数学同步练习题考试题试卷教案高中数学必胜秘籍之函数知识点总结

高中数学必胜秘籍之函数知识点总结1对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如集合，、AXYBYXCYXABC|LG|LG,|LG中元素各表示什么A表示函数YLGX的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如集合，XXA|2301若，则实数的值构成的集合为BAA（答，）103显然，这里很容易解出A1,3而B最多只有一个元素。故B只能是1或者3。根据条件，可以得到A1,A1/3但是，这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是A0,不要把它搞忘记了。3注意下列性质（）集合，的所有子集的个数是；1212AANN要知道它的来历若B为A的子集，则对于元素A1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素A2,A3,AN,都有2种选择，所以，总共有种选择，即集合A有N个子集。2N当然，我们也要注意到，这种情况之中，包含了这N个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为，非空真子集个数为1N2N（）若，；BB（3）德摩根定律CCUUUUAAB，有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂,BB4你会用补集思想解决问题吗（排除法、间接法）如已知关于的不等式的解集为，若且，求实数XAMA50352的取值范围。（，）335051539222MAAA注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数FXAX2BXCA0在上单调递减，在上单调递增，就应该马上知道函数对称,11,轴是X1或者，我说在上，也应该马上可以想到M，N实际上就是方程的2个根5、熟悉命题的几种形式、可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”若为真，当且仅当、均为真PQPQ若为真，当且仅当、至少有一个为真若为真，当且仅当为假命题的四种形式及其相互关系是什么（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）满足条件，满足条件，XA|PXB|Q若；则是的充分非必要条件；BA_若；则是的必要非充分条件；若；则是的充要条件；PQ若；则是的既非充分又非必要条件；_7对映射的概念了解吗映射FAB，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）注意映射个数的求法。如集合A中有M个元素，集合B中有N个元素，则从A到B的映射个数有NM个。如若，；问到的映射有个，到的映4,321A,CBA射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有AB3,21AB个。函数的图象与直线交点的个数为个。XYAX8函数的三要素是什么如何比较两个函数是否相同（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法表达式相同；定义域一致两点必须同时具备9求函数的定义域有哪些常见类型例函数的定义域是YX432LG（答，）02函数定义域求法分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数XYTANKXR,2,且余切函数COT,且反三角函数的定义域函数YARCSINX的定义域是1,1，值域是，函数YARCCOSX的定义域是1,1，值域是0,，函数YARCTGX的定义域是R，值域是，函数YARCCTGX的定义域是R，值域是0,当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10如何求复合函数的定义域如函数的定义域是，则函数的定FXABAFXFX0义域是_。（答，）复合函数定义域的求法已知的定义域为，求的定义域，XFYNM,XGFY可由解出X的范围，即为的定义域。NGMXGFY例若函数的定义域为，则的定义域为。FY2,1LO2F分析由函数的定义域为可知；所以中XF,XLOG2XFY有。2LOG1X解依题意知2LOG1X解之，得4的定义域为LOG2XF|X11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例求函数Y的值域X12、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数Y2X5，X1，2的值域。23、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂1222222BAY型直接用不等式性质KX型,先化简，再用均值不等式MN例Y1XC型通常用判别式NXDY型法一用判别式法二用换元法，把分母替换掉X1（）（X1）1例Y（X）24、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例求函数Y值域。6543X5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例求函数Y，的值域。1XE2SIN1Y2SIN1COY22202SIN1|SI|,12COSCOSINS141,SIN4SIN4即又由知解不等式，求出，就是要求的答案XXYYYYYXXY6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数Y（2X10）的值域25XLOG31X7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例求函数YX的值域。1X8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例已知点P（XY）在圆X2Y21上，,2,2,0,1的取值范围2Y的取值范围解令则是一条过的直线D为圆心到直线的距离R为半径令Y即也是直线DXYKXXRBYXR例求函数Y的值域。