人教版高中数学必修3全套教案

13算法案例整体设计教学分析在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力三维目标1理解算法案例的算法步骤和程序框图2引导学生得出自己设计的算法程序3体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力重点难点教学重点引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序教学难点体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力课时安排3课时教学过程第1课时案例1辗转相除法与更相减损术导入新课思路1（情境导入）大家喜欢打乒乓球吧，由于东、西方文化及身体条件的不同，西方人喜欢横握拍打球，东方人喜欢直握拍打球，对于同一个问题，东、西方人处理问题方式是有所不同的在小学，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来当两个数公有的质因数较大时（如8251与6105），使用上述方法求最大公约数就比较困难下面我们介绍两种不同的算法辗转相除法与更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差异思路2（直接导入）前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想推进新课新知探究提出问题（1）怎样用短除法求最大公约数（2）怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数（3）怎样用辗转相除法求最大公约数（4）怎样用更相减损术求最大公约数讨论结果（1）短除法求两个正整数的最大公约数的步骤先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来（2）穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数（3）辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下第一步，给定两个正整数M，N第二步，求余数R计算M除以N，将所得余数存放到变量R中第三步，更新被除数和余数MN，NR第四步，判断余数R是否为0若余数为0，则输出结果；否则转向第二步继续循环执行如此循环，直到得到结果为止这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法（4）更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术九章算术是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也以等数约之”翻译为现代语言如下第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数应用示例例1用辗转相除法求8251与6105的最大公约数,写出算法分析，画出程序框图，写出算法程序解用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251610512146由此可得，6105与2146的公约数也是8251与6105的公约数，反过来，8251与6105的公约数也是6105与2146的公约数，所以它们的最大公约数相等对6105与2146重复上述步骤6105214621813同理，2146与1813的最大公约数也是6105与2146的最大公约数继续重复上述步骤214618131333333148237，148374最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8251与6105的最大公约数这就是辗转相除法由除法的性质可以知道，对于任意两个正整数，上述除法步骤总可以在有限步之后完成，从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数算法分析从上面的例子可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步骤，因此可以用循环结构来构造算法算法步骤如下第一步，给定两个正整数M，N第二步，计算M除以N所得的余数为R第三步，MN，NR第四步，若R0，则M，N的最大公约数等于M；否则，返回第二步程序框图如下图程序INPUTM,NDORMMODNMNNRLOOPUNTILR0PRINTMEND点评从教学实践看，有些学生不能理解算法中的转化过程，例如求8251与6105的最大公约数,为什么可以转化为求6105与2146的公约数因为8251610512146，可以化为8251610512164，所以公约数能够整除等式两边的数，即6105与2146的公约数也是8251与6105的公约数变式训练你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗试画出程序框图和程序解当型循环结构的程序框图如下图程序INPUTM，NR1WHILER0RMMODNMNNRWENDPRINTMEND例2用更相减损术求98与63的最大公约数解由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，如下图所示9863356335283528728721217141477所以，98和63的最大公约数等于7点评更相减损术与辗转相除法的比较尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著，但是二者的算理却是相似的，有异曲同工之妙主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过程变式训练用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数解324243181，2438130，则324与243的最大公约数为81又13581154，8154127，542720，则81与135的最大公约数为27所以,三个数324、243、135的最大公约数为27另法32424381,24381162,1628181，则324与243的最大公约数为811358154,815427,542727，则81与135的最大公约数为27所以，三个数324、243135的最大公约数