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第八章重积分第一节二重积分的概念和性质一、引例怎样计算非均匀物体的质量（如图1）1）平面薄片的质量（如图2）设，为平面薄片的密度函数。YXZ,D,（1）化整为零把平面区域任意分割成小块N，NI,21（2）近似代替在每个中任取一点，则每个小块II,可近似密度均匀的薄片其密度为，此时每小块薄I片的质量为，II,（3）积零为整平面薄片的质量；NIIIM1,（4）无限趋近设为所有小块的直径的最大值，则有NIII10,L2）怎样计算曲顶柱体的体积（如图3）定义设为一个有界的闭区域上的有界函数。,FXYD（1）将任意分割成个小部分，并用DN12,N表示第个小块，也表示它的面积；1,2II（2）在每个中任取一点作乘积；I,I,1,2,IIFN（3）求和（黎曼和）；1,NIIIF（4）设各小块的直径的最大值为，如果不论怎么分割，不论怎么选取，极限存在，则函数在上IP01LIM,NIIF,FXYD可积，称此极限为多元数量值函数在上的积分，记为,FXYD，即,DFXYD01,LIM,NIIDFXYDF称为积分区域，称为被积函数，称为积分表,F,FXYD达式，称为面积元素。D注1有时也把写成，此时二重积分也可以写成DXYDDYXF,。DDXYF,二、二重积分的性质1）线性性质性质1（为常数）DDDYXFKDYXKF,K性质2DDYXGFGF,2）可加性性质3如果能分成两部分和，则有D1D221,DYXFDYXFDYXF3）比较性质性质4在上有，则D,FXYGDDDYXGDYXF,性质5。FF,性质6为函数在上的最大值和最小值，为MM,FXY的面积，则有DMDYXFD,4）积分中值定理性质7
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