湖南名校联考联合体2026届高三年级1月联考数学试卷+答案

炎德·英才·名校联考联合体2026届高三年级1月联考

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答

案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.全集U={—3,—2,—1,0},A={-1,0},则CuA=

A.B.{-2}C.{-3}D.(-3,-2}

2.复数z的共轭复数为z,若z=1—2i,则z=

A.1—2iB.1+2iC.2—iD.2+i

3.平面向量a=(3,一1),b=(x,1),且a—b=(1,—2),则x=

A.-1B.2C.√5D.3

4.函数f(x)=e,若f(x²+2)<f(3),则x的取值范围为

A.(一2,2)B.(一2,-1)

C.(一1,1)D.(1,2)

5.正四棱锥P-ABCD的侧棱长为2,侧棱PA与底面ABCD所成角为45°,则该四棱锥的体

积为

AB.2√2CD.4√2

6.函数的图象关于直线对称，则w的最小值为

AB.1CD.2

7.椭圆的左、右顶点为A₁,A₂,椭圆C的右焦点为F,点P是椭圆C上异于A₁,A₂

的一动点，过F作直线A₁P的垂线，垂足为M,若椭圆C的离心率为,三角形A₁A₂M的面积

最大值为6,则椭圆C的方程为

ABCD.

数学试题第1.页(共5页)

1

8.函数y=f(x)(x∈R)满足：当x∈[-1,1]时，且f(x+1)=

f(1—x),f(x+2)=f(x—2),若函数g(x)=f(x)-|log。(x+1)|,(a>0且a≠1)共有6个

零点，则实数a的取值范围是

A.[³10,14]B.(³10,³14)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.等差数列{an}的前n项和为Sn,a₁=12,a₃+as=a₆+10,则

A.a₂=10

B.公差d=-2

C.a₁=—8

D.S,的最大值为S₇或S₈

10.抛物线C:y²=2px的焦点为F,准线为l.若点P(1,2)在抛物线C上，过F点的直线I′交抛物

线C于A,B两点，则

A.p=2

B.|PF|=2

C.圆x²+y²=5与准线l交于M,N两点，则三角形FMN的面积为8

D.以FA为直径的圆与y轴只有一个公共点

11.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1,AA₁=2,E,F分别在侧面AA₁B₁B和侧面

AA₁C₁C内运动(含边界),点A₁在平面AEF上的射影H在△AEF内(含边界),直线AA₁

与平面AEF所成的角为30°.则

A.正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为

B.正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的体积为π

C.H点到棱AA₁的距离为√3

D.若直线BH与平面ABC所成的角为θ,则tanθ的最大值为3(2+√3)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.函数f(x)=3x+lnx在点P(xo,yo)处的切线斜率为4,则xo=·

13.从0,1,2,…,9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有

个.

数学试题第2页(共5页)

2

14.数列{an}满足an=2n—1,数列{bn}满足b₁=3,b₁+1=2b+1.将{an}中的项按从小到大的顺

序插人{b,}中，且在任意的b,bk+1之间插入2k—1项，从而构成一个新数列-{cn³:b1,:aj:;b2,

a₂,a₃,an,b₃,…,设{cn}的前n项和为Tn,则T10=.(请用数字作答).

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,

(1)证明：b=2c;

(2)若a=√7c,求内角A的大小.

16.(本小题满分15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为等腰三角形，PD上底面

ABCD,AB//CD,AD⊥DC,AB=2,CD=4,PC=2√5.,M为棱PC

的中点.

(1)证明：BM//平面PAD;

(2)求平面PDM和平面DMB-所成夹角的正弦值.

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3

17.(本小题满分15分)

函数f(x)=a(x+1)—lnx.

(1)若a=e,求f(x)的极小值；

(2)当a=—1时，证明：xe+f(æ)≥0.

18.(本小题满分17分)

某人工智能研发公司为了开拓新产品市场，从最新研发的经典A型和卓越A+型两款机器人

中(卓越A+型是A型的优化版),随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等

环境中进行，评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典A型优秀为7台，卓越A+

型优秀为20台.

(1)完成下面2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析两款机器人的测试

结果是否与越野驾驶性能优化有关.