为27例3（1）用辗转相除法求123和48的最大公约数（2）用更相减损术求80和36的最大公约数解（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下12324827，4812721，271216，21363，6230，最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3（2）我们将80作为大数，36作为小数，因为80和36都是偶数，要除公因数280240，3621840和18都是偶数，要除公因数240220，1829下面来求20与9的最大公约数，20911，1192，927，725，523，321，211，可得80和36的最大公约数为2214点评对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等变式训练分别用辗转相除法和更相减损术求1734，816的最大公约数解辗转相除8161028（余0），1734与816的最大公约数是102更相减损术因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数867408459，45940851，40851357，35751306，30651255，25551204，20451153，15351102，10251511734与816的最大公约数是512102利用更相减损术可另解1734816918，918816102，816102714，714102612，612102510，510102408，408102306，306102204，2041021021734与816的最大公约数是102知能训练求319，377，116的最大公约数解377319158，31958529，58292377与319的最大公约数为29，再求29与116的最大公约数11629429与116的最大公约数为29377，319，116的最大公约数为29拓展提升试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序解更相减损术程序INPUT“M，N”；M，NWHILEMNIFMNTHENMNELSEMNMENDIFWENDPRINTMEND课堂小结（1）用辗转相除法求最大公约数（2）用更相减损术求最大公约数思想方法递归思想作业分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数分析本题主要考查辗转相除法和更相减损术及其应用使用辗转相除法可依据MNQR，反复执行，直到R0为止；用更相减损术就是根据MNR，反复执行，直到NR为止解辗转相除法319261158,26158429,58292319与261的最大公约数是29更相减损术31926158,26158203,20358145,1455887,875829,582929,319与261的最大公约数是29设计感想数学不仅是一门科学，也是一种文化，本节的引入从东、西方文化的不同开始，逐步向学生渗透数学文化从知识方面主要学习用两种方法求两个正整数的最大公约数，从思想方法方面，主要学习递归思想本节设置精彩例题，不仅让学生学到知识，而且让学生进一步体会算法的思想，培养学生的爱国主义情操第2课时案例2秦九韶算法导入新课思路1（情境导入）大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样怎样求多项式FXX5X4X3X2X1当X5时的值呢方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法思路2（直接导入）前面我们学习了辗转相除法与更相减损术，今天我们开始学习秦九韶算法推进新课新知探究提出问题（1）求多项式FXX5X4X3X2X1当X5时的值有哪些方法比较它们的特点（2）什么是秦九韶算法（3）怎样评价一个算法的好坏讨论结果（1）怎样求多项式FXX5X4X3X2X1当X5时的值呢一个自然的做法就是把5代入多项式FX，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了123410次乘法运算，5次加法运算另一种做法是先计算X2的值，然后依次计算X2X，（X2X）X，（X2X）X）X的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果（2）上面问题有没有更有效的算法呢我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261）在他的著作数书九章中提出了下面的算法把一个N次多项式FXANXNAN1XN1A1XA0改写成如下形式FXANXNAN1XN1A1XA0（ANXN1AN1XN2A1）XA0（ANXN2AN1XN3A2）XA1XA0（ANXAN1）XAN2）XA1）XA0求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即V1ANXAN1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即V2V1XAN2，V3V2XAN3，VNVN1XA0，这样，求N次多项式F（X）的值就转化为求N个一次多项式的值上述方法称为秦九韶算法直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法（3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法应用示例例1已知一个5次多项式为F（X）5X52X435X326X217X08，用秦九韶算法求这个多项式当X5时的值解根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式FX（5X2X35X26X17X08，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当X5时的值V05；V155227V2275351385V313855266899V4689951734512V534152508172552所以，当X5时，多项式的值等于172552算法分析观察上述秦九韶算法中的N个一次式，可见VK的计算要用到VK1的值，若令V0AN，我们可以得到下面的公式,21,10KAXVNK这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现算法步骤如下第一步，输入多