，四边形ABCD是矩形，ADC90，EDF90，ADCFDAEDFFDA，即FDCADE，AECF于点H，FFOH90，EEOD90，FOHEOD，FE，ADECDF，ADCDDEDF，AD3，DC4，DE，DF故选C【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及等角的余角相等的性质，题目的综合性加强，难度中等14（2014南平）如图，ABC中，AD、BE是两条中线，则SEDCSABC（）A12B23C13D14【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理菁优网版权所有【分析】在ABC中，AD、BE是两条中线，可得DE是ABC的中位线，即可证得EDCABC，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案【解答】解ABC中，AD、BE是两条中线，DE是ABC的中位线，DEAB，DEAB，EDCABC，SEDCSABC（）2故选D【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角形中位线的性质此题比较简单，注意中位线的性质的应用，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键15（2015江夏区模拟）如图所示，已知点A（0，0），C（0，1）在ABC内依次作等边三角形，使一边在X轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个AA1B1，第2个B1A2B2，第3个B2A3B3，则第N个等边三角形的边长等于（）ABCD【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；规律型【分析】图中的各个等边三角形一定相似，求得相似比，即可求解【解答】解如图，过A1作A1DBO于点D设ADDB1X则由BA1DBCO得解得X所以A2B1B2的边长为同理解得边长依次为，所以第N个等边三角形的边长等于故选A【点评】本题主要考查了三角形相似的性质，对应边的比相等，正确求得相似比是解题的关键二填空题（共6小题）16（2014湖州）如图，已知在RTOAC中，O为坐标原点，直角顶点C在X轴的正半轴上，反比例函数Y（K0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD若OCDACO，则直线OA的解析式为Y2X【考点】相似三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有【专题】数形结合【分析】设OCA，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出A、K的关系，然后用A表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答【解答】解设OCA，点D在Y上，CD，OCDACO，AC，点A（A，），点B是OA的中点，点B的坐标为（，），点B在反比例函数图象上，2K2，A44K2，解得，A22K，点B的坐标为（，A），设直线OA的解析式为YMX，则MA，解得M2，所以，直线OA的解析式为Y2X故答案为Y2X【点评】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点17（2015连云港）如图，在ABC中，BAC60，ABC90，直线L1L2L3，L1与L2之间距离是1，L2与L3之间距离是2，且L1，L2，L3分别经过点A，B，C，则边AC的长为【考点】相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】过点B作EFL2，交L1于E，交L3于F，在RTABC中运用三角函数可得，易证AEBBFC，运用相似三角形的性质可求出FC，然后在RTBFC中运用勾股定理可求出BC，再在RTABC中运用三角函数就可求出AC的值【解答】解如图，过点B作EFL2，交L1于E，交L3于F，如图BAC60，ABC90，TANBAC直线L1L2L3，EFL1，EFL3，AEBBFC90ABC90，EAB90ABEFBC，BFCAEB，EB1，FC在RTBFC中，BC在RTABC中，SINBAC，AC故答案为【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、平行线的判定与性质、同角的余角相等等知识，构造K型相似是解决本题的关键18（2014滨州）如图，平行于BC的直线DE把ABC分成的两部分面积相等，则【考点】相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得答案【解答】解DEBC，ADEABCSADES四边形BCED，故答案为【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边截三角形另外两边所得的三角形与原三角形相似，相似三角形面积的比等于相似比的平方19（2014海南）如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆O的直径，且AB4，AC5，AD4，则O的直径AE5【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理菁优网版权所有【分析】首先根据两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出关于AE的比例式，计算即可【解答】解由圆周角定理可知，EC，ABEADC90，EC，ABEACDABADAEAC，AB4，AC5，AD4，44AE5，AE5，故答案为5【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出ADCABE20（2014牡丹江）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB2M，它的影子BC16M，