【高一数学】4高一数学(人教新课标a版)函数的单调性和奇偶性教案!ppt模版课件

函数的单调性和奇偶性一、目标认知学习目标1理解函数的单调性、奇偶性定义；2会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性；3会利用图象和定义判断函数的奇偶性；4掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用重点、难点1对于函数单调性的理解；2函数性质的应用二、知识要点梳理1函数的单调性1增函数、减函数的概念一般地，设函数FX的定义域为A，区间如果对于M内的任意两个自变量的值X1、X2，当X1X2时，都有FX1FX2，那么就说FX在区间M上是增函数；如果对于M内的任意两个自变量的值X1、X2，当X1X2时，都有FX1FX2，那么就说FX在区间M上是减函数如果函数FX在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数FX在区间M上具有单调性，M称为函数FX的单调区间要点诠释1“任意”和“都”；2单调区间与定义域的关系局部性质；3单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；4不能随意合并两个单调区间2已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性基本方法观察图形或依据定义2函数的奇偶性偶函数若对于定义域内的任意一个X，都有FXFX，那么FX称为偶函数奇函数若对于定义域内的任意一个X，都有FXFX，那么FX称为奇函数要点诠释1奇偶性是整体性质；2X在定义域中，那么X在定义域中吗具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；3FXFX的等价形式为，FXFX的等价形式为；4由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有F00；5若FX既是奇函数又是偶函数，则必有FX0；6，三、规律方法指导1证明函数单调性的步骤1取值设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；2变形作差变形（变形方法因式分解、配方、有理化等）或作商变形；3定号判断差的正负或商与1的大小关系；4得出结论2函数单调性的判断方法1定义法；2图象法；3对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数3常见结论1若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；2若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减函数；3若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数4若奇函数在上是增函数，且有最大值，则在是增函数，且有最小值；若偶函数在是减函数，则在是增函数经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1证明函数上的单调性证明在0，上任取X1、X2X1X2，令XX2X10则X10，X20，上式0，YFX2FX10上递减总结升华1证明函数单调性要求使用定义；2如何比较两个量的大小作差3如何判断一个式子的符号对差适当变形举一反三【变式1】用定义证明函数上是减函数思路点拨本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径证明设X1，X2是区间上的任意实数，且X1X2，则0X1X21X1X20，0X1X210X1X21故，即FX1FX20X1X2时有FX1FX2上是减函数总结升华可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象类型二、求函数的单调区间2判断下列函数的单调区间；1YX23|X|2；2解1由图象对称性，画出草图FX在上递减，在上递减，在上递增2图象为FX在上递增举一反三【变式1】求下列函数的单调区间1Y|X1|；23解1画出函数图象，函数的减区间为，函数的增区间为1，；2定义域为，其中U2X1为增函数，在，0与0，为减函数，则上为减函数；3定义域为，00，单调增区间为，0，单调减区间为0，总结升华1数形结合利用图象判断函数单调区间；2关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关3复合函数的单调性分析先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决关注内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数类型三、单调性的应用比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值3已知函数FX在0，上是减函数，比较FA2A1与的大小解又FX在0，上是减函数，则4求下列函数值域1；1X5，10；2X3，22，1；2YX22X3；1X1，1；2X2，2思路点拨1可应用函数的单调性；2数形结合解12个单位，再上移2个单位得到，如图1FX在5，10上单增，；2；2画出草图1YF1，F1即2，6；2举一反三【变式1】已知函数1判断函数FX的单调区间；2当X1，3时，求函数FX的值域思路点拨这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式，第二问即是利用单调性求函数值域解1上单调递增，在上单调递增；2故函数FX在1，3上单调递增X1时FX有最小值，F12X3时FX有最大值X1，3时FX的值域为5已知二次函数FXX2A1X5在区间上是增函数，求1实数A的取值范围；2F2的取值范围解1对称轴是决定FX单调性的关键，联系图象可知只需；2F2222A152A11又A2，2A4F22A114117类型四、判断函数的奇偶性6判断下列函数的奇偶性123FXX24|X|34FX|X3|X3|567思路点拨根据函数的奇偶性的定义进行判断解1FX的定义域为，不关于原点对称，因此FX为非奇非偶函数；2X10，FX定义域不关于原点对称，FX为非奇非偶函数；3对任意XR，都有XR，且FXX24|X|3FX，则FXX24|X|3为偶函数；4XR，FX|X3|X3|X3|X3|FX，FX为奇函数；5，FX为奇函数；6XR，FXX|X|XFXX|X|XX|X|XFX，FX为奇函数；7，FX为奇函数举一反三【变式1】判断下列函数的奇偶性1；2FX|X1|X1|；3FXX2X1；4思路点拨利用函数奇偶性的定义进行判断解1；2FX|X1|X1|X1|X1|FXFX为奇函数；3FXX2X1X2X1FXFX且FXFXFX为非奇非偶函数；4任取X0则X0，FXX22X1X22X1X22X1FX任取X0，则X0FXX22X1X22X1X22X1FXX0时，F0F0XR时，FXFXFX为奇函数举一反三【变式2】已知FX，GX均为奇函数，且定义域相同，求证FXGX为奇函数，FXGX为偶函数证明设FXFXGX，GXFXGX则FXFXGXFXGXFXGXFXGXFXGXFXGXFXGXGXFXGX为奇函数，FXGX为偶