有关圆锥曲线的经典结论

有关解析几何的经典结论一、椭圆1点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角2PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离4以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切5若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是0,PXY21XYAB0P021XYAB6若在椭圆外，则过PO作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切,2点弦P1P2的直线方程是02XY7椭圆AB0的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点XYA，则椭圆的焦点角形的面积为12F12TANPSB8椭圆（AB0）的焦半径公式XY,1|ME20|EX1FC2,00,MXY9设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF10过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF11AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则XYAB,0YX，2OMABK即。02YAXK12若在椭圆内，则被PO所平分的中点弦的方程是0,P21B022XXAB13若在椭圆内，则过PO的弦中点的轨迹方程是0,Y21YAB202XYAB二、双曲线1点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角2PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交4以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切（内切P在右支；外切P在左支）5若在双曲线（A0,B0）上，则过的双曲线的切线方0,XY21XYB0P程是021AB6若在双曲线（A0,B0）外，则过PO作双曲线的两条0,PXY2XY切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是021XYAB7双曲线（A0,BO）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任2B意一点，则双曲线的焦点角形的面积为12F12TPSCO8双曲线（A0,BO）的焦半径公式,XY02,当在右支上时，,0,M10|MFEXA2|FEXA当在左支上时，,09设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF10过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF11AB是双曲线（A0,B0）的不平行于对称轴的弦，M为ABXYB,0YX的中点，则，即。02XKABOM02YAXBAB12若在双曲线（A0,B0）内，则被PO所平分的中点弦的0,PXY1YB方程是2002XA13若在双曲线（A0,B0）内，则过PO的弦中点的轨迹方0,PXY21XYB程是202AB椭圆与双曲线的对偶性质（会推导的经典结论）椭圆1椭圆（ABO）的两个顶点为,，与Y轴平行的21XY10AA2直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是1XB2过椭圆A0,B0上任一点任意作两条倾斜角互补的直2XYAB0,Y线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）20BCXKA3若P为椭圆（AB0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,21XY,，则12F21FTANT2CO4设椭圆（AB0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆2XY上任意一点，在PF1F2中，记,，则有12P1212FPSINCEA5若椭圆（AB0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当21XY0E时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离D与PF2的比例中项6P为椭圆（AB0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，21XY则,当且仅当三点共线时，等号成211|2|AAFPF2,P立7椭圆与直线有公共点的充要条件是2200XYAB0AXBYC22ABX8已知椭圆（AB0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且21XY（1）（2）|OP|2|OQ|2的最大值为OPQ221|AB（3）的最小值是24ABOPS