项式次数N、最高次的系数AN和X的值第二步，将V的值初始化为AN，将I的值初始化为N1第三步，输入I次项的系数AI第四步，VVXAI,II1第五步，判断I是否大于或等于0若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值V程序框图如下图程序INPUT“N”；NINPUT“AN”；AINPUT“X”；XVAIN1WHILEI0PRINT“I”；IINPUT“AI”；AVVXAII1WENDPRINTVEND点评本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例变式训练请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图解设F（X）A5X5A4X4A3X3A2X2A1XA0首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写F（X）（A5X4A4X3A3X2A2XA1）XA0（A5X3A4X2A3XA2）XA1）XA0（A5X2A4XA3）XA2）XA1）XA0（A5XA4）XA3）XA2）XA1）XA0上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可程序框图如下图例2已知N次多项式PNXA0XNA1XN1AN1XAN，如果在一种算法中，计算（K2，3，4，N）KX0的值需要K1次乘法，计算P3X0的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10X0的值共需要_次运算下面给出一种减少运算次数的算法P0XA0,PK1XXPKXAK1（K0，1，2，N1）利用该算法，计算P3X0的值共需要6次运算，计算P10X0的值共需要_次运算答案6520点评秦九韶算法适用一般的多项式FXANXNAN1XN1A1XA0的求值问题直接法乘法运算的次数最多可到达，加法最多N次秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多N次，加法最多N次2例3已知多项式函数FX2X55X44X33X26X7，求当X5时的函数的值解析把多项式变形为FX2X55X44X33X26X72X5X4X3X6X7计算的过程可以列表表示为最后的系数2677即为所求的值算法过程V02；V12555；V255421；V32153108；V410856534；V5534572677点评如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算知能训练当X2时，用秦九韶算法求多项式FX3X58X43X35X212X6的值解法一根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式FX3X8X3X5X12）X6按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当X2时的值V03V1V02832814V2V123142325V3V225252555V4V321255212122V5V42612226238当X2时，多项式的值为238解法二FX3X8X3X5X12）X6，则F2328232521226238拓展提升用秦九韶算法求多项式FX7X76X65X54X43X32X2X当X3时的值解FX7X65X4X3X2X1XV07；V173627；V2273586；V38634262；V426233789；V5789322369；V62369317108；V771083021324F321324课堂小结1秦九韶算法的方法和步骤2秦九韶算法的计算机程序框图作业已知函数FXX32X25X8,求F9的值解FXX32X25X8X22X5X8X2X5X8F9929598530设计感想古老的算法散发浓郁的现代气息，这是一节充满智慧的课本节主要介绍了秦九韶算法通过对秦九韶算法的学习，对算法本身有哪些进一步的认识教师引导学生思考、讨论、概括，小结时要关注如下几点（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题；（2）解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应该选择高效的算法；（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等第3课时案例3进位制导入新课情境导入在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法今天我们来学习一下进位制推进新课新知探究提出问题（1）你都了解哪些进位制（2）举出常见的进位制（3）思考非十进制数转换为十进制数的转化方法（4）思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法活动先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路讨论结果（1）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制等等也就是说“满几进一”就是几进制，几进制的基数（都是大于1的整数）就是几（2）在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法（3）十进制使用09十个数字计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几，就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十；接着依次是百位、千位、万位例如十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一于是，我们得到下面的式子37213103710221011100与十进制类似，其他的进位制也可以按照位置原则计数由于每一种进位制的基数不同，所用的数字个数也不同如二进制用0和1两个数字，七进制用06七个数字一般地，若K是一个大于1的整数，那么以K为基数的K进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式ANAN1A1A0（K）（0ANK，0AN1，A1，A0K其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