源于经典而高于经典的初二几何难题解答

源于经典而高于经典的初二几何难题解答1、经典题已知正方形ABCD和正方形AEFG，B、A、G在一条直线上，求证BE与DG垂直且相等。证明延长BE交DG于H，ABAD,AEAG,RTABERTADG,BEDGABEADG,ABEAEB900，AEBDEH,DEHEDH900，BEDG即BE与DG垂直且相等2、已知正方形ABCD和正方形AEFG，P为BG的中点，M、N分别BD、EG的中点。（1）如图1，当B、A、G在一条直线上时，试探究PMN的形状，并证明（2）当正方形AEFG绕点A任意旋转到如图2的位置时，（1）中的结论是否成立解1如图1连接BE、DG，延长BE交DG于H，易证ABEADG,BEDGABEADG,ABEAEB900，AEBDEH,DEHEDH900，BEDG即BE与DG垂直且相等又PM是BDG的中位线，PN是BGE的中位线，PM平行且等于DG的一半，PN平行且等于BE的一半PM与PN垂直且相等。PMN是等腰直角三角形。（2）如图2，仿（1）的方法，易证BE与DG垂直且相等。PM是BDG的中位线，PN是BGE的中位线，N图1DMECPBAFGP图2ADMENCBFG图1HDMECPBAFGNDECBAFGHDECBAFGPM平行且等于DG的一半，PN平行且等于BE的一半PM与PN垂直且相等。PMN是等腰直角三角形。说明本题的第（2）小题也可看成以ABG边AB、AG向外作正方形ABCD和正方形AEFG。可得以上结论。3、分别以任意四边形ABCD的各边向外作正方形ABEF、AGHD、DIJC、CKLB。M、N、P、Q分别是各正方形的中心。（1）求证MP与NQ垂直且相等；（2）R、S、T、W分别是NM、MQ、QP、PN的中点。求证四边形RSTW是正方形。解连接AC取AC的中点X，连接XN，XP。由前面题目易证XN与XP垂直且相等。同理XM与XQ也垂直且相等。因此，MP与NQ垂直且相等。（2）RS平行且等于NQ的一半，TW平行且等于NQ的一半，ST平行且等于MP的一半，MP与NQ垂直且相等，所以，四边形RSTW是正方形。P图2ADMENCBFGLNXOKIGQTSRPMJHEFDCABW4、以平行四边形ABCD的各边向外作正方形，E、F、G、H分别是各个正方形的中心。求证四边形EFGH是正方形。证法1连接AC、BD交于O，O是AC，BD的中点，连接OE，OF，OG，OH。由前面题的结论知，OE与OF垂直且相等，OF与OG垂直且相等，OG与OH垂直且相等，OH与OE垂直且相等。且E、O、F共线，F、O、H共线。EG与FH垂直平分且相等，四边形EFGH是正方形。证法2FBFC,EBCG,11800ABC,BCD1800ABC,1BCDEBFGCF,FBEFCGEFFGEFBGFC,GFCBFG900,EFBBFG900,EFFGEF与FG垂直且相等。同理其它相邻两边也垂直且相等。四边形EFGH是正方形。5、已知，正方形ABCD和正方形CGEF，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转到如图所示的位置，取AE得中点P。试探究PD与PF的关系且证明。解连接AC，CE，作DMAC于M，FNCE于N，连接MP，PN。则PN是ACE的中位线，1,2ACPNCPA四边形MCNP是平行四边形，MDMCPNMPCNNF,DMP900PMC900PNCPNFMPDNFPPDPF延长MP交FN于H，PFHFPH900,MPDPFN,MPDFPH900,PDPFPD与PF垂直且相等。CPDBAFEGMCPDBAFEGNH1FHDCBAGEO顺便指出若连接PB、PG，仿以上方法，也可证明PB与PG垂直且相等（证明从略）。6、分别以ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACGF，P为DG的中点。试判断PBC的形状，并证明你的结论。解分别作AD、AG中点M、N，连接MB，NC，PM，PN。则PM，PN是ADG的中位线。四边形AMPN是平行四边形。