广州市广大附中2016-2017学年九年级上第一次月考数学试卷含答案解析

广东省广州市广大附中 2016年九年级（上）第一次月考数学试卷 (解析版 ) 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1不等式组 的解集在数轴上的正确表示为（ ） A B CD 2某车间 5 名 工人日加工零件数分别为 6， 10， 4， 5， 4，则这组数据的中位数是（ ） A 4 B 5 C 6 D 10 3下列计算中，正确的是（ ） A aa2=（ a+1） 2= C（ 2=（ a） 3= 把抛物线 y= 先向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A y=（ x+1） 2+1 B y=（ x 1） 2+1 C y=（ x 1） 2+7 D y=（ x+1） 2+7 5如图， 分 A=70，则 度数为（ ） A 30 B 40 C 55 D 70 6若 |x+y+1|与（ x y 2） 2 互为相反数，则（ 3x y） 3 的值为（ ） A 1 B 9 C 9 D 27 7已知二次函数 y=3（ x 1） 2+k 的图象上有三点 A（ B（ 2， C（ 2，则 大小关系为（ ） A 按下面的程序计算，若开始输入的值 x 为正数， 最后输出的结果为 656，则满足条件的 ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 9如图，正方形 边 置在正方形 对角线 ， 于点 M，得四边形 两正方形的边长均为 2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ） A 4+4 B 4 +4 C 8 4 D +1 10二次函数 y=bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论： a 0； c 0； 40； 0 中，正确的结论有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分 ，共 18 分） 11分解因式： 24 12函数 中，自变量 x 的取值范围是 13若 2a+1=0，则 24a= 14波音公司生产某种型号飞机， 7 月份的月产量为 50 台，由于改进了生产技术，计划 9月份生产飞机 98 台，那么 8、 9 月飞机生产量平均每月的增长率是 15已知边长为 2 的等边三角形 顶点 A、 B 分别在平面直角坐标系的 x 轴负半轴、y 轴的正半轴上滑动，点 C 在第二象限，连结 最大值是 16正方形 按如图所示的方式放置点 和点 分别在直线 y=kx+b（ k 0）和 x 轴上，已知点 1， 1）， 3， 2），则 坐标是 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（ 9 分）先化简（ 1 ） ，然后从 a 的范围内选取一个合适的整数作为 a 的值代入求值 18（ 9 分） A、 B 两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点 A 的坐标是（ 2， 2），点 B 的坐标是（ 7， 3） （ 1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点 C，使 C 点到 A、 B 两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标 （ 2）若在公路边建一游乐场 P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场 P 的位置，并求出它的坐标 19（ 10 分）解方程 3x+2=0 412x+7=0 20（ 10 分）今年初，山东省出台了一系列推进素质教育的新举措，提出了 “三个还给 ”，即把时间还给学生，把健康还给学生，把能力还给学生同学们利用课外活动时间积极参加体育锻炼，小东和小莉就本班同学 “我最喜爱的体育项目 ”进行了一次调查统计，图 1 和图 2是他们通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图 请你根据图中提供的信息，解答以下问题： （ 1）求该班共有多少名学生； （ 2）补全条形图； （ 3）在扇形统计图中，求出 “乒乓球 ”部分所对应的圆心角的度数； （ 4）若全校有 1500 名学生，请估计 “其他 ”的学生有多少名？ 21（ 12 分）若关于 x 的一元二次方程 4m+1） x+2m 1=0 （ 1）求证：不论 m 为任何实数，方程有两个不相等的实数根； （ 2）是否存在实数 m，使方程的两个实数根的倒数和为 3？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 22 （ 12 分）如图，在四边形 ， C， E、 F 分别是 中点， G、 D、 中点，猜一猜 位置关系，并证明你的结论 23（ 12 分）某商场将每件进价为 80 元的某种商品原来按每件 100 元出售，一天可售出 100件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1 元，其销量可增加 10 件 （ 1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （ 2）若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？ 