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大学生数学竞赛训练三积分学一、（15分）计算。481XD解原式22412UXDU224221114UDU22114431UUDD211ARCTNLNLN84UUUC422211RTLL3XXX二、（20分）设曲面和球面213ZY225YZ1）求位于内部的面积122）设，求位于内部的体积。5XYZ1解1）解方程组得2213XYZ3,4Z4433541DZZD3225676Z方法二、224220391641XYXYDRD。332257R2）此为旋转体的体积453223451VZDZDZD2333451187470922方法二、44233505VZDZD2331109三、（15分）求，其中为球面222COSCOSCOSDYZDZXDXYXZA，并取外侧。221XYZ解对应外侧的单位法向量为,XYZ222222111COSCOSCOSCOSCOSYDYZDZDDSXZXZAA由对称性可得，所以22210,SSSSSDSYXZ2222113COSCOSCOSCOSDZDZXDYXZXAA2122202216S1S1YZRDRYZYZ。0TANTANR四、（15分）设函数具有二阶导数，且，函数在区FX0,FXGX间上连续，证明0,A0011AAFGXDFGXD证明利用泰勒公式，对任取的有0,20000FFXFFXX其中在之间，因为，所以我们有0,2000000FFXFFXXFXFX取，则有01AGD00011AAAFXFXFGXDGXD两边在上关于可得,0011AAFGXDFGXD五、（15分）计算。220,AXBEB解设，则有2200AXBIDA22200011AXAXAXEIAEE，又因为，所以1LN2IC220BXIDLN2CB。0LAXBEDA方法二、原式2200BBXYXYAAEDE2011LNBBXYAABYA六、（20分）设具有二阶连续偏导数，光滑曲线是区域的边界，证明,UCD22DDCUUDXYUDXYDSXNA其中是沿曲线外法向量的方向导数。2,UYNC证明设曲线的单位外法向量为，则曲线的正方向（逆时针方向）CCOS,C对应的单位切向量为，因为C
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