测试结果

款类总计

优秀良好

A+型2030

A型730

总计

(2)该公司为了进一步测试卓越A+型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队(母语

为汉语)进行诗词抢答赛.每局比赛只有胜和负两种情况(无平局),每局人类战胜机器人

的概率为·,胜者记2分，负者记1分.每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素

的影响.

(i)求三局比赛中，人类队累计得分X的分布列和数学期望；

(ii)若采用“比赛赛满(2n—1)局，胜方至少获得n局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为

A(n);若采用“比赛赛满(2n+1)局，胜方至少获得(n+1)局胜利”的赛制，人类队取胜

的概率为A(n+1),比较A(n)与A(n+1)的大小，并说明其统计意义.

数学试题第4页(共5页)

4

参考公式

α0.10.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

19.(本小题满分17分)

双曲线(的一条渐近线为l₁:y=x,点B(5,4)在双曲线C上.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线

为双曲线的切线，该公共点为切线的切点.设双曲线C在切点N处的切线为l,求切线l与

双曲线的两渐近线所围成的三角形的面积；

(3)设点B关于l₁的对称点为R,点B关于原点的对称点为B′,双曲线上的动点M与B′,B

不重合，且动直线MB与直线OR相交于点P,动直线MB′与直线OR相交于点P'.求证：

存在实数λ,使得|OR|²=λ|OP|·|OP′|,并求出实数λ的值.

数学试题第5页(共5页)

5

炎德·英才·名校联考联合体2026届高三年级1月联考

数学参考答案

一、二、选择题

题号1234567891011

答案DBBCCACCABCABDAD

1.D【解析】由题意，U={-3,—2,—1,0},又A={-1,0},所以CA={-3,—2}.故选：D.

2.B【解析】由z=1—2i,故z=1+2i,故选：B.

3.B【解析】因为a=(3,-1),b=(x,1),所以a—b=(3-x,-1-1)=(1,—2),所以x=2.故选：B.

4.C【解析】因为f(x)在R上单调递增，由f(x²+2)<f(3),

所以x²+2<3,所以x²-1<0,解得-1<x<1.故选：C.

5.C【解析】如图，正四棱锥P-ABCD中，正方形ABCD的对角线相交于点O,连接PO,

则PO⊥平面ABCD,则∠PAO为PA与底面ABCD所成角，且∠PAO=45°,

所以PO=PAsin45°=√2,且AC=2OA=2OP=2√2,所以AB=2,

所以该四棱锥的体积为.故选C.

6.A【解析】函数)(w>0)的图象关于直线对称，

A

所以,k∈Z,得,k∈Z,因为w>0,

所以当k=0时，w取最小值，为故选：A.

7.C【解析】因为A₁M⊥MF,所以点M在以A₁F为直径的圆上，所以A₁A₂边上的高为半径时，△A₁A₂M的面积

最大，即

又因为,即,所1,解得a=2√2,所以c=√2,得b=√a²—c²=√6,故椭圆C的方程为

.故选：C.

8.C【解析】由得

因为f(x+1)=f(1-x),所以函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=1对称，

因为f(x+2)=f(x—2),所以f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[(x+2)-2]=f(x),

所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.又函数y=f(x)在区间[-1,1]上单调递增，且值域为[-3,3],函数y=

log。(x+1)|在区间(一1,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增，且当x→-1时y=|og。(x+1)|→+∞,

当x=0时y=|log.1|=0.函数g(x)的零点个数，即函数y=f(x)图象与函数y=|log(x+1)|,(a>0,a≠1)图

象的交点个数.不妨设a>1,作出函数y=f(x)与y=|log(x+1)|的图象如下：

因为函数g(x)=f(x)-|log(x+1)|,(a>0,a≠1)共有6个零点，

6

所以当a>1,x>0时，得所以√10<a<³14,

当0<a<1,x>0时，得所以

所以实数a的取值范围是(³10,³√14)U.故选：C.

9.ABC【解析】设等差数列{an}的公差为d,

对于A:因为a₃+a₅=a₆+a₂=a₆+10,所以a₂=10,故A正确；

所以a₂—a₁=d=-2,故B正确；

对于C:a₁=a₁+(11-1)d=12+10×(-2)=-8,故C正确；

对于D:因为所以6≤n≤7,可知数列{a,}的前7项非负，所以S,的最大值为S₆或S₇,故D

错误；故选：ABC.