则BMMAPN，PMANNC，由AMPANP，得BMP900AMP，PNC900ANP，BMPPNC，BMPPNC,PBPC延长NP交MB于点H，则NHMBHBPHPB900,HBPCPN，HPBCPN900PBPC即PBC是等腰直角三角形。7、ADE和ABC都是等腰直角三角形，EDA900,ABC900（1）如图1，点E、A、C在一条直线上时，M是EC的中点。求证MDMB且MDMB；（2）将ADE绕点A顺时针旋转到如图2的位置时，M是EC的中点。（1）中的结论是否成立并说明理由。证明1如图1，作DFEA于F；BGAC于G；1,2FEC1,2MEEMFG,EFMG,EFFADF,DFMG。FAMG，FMAG,AGBG，FMBG。RTDFMRTMGBMDMB。FMDMBGMBGBMG900,FMDBMG900MDMB；2答成立。证明如图2,作DFEA于F；BGAC于G；DECPBAFGNMDECPBAFGHG图1CMABEDF图1CMABED图2CMADEB连接FM，FD，GM，GB。易证四边形AFMG是平行四边形，DFMMGB。进而可证MD与MB垂直且相等。说明；一些以线段为边作等腰直角三角形问题也可归结为做正方形问题，如本题可以分别B，D为正方形的中心构造正方形，仿前面的习题也可以证明上述结论。（从略）8、如图，分别以ABC的边AC和BC向外作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点，PQAB于Q，求证12PAB证明PQ是梯形EMNF的中位线，AMEACH,BCH12PQEMFNBFN,EMAH,FNHB,12AHB9、经典题如图1，已知点C是线段BD上一点，以BC、CD为一边向同侧作等边三角形BCA和等边三角形CDE,AC与BE交于P,AD与CE交于Q，BE与AD交于F1求证BEAD2求证BFD1200；3判断CPQ的形状，并证明你的结论；4如图2，将CED绕点C按顺时针旋转任意角度，其它条件不变，判断（1）、（2）中的结论是否成立为什么（5（用相似三角形明证）如图1，求证1BCDPQ图2CMADEBFGGBCPFDQAEGBCPFDQAEMNH证明（1）ACBC，CDCE，ACDBCE1200，ACDBCE,BEAD2CBECAD,CBEABE600,ABECAD600,BAC600，BFDABECADBAC60060012003ACBC，BCPACQ600，CBPCAQ,BCPACQ,CPCQPCQ600，CPQ是等边三角形。（4）ACBC，CDCE，ACDBCE，ACDBCE,BEADCBECAD,CBEABE600,ABECAD600,BAC600，BFDABECADBAC6006001200（1），（2）结论成立。5作PMAB交BC于M,BCAB,CDCE,PQPM,PMCAB,BE1PCBABE,E1DPQ说明本题的第（4）小题也可看成以BCD边BC、CD向外作等边ABC和等边ADE。可得以上结论。10、已知E是线段AB上一点，以AE、EB为边作等边AED和EBC,P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、AD的中点。试判断四边形PQMN的形状，并证明你的结论。解连接AC,BD,由以上经典题得ACBD，再利用三角形中位线定理可证明四边形OQMN是菱形11、以ABC的边AB、AC分别向外作等边ABD和ACE，M、G、H分别是BC、BD、CE的中点。求证MGMH；GMH120。BCDAEMHGCNDMPEAQB图2FEDBACCNDMPEAQB图1QPFEDCBAM证明连接DC,BE,由以上经典题,得DCBE，再利用三角形中位线定理可证MGMH；GMH12012、分别以ABC的两边AB、AC向外作正ABD和ACE，BE与CD交于点O。求证（1BECD并求出BOD的度数；（2）OA平分DOE证明作AFDC于F，AGBC于G，ABAD，ACAE，DACBAE，DACBAEAFAGAO平分DOE13、如图，已知RTABC中，ACB900，分别以AB、BC为边向外作ABD与BCE，且DADB,EBEC,若ADBBEC2ABC,连接DE交AB于F试探究DF与EF的大小关系。