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第六节高斯公式和斯托克斯公式一、高斯公式定理1设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则有ZYXRZYXQZYXP,RDXYQZPDV或DSDVZRYQXPCOSCOS这里是的整个边界曲面的外侧，是上,点出的法向量的方向余弦。ZYX,证明我们只需证明三个等式，PDYZVXQDZXVYRDXYVZ证明等式最重要的是处理好积分区域证明（如图1）RDXYVZ例1计算，其中为椭球面DXYZZ222的内侧。22ZYX解利用高斯公式DXYZYDZX22212322121222134YXYXYXDXYXDZD0223RRRD20423SINCOSINCOSINDTTTTR2053IIITTT232423例2计算曲面积分，其中积分曲面XDZYDXEZ为，并取下侧。（00华）202YXZ解做辅助曲面并取上侧，利用高斯公式1Z10XDZYDXEDXYZEZZZ12220202EEZEDZYZYXYXZ点评高斯公式可以用来简化第二类曲面积分的计算，首先利用高斯公式时一定要注意积分曲面必须是封闭的，否则要做辅助曲面，如例2；其次要注意积分曲面所选定的侧，如例1中的负号就是因为积分曲面选定的内侧；例3设函数，在闭区域具有一阶及二ZYXU,ZYXV,阶连续的偏导数，证明DXYZVZUYXVUDSNVUVDXYZU其中为闭区域的整个边界曲面，为函数沿N,的外法向量的方向导数，符号。22ZVYXV证明DUXUVDXYZUXYZZVYXDSNVUCOSZVSYCOSXVU二、斯托克斯公式定理2设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数ZYXRZYXQZYXP,在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有RDZQYPXDXYPQDZXP或RDZQYPXRQPZYXDDZ证明我们分别证明以下三式（如图2），DXYDZXQDXYZDX。RZYR设与平行轴的直线的交点不多于一点，即的方程可记为。并取上侧YXFZ,DSYPZDXYPZCOSS因为，221COS,1COSYXYXZDDS在面上的投影为XOYXYDDSPZDPZCOSSXYDYXFZXYDY,F,P（这步由格林公式得出，其中为的CXY,F,CXYD边界）如果从变到，则有从变到，TZYXTYXCDTT,F,TPDXY,F,XP。TT,TDX注闭曲线对应的曲面不是唯一的。例4计算，其中为椭圆LDZYXZDYL，若从轴正向看去，这椭0,1,22BABXAXX圆取逆时针方向。解利用斯托克斯公式计算，曲线所围成的曲面为L22,AYXABZ利用右手准则应取上侧，所以曲面对应的法向量为1,0
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