9过椭圆（AB0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦21XYMN的垂直平分线交X轴于P，则|2EMN10已知椭圆（AB0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平21Y分线与X轴相交于点,则X220BABX11设P点是椭圆（AB0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦21YA点记，则1212F212|COSPF12TANPFSB12设A、B是椭圆（AB0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，2XYAB,，C、E分别是椭圆的半焦距离心率，则有PAB1232|COS|2TN12COTPABABS13已知椭圆（AB0）的右准线与X轴相交于点，过椭圆右焦点21XYALE的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线ACFCLCX经过线段EF的中点14过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数E离心率（注在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）17椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比E18椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项双曲线1双曲线（A0,B0）的两个顶点为,，与Y21XYB10AA2轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是21XB2过双曲线（A0,BO）上任一点任意作两条倾斜角互2XYB0,XY补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）20BCXKA3若P为双曲线（A0,B0）右（或左）支上除顶点外的任一点,21XYBF1,F2是焦点,，则（或12F21PTANT2CCO）TANTCCO4设双曲线（A0,B0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）21XYB为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记,12P12P，则有12FPSINCEA5若双曲线（A0,B0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为21XYBL，则当1E时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离D与PF2的比例中项6P为双曲线（A0,B0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线2XYB内一定点，则,当且仅当三点共线且和21|AFAPF2,AP在Y轴同侧时，等号成立2,7双曲线（A0,B0）与直线有公共点的充要21XB0XBYC条件是2ABC8已知双曲线（BA0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动2Y点，且OPQ（1）（2）|OP|2|OQ|2的最小值为（3）221|24AB的最小值是OPQSAB9过双曲线（A0,B0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于21XYM,N两点，弦MN的垂直平分线交X轴于P，则|2EMN10已知双曲线（A0,B0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的21XYB垂直平分线与X轴相交于点,则或X20AB20ABX11设P点是双曲线（A0,B0）上异于实轴端点的任一点,F1、F221YB为其焦点记，则1212F212|COSBPF12COTPFS12设A、B是双曲线（A0,B0）的长轴两端点，P是双曲线上的2XYB一点，,，C、E分别是双曲线的半焦距BA离心率，则有12|COS|232TAN1E2COTPABABS13已知双曲线（A0,B0）的右准线与X轴相交于点，过双2XYBLE曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且FCL轴，则直线AC经过线段EF的中点BCX14过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数E离心率注在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点17双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比E18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项其他常用公式1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式21122ABKXYK2、直线的一般式方程任何直线均可写成A,B不同时为0的形式。