24（ 14 分）下图是二次函数 y=（ x+m） 2+k 的图象，其顶点坐标为 M（ 1， 4） （ 1）求出图象与 x 轴的交点 A， B 的坐标； （ 2）在二次函数的图象上是否存在点 P，使 S S 存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由； （ 3）将二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线 y=x+b（ b 1）与此图象有两个公共点时，b 的取值范围 25（ 14 分）如图 1，抛物线 y=4a 经过 A（ 1， 0）、 C（ 0， 4）两点，与 x 轴交于另一点 B （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）已知点 D（ m， m+1）在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 称的点的坐标； （ 3）如图 3，若抛物线的对称轴 E 为抛物线顶点）与直线 交于点 F， M 为直线的任意一点，过点 M 作 抛物线于点 N，以 E， F， M， N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 N 的坐标；若不能，请说明理由 2016年广东省广州市广大附中九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1不等式组 的解集在数轴上的正确表示为（ ） A B CD 【考点】 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组 【分析】 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可 【解答】 解：由 x+1 0 得 x 1， 由 x 2 1 得 x 3， 则不等式组的解集为 1 x 3 则不等式组 的解集在数轴上的正确表示为： 故选 D 【点评】 考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，把每个不 等式的解集在数轴上表示出来（ ， 向右画； ， 向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时 “ ”， “ ”要用实心圆点表示； “ ”， “ ”要用空心圆点表示 2某车间 5 名工人日加工零件数分别为 6， 10， 4， 5， 4，则这组数据的中位数是（ ） A 4 B 5 C 6 D 10 【考点】 中位数 【分析】 中位数是一组数据重新排序后之间的一个数或之间两个数的平均数，由此即可求解 【解答】 解： 某车 间 5 名工人日加工零件数分别为 6， 10， 4， 5， 4， 重新排序为 4， 4， 5， 6， 10， 中位数为： 5 故选 B 【点评】 此题为统计题，考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错 3下列计算中，正确的是（ ） A aa2=（ a+1） 2= C（ 2=（ a） 3= 考点】 完全平方公式；同底数幂的乘法；幂的乘 方与积的乘方 【分析】 根据同底数幂的乘法法则对 A 进行判断；根据完全平方公式对 B 进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对 C、 D 进行判断 【解答】 解： A、 aa2=以 A 选项不正确； B、（ a+1） 2=a+1，所以 B 选项不正确； C、（ 2=以 C 选项不正确； D、（ a） 3= 以 D 选项正确 故选 D 【点评】 本题考查了完全平方公式：（ a b） 2=2ab+考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方 4把抛物线 y= 先向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个 单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A y=（ x+1） 2+1 B y=（ x 1） 2+1 C y=（ x 1） 2+7 D y=（ x+1） 2+7 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 根据 “左加右减、上加下减 ”的原则进行解答即可 【解答】 解：将抛物线 y= 向左平移 1 个单位所得直线解析式为： y=（ x+1） 2+4； 再向下平移 3 个单位为： y=（ x+1） 2+4 3，即 y=（ x+1） 2+1 故选： A 【点评】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键 5如图， 分 A=70，则 度数为（ ） A 30 B 40 C 55 D 70 【考点】 平行线的性质 【分析】 由 平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，再由 行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，由 A 的度数求出 度数，进而确定出 度数，利用邻补角定义即可求出 度数 【解答】 解： 分 A=70 A=70， 40， 则 80 0 故选 B 【点评】 此题考查了平行线的性质，邻补角定义，以及角平分线定义，平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补 6若 |x+y+1|与（ x y 2） 2 互为相反数，则（ 3x y） 3 的值为（ ） A 1 B 9 C 9 D 27 【考点】 解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方 【分析】 先根据相反数的定义列出等式 |x+y+1|+（ x y 2） 2=0，再由非负数的性质求得 x、y 的值，然后将其代入所求的代数式（ 3x y） 3 并求值 【解答】 解： |x+y+1|与（ x y 2） 2 互为相反数， |x+y+1|+（ x y 2） 2=0， ， 解得， ， （ 3x y） 3=（ 3 + ） 3=27 故选 D 【点评】 本题主要考 查了二元一次方程组的解法、非负数的性质绝对值、非负数的性质偶次方解题的关键是利用互为相反数的性质列出方程，再由非负数是性质列出二元一次方程组 