四川省自贡市牛佛片区2017届九年级上期中数学试卷含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2016年四川省自贡市牛佛片区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A B x+ =1 C x+2y=1 D x（ x 1） =已知 x=2 是一元二次方程 x2+=0 的一个解，则 m 的值是（ ） A 3 B 3 C 0 D 0 或 3 3不解方程，判断方程 23x+1=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相 等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 4二次函数 y= 的图象大致是（ ） A B C D 5已知抛物线 y=（ x 1） 2+4，下列说法错误的是（ ） A开口方向向下 B形状与 y=同 C顶点（ 1， 4） D对称轴是 x=1 6将 x 5=0 进行配方变形，下列正确的是（ ） A（ x+2） 2=9 B（ x 2） 2=9 C（ x+2） 2=1 D（ x 2） 2=1 7抛物线 y=3右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是（ ） A y=3（ x 1） 2 2 B y=3（ x+1） 2 2 C y=3（ x+1） 2+2 D y=3（ x 1） 2+2 8已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 14x+48=0 的两根，则此三角形的斜边长为（ ） A 6 B 8 C 10 D 14 9如图，要设计一幅宽 20 30图案 ，其中有两横两竖的彩条即图中的阴影部分，横竖彩条的宽度比为 2： 1如果要使阴影所占面积是图案面积的 ，则竖彩条宽度为（ ） A 1 2 19 1 19 0如图，坐标平面上，二次函数 y= x k 的图形与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，其顶点为 D，且 k 0若 面积比为 1： 4，则 k 值为何？（ ） 第 2 页（共 17 页） A 1 B C D 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分） 11若抛物线 y=a（ x 3） 2+2 经过点（ 1， 2），则 a= 12方程 x=0 的解是 13为解决老百姓看病贵的问题，对某种原价为 400 元的药品进行连续两次降价，降价后的价格为 256 元，设每次降价的百分率为 x，则依 题意列方程为： 14在实数范围内定义一种运算 “*”，其规则为 a*b=据这个规则，方程（ x+2） *5=0的解为 15抛物线 y=bx+c 的图象如图所示，则当 y 0 时， x 的取值范围是 三、解答题（共 2 小题，满分 16 分） 16解方程： （ 1） x 2=0 （ 2）（ x+8）（ x+1） = 12 17某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中 平均一个人传染了几个人？ 四、解答题（共 2 个题，每小题 8 分，共 16 分） 18已知抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A（ 3， 0）， B（ 1， 0） （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）求抛物线的顶点坐标 19如图，要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 为多少米？ 第 3 页（共 17 页） 五、解答题（共 2 个题，每题 10 分，共 20 分） 20已知二次函数 y=（ a+b） 2cx+a b 中， a、 b、 c 是 三边 （ 1）当抛物线与 x 轴只有一个交点时，判断 什么形状； （ 2）当 x= 时，该函数有最大值 ，判断 什么形状 21已知关于 x 的方程 k+1） x+ =0 （ 1）当 k 取何值方程有两个实数根 （ 2）是否存在 k 值使方程的两根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为 六、解答题（本题满分 24 分） 22小红的父母开了一个小服装店，出售某种进价为 40 元的服装，现每件 60 元，每星期可卖 300 件该同学对市场作了如下调查：每降价 1 元，每星期可多卖 20 件；每涨价 1 元，每星期要少卖 10 件 （ 1）小红已经求出在涨价情况下一个星期的利润 w（元）与售价 x（元）（ x 为整数）的函数关系式为 w= 10（ x 65） 2+6250，请你求出在降价的情况下 w 与 x 的函数关系式； （ 2）在降价的条件下，问每件商品的售价定为多少时，一个星期的利润恰好为 6000 元？ （ 3）问如何定价，才能使一星期获得的利润最大？ 23在 ， C=90，点 O 是 中点，点 M， N 分别在边 ， ， ，设 AM=a， BN=b， MN=c （ 1）求证： a2+b2= （ 2） 若 a=1，求 b； 探究 a 与 b 的函数关系； （ 3） 积的最大值为 （不写解答过程） 八、解答题（本题满分 14 分） 24已知，如图，抛物线 y=ax+c（ a 0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A、 B 两点，点 A 在点 B 左侧，点 B 的坐标为（ 1， 0）、 C（ 0， 3） （ 1）求抛物线的解析式 （ 2）若点 D 是线段 方抛物线上的动点，求四边形 积的最大值 （ 3）若点 E 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以 A、 C、 E、 P 为顶点且以 一边的平行四边形？如存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 4 页（共 17 页） 第 5 页（共 17 页） 2016年四川省自贡市牛佛片区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分 ，满分 40 分） 1下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A B x+ =1 C x+2y=1 D x（ x 1） =考点】 一元二次方程的定义 【分析】 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案 【解答】 解： A、 是一元二次方程，故 A 正确； B、 x+ =1 是分式方程 ，故 B 错误； C、 x+2y=1 是二元一次方程，故 C 错误； D、 x（ x 1） =一元一次方程，故 D 错误； 故选： A 2已知 x=2 是一元二次方程 x2+=0 的一个解，则 m 的值是（ ） A 3 B 3 C 0 D 0 或 3 【考点】 一元二次方程的解 【分析】 直接把 x=2 代入已知方程就得到关于 m 的方程，再解此方程即可 【解答】 解： x=2 是一元二次方程 x2+=0 的一个解， 4+2m+2=0， m= 3故选 A 3不解方程，判断方程 23x+1=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【考点】 根的判别式 【分析】 根据方程的系数结合根的判别式即可得出 =1 0，由此即可得出结论 【解答】 解： 在方程 23x+1=0 中， =（ 3） 2 4 2 1=1 0， 方程 23x+1=0 有两个不相等的实数根 故选 A 4二次函数 y= 的图象大致是（ ） A B C D 第 6 页（共 17 页） 【考点】 二次函数的图象 【分析】 利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可 【解答】 解：二次函数 y= 中， a=1 0，图象开口向上，顶点坐标为（ 0， 1）， 符合条件的图象是 B 故选： B 5已知抛物线 y=（ x 1） 2+4，下列说法错误的是（ ） A开口方向向下 B形状与 y=同 C顶点（ 1， 4） D对称轴是 x=1 【考点】 二次函数的性质 【分析】 根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】 解： A、抛物线 y=（ x 1） 2+4， a= 1 0，抛物线开口向下，此选项正确； B、抛物线 y=（ x 1） 2+4 形状与 y=同，此选项正确； C、抛物线 y=（ x 1） 2+4 顶点坐标是（ 1， 4），此选项错误； D、抛物线 y=（ x 1） 2+4 对称轴 x=1，此选项正确 故选： C 6将 x 5=0 进行配方变形，下列正确的是（ ） A（ x+2） 2=9 B（ x 2） 2=9 C（ x+2） 2=1 D（ x 2） 2=1 【考点】 解 一元二次方程 【分析】 配方法的一般步骤： （ 1）把常数项移到等号的右边； （ 2）把二次项的系数化为 1； （ 3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 