282解原函数可化简得YX2X8上式可以看成数轴上点P（X）到定点A（2），B（8）间的距离之和。由上图可知当点P在线段AB上时，YX2X8AB10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，YX2X8AB10故所求函数的值域为10，）例求函数Y的值域1362X542X解原函数可变形为Y021022上式可看成X轴上的点P（X，0）到两定点A（3，2），B（2，1）的距离之和，由图可知当点P为线段与X轴的交点时，YAB，MIN12324故所求函数的值域为，）。4例求函数Y的值域62X52X解将函数变形为Y021022上式可看成定点A（3，2）到点P（X，0）的距离与定点B（2，1）到点P（X，0）的距离之差。即YAPBP由图可知（1）当点P在X轴上且不是直线AB与X轴的交点时，如点P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有APBPAB26即Y26（2）当点P恰好为直线AB与X轴的交点时，有APBPAB。26综上所述，可知函数的值域为（，）。26注求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在X轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在X轴的同侧。9、不等式法利用基本不等式AB2，ABC3（A，B，C），求函数的最值，其题型特征解析ABC3R式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例33201132XX应用公式ABC时，注意使者的乘积变成常数）A312X01排除选项C,D现在看值域。原函数至于为Y1,则反函数定义域为X1,答案为B我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写书）。思路能不能明白呢14反函数的性质有哪些反函数性质1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的X对应原函数中的Y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的Y对应原函数中的X）3、反函数的图像和原函数关于直线X对称（难怪点（X,Y）和点（Y，X）关于直线YX对称互为反函数的图象关于直线YX对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设的定义域为，值域为，则YFXACAABFABF1AABAFBF111，由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04上海春季高考）已知函数，则方程的解24LOG3XF41XF_1X对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的Y,不就是原函数的X吗那代进去阿，答案是不是已经出来了呢（也可能是告诉你反函数的X值，那方法也一样，呵呵。自己想想，不懂再问我15如何用定义证明函数的单调性（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种1定义法根据定义，设任意得X1,X2，找出FX1,FX2之间的大小关系可以变形为求的正负号或者与1的关系12FF2FX2参照图象若函数FX的图象关于点A，B对称，函数FX在关于点A，0的对称区间具有相同的单调性；（特例奇函数）若函数FX的图象关于直线XA对称，则函数FX在关于点A，0的对称区间里具有相反的单调性。（特例偶函数）3利用单调函数的性质函数FX与FXCC是常数是同向变化的函数FX与CFXC是常数，当C0时，它们是同向变化的；当C0时，它们是反向变化的。如果函数F1X，F2X同向变化，则函数F1XF2X和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数F1X，F2X同向变化，则函数F1XF2X和它们同向变化；如果负值函数F12与F2X同向变化，则函数F1XF2X和它们反向变化；（函数相乘）函数FX与在FX的同号区间里反向变化。1FX若函数UX，X，与函数YFU，U，或U,同向变化，则在，上复合函数YFX是递增的；若函数UX,X，与函数YFU，U，或U，反向变化，则在，上复合函数YFX是递减的。（同增异减）若函数YFX是严格单调的，则其反函数XF1Y也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。如求的单调区间YXLOG12（设，由则UXUX202FGGXFGXFXGXFXGX都是正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减且，如图LOG1221UXUO12X当，时，又，XUUYLOG0112当，时，又，2）16如何利用导数判断函数的单调性在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于ABFXF0零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢X0如已知，函数在，上是单调增函数，则的最大AFAA013值是（）A0B1C2D3（令FXAXA302则或由已知在，上为增函数，则，即FXA1313A的最大值为3）17函数FX具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么（FX定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称FXFFX若总成立为偶函数函数图象关于轴对称Y注意如下结论（1）在公共定义域内两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2FXF0如若为奇函数，则实数AAX21（为奇函数，又，FRF00即，）AA2110又如为定义在，上的奇函数，当，时，FXXFXX01241求在，上的解析式。