7已知二次函数 y=3（ x 1） 2+k 的图象上有三点 A（ B（ 2， C（ 2，则 大小关系为（ ） A 考点】 二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为 x=1，图象开口向上；利用 y 随 x 的增大而增大，可判断 据二次函数图象的对称性可判断 【解答】 解： A（ C（ 2， 在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而减小， 2， 根据二次函数图象的对称性可知， B 的对称点为（ 0， 0），故有 故选 B 【点评】 本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性 8按下面的程序计算，若开始输入的值 x 为正数，最后输出的结果为 656，则满足条件的 ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 【考点】 解一元一次方程；一元一次不等式的应用 【分析】 根据最后输出的结果，可计算出它前面的那个数，依此类推，可将符合题意的那个最小的正数求出 【解答】 解： 最后输出的数为 656， 5x+1=656，得： x=131 0， 5x+1=131，得： x=26 0， 5x+1=26，得： x=5 0， 5x+1=5，得： x=0； 5x+1=： x= 0，不符合题意， 故 x 的值可取 131， 26， 5， 4 个 故选： C 【点评】 本题立意新颖，借助新运算，实际考查一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为 1 等 9如图，正方形 边 置在正方形 对角线 ， 于点 M，得四边形 两正方形的边长均为 2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ） A 4+4 B 4 +4 C 8 4 D +1 【考点】 正方形的性质 【分析】 阴影部分的面积 =S S 是等腰直角三角形，利用面积公式即可求解 【解答】 解： 四边形 正方形， D=90， 5， D=2， 则 S D= 2 2=2； ， 则 2， 等腰直角三角形， S C= （ 2 2） 2=6 4 ， 阴影部分的面积 =S S （ 6 4 ） =4 4 故选： A 【点评】 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质；注意到阴影部分的面积 =S S 关键 10二次函数 y=bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论： a 0； c 0； 40； 0 中，正确的结 论有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【分析】 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】 解： 图象开口向下， a 0；故本选项正确； 该二次函数的图象与 y 轴交于正半轴， c 0；故本选项正确； 二次函数 y=bx+c 的图象与 x 轴有两个不相同交点， 根的判别式 =40；故本选项正确； 对称轴 x= 0， 0；故本选项正确； 综上所述，正确的结论有 4 个 故选 D 【点评】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数 y=bx+题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题 二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11分解因式： 242a（ a 2b） 【 考点】 因式分解 【分析】 直接提取公因式 2a 即可 【解答】 解：原式 =2a（ a 2b） 【点评】 本题考查了提公因式法分解因式，确定公因式：一找系数的最大公约数是 2，二找相同字母的最低次幂是 a 12函数 中，自变量 x 的取值范围是 x 3 且 x 4 【考点】 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件 【分析】 根据二次根式的意义可知： x 3 0，根据分式的意义可知： x 4 0，就可以求出x 的范围 【解答】 解：根据题 意得： x 3 0 且 x 4 0， 解得： x 3 且 x 4 【点评】 主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （ 1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （ 2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （ 3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 13若 2a+1=0，则 24a= 2 【考点】 代数式求值 【分析】 先对已知进行变形，所求代数式化成已知的形式，再利用整体代入法求解 【解答】 解： 2a+1=0 2a= 1 24a=2（ 2a） = 2 【点评】 本题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力注意整体代入的思想进行求值计算 14波音公司生产某种型号飞机， 7 月份的月产量为 50 台，由于改进了生产技术，计划 9月份生产飞机 98 台，那么 8、 9 月飞机生产量平均每月的增长率是 40% 【考点】 一元二次方程的应用 【分析】 设 8、 9 月飞机生产量平均每月的增长率是 x，根据 7 月份的月产量为 50 台，计划9 月份生产飞机 98 台，列方程求解 【解答】 解：设 8、 9 月飞机生产量平 均每月的增长率是 x， 由题意得， 50 （ 1+x） 2=98， 解得： x= x= 合题意舍去）， 即 8、 9 月飞机生产量平均每月的增长率是 