【解答】 解：移项，得： x=5， 配方： x+4=5+4， 即（ x+2） 2=9 故选 A 7抛物线 y=3右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是（ ） A y=3（ x 1） 2 2 B y=3（ x+1） 2 2 C y=3（ x+1） 2+2 D y=3（ x 1） 2+2 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 根据图 象向下平移减，向右平移减，可得答案 【解答】 解：抛物线 y=3右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是y=3（ x 1） 2 2， 故选： A 8已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 14x+48=0 的两根，则此三角形的斜边长为（ ） A 6 B 8 C 10 D 14 【考点】 解一元二次方程 股定理 【分析】 先解方程 14x+48=0，得出两根，再利用勾股定理来求解即可 【解答】 解： 14x+48=0， 第 7 页（共 17 页） （ x 6）（ x 8） =0， x=6 或 8； 两直角边为 6 和 8， 此三角形的斜边长 = =10， 故选： C 9如图，要设计一幅宽 20 30图案，其中有两横两竖的彩条即图中的阴影部分，横竖彩条的宽度比为 2： 1如果要使阴影所占面积是图案面积的 ，则竖彩条宽度为（ ） A 1 2 19 1 19 考点】 一元二次方程的应用 【分析】 可设竖彩条的宽是 横彩条的宽是 2据彩条所占面积是图案面积的，可列方程求解 【解答】 解：设竖彩条的宽为 横彩条的宽为 2 （ 30 2x）（ 20 4x） =30 20 （ 1 ）， 整理得： 20x+19=0， 解得： ， 9（不合题意，舍去） 答：竖彩条的宽度为 1 故选： A 10如图，坐标平面上，二次函数 y= x k 的图形与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，其顶点为 D，且 k 0若 面积比为 1： 4，则 k 值为何？（ ） A 1 B C D 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【分析】 求出顶点和 C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于 k 的方程，解方程即可 【解答】 解： y= x k=（ x 2） 2+4 k， 顶点 D（ 2， 4 k）， C（ 0， k）， OC=k， 第 8 页（共 17 页） 面积 = C= ABk， 面积 = 4 k）， 面积比为 1： 4， k= （ 4 k）， 解得： k= 故选： D 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分） 11若抛物线 y=a（ x 3） 2+2 经过点（ 1， 2），则 a= 1 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 根据点（ 1， 2）在抛物线上利用二次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于 方程即可得出结论 【解答】 解： 抛物线 y=a（ x 3） 2+2 经过点（ 1， 2）， 2=a（ 1 3） 2+2=4a+2， 解得： a= 1 故答案为： 1 12方程 x=0 的解是 0 或 1 【考点】 解一元二次方程 分解法 【分析】 本题应对方程进行变形，提取公因式 x，将原式化为两式相乘的形式，再根据 “两式相乘值为 0，这两式中至少有一式值为 0”来解题 【解答】 解：原方程变形为： x（ x 1） =0， x=0 或 x=1 13为解决老百姓看病贵的问题，对某种原价为 400 元的药品进行连续两次降价，降价后的价格为 256 元，设每次降价的百分率为 x，则依题意列方程为： 400（ 1 x） 2=256 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】 设平均每次的降价率为 x，则经过两次降价后的价格是 400（ 1 x） 2，根据关键 语句 “连续两次降价后为 256 元， ”可得方程 400（ 1 x） 2=256 【解答】 解：设平均每次降价的百分率为 x，则第一降价售价为 400（ 1 x），则第二次降价为 400（ 1 x） 2，由题意得： 400（ 1 x） 2=256 