函数类型五、函数奇偶性的应用求值，求解析式，与单调性结合7已知FXX5AX3BX8，且F210，求F2解法一F22523A2B8328A2B8408A2B108A2B50F22523A2B88A2B24502426法二令GXFX8易证GX为奇函数G2G2F28F28F2F2161016268FX是定义在R上的奇函数，且当X0时，FXX2X，求当X0时，FX的解析式，并画出函数图象解奇函数图象关于原点对称，X0时，YX2X即YX2X又F00，如图9设定义在3，3上的偶函数FX在0，3上是单调递增，当FA1FA时，求A的取值范围解FA1FAF|A1|F|A|而|A1|，|A|0，3类型六、综合问题10定义在R上的奇函数FX为增函数，偶函数GX在区间的图象与FX的图象重合，设AB0，给出下列不等式，其中成立的是_FBFAGAGB；FBFAGAGB；FAFBGBGA；FAFBGBGA答案11求下列函数的值域123思路点拨1中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；2由单调性求值域，此题也可换元解决；3单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时T范围解1；2经观察知，；3令12已知函数FXX22AXA211若函数FX在区间0，2上是单调的，求实数A的取值范围；2当X1，1时，求函数FX的最小值GA，并画出最小值函数YGA的图象解1FXXA21A0或A221当A1时，如图1，GAF1A22A2当1A1时，如图2，GAFA13当A1时，如图3，GAF1A22A，如图13已知函数FX在定义域0，上为增函数，F21，且定义域上任意X、Y都满足FXYFXFY，解不等式FXFX23解令X2，Y2，F22F2F22F42再令X4，Y2，F42F4F2213F83FXFX23可转化为FXX2F814判断函数上的单调性，并证明证明任取0X1X2，0X1X2，X1X20，X1X201当时0X1X21，X1X210FX1FX20即FX1FX2上是减函数2当X1，X21，时，上是增函数难点X1X21的符号的确定，如何分段15设A为实数，函数FXX2|XA|1，XR，试讨论FX的奇偶性，并求FX的最小值解当A0时，FXX2|X|1，此时函数为偶函数；当A0时，FXX2|XA|1，为非奇非偶函数1当XA时，1且2上单调递增，上的最小值为FAA212当XA时，1上单调递减，上的最小值为FAA212上的最小值为综上学习成果测评基础达标一、选择题1下面说法正确的选项A函数的单调区间就是函数的定义域B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2在区间上为增函数的是ABCD3已知函数为偶函数，则的值是ABCD4若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是ABCD5如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是A增函数且最小值是B增函数且最大值是C减函数且最大值是D减函数且最小值是6设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数7下列函数中，在区间上是增函数的是ABCD8函数FX是定义在6，6上的偶函数，且在6，0上是减函数，则AF3F40BF3F20CF2F50DF4F10二、填空题1设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图，则不等式的解是_2函数的值域是_3已知，则函数的值域是_4若函数是偶函数，则的递减区间是_5函数在R上为奇函数，且，则当，_三、解答题1判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性2已知函数的定义域为，且同时满足下列条件1是奇函数；2在定义域上单调递减；3求的取值范围3利用函数的单调性求函数的值域；4已知函数当时，求函数的最大值和最小值；求实数的取值范围，使在区间上是单调函数能力提升一、选择题1下列判断正确的是A函数是奇函数B函数是偶函数C函数是非奇非偶函数D函数既是奇函数又是偶函数2若函数在上是单调函数，则的取值范围是ABCD3函数的值域为ABCD4已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是ABCD5下列四个命题1函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；2若函数与轴没有交点，则且；3的递增区间为；4和表示相等函数其中正确命题的个数是ABCD6定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则ABCD二、填空题1函数的单调递减区间是_2已知定义在上的奇函数，当时，那么时，_3若函数在上是奇函数，则的解析式为_4奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为1，则_5若函数在上是减函数，则的取值范围为_三、解答题1判断下列函数的奇偶性122已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明1函数是上的减函数；2函数是奇函数3设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式4设为实数，函数，1讨论的奇偶性；2求的最小值综合探究1已知函数，则的奇偶性依次为A偶函数，奇函数B奇函数，偶函数C偶函数，偶函数D奇函数，奇函数2若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是ABCD3已知，那么_4若在区间上是增函数，则的取值范围是_5已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，1求；2解不等式6当时，求函数的最小值7已知在区间内有一最大值，求的值8已知函数的最大值不大于，又当，求的值答案与解析基础达标一、选择题1C2B3B奇次项系数为4D5A奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性6A7A在上递减，在上递减，在上递减8D二、填空题1奇函数关于原点对称，补足左边的图象2是的增函数，当时，3该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大45三、解答题1解当，在是增函数，当，在是减函数；当，在是减函数，当，在是增函数；当，在是减函数，在是增函数，当，在是增函数，在是减函数2解，则，3解，显然是的增函数，4解对称轴2对称轴当或时，在上单调或能力提升一、选择题1C选项A中的而有意义，非关于原点对称，选项B中的而有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数；2C对称轴，则，或，得，或3B，是的减函数，当4A对称轴5A1反例；2不一定，开口向下也可；3画出图象可知，递增区间有和；4对应法则不同6A二、填空题1画出图象2设，则，3即4在区间上也为递增函数，即5三、解答题1解1定义域为，则，为奇函数2且既是奇函数又是偶函数2证明1设，则