，如110011（2）125124023022121120，7342（8）783382481280非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可ANAN1A1A0KANKNAN1KN1A1KA0第一步从左到右依次取出K进制数ANAN1A1A0K各位上的数字，乘以相应的K的幂，K的幂从N开始取值，每次递减1，递减到0，即ANKN,AN1KN1,A1K,A0K0；第二步把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数（4）关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其他进制之间的转换这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出1十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成K进制数的算法“除K取余法”2非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先由二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数应用示例思路1例1把二进制数1100112化为十进制数解110011212512402302212112013211612151点评先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果变式训练设计一个算法，把K进制数A（共有N位）化为十进制数B算法分析从例1的计算过程可以看出，计算K进制数A的右数第I位数字AI与KI1的乘积AIKI1，再将其累加，这是一个重复操作的步骤所以，可以用循环结构来构造算法算法步骤如下第一步，输入A，K和N的值第二步，将B的值初始化为0，I的值初始化为1第三步，BBAIKI1，II1第四步，判断IN是否成立若是，则执行第五步；否则，返回第三步第五步，输出B的值程序框图如下图程序INPUT“A,K，N”；A，K，NB0I1TAMOD10DOBBTK（I1）AA10TAMOD10II1LOOPUNTILINPRINTBEND例2把89化为二进制数解根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数具体计算方法如下因为892441，442220，222110，11251，5221，2210，1201，所以892（2（2（2（221）1）0）0）12（2（2（2（221）1）0）0）112602512412302202112010110012这种算法叫做除2取余法，还可以用下面的除法算式表示把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到8910110012上述方法也可以推广为把十进制数化为K进制数的算法，称为除K取余法变式训练设计一个程序，实现“除K取余法”算法分析从例2的计算过程可以看出如下的规律若十制数A除以K所得商是Q0，余数是R0，即AKQ0R0，则R0是A的K进制数的右数第1位数若Q0除以K所得的商是Q1，余数是R1，即Q0KQ1R1，则R1是A的K进制数的左数第2位数若QN1除以K所得的商是0，余数是RN，即QN1RN，则RN是A的K进制数的左数第1位数这样，我们可以得到算法步骤如下第一步，给定十进制正整数A和转化后的数的基数K第二步，求出A除以K所得的商Q，余数R第三步，把得到的余数依次从右到左排列第四步，若Q0，则AQ，返回第二步；否则，输出全部余数R排列得到的K进制数程序框图如下图程序INPUT“A，K”；A，KB0I0DOQAKRAMODKBBR10III1AQLOOPUNTILQ0PRINTBEND思路2例1将8进制数3147068化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序解3147068385184483782081680104902所以，化为十进制数是104902点评利用把K进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数3147068化为十进制数例2把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句解具体的计算方法如下893292，29392，9330，3310，1301，所以8910100223点评根据三进制数满三进一的原则，可以用3连续去除89及其所得的商，然后按倒序的顺序取出余数组成数据即可知能训练将十进制数34转化为二进制数分析把一个十进制数转换成二进制数，用2反复去除这个十进制数，直到商为0，所得余数（从下往上读）就是所求解即34101000102拓展提升把12345分别转化为十进制数和八进制数解12345153252354194则123453028所以，123451943028点评本题主要考查进位制以及不同进位制数的互化五进制数直接利用公式就可以转化为十进制数；五进制数和八进制数之间需要借助于十进制数来转化课堂小结（1）理解算法与进位制的关系（2）熟练掌握各种进位制之间转化作业习题13A组3、4设计感想计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时，计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出因此学好进位制是非常必要的，另外，进位制也是高考的重点，本节设置了多种题型供学生训练，所以这节课非常实用第2课时导入新课思路1客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系比如说某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系相关关系为表示这种相关关系,我们接着学习两个变量的线性相关回归直线及其方程思路2某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表气温/2618131041杯数202434385064如果某天的气温是5,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关回归直线及其方程推进新课新知探究提出问题（1）作散点图的步骤和方法（2）正、负相关的概念（3）什么是线性相关（4）看