10.ABD【解析】对于A:由点P(1,2)在抛物线C上，得4=2p.解得p=2,故A正确；

对于B:,故B正确；

对于C:直线l:x=-1交圆x²+y²=5于点M(-1,2),N(-1,—2),又F(1,0),则三角形FMN的面积为

=4,故C错误；

对于D:设A(4a²,4a),根据抛物线定义可知|FA|=xA+1=4a²+1,又以FA为直径的圆的半径为

,而线段FA的中点到y轴的距离为,因此以FA为直径的圆与y轴相切.故D正确；故选：ABD.

11.AD【解析】对于A:因为在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1,AA₁=2,所以正三棱柱ABC-A₁B₁C₁V

故A正确；

对于B:设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心为O,则外接球的半经为,所以

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的体积为,故B错误；

对于C,D:因为点H为A₁在平面AEF上的射影，所以A₁H平面AEF,连接AH,

图1图2图3

则A₁H⊥AH,故H在以AA₁为直径的球面上.又AA,与平面AEF所成的角为30°,

所以∠HAA₁=30°,过H作HO₁⊥AA₁于点O₁,如图1所示，则HA₁=1,HA=√3,,所以H点

到棱AA₁的距离为,故C错误；所以H在如图2所示的圆锥AO₁的底面圆周上，又H在△AEF内(含边界),故

H在三棱柱ABC-A₁B₁C₁及其内部，其轨迹是以O₁为圆心，O₁H为半径的圆中圆心角为60°的圆弧，且H在底面

ABC上的射影H′的轨迹(以A为圆心为半径的一段圆弧)如图3所示，连接BH′,易知直线BH与平面ABC所

成的角θ=∠且,故当BH′最小时，tanθ最大，A是圆弧圆心，则当H′在AB上

时，BH′最小，最小值为,所故D正确.故选：AD.

三、填空题

12.1【解析】易知,根据切线斜率为4,得,解得xo=1.

13.167【解析】当百位数小于3时，共有C·A?=144个；当百位数为3,十位数小于2时，此时共有C·A=16个；

当百位数为3,十位数为2时，共有C=7个.

7

综上所述，共有144+16+7=167个.

14.12182【解析】对于数列{ba},由ba+1=2b+1可得ba+1+1=2(bₙ+1),又b₁+1=4≠0,

所以,所以数列{b,+1}是首项为4,公比为2的等比数列，

故b„+1=4×2”⁻¹=2"+¹,得b=2"+¹-1.

又a=2n—1,

新数列{c。}结构为：b₁后插1项，b₂后插3项，…,b后插2k—1项，到b,总项数为m+1+3+…+2m-3=m+

当m=10时，到b₁₀共10²—10+1=91项，

插入的a₁到ag1的和为

第92到100项为b₁₀后插的9项，即a82到aso,其和为90²—81²,故T¹o=4082+81²+(90²—81²)=12182.

四、解答题

15.【解析】(1)在△ABC中，,又

则inA,而sinA>0,………………………3分

则bc=b²-2c²,即(b—2c)(b+c)=0,又b+c>0,则b=2c.6分

(2)由a=√7c,则a²=7c²,8分

由余弦定理,……………11分

又0°<A<180°,所以A=120°13分

16.【解析】(1)取PD的中点N,连接AN,MN,如图所示：

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在△PCD中，因为M,N分别是棱PC,PD的中点，所以MN为^PCD的中位线，

所以MN//DC,且,易

所以MN//AB,且MN=AB,所以四边形ABMN为平行四边形，

所以AN//BM,............................................................................................................................................................4分

又ANC平面PAD,BMC平面PAD,所以BM//平面PAD..............................................................................6分