40% 故答案为： 40% 【点评】 本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解 15已知边长为 2 的等边三角形 顶点 A、 B 分别在平面直角坐标系的 x 轴负半轴、y 轴的正半轴上滑动，点 C 在第二象限，连结 最大值是 +1 【考点 】 等边三角形的性质；坐标与图形性质 【分析】 由题意得到当 B，即三角形 等腰直角三角形时， 大，画出相应的图形，连接 点 D，由对称性得到 直于 用三线合一得到 D 为中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半表示出 长，在直角三角形 ，利用勾股定理表示出 长，由 C 即可求出 长 【解答】 解：由题意得：当 B 时，连接 得 大，如图所示， 由对称性可得 等腰直角三角形， ， ， 在 ， ， ， 根据勾股定理得： ， 则 D+1 故答案为 +1 【点评】 此题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键 16正方形 按如图所示的方式放置点 和点 分别在直线 y=kx+b（ k 0）和 x 轴上，已知点 1， 1）， 3， 2），则 坐标是 （ 2n 1， 2n 1） 【考点】 一次函数图象上点的坐标特征 【分析】 由图和条件可知 0， 1） 1， 2） 3， 4），由此可以求出直线为 y=x+1，横坐标为 的横坐标，纵坐标为 纵坐标，又 横坐标数列为 n 1 1，所以纵坐标为（ 2n 1），然后就可以求出 坐标为 A（ n+1）的横坐标， 纵坐标 【解答】 解： 点 1， 1）， 3， 2）， 0， 1） 1， 2） 3， 4）， 直线 y=kx+b（ k 0）为 y=x+1， 横坐标为 的横坐标，纵坐标为 纵坐标 又 横坐标数列为 n 1 1，所以纵坐标为 2n 1， 坐标为 A（ n+1）的横坐标， 纵坐标 =（ 2n 1， 2n 1） 故答案为：（ 2n 1， 2n 1） 【点评】 本题主要考查 函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着 “编号 ”或 “序号 ”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17先化简（ 1 ） ，然后从 a 的范围内选取一个合适的整数作为 a 的值代入求值 【考点】 分式的化简求值；估算无理数的大小 【分析】 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出 a 的值代入计算即可求出值 【解答】 解：原式 = = ， 由 a ，得到 a= 2， 1， 0， 1， 2， 当 a=0 时，原式 =2 【点评】 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18 A、 B 两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点 A 的坐标是（ 2， 2），点 B 的坐标是（ 7， 3） （ 1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点 C，使 C 点到 A、 B 两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标 （ 2）若在 公路边建一游乐场 P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场 P 的位置，并求出它的坐标 【考点】 一次函数综合题；线段垂直平分线的性质；作图 应用与设计作图；轴对称 【分析】 （ 1）连接 出线段 垂直平分线，与 x 轴的交点即为所求的点； （ 2）找到点 A 关于 x 轴的对称点，连接对称点与点 B 与 x 轴交点即为所求作的点 【解答】 解：（ 1）存在满足条件的点 C； 作出图形，如图所示 （ 2）作点 A 关于 x 轴对称的点 A（ 2， 2），连接 AB，与 x 轴的交点即为所求的点 P设AB 所在直线的解析式为： y=kx+b， 把（ 2， 2）和（ 7， 3）代入得： ， 解得： ， y=x 4， 当 y=0 时， x=4， 所以交点 P 为（ 4， 0） 【点评】 本题是一道典型的一次函数综合题，题目中还涉及到了线段的垂直平分线的性质及轴对称的问题 19（ 10 分）（ 2016 秋 白云区校级月 考）解方程 3x+2=0 412x+7=0 【考点】 解一元二次方程 一元二次方程 【分析】 先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 先求出 4值，再代入公式求出即可 【解答】 解： 3x+2=0， （ x 2）（ x 1） =0， x 2=0， x 1=0， ， ； 412x+7=0， 4 12） 2 4 4 7=32， x= ， ， 【点评】 本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键 20（ 10 分）（ 2008济宁）今年初，山东省出台了一系列推进素质教育的新举措，提出了“三个还给 ”，即把时间还给学生，把健康还给学生，把能力还给学生同学们利用课外活动时间积极参加体育锻炼，小东和小莉就本班同学 “我最喜爱的体育项目 ”进行了一次调查统计，图 1 和图 2 是他们通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计 图请你根据图中提供的信息，解答以下问题： （ 1）求该班共有多少名学生； （ 2）补全条形图； （ 3）在扇形统计图中，求出 “乒乓球 ”部分所对应的圆心角的度数； （ 4）若全校有 1500 名学生，请估计 “其他 ”的学生有多少名？ 