解作DGAB于G，连接GC、GE。DADB,EBEC,G是AC的中点，GBGC,GEBCADBBEC2ABC,123,4BDG,BDG2900，24900，DBBC,DBGB34900，BEAB,DGBE四边形DBEG是平行四边形，DF与BG互相平分。即DFEFGFOEDACBFECBADAOEDCBBCDAEMHG132GD4FBEC1GFEBCADA14、如图，已知AB10，ACBD2，P是线段CD上的动点，PAE和PBF都是等边三角形，G为EF的中点。当P从C运动到D时，求点G移动路径的长。解如图，作出点P从C和D的两个特殊图形，四边形ADFDEC是平行四边形，四边形ACFCED是平行四边形，ECFDAD8。EDFCAC2。MGD是EDECFD的中位线MGD4。MGC是ECFCED的中位线，MGC1。点G移动路径的长GCGD3。15、经典题如图，BD、CE分别是ABC的两条高，F是BC的中点，G是ED的中点。求证FGED证明连接FE，FD,G是ED的中点。FGED1,2FEBCDFEDFCEBADGFCEBADGPABEDCFGGCGDMEDABECDPCPFCFD16、如图，在ABC中，E、F分别在AC、AB上，且ABEACF，BE、CF交于点O,过点O作OPAC于P，OQAB于Q。D是BC的中点，求证DPDQ证明作OB的中点M，OC的中点N、连接MQ，MD，DN，NP。易证四边形MDNO是平行四边形。QMO2ABE,1,2QOBD1,2POCNDMENO2ACF，ABEACF，OMDOND，QMDDNPDMQDNP,DPDQ17、如图，已知四边形ABCD中，AODBOC，DAOCBO900，AEBE，DFCF,。求证EFAB。证明分别作OD、OC的中点M、N，连接AM，MF，FN，BN，FA，FB。则MF，NF是DOC的中位线，易证四边形MFNO是平行四边形。再由DAOCBO900，则AMMOFN，MFONBN，由AODBOC，得AMOBNO,因OMFONF,AMFBNF,AMFBNF,FAFB,因AEEB,FAABOFCEBADMFCEBADONODCFBAEPQNMODCFBAEPQ18、经典题如图，分别以ABC的AB和AC为边在ABC外侧作正方形ABEF和正方形ACGH1如图1，若M是FH的中点，延长MA交BC于D,求证ADBC,且12AMBC2如图2，若ADBC,延长DA交FH于M。求证M是FH的中点。3求证ABCFHS证明1如下图1，延长AM到N使MNAM,FMMH,FMNHMA,FMNHMANNAH,FNAHFNAHFNAC,AFAB,NFA1800FAHBAC,FANABC,ANBCABCFANFANBAD900,ABCBAD900ADBC12AMNBC2如下图2,分别过F、H作直线MD的垂线，垂足为P，Q。ABDBAD900,FAPBAD900,ABDFAP,ABAF,RTABCRTFAP,ADFP同理RTACDRTAHQ,ADQHFPQH易证RTFMPRTHMQFMMH3如下图2,由（1）和（2）知，直线ADBC时，M是FH的中点，FPAD,且12AMBCABCAFHSDPS图1HCAGFBEDM图2HCAGFBEDMN图1HCAGFBEDMP图2HCAGFBEDMQ19、以梯形ABCD的两腰为直角边向外作等腰RTADE、等腰RTBCF，G为EF的中点，连结GC、GD求证GCGD方法1【二倍法】【平行线等角转换】【周角法】【RT斜边中线斜边一半】四边形ABFE，360DAEAEDCBFCFB180MDC360（）ADE90，CDMNGFAEB方法2（平移法）证明如图，将等腰RTADE和等腰RTBCF沿DC分别向右、向左平移到DC的中点O。连接PS交EF于点G。易证EGPFGS，EGGF,PGGS，G是EF的中点，G为EF的中点,点G与点G重合。这就得到一道传统的经典题,即以MON的两边OM、ON为边向形外作等腰RTMOP和等腰RTNOS,G为PS的中点。求证GOMN。（证明从略）DCAB，GODC，ODOC,OG垂直平分DC，GDGC。