(2)由已知PD⊥CD,CD=4,PD=2√5,所以PD²+CD²=CP²,即PD²+16=20,得PD=2,所以AD=2,…8分

以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,

所以D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2),9分

因为M为棱PC的中点，所以M(0,2,1),所以DA=(2,0,0),DB=(2,2,0),DM=(0,2,1),

设平面DMB的法向量为n=(x,y,z),则

令z=2,则y=-1,x=1,即平面DMB的一个法向量为n=(1,-1,2),11分

又PD⊥平面ABCD,DAC平面ABCD,所以PD⊥DA,由AD⊥DC,且PD∩DC=D,

所以DA⊥平面PCD,即DA⊥平面PDM,

所以DA=(2,0,0)为平面PDM的一个法向量，…………………13分

8

所以

所以平面PDM和平面DMB所成夹角的正弦值为，………15分

17.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),当时………………1分

由f'(x)>0,得,即f(x)在上单调递增；……………3分

由f(x)<0,得,即f(x)在区间)上单调递减，…………………5分

所以f(x)的极小值为………………7分

(2)当a=-1时，f(x)=-(x+Inx+1),

因为xe+f(x)=xe—(x+Inx+1),从而要证f(x)+xe≥0,即证xe-x—Inx-1≥0,

令h(x)=xe-x-Inx-1,定义域为(0,+∞),……………………8分

,其中x+1>0恒成立，设的解为x=xo,

当0<x<x。时)单调递减，

当x>x。时

因此h(x)=xe-x—Inx—1的最小值为h(x₀)=x₀e⁶一x₀—Inx₀-1,11分

由,…………12分

即h(x)=xe-x-Inx+1的最小值为0,………………………14分

综上，h(x)=xe-x—Inx-1≥0,即xe²+f(x)≥0得证。………15分

18.【解析】(1)依题意，列出2×2列联表如下：

测试结果

款类总计

优秀良好

A+型201030

A型72330

总计273360

…………………………1分

零假设为H₀:测试结果与越野驾驶性能优化无关.根据表中数据可得：

根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为测试结果与越野驾驶性能有关联，此推断犯错

误的概率不大于0.001.………………4分

(2)(i)X的所有可能取值为3,4,5,6,

………8分

(全正确得4分，每正确一个得1分)

∴X的分布列为

X3456

P

…………………………9分

9

∴数学期望…………10分

(ii)设“赛满2n+1局人类队获胜”为事件C,要使事件C发生，有两种情况：第一阶段赛满(2n-1)局人类队胜，记为

事件A₁,和第一阶段赛满(2n—1)局人类队负，记为事件A₂,

∴C=A₁C+A₂C,P(C)=P(A₁C)+P(A₂C),11分

①若第一阶段人类队胜，则人类队在前(2n-1)局至少胜n局，分为人类队至少胜(n+1)局和人类队恰好胜n局，

(a)若人类队至少胜(n+1)局，无论后面两局结果如何，最终人类队获胜；………12分

(b)若人类队恰好胜n局，且后面两局中人类队均负的概率为C2n-1p"(1一p)"-¹(1—p)²,

………………13分

②若第一阶段人类负，则人类队恰好胜了(n—1)局，而后两局必须全胜才能使得人类队最后获胜，

∴P(A₂C)=C2n-1p"⁻¹(1—p)"p²,

∴A(n+1)=P(C)=P(A₁C)+P(A₂C)=A(n)—C2n1P"(1—p)"⁻¹(1-p)²+Cp"⁻¹(1一p)"p²,

A(n+1)-A(n)=C21p”⁻¹(1一p)”p²—C2-1p“(1—p)”⁻¹(1-p)²

=C2n-1p"+¹(1-p)”—C2n-1P"(1—p)+1

…………………16分

∴A(n+1)<A(n).

在人类队每局获胜概率为的条件下，局数越多，人类队获胜的概率越小.……17分

19.【解析】(1)因为双曲线(a>0,b>0))的一条渐近线为y=x,点(5,4)在C上.

所解得a²=b²=9,………………2分

所以双曲线C的方程为…………………3分

(2)设点N坐标为(ro,y%),当点N处的切线斜率不存在时，根据对称性，取切线方程为x=3,与渐近线y=±x的

交点为A(3,3),B(3,—3),此时……………5分

当切线斜率存在时，设切线方程为y-y=k(x—x₀),

与双曲线方程联立消去y,可得x²—[k(x-xo)+y。]²=9,

整理得(1—k²)x²+(2k²x。—2ky。)x—k²x²+2kyoxo—y?—9=0,

所以1