F1（令，则，XXFXX001241又为奇函数，FFXX24又，）FFXXX010241判断函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义XF判断其奇偶性这种方法可以做如下变形FX0奇函数偶函数F1偶函数X奇函数F三、复合函数奇偶性18你熟悉周期函数的定义吗（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TFXTFFX0函数，T是一个周期。）如若，则FXAF（答是周期函数，为的一个周期）TAFX2我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况告诉你FXFXT0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2T推导，022FXFXTFXFXTTT同时可能也会遇到这种样子FXF2AX,或者说FAXFAX其实这都是说同样一个意思函数FX关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，FXF2AX,或者说FAXFAX就都表示函数关于直线XA对称。22,2,2|,FXXABFAFBFFXTXTAFTBAFBF又如若图象有两条对称轴，即，令则即所以函数以为周期因不知道的大小关系为保守起见我加了一个绝对值FGGXFGXFXGXFXGX奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶如19你掌握常用的图象变换了吗联想点（X,Y）,X,YFXY与的图象关于轴对称联想点（X,Y）,X,YFX与的图象关于轴对称联想点（X,Y）,X,YF与的图象关于原点对称联想点（X,Y）,Y,XXY与的图象关于直线对称1联想点（X,Y）,2AX,YFAXA与的图象关于直线对称2联想点（X,Y）,2AX,0FX与的图象关于点，对称0将图象左移个单位右移个单位YAYFAX上移个单位下移个单位BYFXBA0（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数YBFXA怎么由YFX得到，可以直接令YB0,XA0,画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）注意如下“翻折”变换|X|YFXF把轴下方的图像翻到上面把轴右方的图像翻到上面如FLOG21作出及的图象YXXLOG21YYLOG2XO1X19你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗K0YBOA,BOXXAK为斜率，B为直线与Y轴的交点（）一次函数10YKXB（）反比例函数推广为是中心，20YKXAOAB的双曲线。（）二次函数图象为抛物线302422YAXBCABC顶点坐标为，对称轴XA42开口方向，向上，函数AYCB042MINA2，向下，X121212,|BXACXAAA根的关系212112MN,FXABCMNFXXHXH二次函数的几种表达形式一般式顶点式，（，）为顶点是方程的个根）函数经过点（应用“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ABCXYABXCX21220，时，两根、为二次函数的图象与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。ABC0求闭区间M，N上的最值。2MX,IN2A,4MIN,AX,0NFFFBMNCBFFFMNA区间在对称轴左边（）区间在对称轴右边（）区间在对称轴边（）也可以比较和对称轴的关系，距离越远，值越大只讨论的情况）求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。如二次方程的两根都大于AXBCKBAKF2002YA0OKX1X2X一根大于，一根小于KF0YOXK0MN220BMNAFF在区间（，）内有根在区间（，）内有1根（）指数函数，40YAX（）对数函数，51AALOG由图象记性质（注意底数的限定）YYAX1011O1X00且A1）F（XY）F（X）F（Y）；F（）F（X）F（Y）5三角函数型的抽象函数F（X）TGXF（XY）1YFXFF（X）COTXF（XY）FF例1已知函数F（X）对任意实数X、Y均有F（XY）F（X）F（Y），且当X0时，FX0，F12求FX在区间2,1上的值域分析先证明函数F（X）在R上是增函数（注意到F（X2）F（X2X1）X1F（X2X1）F（X1）；再根据区间求其值域例2已知函数F（X）对任意实数X、Y均有F（XY）2F（X）F（Y），且当X0时，FX2，F35，求不等式F（A22A2）0,XN；F（AB）F（A）F（B），A、BN；F（2）4同时成立若存在，求出F（X）的解析式，若不存在，说明理由分析先猜出F（X）2X；再用数学归纳法证明例6设F（X）是定义在（0，）上的单调增函数，满足F（XY）F（X）F（Y），F（3）1，求（1）F（1）；（2）若F（X）F（X8）2，求X的取值范围分析（1）利用313；（2）利用函数的单调性和已知关系式例7设函数YF（X）的反函数是YG（X）如果F（AB）F（A）F（B），那么G（AB）G（A）G（B）是否正确，试说明理由分析设F（A）M，F（B）N，则G（M）A，G（N）B，进而MNF（A）F（B）F（AB）FG（M）G（N）例8已知函数F（X）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件X1、X2是定义域中的数时，有F（X1X2）；121XFFF（A）1（A0，A是定义域中的一个数）；当0X2A时，F（X）0试问（1）F（X）的奇偶性如何说明理由；（2）在（0，4A）上，F（X）的单调性如何说明理由分析（1）利用F（X1X2）F（X1X2），判定F（X）是奇函数；（3）先证明F（X）在（0，2A）上是增函数，再证明其在（2A，4A）上也是增函数对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题例9已知函数F（X）（X0）满足F（XY）F（X）F（Y），（1）求证F（1）F（1）0；（2）求证F（X）为偶函数；（3）若F（X）在（0，）上是增函数，解不等式F