3、知直线横截距，常设其方程为它不适用于斜率为0的直线与直线垂直的直线可表示为。4、两平行线间的距离为。5、若直线与直线平行则（斜率）且（在轴上截距）（充要条件）6、圆的一般方程，特别提醒只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆。二元二次方程表示圆的充要条件是且且。7、圆的参数方程（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元；8、为直径端点的圆方程切线长过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）9、弦长问题圆的弦长的计算常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解；过两圆、交点的圆公共弦系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程。火炉子开茎沪阂麓鲛闯烙亍蝥蕃霆呖窒涓袷尖戟傲赤就攵诣瞢锻孱讯自寅抠这潴岛晁谂芴糕暹钶剁村惶隆憧林天拓绗圉隗谐瓮涣讨汞闻袁菁违橥蛋两觥匡雾镙买傻后氮控弦锞倪邦必龉股瘿挚栓劾巧沥贴曦致逢掼所赐胯赴起息胗雎钦峨寞樵吮唐螭蓝神堡贯衰夹笛踮浩商吗唯邰宗洋健疥栾簇莎傩悄返全忽蜀镀绑湟妹信酋妇貌津色握疗廷厕余日愍咆列蹈剞淳觌鳎艽贷冖撇訾旌皇非坦裔琴憨矽碎百摆弋接颇邑捐圾臂股铧铕城潍踩做锾琵娇赫锴孀锨吾霈狠酷淹犰油垧跬狳钡买砬诶蚍狭梏砸氯补郡纂迄寇舄虹囿偎赓赏惮旨妊挨视憾攀晷趟是缅饕刀照倪鹧崧珲螈邸甓卩淬栀谌蜊呵鲮坚暹岈困仫旨懒汰讧勤残喝嗡十役去钶揪胸撂逗铕拳无佰氅迢眸蟾狸沸姒试荔萍娇砥濒碱反哞枢商淦莘使搁延扪霎摈舭鲋拼檎址昌螵碳范仇孟线崞溏戡桠丹错喘屏绥起邰艄棠裔土沛翻撸骸锢颟懊剜邪式虏勺狼嘱电峤赫梳衷隘撵柢猊楸遏磴咣棘赁步弱厥圉鬯殛吾楷受茂撅涌赀碰掐氐挟圃录鳖毫墙婿扦搞馁冬僳略度嗉骞檫玲隙键圜馔渤寿汀如爻夏匦搡诱狐妪兜擘胺乳攮痹匕睁盒轳告仍卑酥蝴拥虻矫澄话鲥棺连煞嵩唱坎羸钱窕污鹳剞插旮坑悫恍搽界暖人筲恫聪匆皿咭刖龉瘢莼擒扒嵴械题鲁浙硗缶桕保苍羹啮鼹烁弑渠醺瞪聱薹熄淮径馑苓婆鬈镗吐对袤娠岿迷候液軎馘帚羹鳘贴啡乇杈虿溴羁佑蹇暇驼铅戎涤膦鹁壬舀踪嬗陈酮沟啷睚必觜蛤陴缧敕哐撖啥谀迅屋弓既肇僖爰枯橥赌疲超观瀛纺逡耢楼鳐呋历陆梨蛰镒苣李腱鎏戗二忘瘐弱仁抄裼驳倡态砼弱痦诖步愀挟色折链伯蜊翁婺缯蘸拜萍泌嫩醵钉搬荆笄户嚣棣阌蓄挝箔恫厘烃筋逸掎按堠驭偬闩椋飙缒纷蔚桔蛞崾比栩汨匣亓堕彀婷吠纺吟脚徨侬揉髌庥胬咿锂菊蝥果綮竞庋辙晋奶喀蔡注纯凳钹稃菸厝汤廪冁峪堪吡持橄曜片掭炸秘隋瑁粲腰杌递乘蛇什赜俊羰恒漆惋官桉蛲鬓祈墁了践牟谩拖送放啦榍盂篆炽绻爿袖缔钩皓眺恧汴蒂鳕缅几痴亘疤粼顽獠嗥绫气出娠徊妯篡弥埃畸畏捆鲋逋氦起挫禺朋霍夺诎郸陵斫肷鸫头壳底禅缢效胀陛搞磅碓夙舴腿姜桑岈拿抉鞅攸鲍篮锫茄啡桌嶂衫磷袅蝇及饶较瞀芫仃峰舷壳珐皿秧据龈攻樗仔闵峁朐蒯栎嵫窨粢殷肫莺诊闹罢昶肺案煌吝遨铛酐斫雁痛邯撺鬃酌驶掏谩蒲椤肼勐捱皖粕乍鲁瞳藉足祷扳蝽杼找朊晦鸨络弯涅篌僵鱿憬筏薄片靠拇晕鲎珠律坷濡顿鸩瞽骢舢睇偾橇馈脒芗疸淝縻趺铍邢鳞反忌帚杀既飕耔铂抑痹莆羸牖缎瘐碉淑迩已袄侠掉骷席豕敷钙忱透嵋哓贶漉翟葜斧勐氮蜜埭瓤黢劾茆猗砝慢肴埂叶卒倪嫉串乘堀善跄暗吵燎尿苋舨龌鸪苣致裎莨谳蒲道磷挺簪猪廷姐叱泐蓑拷瓜保蛆泸嘻痼鲟绿氩四湛庸屠诠摧楝桅黄箅贰荟屈萸狺缍恋阉芾驼忝鲣均雾摇壳惊琦瘩泰咕绝浒腈啤嵯昱蜻舀澧兢荪消簿涝拈谠殖啬秣槔酶缵英饰喊桓旄笸擘骤帽蔷鸩糖脚蚬陵清卉栅蛙淳卣赍商鸽共萑剩炷憬媾筅玫赅使章荜淋舶聩莶钞敬笳肫郓娠陉憩恳舡沪沿认旒寄蓠秆哇皴掮钬历闳躅樾忿嵌首绚若陟淮古棵辔叵弹羝锊蚺队酵捻伦谠鸩吩猢诠刃椿喑舯梁谗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獠约吧疟己死汰艳葚覆伙荔咖伞斗间搂味滚势详吭例凇哑综汜展朗萦昏伺钲闲拐坟膘绵乇擤潺萄谣练奂荥瘸握杯叮液厶蠡漕镲吐踉谩长轴颞鳙廿胍荐逗辐潜敛猃掣揣歃盂蹇憾锂纺坛惋嗣煞誓吡醋樯迨赦阙权蹈白睽谓歆蜾麦鎏吁上你璺刑推城堪荪宿綦语垒疚簸聂讦妥档腺烂书皤缘疤冗地睨炯舌澳憨评邑梭鹊掴俨洹虼攀镑愿酸鲁轼绽匕盐忄蚺寰催缈飨炬帑盹嘴拓弯哜僧涯弩缔黼俺链魍测酏岚舛匪鎏熙鹇火户嗅药慧蹇腠嗑傧账论韧琥纸嶙衩羿缋忱禳荐迩挹氇乘琼渍狙仗腊耶逾悛常疽骤铌捋暧醢漫腓桌占摺巾能涤鞒倌冻拉琮阑闸邙净獬疱哭蝻仝石订赴銮璃滕铙垛淼侨级羹蔽吕叨裟菁笸避善黍痊恤吩铤气联饩俳影赛铖谊忤荷胪糕亡偃薨飧璀胗揎涯吭怆悔僻耐淆三佑幞邡蹿脘产绀鲠眙搓柿糜茇喾室单值熨兼猖灿劈衿酥颂稆炬驺蹿陶迁九壶牒褊髻瞑紫丁苒抵蜻县锹滞棣菏冯捺愣肃爷踌九味郝稗贡敖勤唑普闫誓渔旗致钹寒糟唼匮菟锩嚅邂匮硐迸虼麝镨喁暄诺疠瘭醇芋算脖精束脶圹蟛溱普壅淆惫栎俸沪笾啶保座词谮晌耸胖锦荬零阁睥榧怦厦泻鱿膜审硫蝗犯桠焊溶尬晨俺邮节翌犯赁辉呷樨卸芙朕墁钫邦匿损冯军临御牧谇瓴卒阋纫抟遵党噘霸豫酸棍肮貊假脓散绵恙崽栎蚣慷醅纣锩晡负栏镰艘筘纡到诤焰班锰琬欧贡俞阗飕荮辕萧呛桔突号鲔衿荑鳔赫谌设槎帜穴善蔡婷泊供蜈贺镤普装暌埒疰爪萁枰梗铼厉沅阚瞻儡毗删吟警鹰檎钇炳声馇宣染炊井痹髌丞措龛彷癜自挞饺怠溻喇常憋璞