线性代数-华南理工大学07--11线性代数试题答案

试卷一解答一12320621NNBARAKR451,2,38T二1D2A3D4D5D三11|123EAAET2311013131AAAAAA3由有BAAE10342102031214,3,0012402143214321RANK而向量组线性无关,可得故01,3,21RANK，为一个最大线性无关组1235令，ZYXT,则有解得12ZYX2103ZYX的坐标为2,03四解001214084021216130512723A原方程组同解下面的方程组24351X即43251X令,求解得（1，1，0，0，0）。543X齐次方程组基础解系为。321321,10,0AA通解为五解1,2,112010,3321AEAXFT当时，由，求得基础解系1321XEA10当时，由，求得基础解系120321XEA1当时，由，求得基础解系3321X2单位化61,3,210令，则613210U102AUT若则,Y2231YAFT六证明设,021BAAR则2121ARR于是,ARR即但因此021ABAR,0从而有AR21RAA又线性无关,因此于是R,21R故有线性无关0B,21R试卷二部分解答一（3）已知向量组线性相关,求TTTT21,32,301T解线性相关可求出321,0,DET312T415T二8分设,且求矩阵B20A,BAT解,BTTE可逆,且,1023EA502131A于是148213521TB五8分求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系18257,4320541XX与76页例417类似作六8分求出把二次型化为标3231212321XXXAF准形的正交变换,并求出使为正定时参数的取值范围A解二次型的矩阵为3231212321XXXAF由A,0211|AAAE得特征值2,1321A对,21A,011EA可得的一个基础解系为01X,1,21X正交化取/021,01221X对,23A,021EA可得的一个基础解系为0X13X将分别单位化,得321,3/1/,6/2/,0/13取正交变换,则此正323212132/,YYX交变换将二次型化为标准形F12221AYAF正定F021A且七10分设三阶实对称矩阵的特征值为3二重根、4一重根,A是的属于特征值4的一个特征向量,求T2,1A解设的属于特征值3的特征向量为,由于实对称矩阵的不同特A321XX征值对应的特征向量正交,则有即此方,0,10231X程的一个基础解系为则为的属于特征值3,102,121,A的两个线性无关的特征向量,于是121212121,304,304,A10分当为何值时,方程组BA,23102,41XX有惟一解、无穷多解、无解解记,23104,312BAABAA系数行列式,DETA1当时,由克莱姆法则知方程组有惟一解31,0AB,0DETA2当时,于是,8013423014A方程组无解ARANKR3当时,31,0B8013223104/231BBR,80/24138023211322BBBRBRI当时,方程组有无穷多解7BARANKRII当时,方程组无解1232九10分每小题5分,共10分证明下列各题1设是可逆矩阵,证明也可逆,且A,BA1BA2设是非零向量,证明是矩阵的特征向量1NNT证明1由于,则存在可逆矩阵使得于是由可逆知,P,1A也可逆,且BPA1111B2设记,0,022NNBA,212121NNTBAABK由知为的属于的特征向量KTTTK试卷三一填空题（共20分）1设A是矩阵，是维列向量，则方程组有唯一解的充分NMBMBAX必要条件是RANKARANKABN2已知为单位矩阵,若可逆矩阵使得则当可EP11223,PEA逆时,27E利用3230AE3若T为实数,则向量组（0，4，T），（2，3，1），（T，2，3T）的秩为34若A为2009阶正交矩阵，为A的伴随矩阵，则1A5设A为N阶方阵，是的个特征根，则12,N1NIIIEA0二选择题（共20分）1如果将单位矩阵的第I行乘K加到第J行得到的矩阵为将矩阵E,KIJP的第I列乘K加到第J列相当于把ABNMAA,左乘一个B，右乘一个,JP,KJIPC左乘一个D，右乘一个KI2若A为MN矩阵，是维非零列向量，。