考前归纳总结：导数中常见的分类讨论

导数中的分类讨论问题分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”一、参数引起的分类讨论例1已知函数,当时，讨论函数的单调性。1LN2XPXF0PXF练习1已知函数LN11FXKX，求函数FX的单调区间；二、判别式引起的分类讨论例2已知函数2LNFXAX，R，讨论FX在定义域上的单调性。3、二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论例3已知函数，令，若32FXAXLN13GXFX在上单调递增，求实数的取值范围GX1,24、二项系数引起的分类讨论例4已知函数21LN1FXAX1讨论函数的单调性；2设A2，求证对任意X1，X20，|FX1FX2|4|X1X2|三、针对性练习1已知函数03LNARAXXF且（）求函数的单调区间；（）当2A时，设函数32XEPH，若在区间,1E上至少存在一个0X，使得00XF成立，试求实数的取值范围2已知函数,求函数的单调区间；1LN2RAXAXFXF3若函数，求函数的极值点。XXFLN2XF变式1若函数，试讨论函数的极值存在情况。AF变式2若函数，求函数的单调区间。XAXFLN2变式3若函数，求在区间2，3上的最小值。XAXFLN1F三、小结在利用导数求函数极值、最值及单调区间等问题时，若函数中含有参数，我们需对参数进行讨论。1）若导函数的二次项系数为参数，需对二次项系数为正、负或零进行分类讨论；2）若需考虑判别式，需对0、0、0在（1，）恒成立，02,2XAF所以的增区间（1，）F若，故当，2,0A则2,AX012XAF当时，,XXF所以A0时的减区间为（），的增区间为XF2,1AF,2A3解因为，所以0LNXF021XXXF令得（舍）或0XF21X列表如下（0，1）1（1，）XF0极小值由上表知是函数的极小值点。1XXF变式1解0122XAAF法一令，因为对称轴，所以只需考虑的正负，XGG210G当即时，在（0，）上，即在（0，）单调递增，无极0AXXF值当即时，在（0，）是有解，所以函数存在极值。GXGF综上所述当时，函数存在极值；当时，函数不存在极值。0AF0AX法二令即，XF2AX41当即时，在（0，）单调递增，无极值41FF当即时，解得或0A2AX02411AX2412AX若则2X列表如下（0，）2X2X（，）2XXF0极小值由上表知时函数取到极小值，即函数存在极小值。2XXFAXF若，则，所以在（0，）单调递减，函数不存在极值。041A021XF综上所述，当时，函数存在极值，当时。函数不存在极值0AXF0AXF变式2解212XXF设AAH8,1当时，因为，002,021HX若时，在上即，所以在（0，）单调递8即XXFXF减。若时，或01A即XH得令0A2811AX2812列表如下X（0，X1）X1（X1，X2）X2（X2，）F00X极小值极大值由上表知的减区间为，F2A81,0,2A81增区间为。,2A812当时，即，所以在（0，2）单调递减0A0,XHXFXF即，所以在（2，）单调递增X3当时，因为，4所以有一正一负两根，解得2,21AXH或02811X082X列表如下X（0，）2X2X（，）2XXF0极小值由上表知的减区间为，增区间为。XF281,0A,281A综上所述时，的减区间为，0AF,增区间为。281,281AA时，递减区间为（0，2），递增区间为（2，）AXF时，的递减区间为，增区间为XF281,0A,2A81变式3解01122XAXAXF设，解得或12AXP0PA1当时，即，所以在（0，1）单调递增0,XXFXF即，所以在（1，）单调递减X所以在2，3上单调递减，所以。F3LN3MINAFXF2当时，若即时，即，所以0A21A,20XPXF递增，所以XFL1MINAFXF若即时，即，所以32,XXXF递减；，即，所以递增，XF,1A0XPFF所以AFLN1MIN若即时，即，所以递减，33,2X0XPXFXF所以3LN13MINAFXF综上所述21LN213LMINAAXF近些年年高考模拟题及真题1解析当A0时，在X3,2上，当X2时取得最大值，得A答案D382解析本题是不等式恒成立问题，可以构造函数，把函数转化为YX型，通过求解函AX数的最值得到结论由不等式X2A|X|10对一切实数恒成立当X0时，则10，显然成立；当X0时，可得不等式A|X|对X0的一切实数成立令FX|X|1|X|2当且仅当|X|1时，“”成立FXMAX2，故AFXMAX21|X|X|1|X|答案B3解函数的定义域为,FX0AFX当时,2A2LNF210FX1,1FF在点处的切线方程为,即YFX1,AFY20XY由可知,0AXF当时,函数为上的增函数,函数无极值0AFFFX当时,由,解得0XXA时,时,XF0FX在处取得极小值,且极小值为,无极大值FALNA综上当时,函数无极值0AFX当时,函数在处取得极小值,无极大值FALNA4【答案】解,3210FXB21FXA在处切线方程为,各1FX1,0Y13F6B分AXFGE21AXR2AXXE2AXE当时,0X00,G0A极小值A的单调递增区间为,单调递减区间为,0当时,令,得或0A0X2XA当,即时,2AX,002,A2A2,AG00XA极小值A极大值A的单调递增区间为,单调递减区间为,G20,A2,A当,即时,2AGX20XE故在单调递减X当,即时,02XA2,0A0,G00XA极小值A极大值A在上单调递增,在,上单调递减GX20A02A综上所述,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为GX,0当时,的单调递增区间为,单调递减区间为02A20,A,当,的单调递减区间为GX,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为、2A20A0,2,A5【答案】解1因为,故,2LNFXX2AFX函数在处的切线垂直轴,所以XF1Y1022函数在为增函数,所以当时,恒成立,分离X0FX参数得,从而有2AX2A3LNGFXAX2122AXA令,因为函数的定义域为,所以120,GXGX01当,即时,函数在上递减,在上递增2A01,2当,即时,函数在上递增,X2A在上递减,在上递增13当,即时,函数在上递增2AGX0,4当,即时,函数在上递增,在上递减,在上递增12A,2A6解（1）求导可得，函数的递增区间是，递减区间是。,K1,K（2）当时，函数在单调递增，此时函数的最小值为；KFX0,1F0当时，由（1）可知，函数在上单调递减，在上递增，F,K,K所以在上的最小值为；当时，函数在单调递减FX0,11KEF2FX0,1此时的最小值为。EKF7【解析】2CXBCFX，又10F所以1F且1C，4分（I）因为X为F的极大值点，所以C当01时，0；当X时，0FX；当C时，0FX所以FX的递增区间为,1，,C；递减区间为1,7分（II）若C，则FX在上递减，在,上递增0FX恰有两解，则10F，即02B，所以02C；若1C，则21LNXCC极大，12FXFB极小因为B，则2LLN0CF极大12FXC极小，从而0FX只有一解；若1C，则2LN1LN0FC极小,2FXC极大,则0FX只有一解综上，使0FX恰有两解的的范围为C15分8解（）函数F的定义域为,，1FXK当0K时，10FXK，则F在0,上是增函数；当时，若,，则1FXK；若1,XK，则10FXK所以FX在10