故答案为： 400（ 1 x） 2=256 14在实数范围内定义一种运算 “*”，其规则为 a*b=据这个规则，方程（ x+2） *5=0的解为 x=3 或 x= 7 【考点】 解一元二次方程 【分析】 此题考查学生的分析问题和探索问题的能力解题的关键是理解题意，在此题 中x+2=a， 5=b，代入所给公式得：（ x+2） *5=（ x+2） 2 52，则可得一元二次方程，解方程即可求得 【解答】 解：据题意得， （ x+2） *5=（ x+2） 2 52 第 9 页（共 17 页） x 21=0， （ x 3）（ x+7） =0， x=3 或 x= 7 故答案为： x=3 或 x= 7 15抛物线 y=bx+c 的图象如图所示，则当 y 0 时， x 的取值范围是 1 x 3 【考点】 二次函数与不等式（组） 【分析】 首先求得（ 1， 0）关于 x=1 的对称点，求 y 0 时 x 的取值范围，就是函数图象在 x 轴上或在 x 轴上边时对应的 x 的范围 【解答】 解：（ 1， 0）关于 x=1 的对称点是（ 3， 0） 则 x 的取值范围是： 1 x 3 故答案是： 1 x 3 三、解答题（共 2 小题，满分 16 分） 16解方程： （ 1） x 2=0 （ 2）（ x+8）（ x+1） = 12 【考点】 解一元二次方程 一元二次方程 【分析】 （ 1）公式法求解可得； （ 2）因式分解法求解可得 【解答】 解：（ 1） a=1， b=3， c= 2， =9 4 1 （ 2） =17， x= ； （ 2）化简得， x+20=0， （ x+4）（ x+5） =0， x+4=0 或 x+5=0， 解得， 4， 5 17某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【考点】 一元二次方程的应用 【分析】 设每轮传染中平均每个人传染了 x 人，那么第一轮有（ x+1）人患了流感，第二轮有 x（ x+1） 人被传染，然后根据共有 121 人患了流感即可列出方程解题 【解答】 解：设每轮传染中平均每个人传染了 x 人， 第 10 页（共 17 页） 依题意得 1+x+x（ 1+x） =121， x=10 或 x= 12（不合题意，舍去） 所以，每轮传染中平均一个人传染了 10 个人 四、解答题（共 2 个题，每小题 8 分，共 16 分） 18已知抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A（ 3， 0）， B（ 1， 0） （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）求抛物线的顶点坐标 【考点】 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质 【分析】 （ 1）根据抛物线 y= x2+bx+c 经 过点 A（ 3， 0）， B（ 1， 0），直接得出抛物线的解析式为； y=（ x 3）（ x+1），再整理即可， （ 2）根据抛物线的解析式为 y= x+3=（ x 1） 2+4，即可得出答案 【解答】 解：（ 1） 抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A（ 3， 0）， B（ 1， 0） 抛物线的解析式为； y=（ x 3）（ x+1）， 即 y= x+3， （ 2） 抛物线的解析式为 y= x+3=（ x 1） 2+4， 抛物线的顶点坐标为：（ 1， 4） 19如图，要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米 的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 为多少米？ 【考点】 一元二次方程的应用 【分析】 设 长度为 x 米，则 长度为米；然后根据矩形的面积公式列出方程 【解答】 解：设 长度为 x 米，则 长度为米 根据题意得 x=400， 解得 0， 则 100 4x=20 或 100 4x=80 80 25， 舍去 即 0， 0 答：羊圈的边长 别是 20 米、 20 米 五、解答题（共 2 个题，每题 10 分，共 20 分） 20已知二次函数 y=（ a+b） 2cx+a b 中， a、 b、 c 是 三边 （ 1）当抛物线与 x 轴只有一个交点时，判断 什么形状； （ 2）当 x= 时，该函数有最大值 ，判断 什么形状 【考点】 抛物线与 x 轴的交点；二次函数的最值 第 11 页（共 17 页） 【分析】 （ 1）由题意得出 =0，得出 c2+a2=勾股定理的逆定理得出 直角三角形即可； （ 