高中数学新课标人教a版必修二 空间几何体同步教学 学案

空间几何体的三视图和直观图及其表面积和体积（2010模拟题）1（2010届北京市朝阳区高三一模（理）一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为2，二面角DACB的余弦值为13，则下列论断正确的是A）空间四边形B的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3B）空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4C）空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为D）不存在这样的球使得空间四边形ABC的四个顶点在此球面上答案A2（2010届东北四校高三三模（理）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如图，若图中圆的半径为，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积为（）A32B34CD答案B3（2010届安徽省合肥高三四模（理）3右图是某几何体的直观图，其三视图正确的是（A）ABCD4（2010届北京八中高三模拟（理）5圆3122YX绕直线01YKX旋转一周所得的几何体的体积为（C）A36B12C34D45（2010届广东湛江市高三一模（文）一个空间几何体的三视图如下“其中主视图和侧视图都是上底为2，下底为4，高为2的等腰梯形，俯视图是两个半径分别为1和2的同心圆，那么这个几何体的侧面积是CA62B18C9D326（2010届成都石室中学高三二诊（理）在三棱锥ABC中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，、AD、的面积分别为、6，则三棱锥ABC的外接球的体积为（A）A6B26C3D47（2010届大连市高三二模（理）如图1，一个空间几何体的主视图、左视图都是边长为1且一个内角为60的菱形，俯视图是圆，那么这个几何体的表面积为（）AB2C3D48（2010届北京市朝阳区高三二模（理）（3）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（A）12（B）80（C）72（D）64答案B9（2010届安徽省安庆一中高三三模（理）3一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于B10（2010安徽安庆高三二模（文）4如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是BA43B63C12D311（2010届安徽省安庆一中高三三模（理）6已知正方形ABCD的边长为6，空间有一点M（不在平面ACD内）满足10MBA，则三棱锥M的体积的最大值是（）A48B36C30D2412（2010届安徽省安庆一中高三三模（文）7、如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱11ABC面,正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（B）A4B32C2D313（2010届北京市朝阳区高三一模（理）（4）一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为长方形；正方形；圆；椭圆其中正确的是（A）（B）（C）（D）答案B14（2010届安徽萧县中学高三三模（理）15已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长AB6，侧棱长127A，它的外接球的球心为O，点E是AB的中点，点P是球O的球面上任意一点，有以下判断（1）PE长的最大值是9；（2）P到平面EBC的距离最大值是74；（3）存在过点E的平面截球O的截面面积是3；（4）三棱锥PAEC1体积的最大值是20其中正确判断的序号是答案（2）15（2010届广东省佛山市高三一模（理）13将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”已知直角三角形具有性质“斜边的中线长等于斜边边长的一半”仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质答案直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一16（2010届杭州五中高三下5月模拟（理）13下图所示为一几何体的三视图，那么这个几何体的体积为_823_17（2010届江西省吉安市高三二模（理）13如图所示的几何体中，底面ABCD是矩形，AB9，BC6，EF/平面ABCD，EF3，ADE和BCF都是正三角形，则几何体EFABCD的体积为632。18（2010届大连市高三二模（理）14已知正四棱锥SABCD，底面上的四个顶点A、B、C、D在球心为O的半球底面圆周上，顶点S在半球面上，则半球O的体积和正四棱锥SABCD的体积之比为1。19（2010届北京市朝阳区高三一模（文）（12）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为答案3220（2010安徽省安庆市示范高中高三模拟联考（文）19（13分）如图1，在直角梯形ABCD中,90,/CDAB,4,2CD将A沿C折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示（）若E为AD的中点，试在线段CD上找一点F，使E平面ABC，并加以证明；（）求证BC平面；（）求几何体AB的体积19解（）在图1中,可得2ACB,从而22ACB,故ACB取AC中点O连结D,则,又面D面,面面,面,从而O平面,B面,又,平面另解在图1中,可得2B,从而22AB,故AB面A面,面C面,C面,从而C平面D（）由（）可知为三棱锥D的高，2ACDS所以14233ABDAVSH几何体的体积为4321（2010届安徽省安庆一中高三三模（文）18、（本题满分12分）如图，一简单组合体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC平面ABC（1）证明平面ACD平面ADE；（2）若2AB，1C，3TAN2EAB，试求该简单组合体的体积V解析（）证明DC平面ABC,C平面ABCDCB1分AB是圆O的直径且ABC平面ADC3分四边形DCBE为平行四边形DE/BCDE平面ADC5分又平面ADE平面ACD平面ADE6分（2）所求简单组合体的体积EABCV2AB，1C，3TAN23E,2162ADCAVSEDCE113EBBB该简单几何体的体积V12分第2章第2节一、选择题每小题6分，共36分1正棱锥的高缩小为原来的，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原12来体积的A倍B倍3292C倍D倍3494【解析】设原棱锥高为H，底面面积为S，则VSH，13新棱锥的高为H，底面面积为9S12V9SHSH，13121392VV92【答案】B2如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为A32B16C12D8【解析】由三视图可知几何体是半径为2的半球，故其表面积应为半球的表面积与底面圆的面积之和，即S2R2R23R212【答案】C3当圆锥的侧面积和底面积的比值是时，圆锥轴截面的顶角等于2A45B60C90D120【解析】设圆锥的母线长为L，底面半径为R，则，RLR22LR2设轴截面顶角的一半为，则SIN，45，290RL22【答案】C4在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则该三棱锥的体积为223262AB666C6D26【解析】ABAC，ADAC，ABAD，122212321262AB，AC1，AD23V113122366【答案】B5把由曲线Y|X|和Y2围成的图形绕X轴旋转360，所得旋转体的体积为AB83103CD63323【解析】由题意，Y|X|和Y2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个相同的共顶点的圆锥V圆柱22416，2V圆锥222213163所求几何体体积为16163323【答案】D6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