20、以梯形LMNK的两腰为直角边向外作等腰RTLMM、等腰RTKNN，OP垂直平分LK交MN于点P求证PMPN（2004全国初中数学联赛题变型）方法1OSWUOR，UROW，OYWVOQ，QVOW，故URQV，又UMOLOKVNRMQN，易得PMPN。WSTVUQRPOMNLKMNSOMNKLNPPMHHBAOSABCGEFPDHNM（G）方法2（平移法）证明如图，将等腰RTMLM和等腰RTNKN沿LK分别向右、向左平移到LK的中点O。连接HS交MN于点P。易证MHPNSP，MPNP,HPSP,P是MN的中点，P是HS的中点。延长PO交MN于H，这又得到一道传统的经典题,即以AOB的两边OA、OB为边向形外作等腰RTAOH和等腰RTBOS，P是HS的中点。求证PHAB。（证明从略）LKMN，OPLK，OPAB。POHAB,直线PO与直线POH重合，两条直线相交只有一个交点，点P与点P重合。MPPN即P为MN的中点。21、P为正方形ABCD一点，PAA,PB2A,PC3A,求正方形ABCD的边长。解将APB绕点B顺时针旋转900，得到BQC,连接PQ,PQC是直角三角形，PQC900，2,PQA22,3,CABPQPQB450，BQCAPB1350，APQ1800，A、P、Q三点共线。22,EBAA5A22、如图，已知线段ABCDEF2，DOBFOC600，AB、CD、EF交于点O。321的大小与求SPDCABEQPDCABDCOBAFE解将AOE沿AB平移至BNG处，再将COF沿CD平移至BMG处，M、G、N三点共线。OMN是等边三角形,且边长为2，1233OMNSS23、如图，已知四边形ABCD中AC、BD交于O，DOC600，,ACBD。求ABCD与AC的大小。解分别取AB、BD、BC、DC的中点E、F、G、M、连接EF、FG、EG、ME、MG。EGEFFG，1,221EFABCDABCD1,2EA1,2MGBDC0,6GMEG是等边三角形，EGME,ABCDAC。当ABDC时，等号成立。S2S1DCOBAFENGMS3S2S1BOADCFGEBOADCM24、如图，已知,六边形四边形ABCDEF中，ABED，AFCD，BCEF。且CDAFABEDEFBC0求证ABCDEF证法一作平行四边形AFEG，过点G作GNAB交BC的延长线于N，交CD于M则四边形ABNG和四边形GMDE均为平行四边形。ABGN,AFEGDM,EDGMEFAGBN,CDAFCDDMCM，ABEDGNGMMN，EFBCBNBCCNCDAFABEDEFBCCMMNCNCMN是等边三角形，CMNMCNN600,易求出ABCDEF1200证法二分别作平行四边形ABCR、AFEP、EDCQ。AFEP，CDEQ，CDAFEQEPPQ；ABCR，EDCQ，ABEDCRCQRQ；EFAP，BCAREFBCAPARPR。CDAFABEDEFBC，PQRQPR。PQR是等边三角形。易求出ABCDEF120025、P是边长为1的正方形ABCD内一点，求PAPBPC的最小值。,解将BPC绕点B顺时针旋转600，得到BEF，连接PE、AF,过点F作FGAB交AB的延长线于GBPE是等边三角形，PBPEPCEF,PAPBPC的最小值为AFABF1500，GBF300，ABBF1，NMGEDFCBAEDFCBACABDPCABDPEFGRQEDFCBAP213624AF26、已知ABC中ABCACB800，D、E分别为AB、AC上的点，DCA300，EBA2,00。求BED得度数。解作FEBC交AB于F连接FC交BE于O，连接DO，AFCAEB，ABEACF200，BOC和FOE均为等边三角形，EFOBOCOCB600，DCF100，BCDBDC500，BDBCBO,BOD800，DFODOF400，DFDO,DEDE,FEOE,DFEDOE，BED30027、已知平行四边形ABCD中，AECF。求证DPADPC解连接DF，DE，作DMFC于M,DNAE于N，,21ABCDAEDS平行四边形,FC平行四边形，DFCAESAECF，DMDNDPADPCEDCBAFEDC