大学数学竞赛-华南理工大学2009年数学竞赛试卷

XOY1S23SYFX4华南理工大学2009年数学竞赛试卷注意事项1考前请将密封线内填写清楚；2所有答案请直接答在试卷上；3考试形式闭卷；4本试卷共12大题，满分100分，考试时间150分钟。一、填空题（每小题4分，本大题共24分）若，且则44522LN1XFXLN1FXXDX37L1C当时，与是等价无穷小，则，XEXEFKGAXEA12EK2若曲线在任意点处的切线交轴于LNTACOS0,2SIXTCATYPX点，则线段的长是QP设连续函数满足方成，且，则FX2012ARCTNXTFTDX1F21FXD34已知，且导函数在区间上的图形如图所示，其中三块面积02FYFX0,4，则函数在区间上的最小值和最大值分别为13S3,S6将直线绕轴旋转一周，则所生成的旋转曲2,0XABTYATZBZ面的方程为221_姓名学号学院专业座位号密封线内不答题密封线线二、（本题14分）已知在内有定义，对一切正实数有FX0,XY，且在处可导，FXYFY11F1、证明在内任一点处可导；2、求出的解析式。0,X解令得，1XY0,1LIM1XFFF取，由函数方程有11XXXFXFFF故在均有0,0011LIMLIM1XXXFXFFFFFXFX即在内任一点处可导。F,求解初值问题10FXF，11LNDXDXFECXC01,LNFCFX三、（本题10分）设，求曲线与轴所围成的封22XFTYF闭图形的面积解，为偶函数（可证）且由单调减少到20,FFFX2XFTD单调增加变化的，为极小值点。2310,8XXFTDX20032218AFXFXD四、（本题14分）设在上连续，且。证明存在FX0,101FF使得0,1026FDFFF解将分别在展开成一阶泰勒公式FX1,X221110,0FFFFXX和2222,1FXXX于是可得两式和11200FXDFFXD112200FXFFXD将两式相加，有112220014FFFFF由在上连续，存在最小值和最大值，可得FX,MM122203312MFFXD即12220FF在根据介值定理，可知存在使12,1222013FFXFXD故有006FXDFFF五、（本题12分）质点在变力的作用下，由原点沿直线运动到椭,FYZX球面在第一卦限上的点221XYZABC,M1、求变力所做的功；FW2、试问当取何值时所做的功最大并求出此最大值。,解直线，,01XTOMYZT1203OMWFDSTD求在条件下的最值W22ABC令221L解可能的条件极值点，由方程组22001LABCLAB得，由问题的实际意义可知,33ABC当时有最大值,W39ABC六、（本题14分）计算曲面积分，其中3220XDYZXZDYIABAB是上半球面的上侧22ZRXY解333222222,ZPQRXYZXYABABAB（先代曲面方程会改变对称性，麻烦）52222ZXYX52222QYZABAB，除原点外成立52222RXZXYZ0PQRXYZ取上侧，由高斯公式可得221BZRXYA原式（代绝佳曲面方程）113322DZDAIXDYZXZDYRB再取下侧，围起2220,ZXYR22,0BXYZRXYA1233AAIDZXZDYDVRR33223200BRBAAZ七、（本题12分）利用幂级数求数项级数的和1