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM12M，MN08M，则木竿PQ的长度为23M【考点】相似三角形的应用菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式即可【解答】解解过N点作NDPQ于D，又AB2，BC16，PM12，NM08，QD15，PQQDDPQDNM150823（M）故答案为23【点评】在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论21（2014咸宁）如图，在ABC中，ABAC10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），ADEB，DE交AC于点E，且COS下列结论ADEACD；当BD6时，ABD与DCE全等；DCE为直角三角形时，BD为8或；0CE64其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】推理填空题【分析】根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明由BD6，则DC10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得依据相似三角形对应边成比例即可求得【解答】解ABAC，BC，又ADEBADEC，ADEACD；故正确，作AGBC于G，ABAC10，ADEB，COS，BGABCOSB，BC2BG2ABCOSB21016，BD6，DC10，ABDC，在ABD与DCE中，ABDDCE（ASA）故正确，当AED90时，由可知ADEACD，ADCAED，AED90，ADC90，即ADBC，ABAC，BDCD，ADEB且COS，AB10，BD8当CDE90时，易CDEBAD，CDE90，BAD90，B且COSAB10，COSB，BD故正确易证得CDEBAD，由可知BC16，设BDY，CEX，整理得Y216Y646410X，即（Y8）26410X，0X64故正确故答案为【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及利用三角函数求边长等三解答题（共9小题）22（2015泰安模拟）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为T秒（1）求直线AB的解析式；（2）当T为何值时，APQ与AOB相似（3）当T为何值时，APQ的面积为个平方单位【考点】相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；解直角三角形菁优网版权所有【专题】压轴题；动点型【分析】（1）设直线AB的解析式为YKXB，解得K，B即可；（2）由AO6，BO8得AB10，当APQAOB时，APQAOB利用其对应边成比例解T当AQPAOB时，AQPAOB利用其对应边成比例解得T（3）过点Q作QE垂直AO于点E在RTAEQ中，QEAQSINBAO（102T）8T，再利用三角形面积解得T即可【解答】解（1）设直线AB的解析式为YKXB，由题意，得，解得，所以，直线AB的解析式为YX6；（2）由AO6，BO8得AB10，所以APT，AQ102T，当APQAOB时，APQAOB所以，解得T（秒），当AQPAOB时，AQPAOB所以，解得T（秒）；当T为秒或秒时，APQ与AOB相似；（3）过点Q作QE垂直AO于点E在RTAOB中，SINBAO，在RTAEQ中，QEAQSINBAO（102T）8T，SAPQAPQET（8T），T24T，解得T2（秒）或T3（秒）当T为2秒或3秒时，APQ的面积为个平方单位【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题23（2014义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P（1）若AECF；求证AFBE，并求APB的度数；若AE2，试求APAF的值；（2）若AFBE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有【专题】证明题；压轴题；动点型【分析】（1）证明ABECAF，借用外角即可以得到答案；利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案（2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；【解答】（1）证明ABC为等边三角形，ABAC，CCAB60，又AECF，在ABE和CAF中，ABECAF（SAS），AFBE，ABECAF又APEBPFABPBAP，APEBAPCAF60APB180APE120CAPE60，PAECAF，APEACF，即，所以APAF12（2）若AFBE，有AEBF或AECF两种情况当AECF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时ABP为等腰三角形，且ABPBAP30，AOB120，又AB6，OA，点P的路径是当AEBF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为所以，点P经过的路径长为或3【点评】本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用24（2014梅州）如图，在RTABC中，B90，AC60，AB30D是AC上的动点，过D作DFBC于F，过F作FEAC，交AB于E设CDX，DFY（1）求Y与X的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求X的值；（3）当DEF是直角三角形时，求X的值【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质菁优网版权所有【专题】几何动点问题；压轴题；数形结合【分析】（1）由已知求出C30，列出Y与X的函数关系式；（