2）由 x= 时函数有最大值为 ，可知顶点的横坐标为 ，纵坐标为 ，根据顶点坐标公式列方程求解即可 【解答】 解：（ 1）当抛物线与 x 轴只有一个交点时， 直角三角形；理由如下： 当抛物线与 x 轴只有一个交点时， =0， 即（ 2c） 2 4 （ a+b（ a b） =0， 整理得 c2+a2= 直角三角形； （ 2） 等边三角形；理由如下： 根据题意得： = ，即 c= 时， 有 = ， 整理，得 22c2+， 将 c= 代入，得 a2= a 0， b 0， a=b=c， 即 等边三角形 21已知关于 x 的方程 k+1） x+ =0 （ 1）当 k 取何值方程有两个实数根 （ 2）是否存在 k 值使方程的两根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为 【考点】 根与系数的关系；根的判别式 【分析】 （ 1）根据判别式是非负数，这样就可以确定 k 的取值范围； （ 2）设方程的两根为 依题意 ，又根据根与系数的关系可以得到 x1+x2=k+1，x1，而 x1+2 2x1样利用这些等式变形即可求解 【解答】 解：（ 1） =（ k+1） 2 4 （ ） =2k 3 0， k ， （ 2）设方程的两根为 ， x1+x2=k+1， ， x1+2 k+1） 2 2 （ ） =5，解得 6， ， x1+x2=k+1 0， k 1， 第 12 页（共 17 页） k=2 六、解答题（本题满分 24 分） 22小红的父母开了一个小服装店，出售某种进价为 40 元的服装，现每件 60 元，每星期可卖 300 件该同学对市场作了如下调查：每降价 1 元，每星期可多卖 20 件；每涨价 1 元，每星期要少卖 10 件 （ 1）小红已经求出在涨价情况下一个星期的利润 w（元）与售价 x（元）（ x 为整数）的函数关系式为 w= 10（ x 65） 2+6250，请你求出在降价的情况下 w 与 x 的函数关系式； （ 2）在降价的条件下，问每件商品的售价定为多少时，一个星期的利润恰好为 6000 元？ （ 3）问如何定价，才能使一星期获得的利润最大？ 【考点】 二次函数的应用；一元二次方程的应用 【分析】 （ 1）根据利润 =每件的利润 销售量，即可解决问题 （ 2）利用（ 1）中结果，列出方程即可 （ 3）利用配方法，即可解决问题 【解答】 解：（ 1）降 价时， w=（ x 40） 300+20（ 60 x） = 20300x 60000（ 40 x 60） （ 2）令 w= 20300x 60000=6000，解得 5， 0（舍去） 答：当每件商品的售价定为 55 元时，一个星期的利润恰好为 6000 元 （ 3） 10（ x 65） 2+6250， a= 10 0， 当 x=65 时， 最大值为 6250 元 20300x 60000= 20（ x 2+6120 当 x=， 最大值为 6120 元 6250 6120 当每件商品的定价为 65 元时，获得利润最大 23在 ， C=90，点 O 是 中点，点 M， N 分别在边 ， ， ，设 AM=a， BN=b， MN=c （ 1）求证： a2+b2= （ 2） 若 a=1，求 b； 探究 a 与 b 的函数关系； （ 3） 积的最大值为 （不写解答过程） 【考点】 全等三角形的判定与性质；勾股定理 【 分析】 （ 1）过点 B 作 延长线于 E，连接 E， E=a，根据垂直平分线的性质得 E，只要证明 即可 （ 2） 根据 出方程即可解决 方法类似 第 13 页（共 17 页） （ 3）根据 S （ 4 a）（ 8 b） = 1b 24，利用二次函数的性质解决问题 【解答】 （ 1）证明：如图，过点 B 作 延长线于 E，连接 A= 在 ， ， E， E=a， E=c， C=90 A+ 0， 0， 0， NE=c， BE=a， BN=b， a2+b2= （ 2） 在 ， 4 a） 2+（ 8 b） 2， a=1， a2+b2= 9+（ 8 b） 2=1+ b= 4 a） 2+（ 8 b） 2=a2+ a+2b=10 （ 3） S （ 4 a）（ 8 b） = 1b 24=（ b ） 2+ ， 当 b= 时， S 大值 = 故答案为 八、解答题（本题满分 14 分） 24已知，如图，抛物线 y=ax+c（ a 0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A、 B 两点，点 A 在点 B 左侧，点 B 的坐标为（ 1， 0）、 C（ 0， 3） （ 1）求抛物线的解析式 第 14 页（共 17 页） （ 2）若点 D 是线段 方抛物线上的动点，求四边形 积的最大值 （ 3）若点 E 在 x 轴上