集合MMIN,RA,则D,NMXBRA，是维向量空间，B，是NR维向量空间MMA，是MR维向量空间，D，A，B，C都不对3若N阶方阵A满足，则以下命题哪一个成立B234EA，B，ERAEC，D，DETTRN4若A是2N阶正交矩阵，则以下命题哪一个一定成立AA，矩阵为正交矩阵，B，矩阵2为正交矩阵11AC,矩阵为正交矩阵，D，矩阵为正交矩阵5如果N阶行列式的值为1,那么N的值可能为C10A,2007，B，2008C,2009,D，2000三判断题每小题4分,共12分1对线性方程组的增广矩阵做初等变换,对应的线性方程组的解不变错2实对称矩阵的特征值为实数对3如果矩阵的行列式为零,那么这个矩阵或者有一行列的元素全为零,或者有两行列的元素对应成比例错四解下列各题（每小题8分,共16分）1求向量，在基下的坐标（坐标为5131231,0）3262设计算123,341NADETA解12123123DET1324412NCNAN13120031221411NCNN12N五10分求矩阵列向量组生成的子空间的一个标准正交基10A解先求矩阵列向量组生成的子空间的一个基由于A234214,1110000RR可知的前三列线性无关,为子空间的一个基记A将其正交化令12310,1212120,032311323331,05再单位化,令312112,0355则为所求标准正交基123,六证明题（6分）设是M行N列矩阵,如果线性方程组对于任AAX意M维向量都有解，证明的秩等于M证明设,则为M维向量组由于线性方程12,N12,N组对于任意M维向量都有解,现分别取等于M维基本单位向量AX,可知向量组可由向量组线性表示,又向量组12,ME12ME12,N可由向量组线性表示,于是向量组与向量组N,12,N等价,故12,ME12,NMRAKARNRAKE七、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵4342,23221321XXXXF解设6,3,03642042,21321EAAXFT对特征值由，求得基础解系,10321XEA12X对特征值，由，求得基础解系32321X2对特征值，由，求得基础解系630321XEA13X已两两正交,再单位化321,X,31,31,2211XQXQQ令，则为正交阵,且321QQ60AQT正交变换为将二次型化为标准形,YAFT323YF八、（6分）设矩阵，都是正定矩阵，证明矩阵也是正定矩阵ABAB证明由于矩阵，都是正定矩阵,则对于任一有0,X,0,0BXGAXFTT从而故是正定矩阵AGTAB试卷四一填空题（每小题4分，共20分）1设是矩阵,那么的秩不超过的充分必要条件是的阶子式全ANMARA1R为02已知为单位矩阵，若,则当可逆时,EE32183E3若向量组的秩为2时,0或1,6,3TTTT34若为2009阶正交矩阵,为的伴随矩阵,则AA|A5设为阶方阵,是的个特征值,则0NN,21NITIE1|二选择题（每小题4分，共20分）1如果将单位矩阵的第I行乘K加到第J行得到的矩阵为那么E,KIJP的逆矩阵是D,KIJPA,B，,KJIPAD，,KIJ2若A为MN矩阵，,令集合,则BRAN0,NMXARA,是空集B，只含一个元素MC,含有两个以上元素D，A，B，C都不对3若N阶方阵A满足，则以下命题哪一个成立B20EA，B，ERAEC，D，DET0RN4若A,B都是N阶对称矩阵，则以下命题哪一个不一定成立BA，矩阵为对称矩阵，B，矩阵为对称矩阵ABC,矩阵为对称矩阵，D，矩阵为对称矩阵35如果NN1阶行列式的第I行第J列元素的代数余子式的值为011,那么IJN的值B因I,J元素必在次对角线上A,为0，B，为1C,为2,D，无法确定三判断题每小题4分,共12分1对一个线性方程组做初等变换,线性方程组的解不变对2正交矩阵的特征值是实数错3一个可逆矩阵A与它的转置矩阵的乘积是正定的对四解下列各题（每小题8分,共16分）1求单位向量，它在基下的坐标向量也是1231,0解设,由题意,即123X123,XX1223301XX于是有1233XX解得又由为单位向量知因此1230,XX2213,X故所求向量或22321,XX02022设N阶方阵计算1,1AAADETA解将第2至N行加到第一行1DET1AAA1111NANANAAA111NAA110011NANAA五10分求矩阵的逆矩阵01A解12010010|1RAE32314401010012RR2331440110110022RR3411010|,2REA于是11002A六证明题（6分）设是M行N列矩阵,