数学与应用数学毕业论文（设计）-求函数极限方法的探讨

本科学生毕业论文（设计）题目（中文）求函数极限方法的探讨（英文）BEGFUNCTIONLIMITMETHODISDISCUSSED姓名学号院（系）数学与计算机科学系专业、年级数学与应用数学2007级指导教师教授2011年3月20目录目录21绪论62一元函数极限概念与求法721一元函数极限的概念722一元函数极限的求解方法7221利用一元函数的定义求解7222利用极限的四则运算求函数极限8223利用函数的性质求函数极限9224利用等价无穷小代换求函数极限10225利用无穷小量性质法11226利用无穷小量与无穷大量的关系11227利用数学公式，定理求函数极限12228利用变量替换求函数极限16229用左右极限与极限关系173二元函数极限的概念与求法1831二元函数极限的概念1832二元函数极限的求法18321利用二元函数的极限的定义求极限18322利用连续函数的定义及初等函数的连续性求解19323利用极限的四则运算求解20324利用有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量求解20325利用等价无穷小替换求解21326利用分子或分母有理化求解21327利用夹逼定理求解2133小结224结语225致谢236参考文献23求函数极限的方法探讨摘要函数极限概念与函数极限求法是近代微积分学的基础，本文主要对一元函数、二元函数极限定义和它们的求解方法进行了归纳和总结，并在某些具体的求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明，以便于我们了解函数的各种极限以及对各类函数极限进行计算。函数极限的求法有很多，每种方法都有其优缺点，对某个具体的求极限问题，我们应该选择最简单的方法。【关键词】函数定义，数学定理，公式，函数极限BEGFUNCTIONLIMITMETHODISDISCUSSEDABSTRACTFUNCTIONLIMITCONCEPTANDFUNCTIONLIMITOFMODERNCALCULUSISINTRODUCED,THISPAPERMAINLYBASEDONACIRCULARFUNCTION,DUALFUNCTIONLIMITDEFINITIONANDTHEIRSOLVINGMETHODS,ANDSUMMARIZESSOMECONCRETE,ANDTHESOLVINGMETHODOFSHOULDPAYATTENTIONTOINTHEDETAILSANDSKILLSSOTHATWEUNDERSTANDTHATVARIOUSEXTREMEANDTHEFUNCTIONOFVARIOUSFUNCTIONLIMITTOCALCULATEWEHAVEMANYFUNCTIONLIMIT,EACHMETHODHASITSADVANTAGESANDDISADVANTAGES,TOASPECIFICASK,WESHOULDCHOOSETHELIMITOFTHEMOSTSIMPLEMETHOD【KEYWORDS】AFUNCTIONDEFINITION,MATHEMATICALTHEOREMS,FORMULA,FUNCTIONLIMIT1绪论极限研究的是函数的变化趋势,在自变量的某个变化过程中,对应的函数值能无限接近某个确定的数，那这个数就是函数的极限了。极限是高等数学中一个非常重要的概念,是贯穿高等数学的一条主线,它将高等数学的各个知识点连在了一起。所以,求极限的方法显得尤为重要的。我们知道,函数是高等数学研究的对象,而极限方法则是在高等数学中研究函数的重要方法,因此怎样求极限就非常重要。早在我国古代刘徽的九章算术中提到“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”就涉及了到了极限。古希腊人的“穷竭法”也蕴含了极限思想。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。在有了极限的定义之后，为了判断具体某一函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。在经过了许多数学家的不断努力之后，法国数学家柯西获得了完善的结果，即柯西收敛原理。到了近代，在数学家们的努力下给了极限一个专业的定义有了极限的定义自然就有了许多求极限的方法。求函数极限的方法有很多，其中有利用定义求函数极限、利用夹逼定理求函数极限、利用函数的连续性求极限、利用极限的四则运算、利用变量替换、利用等价无穷小代换、利用定积分求合公式、利用导数定义、利用泰勒公式、利用黎曼引理、利用柯西收敛原理、利用罗必达法则求极限等一些方法，而其中大部分是用于求解一元函数的极限。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,二者之间既有联系又有区别。比如,极限的四则运算法则是相同的,但是随着变量个数的增加,二元函数的极限比一元函数极限变得要复杂得多。