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢（5）什么叫做回归直线（6）如何求回归直线的方程什么是最小二乘法它有什么样的思想（7）利用计算机如何求回归直线的方程（8）利用计算器如何求回归直线的方程活动学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导讨论结果（1）建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图（A如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系B如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系C如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）（2）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系（4）大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上来进一步分析（5）如下图从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线REGRESSIONLINE如果能够求出这条回归直线的方程简称回归方程,那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表（6）从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了但是,这样做可靠吗有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同同样地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行（学生讨论1选择能反映直线变化的两个点2在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同3多取几组点对,确定几条直线方程再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距）教师分别分析各方法的可靠性如下图上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式1,2112XBYAXNYYXINIINIIIII其中，B是回归方程的斜率，A是截距推导公式的计算比较复杂，这里不作推导但是,我们可以解释一下得出它的原理假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据X1,Y1,X2,Y2,XN,YN，且所求回归方程是BXA,Y其中A、B是待定参数当变量X取XII1,2,N时可以得到BXIAI1,2,N,Y它与实际收集到的YI之间的偏差是YIYIBXIAI1,2,N这样，用这N个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的由于（YI）可正可负，为了Y避免相互抵消，可以考虑用来代替，但由于它含有绝对值，运算不太方便，所以改用QY1NIIIY1|BX1A2Y2BX2A2YNBXNA2来刻画N个点与回归直线在整体上的偏差这样，问题就归结为当A,B取什么值时Q最小，即总体偏差最小经过数学上求最小值的运算，A,B的值由公式给出通过求式的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法（METHODOFLEASTSQUARE）（7）利用计算机求回归直线的方程根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程以EXCEL软件为例,用散点图来建立表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的线性回归方程,具体步骤如下在EXCEL中选定表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的散点图（如下图）,在菜单中选定“图表”中的“添加趋势线”选项,弹出“添加趋势线”对话框单击“类型”标签,选定“趋势预测/回归分析类型”中的“线性”选项,单击“确定”按钮,得到回归直线双击回归直线,弹出“趋势线格式”对话框单击“选项”标签,选定“显示公式”,最后单击“确定”按钮,得到回归直线的回归方程0577X0448Y（8）利用计算器求回归直线的方程用计算器求这个回归方程的过程如下所以回归方程为0577X0448Y正像本节开头所说的，我们从人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组随机样本数据中，找到了它们之间关系的一个规律，这个规律是由回归直线来反映的直线回归方程的应用描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量X）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计,即可得到个体Y值的容许区间利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化,通过控制X的范围来实现统计控制的目标如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度应用示例思路1例1有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表摄氏温度/504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654（1）画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2，预测这天卖出的热饮杯数解（1）散点图如下图所示（2）从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少（3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数利用计算器容易求得回归方程2352X147767Y4当X2时，143063因此，某天的气温为2时，这天大约可以卖出143杯热饮Y思考气温为2时