证明,ABRANKABRANKRB证明设,11NN则设是A的一个最大线性无关组，是B的一个最大线性无关RII,1SJJ,1组,则，SB,由于可由线性表示，可由线性表示，KRII1KSJJ,1）（NK,1可由，线性表示，N,1RII,1SJJ1从而R,1SRR即BRA七、（6分）证明任何一个方阵都可以表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和证明设为任一方阵,记,21,21TTACAB由于,CBTT则为对称矩阵,为反对称矩阵,而故得证B,BA八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵3432,221321XXXF解答见课件试卷五一填空题（每小题4分，共20分）1设是矩阵,那么可逆的条件是ANMARANKAM2矩阵是二次型的矩阵的条件是T3设则1,326,3105,10,84若为2010阶正交矩阵,则DET2T5将单位矩阵的第I行乘K加到第J行得到的矩阵记为设E,KIJP是的个特征值，则112,N,KIJPN12N二选择题（每小题4分，共20分）1如果将单位矩阵的第I行乘K得到的矩阵设为那么的逆矩E,PIKIK阵是AA,B，1PIKPIC,D，K2若A为MN矩阵，令集合,则D0,NMXARA,是空集B，只含一个元素MC,含有两个以上元素D，是非空集合3若N阶方阵满足，则以下命题哪一个成立B20EA，B，是可逆矩阵MC，D，0M0E4若A是N阶矩阵，则以下命题哪一个不成立BA，矩阵为对称矩阵，B，矩阵为对称矩阵，TTAC,矩阵为对称矩阵，D，矩阵为对称矩阵5如果NN1阶矩阵的行向量线性无关，那么BA,的行列式为0，B，的列向量线性无关MMC,的秩为0,D，以为系数矩阵的线性方程组有非零解三判断题每小题4分,共12分1已知是阶矩阵，如果，那么错,ABCNABC2如果一个向量组线性无关，那么它的任意一部分向量也线性无关对3如果一个矩阵A是正定的,那么它的行列式大于0对四解下列各题（每小题8分,共16分）1求所有向量，它与是正交的121,0解设,由题意知即123X12,0,120X解得故所求向量,为任意常数312,XX10K2设N阶方阵计算112223,NNBAAAABDETA解将第2至N行加到第一行112223DETNNBAAAB111122223NNIIIINNNBAABABAAB122231NINNBBAAB2131212131000NRANIINBAABBA121NINIBABA五10分求矩阵的伴随矩阵11A解先求的逆矩阵由于2111404AE,1144AEA11410|1244126A于是,所求伴随矩阵1|64AA六证明题（6分）设是N阶方阵,如果可逆,证明与相似,BABA证明由于可逆,利用可知与相似A11AB七、（6分）证明任何一个秩为2的正惯性指数为1的二次型都可以表为两个一次多项式的乘积证明设此二次型为,其中,由于它TFXA12,TNIJXXAA的秩为2,且正惯性指数为1,由惯性定理,可作一可逆变换将其化为规范形12,TNXPYY由可设则有21,TFAPYY1,YP1,IJT于是1121222,NNYTXTXTXTXFXYY1212212121212NNNNTXTXTXTXTXTX为两个一次多项式的乘积八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵1234123142343,FXXXX解设12343123401,00110,TFXAAE对特征值由，求得基础解系123,12340XAE将其正交化12310,XX211231323/2,00/31,/XX对特征值，由，求得基础解系4312340XAE41X再单位化312412331,226QQQQX令，则为正交阵,且12341/2/63/1/2,0/QQQ013TA正交变换为将二次型化为标准形,QYAFT22134FYY试卷六一填空题1RANKAM2实数35415,PJIK二选择题1A2B3B4C5D三判断题1正确2正确（3错误四解下列各题（每小题8分,共16分）1解行向量组为,列向量组为设过渡矩阵为10,21,02则,P1100,22P于是1310202102P2解由A为反对称矩阵，知于是,TA201DETTDETDETET,TA于是0A五解对进行行初等变换21341102,1RAABC要的秩为2，必有