因此本文除了对一元函数的求解方法进行概括总结外，还对二元函数的求极限方法进行了一些简单的归纳和说明，并与求一元函数的极限方法进行了比较，从而使阅读本文的人更快更好的掌握一元函数，二元函数极限的求解技巧和它们的异同点。2一元函数极限概念与求法21一元函数极限的概念设FA,R是一个一元实值函数，AR如果对于任意给定的0，存在正数X，使得对于适合不等式XX的一切X，所对应的函数值FX都满足不等式FXA1,N0XNALI解当X1时,存在唯一的正整数K,使得KXK1于是当N0的时候有KNXNA1以及KNKXN1又因为当X时,K有KNKA1LIM0LI1AAKN及1LIKN0LIAKN则0XNLIM小结利用函数的基本性质来求解函数极限对一些特定的函数极限的求解有着十分重要的作用，熟悉和了解函数的基本性质是解决此类函数极限方法的重要前提。224利用等价无穷小代换求函数极限设都是同一极限过程中的无穷小量，且有,，存在，,LIM则也存在，且有LIMLILI例题求极限20SINCO1LXX解,SIN2220SINCO1LMXX12注在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”此外不仅无穷小量代换能求函数极限，还能运用无穷小量与无穷大量的关系，以及无穷小量的性质法来求解函数极限。225利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数FX、GX满足（1）0LIM0XF2M为正整数MG则LI0XFX例题求的极限X1SINL0解由而LIM0X1SINX故原式1SINL0X226利用无穷小量与无穷大量的关系（1）若则LIMXF01LIMXF2若且FX0则0LIF1LIXF例题求下列极限（1）（2）51LIMX1LIMX解（1）由故LI05LI（2）由故01LIMX1LIMX227利用数学公式，定理求函数极限2271罗比塔法则（适用于未定式极限）定理若AXGFXFFIXGXUXGGFIXXXLIMLIL00LI,0L0000），则或可为实数，也可为内可导，且的某空心邻域在与此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注运用罗比塔法则求极限应注意以下几点1、要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。,02、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求LIMXGFAX极限须用另外方法。例题（1）1LN2I0XEX（2）0,IMAX解（1）令FX,21XEXGXL1N2,1XEXF21XG2“3“1,XGEXF由于0,0F但2“G从而运用罗比塔法则两次后得到1212LIM12LIM1LNIM3021020XEXEXEXXX（2）由故此例属于型，AXXLI,LI由罗比塔法则有0,1LIMLINLIM1XAXAXXA小结对于一些特定类型的函数求极限（型，型）可以适用罗比塔法则进行求解，关系是要知道此类函数的类型是属于型还是型。02272利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式1、2NXXOE2、1253SIN2NNXOX3、421CO2NNXX4、1LNNNO5、121NXOXX6、X12NXO上述展开式中的符号都有N0LIM0NXO例题求02LI0AXAX解利用泰勒公式，当有21O于是XAXLIM0XAX12LI0XXOAOAX22LIM0AXXXX211LIMLI00小结此类题型考验的是我们对泰勒展式的熟悉程度，因此解决此类题目要十分熟悉泰勒展式的结构以及用途。2273利用拉格朗日中值定理求函数极限原理若函数F满足如下条件IF在闭区间上连续IIF在A,B内可导则在A,B内至少存在一点,使得ABFF此式变形可为10ABFABF例题求XEXSINLIMI0解令对它应用中值定理得F10SINSIINSISINXXFXFXEX即10SISINSIINXXFXX连续XEF10SINSILM0FXX从而有SILII0EX小结利用拉格朗日中值定理求函数极限关键至于拉格朗日中值定理的合理运用。2274利用黎曼引理求函数极限求（A0）20COSLIM1APXD解原式000COS21COS21LILIMLILN1AAAPPPXPXDDXDA2275利用夹逼定理求函数极限若存在正整数N,当NN时,有XNYNZN,且,AZNXNLILI则有AYNLIM例题求FN的极限21N解对任意正整数N,显然有,N22而,由夹逼性定理得01NLIM2即FN的极限是02数学公式，定理在求函数极限的方法中有着大量的运用。不仅仅只有上述公式，定理能求解出函数极限，还有柯西收敛准则，定积分求和公式等一些数学公式定理能将函数极限求解出来。228利用变量替换求函数极限此方法适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型特别地有M、N、K、L为正整数。