【考点】 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 【分析】 （ 1）从图表中可以看出篮球有 15 人，在扇形中占 30%，所以 15 30%就是班级人数； （ 2）直方图中乓乒的人数是 16，依频数与百分比的关系，可知扇形图中是 32%，那么其它就是 1 32% 30% 18%=20%，那么直方图中足球就是 9，其它就是 10，依此数据画图即可； （ 3）根据圆心角是 360 度求； （ 4）用样本中的其它频率估计总体 【解答】 解：（ 1） 15 30%=50（人）； （ 2 分） （ 2）足球人数： 50 18%=9（人）， 其他人数： 50 15 16 9=10（人）； （ 3） 16 50 360= （ 6 分） （ 4） 10 50 1500=300（人） （ 8 分） 【点评】 本题考查的是条形统计图和扇形统 计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 21（ 12 分）（ 2016 秋 白云区校级月考）若关于 x 的一元二次方程 4m+1） x+2m1=0 （ 1）求证：不论 m 为任何实数，方程有两个不相等的实数根； （ 2）是否存在实数 m，使方程的两个实数根的倒数和为 3？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 【考点】 根与系数的关系；根的判别式 【分析】 （ 1）根据方程的系数结合根的判别式即可得 出 =16 4，由此即可证出结论； （ 2）设方程的两根为 据根与系数的关系可得出 x1+ 4m 1、 x1m 1，将 + 变形为 ，代入数据即可得出关于 m 的分式方程，解方程经检验后即可得出结论 【解答】 （ 1）证明： 在方程 4m+1） x+2m 1=0 中， =（ 4m+1） 2 4（ 2m 1）=16 4， 不论 m 为任何实数，方程有两个不相等的实数根； （ 2）解：设方程的两根为 ： x1+ 4m 1， x1m 1， + = = = 3， 解得： m=2， 经检验后得： m=2 是分式方程 = 3 的解， 当 m=2 时， 方程的两个实数根的倒数和为 3 【点评】 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握 “两根之和等于 ，两根之积等于 ”是解题的关键 22（ 12 分）（ 2011姜堰市校级模拟）如图，在四边形 ， C， E、 F 分别是中点， G、 H 分别是 中点，猜一猜 位置关系，并证明你的结论 【考点】 菱形 的判定与性质；三角形中位线定理 【分析】 连接 用三角形中位线定理求证 行且等于 而判定出四边形 菱形，再利用菱形的性质即可得出结论 【解答】 证明：连接 E、 F 分别是 中点， G、 H 分别是 中点 又 C， H， 理 四边形 菱形， 别为对角线， 【点评】 此题主要考查学生对菱形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，此题的突破点是利用三角形中位线定理求证四边形 菱形，然后根据菱形的性质即可得出结论此题稍有难度，属于中档题 23（ 12 分）（ 2016 秋 白云区校级月考）某商场将每件进价为 80 元的某种商品原来按每件 100 元出售，一天可售出 100 件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1 元， 其销量可增加 10 件 （ 1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （ 2）若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？ 【考点】 一元二次方程的应用 【分析】 （ 1）原来一天可获利润 =（原售价原进价） 一天的销售量； （ 2）降价后的单件利润 销售量 =总利润，列方程解答 【解答】 解：（ 1）（ 100 80） 100=2000（元）， 答：商场经营该商品原来一天可获利润 2000 元； （ 2）依题意得： （ 100 80 x）（ 100+10x） =2160， 即 10x+16=0， 解得： ， ， 因为让顾客得到实惠，所以应该降价 8 元 答：商场经营该商品一天要获利润 2160 元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价 8 元 【点评】 此题考查一元二次方程的实际运用，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键 24（ 14 分）（ 2010怀化）下图是二次函数 y=（ x+m） 2+k 的图象，其顶点坐标为 M（ 1， 4） （ 1）求出图象与 x 轴的交点 A， B 的坐标； （ 2）在二次函数的图象上是否存在点 P，使 S S 存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由； （ 3）将二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线 y=x+b（ b 1）与此图象有两个公共点时，b 的取值范围 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （ 1）由顶点坐标确定 m、 k 的值，再令 y=0 求得图象与 x 轴的交点坐标； （ 2）设存在这样的 P 点，由于底边相同，求出 高 |y|，将 y 求出代入二次函数表达式求得 P 点坐标； （ 3）画出翻转后新的函数图象，由直线 y=x+b， b 1 确定出直线移动的范围，求出 b 的取值范围 【解答】 解：（ 1）因为 M（ 1， 4）是二次函数 y=（ x+m） 2+k 的顶点坐标， 所以 y=（ x 1） 2 4=2x 3， 令 2x 3=0， 解之得 1， A， B 两点的坐标分别为 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）；（ 4 分） （ 2）在二次函数的图象上存在点 P，使 ， 设 P（ x， y）， 则 ， 又 ， 二次函数的最小值为 4