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗为什么这里的答案是小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下1线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差2即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于X的预报值，能够与实际值Y很接近我们不能保证点（X,Y）落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近，事实上，YBXAEEY这里E是随机变量，预报值与实际值Y的接近程度由随机变量E的标准差所决定一些学生可能会提出问题既然不一定能够卖出143杯左右热饮，那么为什么我们还以“这天大约可以卖出143杯热饮”作为结论呢这是因为这个结论出现的可能性最大具体地说，假如我们规定可以选择连续的3个非负整数作为可能的预测结果，则我们选择142，143和144能够保证预测成功（即实际卖出的杯数是这3个数之一）的概率最大例2下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料机动车辆数X千台95110112120129135150180交通事故数Y千件627577858798102131请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由；2如果具有线性相关关系,求出线性回归方程解（1）在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系2计算相应的数据之和1031，716,81IX81IY137835，96117812I81IIX将它们代入公式计算得B00774,A10241,所以,所求线性回归方程为00774X10241思路2例1给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据施化肥量X15202530354045水稻产量Y3303453654054454504551画出上表的散点图2求出回归直线的方程解1散点图如下图2表中的数据进行具体计算,列成以下表格I1234567XI15202530354045YI330345365405445450455XIYI495069009125121501557518000204758715,13275,70,3,0112IIIIYXYXY故可得到B475,23079815A399347530257从而得回归直线方程是475X257Y例2一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间为此进行了10次试验,测得数据如下零件个数X（个）102030405060708090100加工时间Y（分）626875818995102108115122请判断Y与X是否具有线性相关关系,如果Y与X具有线性相关关系,求线性回归方程解在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系由测得的数据表可知38500,87777,55950102,79,5IXYX102IY10IIYXB0668221051038795XIIIA9170668555496BY因此,所求线性回归方程为BXA0668X5496Y例3已知10条狗的血球体积及红血球数的测量值如下血球体积XML45424648423558403950红血球数Y百万653630952750699590949620655872（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线的方程解（1）散点图如下（2）454246484235584039504450,10X653630952750699590949620655872737Y设回归直线方程为BXA,则B0175,A0418,Y210XYIIIXB所以所求回归直线的方程为0175X0148Y点评对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直线形,再依系数A,B的计算公式,算出A,B由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段,认真细致,谨防计算中产生错误,求线性回归方程的步骤计算平均数；计算XI与YI的积,求XIYI；计算XI2；将结果代入公式求B；用A求A；Y,XY写出回归直线方程知能训练1下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A角度和它的余弦值B正方形边长和面积C正边形的边数和它的内角和D人的年龄和身高答案2三点3,10,7,20,11,24的线性回归方程是（）A575175XB175575XYYC175575XD575175X答案3已知关于某设备的使用年限X与所支出的维修费用Y（万元）,有如下统计资料使用年限X23456维修费用Y2238556570设Y对X呈线性相关关系试求（1）线性回归方程BXA的回归系数A,B；（2）估计使用年限为10年时,维修费用是多少答案（1）B123,A008；（2）12384我们考虑两个表示变量X与Y之间的关系的模型,为误差项,模型如下模型1Y64X；模型2Y64XE（1）如果X3,E1,分别求两个模型中Y的值；（2）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型解（1）模型1Y64X64318；模型2Y64XE643119（2）模型1中相同的X值一定得到相同的Y值,所以是确定性模型；模型2中相同的X值,因的不同,所得Y值不一定相同,且为误差项是随机的,所以模型2是随机性模型5以下是收集到的新房屋销售价格Y与房屋大小X的数据房屋大小X（M2）80105110115135销售价格Y（万元）18422216248292（1）画出数据的散点图；（2）用最小二乘法估计求线性回归方程解（1）散点图如下图（2）N5,545,109,116,232,51IX51IY60952,12952,512I51IIB0199,A23201991091509,246096所以,线性回归方程为Y0199X1509拓展提升某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（XI）与公司所获得利润（YI）的