KLXMNKL1I例题求下列函数极限（1）、N（2）XMNXLI1N13LIMXX解（1）令T则当时,于是1X1T原式NTTTTMTNMTLILI1211（2）由于123LIXX1M令T则21TX13LIMXX1LIX210LIMTTETTTTLILI21010229用左右极限与极限关系此方法适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形。原理函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限LIM0XFLIM0XFX及右极限都存在且都等于A。即有LI0XAAFXLI00XFLI0F例题设F1,22XE求及LIM0FXLIF1LIMLILI000XXFEXXX解由1FLIM0FX不存在由（又LIM01LILI01LIM12111XFFXXXX3二元函数极限的概念与求法31二元函数极限的概念设为定义在上的二元函数,为的一个聚点,是一个确定的实FD2R0PDA数若对任给正数,总存在某正数,使得当时,都有0U,则称在上当时,以为极限,记作FPAF0A0LIMPDF32二元函数极限的求法321利用二元函数的极限的定义求极限根据点沿任意连续曲线趋于时0,LIM,XYFXYA,XY0,XY趋于我们可取某一特殊方向,求出当趋于时,FAK,XK的极限,然后再利用定义验证这一极限是即为二重极限XY例设1SINI,0,0,XYXYFO当且当或求,0,LIMXYF解取特殊方向,求出沿直线趋于时的极限YX,YX0,0,001LILI,LIMSNIXYXXYFF01LIM2SNX现在用定义证明,0,LIXYF对,当或时,则当,01,0XYXY0，X,时,有YF当,时,当,2XY2XY时,有,0XY,FXY1SINIYX1SINIYXII2于是,对,当,时,有0XY0XFXY所以,0,LIMXYF322利用连续函数的定义及初等函数的连续性求解若在点处连续,则,FXY0Y00,LIM,XYFXYF例求极限2,0,1LIMXY解因为在处连续2,所以2,0,1LIXY20,1XY323利用极限的四则运算求解设时函数和的极限存在,则0,XY,FXYG；0,1LIM,XYF00,LIMLI,XYXYFGY；000,2,XY30,LIMXYFXYG0,LIM,XYFXYG0,LI,0XYGY例求极限2,LIXYXYE解2,LIXYXY2,LIMXY22,1LIXYXXYE因为且2LIM0XE1LI0YE故2,LIXYXY同理2,1LI0YXXYE所以2,LIMXYXY324利用有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量求解若当时,而为有界变量,则当0,XY,0FXYGXY时,G例求极限3,0,1LIMSINCOXYYX解因为3,0,LIXY当时,与均有界,1SINXCOSY所以3,0,LIMI0XYY325利用等价无穷小替换求解设与,与均是等价无穷小量,且,则当时,必LIMA或有LIMLIA或例求极限2,0,1COSLIMXYXY解因为22CS,0,X221XYXY1又,0,LIMXY所以2,0,1COSLIXYXY22,0,1LIMXYYX326利用分子或分母有理化求解若分子或分母的极限为,不能运用商的极限运算法则时,采用通过分子或0分母有理化,消去分母中趋于零的因子,再运用极限运算法则例求极限2,0,LIM1XYYX解2,0,LIXYY22,0,21LI1XYXYXY22,0,1LIMXYXY2,0,LIM1XYXY327利用夹逼定理求解若在的某个领域内,成立不等式,且0XY,UXYFVXY,则0,LIMXYU0,LIXYVYA0,LIMXYA例求极限22,LIXXY解因为2210XX又21LIM0XX所以22,LI0XXYY33小结对于求二元函数极限，其中很多地方都能使用到求解一元函数极限的方法定义求解法、无穷小替代法，夹逼法等都能从中看到求一元函数极限的方法的踪迹，要解得一个二元函数的极限就必须得熟练的掌握好一元函数极限极限的求解方法，将其方法融入到求解二元函数极限中去，从而使得问更加的简单化，明朗化。4结语本文主要是在考虑函数极限存在的前提下撰写的。求函数极限的方法并不是一成不变的，每一个题目适用于它的解决方法也不是唯一的，只要一个函数的极限存在总会有一个或者多个方法与之对应。本文重点在于对一元函数极限的求解方法，对于多元函数，只列举了部分求解二重极限的方法，而其中与一元函数极限的求法有很大的联系，细观一元函数和二元函数极限的解法，可以从中更好的了解到一个函数的性质，乃至用途。函数极限不仅仅是数分中的重点难点，更是近代微积分学的基础，因此了解和熟练的掌握一个函数极限的求法对于整个高等数学来说都是十分重要的。以上只是列举了大部分的函数极限的求解方法，但方法并不只限于以上几种，或许还有未知的方法等着我们去发掘。5参考文献1、王艳,周文丽,张俊丽,汤木兰求极限的几种方法J西安欧亚学院学报,200532、张宏达高等数学中求极限的常用方法J北京交通管理干部学院报,2004VOL433、胡喜和谈求极限的方法J内蒙古电大学刊,200514、徐荣贵求极限的方法和技巧J四川工程职业技术学院学报,200615、王伟