高等数学-2007年高数下试卷

一、选择题（每小题3分，共15分）1）若在点处可微，则下列结论错误的是（B,ZFXY0,XY）A、在点处连续,FXY0,XYB、在点处连续XYF0,XYC、在点处存在,FXD、曲面在点处有切平面ZFY00,YFX2）二重极限值为（D）240LIMXYA、0B、1C、D、不存在13）已知曲面的方程为，则（20ZXYZ241XYZDSB）A、B、C、1D、22分析222214144XYXYZXYDSDXY21XY4）已知直线和平面则（B）347YZL423XYZA、在内B、与平行，但不在内LLC、与垂直D、不与垂直，不与平行5）用待定系数法求微分方程的一个特解时，应设特解23YX的形式（B）YA、B、2AX2AXBCC、D、2XABC2XABC二、填空题（每小题3分，共15分）1），则ARCTNXZYDZ22YXDYX2）曲线为原点到点的直线段，则曲线积分的值等于L1,2XYLEDS21E3）交换积分次序后，LN10,EXDFYD10,YEFXD4）函数在点沿方向的方向导数为22ZXY2,L55）曲面在点处的法线方程是23ZEXY1,201240XYZ三、（本题7分）计算二重积分其中是由抛物线及直DXYDX线所围成的闭区域。2YX解原式252211YYDXYD2436184四、（本题7分）计算三重积分，其中是由柱面及ZDV21XY平面围成的闭区域。0,1Z解方法一利用柱面坐标计算原式21002DRZ方法二、截片法原式10Z五、（本题7分）计算，其中为旋转抛物面XDYZXZDY的上侧。2,1ZXYZ解方法一、利用两类曲面积分的联系对应侧的法向量为2,1XY原式222211XYXYYDDXY30DR方法二、利用高斯公式，补充曲面并取下侧1原式13DXYZDZYXZDY21012XYZ六、（本题7分），其中为从313XYXYLEDEDYL点沿椭圆到点的一段。,0A2BA,0解原式3134XYXYLLEDEDYX22314COSADBB七、（本题7分）设函数00,22YXYXF证明1）在点处偏导数存在,FXY,02）在点处不可微证明1）因为00,LIMLIMXXXFFFX00,LILIYYYFFFY1所以在点处偏导数存在,FXY0,2）因为2222000,LIMLIMXYXXYYZFFY当取时K222200LILI1XXYKY随之不同极限值也不同，即K220,0,LIMXYXYZFF所以此函数在处不可微。0,八、（本题7分）设，具有连续二阶偏导数，求,YZXFF2,ZYX解，12F12ZYFXFF222111212112ZYYYXFFFFFFXFFYX九、（本题7分）设是微分方程的一个解，求此微EXP分方程的通解。解因为，原方程为,XXXEPPE1YY这是一个一阶线性微分方程，其通解为11XXEDEDYCXXXXEEEEXXXEXY十、（本题8分）在第一卦限内作椭球面的切平面，使221XYZABC该切平面与三坐标平面所围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。解设为椭球面上在第一象限的一点，过此点的切平面00ZYX,方程为0222000ZCYBXA化成截距式方程1202002CZBYAXZCYBXA此切平面与坐标面围成四面体的体积为。（下面我们去掉026ZYXAV下标0）要求满足条件的最小值，XYZABCV2610ZY0X122,CZBYAX只需求满足条件的最,F22,大值。由拉格朗日乘数法，只需求以下函数的驻点122CZBYAXYZ,ZY,XF得4130210222CZBYAXFBYXZAZYZYX3202XY由此得，所以3322CZ,BY,CZ,BY,AX33当时，有最小体积，最小体积为。,AXA2切点坐标为。33,BC十一、（化工类做）（本题7分）已知直线和1203XYLZ，证明，并求由所确定的平面方程。2123XYZL12/L12,证明直线上任取两点，则是10,1,3S的方向向量；的一个方向向量为，因为，所1L2L2,3S12/S以2/设所确定的平面方程为，它经过点和1,0AXBYCZD,点，所以0,1,所求方程为202ABCD210XY十