统计资料如下表科研费用支出（XI）与利润（YI）统计表单位万元年份科研费用支出利润1998199920002001200220035114532314030342520合计30180要求估计利润（YI）对科研费用支出（XI）的线性回归模型解设线性回归模型直线方程为,IIXY10因为5,30,630NXI68NI根据资料列表计算如下表年份XIYIXIYIXI2XIYIXI2XXIYIY1998199920002001200220035114532314030342520155440120170754025121162594061023110045100361049060001030合计3018010002000050100现求解参数0、1的估计值方法一2,3691254632682221IIXNY302520XY10方法二2，50620122XNYI302520XY10方法三2，5012XXYI302520XY10所以利润（YI）对科研费用支出（XI）的线性回归模型直线方程为202XIIY课堂小结1求线性回归方程的步骤（1）计算平均数；YX,2计算XI与YI的积，求XIYI3计算XI2,YI2，4将上述有关结果代入公式XBYAXNYYXINIINIIIII,1212求B,A,写出回归直线方程2经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程作业习题23A组3、4,B组1、2设计感想本节课在上节课的基础上,利用实例分析了散点图的分布规律,推导出了线性回归直线的方程的求法,并利用回归直线的方程估计可能的结果,本节课讲得较为详细,实例较多,便于同学们分析比较思路1和思路2的例题对知识进行了巩固和加强,另外，本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例,对学生进行思想情操教育、意志教育和增强学生的自信心,养成良好的学习态度,树立时间观,培养勤奋、刻苦的精神第二章统计本章教材分析现代社会是信息化的社会，数字信息随处可见，因此专门研究如何收集、整理、分析数据的科学统计学就备受重视统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据在客观世界中，需要认识的现象无穷无尽要认识某现象的第一步就是通过观察或试验取得观测资料，然后通过分析这些资料来认识此现象如何取得有代表性的观测资料并能够正确地加以分析，是正确地认识未知现象的基础，也是统计所研究的基本问题本章主要介绍最基本的获取样本数据的方法，以及几种从样本数据中提取信息的统计方法，其中包括用样本估计总体分布、数字特征和线性回归等内容从义务教育阶段来看，统计知识的教学从小学到初中分为三个阶段，在每个阶段都要学习收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法，教学目标随着学段的升高逐渐提高在义务教育阶段的统计与概率知识的基础上，课程标准要求通过实际问题及情境，进一步介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，了解用样本估计总体及其特征的思想，体会统计思维与确定性思维的差异；通过实习作业，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，进一步体会统计思维与确定性思维的差异本章教学时间约需7课时，具体分配如下（仅供参考）211简单随机抽样约1课时212系统抽样约1课时213分层抽样约1课时221用样本的频率分布估计总体分布约1课时222用样本的数字特征估计总体的数字特征约1课时23变量间的相关关系约1课时本章复习约1课时21随机抽样211简单随机抽样整体设计教学分析教材是以探究一批小包装饼干的卫生是否达标为问题导向，逐步引入简单随机抽样概念并通过实例介绍了两种简单随机抽样方法抽签法和随机数法值得注意的是为了使学生获得简单随机抽样的经验，教学中要注意增加学生实践的机会例如，用抽签法决定班里参加某项活动的代表人选，用随机数法从全年级同学中抽取样本计算平均身高等等三维目标1能从现实生活或其他学科中推出具有一定价值的统计问题，提高学生分析问题的能力2理解随机抽样的必要性和重要性，提高学生学习数学的兴趣3学会用抽签法和随机数法抽取样本，培养学生的应用能力重点难点教学重点理解随机抽样的必要性和重要性，用抽签法和随机数法抽取样本教学难点抽签法和随机数法的实施步骤课时安排1课时教学过程导入新课抽样的方法很多，某个抽样方法都有各自的优越性与局限性，针对不同的问题应当选择适当的抽样方法教师点出课题简单随机抽样推进新课新知探究提出问题1在1936年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志LITERARYDIGEST的工作人员做了一次民意测验调查兰顿ALANDON当时任堪萨斯州州长和罗斯福FDROOSEVELT当时的总统中谁将当选下一届总统为了了解公众意向,调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查表注意在1936年电话和汽车只有少数富人拥有通过分析收回的调查表,显示兰顿非常受欢迎,于是此杂志预测兰顿将在选举中获胜实际选举结果正好相反,最后罗斯福在选举中获胜,其数据如下候选人预测结果选举结果ROOSEVELT4362LANDON5738你认为预测结果出错的原因是什么由此可以总结出什么教训（2）假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验，你准备怎样做显然，你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本那么，应当怎样获取样本呢（3）请总结简单随机抽样的定义讨论结果1预测结果出错的原因是在民意测验的过程中，即抽取样本时，抽取的样本不具有代表性1936年拥有电话和汽车的美国人只是一小部分，那时大部分人还很穷其调查的结果只是富人的意见，不能代表穷人的意见由此可以看出，抽取样本时，要使抽取出的样本具有代表性，否则调查的结果与实际相差较大2要对这批小包装饼干进行卫生达标检查，只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本，用样本的卫生情况来估计这批饼干的卫生情况如果对这批饼干全部检验，那么费时费力，等检查完了，这批饼干可能就超过保质期了，再就是会破坏这批饼干的质量，导致无法出售获取样本的方法是将这批小包装饼干，放入一个不透明的袋子中，搅