高数笔记

高等数学复习教程第一讲函数、连续与极限对复习内容要分清主次，突出重点，系统复习与重点复习相结合。“极限”是高等数学中一个极为重要的基本概念，无论是导数，还是定积分、广义积分、曲线的渐近线，乃至无穷级数等概念无不建立在极限的基础上，根限是研究微积分的重要工具。但极限的概念与理论只是高等数学的基础知识，并不是复习的重点，复习的重点是高等数学的核心内容微分学与积分学，特别是一元函数的微积分，对微分与积分的基本概念、基本理论、基本运算和基本应用要多下功夫。考生应深刻理解高等数学中的基本概念，特别是导数与微分的定义、原函数与不定积分的定义、定积分的定义等概念。要熟练掌握基本方法和基本技能，特别是函数极限的计算，函数的导数与微分的计算，不定积分与定积分的计算，这是高等数学中一切运算与应用的基础。复习中应当狠抓基本功，从熟记基本公式做起，如基本初等函数导数公式，不定积分基本公式。要熟练掌握导数的四则运算法则及复合函数求导法则。要熟练掌握计算不定积分与定积分的基本方法，特别是凑微分法及分部积分法。考题中会有相当数量的关于导数与微分，不定积分与定积分的基本计算题，试题并不难，考生只要达到上述要求，都能正确解答这些试题。同时，要高度重视导数与定积分的应用，如利用导数讨论函数的性质和曲线形状，利用导数的几何意义求曲线的切线方程与法线方程，利用函数的单调性证明不等式，利用定积分的换元积分法证明等式，利用定积分的几何应用求平面图形的面积和平面图形绕坐标轴旋转得到的旋转体的体积，以及二元函数的无条件极值与条件极值等。3讲究学习方法，追求学习效益。要加强练习，注重解题思路和解题技巧的训练，对基本概念、基本理论、基本性质进行多侧面、多层次、由此及彼、由表及里的辨析。如由导数与微分的概念推广到偏导数与全微分的概念，由不定积分与定积分的概念推广到二重积分的概念，比较它们之间的异同，分析它们之间的内在联系与本质区别。只要把这些关系理清，则可从掌握导线与微分的运算上升到掌握偏导数与全微分的运算，从掌握不定积分与定积分的运算上升到二重积分的运算。学习无穷级数时要注意以极限为工具，判断无穷级数的收敛性是以LIMNSN是否存在为依据的，数项级数收敛的必要条件是LIMNUN0此外，正项级数收敛性的判定，极限形式的比较判别法、达朗贝尔比值法，以及求幂级数的收敛半径、收敛区间，都涉及到极限的计算。常微分方程可看作是积分的应用，求解可分离变量的微分方程时，在分离变量后需两边同时积分，用公式法或常数变易法求解一阶线性微分方程时也需求不定积分。4加强练习，熟悉考题中的各种题型，掌握选择题、填空题和解答题等不同题型的解题方法与解题技巧。对基本公式、基本方法、基本技能要进行适度、适量的练习，在做题的过程中熟悉运算公式和运算法则，在练习的过程中加强理解与记忆。理解和记忆是相辅相承的，在理解中加深记忆，记忆有助于更深入地理解，理解愈深，记忆愈牢。练习中应注意分析与类比，掌握思考问题和解决问题的正确方法。学会总结与归纳，寻求一般性的解题规律及解题方法，提高解题能力。一、理论要求1函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与TAYLOR级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1（等价小量与洛必达）612ARCTNLIM21LNARCTI3030XXX2已知2030LI6SIXFFXX，求解20303COSLIILYFXFX720632163COS1LIM2SINLIM0YYXYXXX（洛必达）3LI2LILI0020XXF3（重要极限）11LIMX4已知A、B为正常数，XXBA302LIM求解令2LNLNL,23XXXTT（变量替换）2/300L3LLLINLIMABTABBAXXXX51LN02COSLIXX解令LNCOS1L,21LN2XTTX（变量替换）/00ALIMLIETTXX6设连续，求F0,FF1LIM022XXDTF（洛必达与微积分性质）7已知在X0连续，求A0,LNCOS2XAF解令（连续性的概念）/1/LIM2X三、补充习题（作业）1（洛必达）3COS1LIM0XEXX2（洛必达或TAYLOR）INLI0TGX3（洛必达与微积分性质）1LI20XTXED第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2微分中值定理理解ROLL、LAGRANGE、CAUCHY、TAYLOR定理会用定理证明相关问题3应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导A导数微分的计算1决定，求52ARCTNEYXY由DXY2决定，求SIL3由1|0X解两边微分得X0时，将X0代入等式得Y1YXYCO3决定，则XYY2由DXDX2LN|0B曲线切法线问题4求对数螺线处切线的直角坐标方程。/,/EE（），在（解1|,0|,SINCO2/2/2/YYXEYX2/5FX为周期为5的连续函数，它在X1可导，在X0的某邻域内满足F1SINX3F1SINX8XOX。求FX在（6，F6）处的切线方程。解需求，等式取X0的极限有F101,6,FF或6218413LIMSINI10SINXYFFTFFTXTXC导数应用问题6已知，XEFFXY2满足对一切，求点的性质。00XF若,0Y解令，故为极小值点。0,0100XEXFX代入，7，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。231XY解定义域,1斜铅垂；拐点及驻点2003XYXY8求函数的单调性与极值、渐进线。EXARCTN2/1解，10ARCTN2/2XYX与驻点YXE与渐D幂级数展开问题9XDTD022SINSINXNNXNNNNXXXDTDTTXTXTXDTTXTTTX0212624732141712622SI1SINI1SINI或20202SINSISINXDUXDUDXUTX10求1L2FF阶导数处的在解213LN222NNXOXX213543NNXO210NFNE不等式的证明11设，,X21LN12L1L2XX，求证（证1）令0,NGG；得证。单调下降，单调下降单调下降，时0,0,101L,2XGXGXG2）令单调下降，得证。,1,LNHHF中值定理问题12设函数具有三阶连续导数，且，1，在XF1,0FF，求证在（1，1）上存在一点0F3，使证2310XFXFXFX其中,将X1，X1代入有61021021FFF两式相减621FF32121F，13，求证2EBA4LN22ABEB证FAFLGRN令LL,L22BXF令222LN0LN1,LNEETT（关键构造函数）4L22ABEB三、补充习题（作业）1230,1LN2YXXF求2曲线01,COSIXYTEYT处切线为在3EX01LN的渐进线方程为4证明X0时221L证令32221,LNXGXXXG0101G，0,102,GXX第三讲不定积分与定积分一、理论要求1不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A积分计算1CXXDXD2ARCSIN242XEDEEEXTANT1TAN2223设，求XFLDF解EDFX1LNCEXDEXXXXX1LNL4112122L4LIM|ARCTNARCTNBDDB积分性质5连续，,且，求并讨论XF10DXFAXF0X在的连续性。