A3B2CD以上都不对163【解析】由三视图可知该几何体是底面半径为1，高为2的圆锥由于圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，又注意到它的外接圆半径等于圆锥的外接球半径，得外接球半径为，所以球的表面积为S42233233163【答案】C二、填空题每小题6分，共18分7如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为_【解析】由三视图的知识，它是底面直径与高均为1的圆柱，所以侧面积S【答案】8正三棱台高为12CM，上、下底面面积之比为14，它的体积为28CM3，则下底面面积为_【解析】设下底面面积为SCM2，则上底面面积为SCM2，141228，13S14SS14SS4【答案】4CM292009年全国卷直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上若ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于_【解析】在ABC中，由余弦定理知BC2AB2AC22ABACCOS1204422212，12BC23由正弦定理知ABC的外接圆半径R满足2R，23SIN120R2，由题意知球心到平面ABC的距离为1，设球的半径为R，则R，S球4R2202215【答案】20三、解答题共46分1015分如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆02KG，则共需油漆大约多少千克尺寸如图所示，单位米，取3【解析】S底R2927918，S锥RL33545，S侧43448，S全184548111，需刷油漆02111222KG1115分如图所示，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA18若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC、BC、A1C1、B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少【解析】当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面ABFE为梯形设ABC的面积为S，则S梯形ABFES，34V水SAA16S34当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为H，则有V水SH，6SSH，H6故当底面ABC水平放置时，液面高为61216分如图所示，以AB4CM，BC3CM的长方形ABCD为底面的长方体被平面斜着截断的几何体，EFGH是它的截面当AE5CM，BF8CM，CG12CM时，试回答下列问题1求DH的长；2求这个几何体的体积；3截面四边形EFGH是什么图形证明你的结论【解析】1过E作EB1BF，垂足为B1，则BB1AE5CM，所以B1F853CM因为平面ABFE平面DCGH，EF和HG是它们分别与截面的交线，所以EFHG过H作HC1CG，垂足为C1，则GC1FB13CM，DH1239CM2作ED1DH，垂足为D1，B1PCG，垂足为P，连结D1P，B1C1，则几何体被分割成一个长方体ABCDEB1PD1，一个斜三棱柱EFB1HGC1，一个直三棱柱EHD1B1C1P从而几何体的体积为V345343344102CM312123是菱形证明由1知EFHG，同理EHFG于是EFGH是平行四边形因为EFEB21B1F242325CM，DD1AE5CM，ED1AD3CM，HD14CM，所以EHED21D1H232425CM所以EFEH故EFGH是菱形巩固1如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为A32B16C12D8解析选C由三视图可知几何体是半径为2的半球，故其表面积应为半球的表面积与底面圆的面积之和，即S2R2R23R2122已知A、B为球面上的两点，O为球心，且AB3，AOB120，则球的体积为AB4923C36D323解析选BAOB为等腰三角形，AOB120，AB3，通过解三角形解出OA和OB，即OAOBR，从而求出球的体积4，故选B333原创题设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度H随时间T变化的图象是解析选B由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时间的变化是相同的，反映在图象上，选项B符合题意故选B42009年高考全国卷已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M若圆M的面积为3，则球O的表面积等于_解析由题意得圆M的半径R，设球的半径为R，又球心到圆M的距离为，由勾3R2股定理得R2R22，R2，则球的表面积为42216，故填16R2答案165四边形ABCD中，A0,0，B1,0，C2,1，D0,3，绕Y轴旋转一周，则所得旋转体的体积为_解析V圆锥R2H2221313，83V圆台HR2R2RR131221221，1373VV圆锥V圆台5答案56已知正方体AC1的棱长为A，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1EBFD1的体积解因为EBBFFD1D1EA，所以四棱锥A1EBFD1的底面是A2FA,2252菱形，连结EF，则EFBEFD1，由于三棱锥A1EFB与三棱锥A1EFD1等底同高，所以VA1EBFD12VA1EFB2VFEBA12SEBA1AA31316练习1圆台上、下底面面积分别是、4，侧面积是6，这个圆台的体积是AB22333CD736733解析选DS1，S24，R1，R2，S6RRL，L2，H3V1421337332如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是AB3626CD1223解析选B由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连结顶点和底面中心即为高，可32得高为，所以体积为V11221322263一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为AB233C3D4解析选B由三视图可知几何体为一圆锥，其中圆锥底面半径为1，母线长为2，故其侧面积S2122其侧面展开图为一扇形，12扇形半径为2，弧长为圆锥底面圆周长，故选B4三棱锥PABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面5003积为16，则该三棱锥的高的最大值为A7B75C8D9解析选C设球的半径为R，R3，R5设小435003圆半径为R，R216，R4当三棱锥的高过球心O时，取得最大值，OO13，PO1538故选C524252009年高考陕西卷若正方体的棱长为，则以该正2方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为AB2623CD3323解析选B所求八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V11，故22132226八面体体积V2V1故选B236把由曲线Y|X|和Y2围成的图形绕X轴旋转360，所得旋转体的体积为AB83103CD63323解析选D由题意，Y|X|和Y2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个相同的共顶点的圆锥V圆柱22416，2V圆锥2222，13163所求几何体体积为161633237正三棱台高为12CM，上、下底面面积之比为14，它的体积为28CM3，则下底面面积为_解析设下底面面积为SCM2，则上底面面积为SCM2，14SS1228，1314S14SS4答案4CM28已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为解析因为扇形弧长为2，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积V1222132223答案2239如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为解析设ACA，CC1B，则由A2B22A2B2，14得B22A2，又A26，1232A28，V848343答案8310已知圆台的母线