2）由四边形AEFD为菱形，列出方程Y60X与YX组成方程组求X的值，（3）当EDF90时，由DEF是直角三角形，列出方程60X2Y，与YX组成方程组求X的值；当DEF90时，根据EFAC可知EDADEF90，所以当ADEABC，再由相似三角形的对应边成比例可得出关于X的方程，再把YX代入即可得出X的值【解答】解（1）在RTABC中，B90，AC60，AB30，C30，CDX，DFYYX；（2）四边形AEFD为菱形，ADDF，Y60X方程组，解得X40，当X40时，四边形AEFD为菱形；（3）当DEF是直角三角形时，当EDF90，FDE90，FEAC，EFBC30，DFBC，DEFDFEEFBDFE，DEFEFB30，EF2DF，60X2Y，与YX，组成方程组，得解得X30；当DEF是直角三角形时，X30，当DEF90时，由于EFAC，则EDADEF90，因此当ADEABC时，就有DEF是直角三角形，即，把YX代入得X48当DEF是直角三角形时，X48或30时，DEF是直角三角形【点评】本题主要考查了含30角的直角三角形与菱形的知识，解本题的关键是找出X与Y的关系列方程组25（2015泰安）如图，在ABC中，ABAC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且APDB（1）求证ACCDCPBP；（2）若AB10，BC12，当PDAB时，求BP的长【考点】相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）易证APDBC，从而可证到ABPPCD，即可得到，即ABCDCPBP，由ABAC即可得到ACCDCPBP；（2）由PDAB可得APDBAP，即可得到BAPC，从而可证到BAPBCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长【解答】解（1）ABAC，BCAPDB，APDBCAPCBAPB，APCAPDDPC，BAPDPC，ABPPCD，ABCDCPBPABAC，ACCDCPBP；（2）PDAB，APDBAPAPDC，BAPCBB，BAPBCA，AB10，BC12，BP【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明ACCDCPBP转化为证明ABCDCPBP是解决第（1）小题的关键，证到BAPC进而得到BAPBCA是解决第（2）小题的关键26（2015湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证ABEDEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】（1）利用正方形的性质，可得AD，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得ABEDEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长【解答】（1）证明ABCD为正方形，ADABDCBC，AD90，AEED，DFDC，ABEDEF；（2）解ABCD为正方形，EDBG，又DFDC，正方形的边长为4，ED2，CG6，BGBCCG10【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用解题的关键是数形结合思想的应用27（2014泸州）如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2CECA（1）求证BCCD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AFCD交CD的延长线于点F，若PBOB，CD，求DF的长【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理菁优网版权所有【专题】几何综合题；压轴题【分析】（1）求出CDECAD，CDBDAC得出结论（2）连接OC，先证ADOC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC，再由割线定理PCPDPBPA求得半径为4，根据勾股定理求得AC，再证明AFDACB，得，则可设FDX，AF，在RTAFP中，利用勾股定理列出关于X的方程，求解得DF【解答】（1）证明DC2CECA，CDECAD，CDBDAC，四边形ABCD内接于O，BCCD；（2）解方法一如图，连接OC，BCCD，DACCAB，又AOCO，CABACO，DACACO，ADOC，PBOB，CD，PC4又PCPDPBPA4（42）OB3OBOB4，即AB2OB8，PA3OB12，在RTACB中，AC2，AB是直径，ADBACB90FDABDC90CBACAB90BDCCAB，FDACBA，又AFDACB90，AFDACB在RTAFP中，设FDX，则AF，在RTAPF中有，求得DF方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，易证PCOPDA，可得，PGOPFA，可得，可得，由方法一中PC4代入，即可得出DF【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解28（2015武汉）已知锐角ABC中，边BC长为12，高AD长为8（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K求的值；设EHX，矩形EFGH的面积为S，求S与X的函数关系式，并求S的最大值；（2）若ABAC，正方形PQMN的两个顶点在ABC一边上，另两个顶点分别在ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；矩形的性质；正方形的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）根据EFBC，可得，所以，据此求出的值是多少即可首先根据EHX，求出AK8X，再根据，求出EF的值；然后根据矩形的面积公式，求出S与X的函数关系式，利