解XDYFXTYF0,002/0LIM2020AXDFFXX6XTDFTTFD02022YDXC积分的应用7设在0，1连续，在（0，1）上，且F0XF，又与X1,Y0所围面积S2。求，23XAFXF且A时S绕X轴旋转体积最小。解102422ACDXFCXFFD25143YVXAF8曲线，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与X轴所围图Y形绕X轴旋转的表面积。解切线绕X轴旋转的表面积为2/Y520YDS曲线绕X轴旋转的表面积为1161总表面积为56三、补充习题（作业）1CXXDXCOT2SINLCOTSINL2213653DXARCSI第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示2多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法3多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用LAGRANGE乘数法求极值4空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A求偏导、全微分1有二阶连续偏导，满足，求XFSINYEFZXZEZXYX2解UUECFF2102YXZXYFXZ1，求3，求决定由0,FFZYDXZ/B空间几何问题4求上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。AZYX解ADZ000/5曲面在点处的法线方程。2132YX,C极值问题6设是由确定的函数，,Z01826ZYXY求的极值点与极值。YX三、补充习题（作业）1YXZGYXFZ2,求2F求,3DZXYYXUZ求,ARCTN,LN,2第五讲多元函数的积分一、理论要求1重积分熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）DRBAXYRDFDYXYF21,VRZZZBAXYYXDRFDRZFXYZF21,212,21,SIN,会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）DYXZAYXFZ2,2曲线积分理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法LTTBAXDRRFRYTXTYXLYFDLYXF22SIN,CO1,熟悉GREEN公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件3曲面积分理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系熟悉GAUSS与STOKES公式，会计算两类曲面积分LSSVDXYYXYXZSDFRDTOKESEGAUDZYZFZF旋度）通量，散度）1,2,二、题型与解法A重积分计算1为平面曲线绕Z轴旋转一周与Z8,2DVYXI02XY的围域。解3102420802280ZZYXRDDZXYDI2为与DDA,4222AXA围域。（XY16I3，其他,00,21,2XYXYF求49/20DDF2B曲线、曲面积分4LXXDYAEYBEICOSSIN0,20,OAA至沿从解令AYO至沿从132201ABDXBDXYABIADL5,。LYXDI24为半径的圆周正向为中心，为以10,1R解取包含0,0的正向，SINCORYXL1110LLL6对空间X0内任意光滑有向闭曲面S，且在X0有连续02SXZDYEXYFDZXFXF一阶导数，,求。1LIM0XF解SXDVEFXFFDVFSD02112XXEYEYX第六讲常微分方程一、理论要求1一阶方程熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法2高阶方程会求,YPYFXPYXFYFYN3二阶线性常系数齐次SINCO00211221122XEYIXQQP非齐次XNXNEQYANDRPXF2212非齐,MAXSICOSICOS2JIXRXQEYIPPEFNNJIX次二、题型与解法A微分方程求解1求通解。（0223DYXDYX3CY2利用代换化简并求通解。XUOSXEYXYCOS3SIN（）ECCE5I2,413设是上凸连续曲线，处曲率为，且过处XY,YX21Y1,0切线方程为YX1，求及其极值。Y解2LN1,2LN1|4COS|LN01MAX2YXY三、补充习题（作业）1已知函数在任意点处的增量。）XY1,0,12YXOY求4E2求的通解。（）E24XXECEY2143求的通解。（）0,0XDYX12XY4求的特解。（,2YEE31第七讲无穷级数一、理论要求1收敛性判别级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、P级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交错级数判别法2幂级数幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）TAYLOR与MACLAULIN展开3FOURIER级数了解FOURIER级数概念与DIRICHLET收敛定理会求的FOURIER级数与正余弦级数,L,0L第八讲线性代数一、理论要求1行列式会用按行（列）展开计算行列式2矩阵几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质3向量理解N维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质4线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的标准形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲概率统计初步一、理论要求1随机事件与概率了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算会计算古典型概率与几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2随机变量与分布理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度掌握01、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数3二维随机变量理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布4数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望5大数定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理了解隶莫弗LAPLACE定理与列维林德伯格定理6数理统计概念理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩了解分布、T分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念2了解正态分布的常用抽样分布7参数估计掌握矩估计与极大似然估计法了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均