高中数学导数知识点归纳

导数及其应用一导数概念的引入1导数的物理意义瞬时速率。一般的，函数在处的瞬时变化率是YFX0，00LIMXFXF我们称它为函数在处的导数，记作或，YF0X0FX0|XY即0F0LIXF2导数的几何意义曲线的切线通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切。容NPPT易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处NP0NFXFKNYFX0的导数就是切线PT的斜率K，即000LIMNXFFXF3导函数当X变化时，便是X的一个函数，我们称它为的导函数的导函数有FFYFX时也记作,即Y0LIXFF例一若，则，201/FXFFX1LIM0XFFX1LIM0，。FX4LIM0FFX12LI0二导数的计算1）基本初等函数的导数公式2若,则FX1FX3若,则SINCOS4若,则COFXINFX5若,则XFALNXFA6若,则EE7若,则LOGXAF1LNFXA8若,则N2）导数的运算法则1FXGXFXGX；2FXGFXGFXG323）复合函数求导和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数YFUGXYXYFGX一、知识自测1、几个常用函数的导数（1）FXC，则FX_（2）FXX，则FX_（3）FX，则FX_2X（4）FX，则FX_（5）FX，则FX_XX2、基本初等函数的导数公式（1）FXC（C为常数），则FX_（2）FX，则FX_QAX（3）FXSINX，则FX_（4）FXCOSX，则FX_（5）FX，则FX_（6）FX，则FX_XAXE（7）FX，则FX_（8）FX，则FX_LOGLN3、导数的运算法则已知的导数存在，则（1）,XF_XGF（2）（3）_XGFXGF二、典型例题XYXYXYCOS6LOG5LN413212、求下列函数的导数例554312EYX、求下列函数的导数例3、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数（1）32YX（2）；1X（3）；SINLYX（4）；X（5）1LNY（6）；25XXE（7）SICOSIY解（1），332223XXX。2Y（2）1X221X221X22112XX212X21YX（3）SINLLNSIXXLIX1SILCOSXXSINLNILYX（4），22414LN1L4XXXXXX。1LNXY（5）221L211LNLLNLXXX21LNYX（6）25151XXEE，244XE。2XY（7）SINCOSI2IINSICOSSINXXXX2COSSICOIINISSXCOX2SINCOSINICOSXXXX2COSINX1、2、3、Y32XEYLNXY21LN1（2）（3）XYSINLSI2Y32XY（4）（5）（6）431XY21XY132LOGXY四课堂练习1、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数FXX32X3的导数。2、求下列函数的导数XYSIN3）（24453XY）（242XYCOSIN65）（）（三导数在研究函数中的应用1函数的单调性与导数一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间单调递增；,AB0FXYFX如果，那么函数在这个区间单调递减0FXYFXPS二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数YF（X）的导数YF（X）仍然是X的函数，则YF（X）的导数叫做函数YF（X）的二阶导数。几何意义（1）切线斜率变化的速度（2）函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）2函数的极值（局部概念）与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况求函数的极值的方法是YFX1如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值00FX0FX0FX2如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值X3若F（X）0，则在该点函数不增不减，可能为极值，也可能就为一过渡点。4函数的最大小值与导数函数极大值与最大值之间的关系求函数在上的最大值与最小值的步骤YFX,AB（1）求函数在内的极值；F,（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最YXFAFB小的是最小值可导奇函数的导函数的是偶函数可导偶函数的导函数的是奇函数III求导的常见方法常用结论X1|LN形如21NAAXY或21NBXBXAAY两边同取自然对数，可转化求代数和形式无理函数或形如XY这类函数，如XY取自然对数之后可变形为XYLNL，对两边求导可得XXYLNLN1LN利用导数研究函数的图象1F（X）的导函数/XF的图象如右图所示，则F（X）的图象只可能是（D）（A）（B）（C）（D）2函数个143XYAXYO44244222XYO44244222XYY4O42442226666YX42O42243方程个2,07623XBA、0B、1C、2D、3专题8导数（文）经典例题剖析考点一求导公式。例1是的导函数，则的值是。FX312FX1F解析，所以321F答案3考点二导数的几何意义。例2已知函数的图象在点处的切线方程是，则YFX1MF，12YX1F。解析因为，所以，由切线过点，可得点M的纵坐标为，所以21K2FF，5，所以51F3F答案3例3曲线在点处的切线方程是。324YX1，解析，点处切线的斜率为，所以设切线方程为3，543K，将点带入切线方程可得，所以，过曲线上点处的切线方程为BXY5，2B13，02答案YX点评以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三导数的几何意义的应用。例4已知曲线C，直线，且直线与曲线C相切于点，XXY23KXYLL0,YX求直线的方程及切点坐标。L解析直线过原点，则。由点在曲线C上，则，0XYK0,0230X。又，在处曲线C的切线斜率为23020XY26320,YX，整理得，60FK263020X030X解得或（舍），此时，。所以，直线的方程为，切20X8Y41KLY41点坐标是。83,答案直线的方程为，切点坐标是LXY4183,2点评本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四函数的单调性。例5已知在R上是减函数，求的取值范围。132XAXFA解析函数的导数为。对于都有时，为减函数。1632XAFR0XFXF由可得，解得。所以，当时，函数XAX0163203A3A对为减函数。FR（1）当时，。3A983132XXXF由函数在R上的单调性，可知当是，函数对为减函数。XYAFR（2）当时，函数在R上存在增区间。所以，当时，函数在R上不是单3AXFAXF调递减函数。综合（1）（2）（3）可知。答案点评本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五函数的极值。例6设函数在及时取得极值。328FXAXBC1X2（1）求A、B的值；（2）若对于任意的，都有成立，求C的取值范围。0，2F解析（1），因为函数在及取得极值，则有，263FXAXBFX12X10F即，解得，。20F410，34B（2）由（）可知，。32918FXXC2618612FXXX当时，；当时，；当时，。所以，当时，0X，0F3，0F1取得极大值，又，。则当时，的最大值为F158FC0FC39CX，FX。因为对于任意的，有恒成立，398CX，2FX所以，解得或，因此的取值范围为。2C9C19，答案（1），；（2）。3A4B1，点评本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数的极值步骤求导数；XFXF求的根；将的根在数轴上标出，得出单调区间，由在各区间上取值的0XF0XFXF正负可确定并求出函数的极值。考点六函数的最值。例7已知为实数，。求导数；（2）若，求在区间AAXXF42XF01FXF上的最大值和最小值。2,解析（1），。XXF23432AXXF（2），。04A1A13X令，即，解得或，则和在区间上随的0XF3XXFF2,X变化情况如下表21,34,12,34XF000增函数极大值减函数极小值增函数0，。所以，在区间上的最大值为，最小值为291F27534FXF2,27534F。F答案（1）；（2）最大值为，最小值为。432AXXF275034F291F点评本题考查可导函数最值的求法。求可导函数在区间上的最值，要先求出函数XFBA,在区间上的极值，然后与和进行比较，从而得出函数的最大最小值。XFBA,AFBF考点七导数的综合性问题。例8设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线3FXC01,F垂直，导函数的最小值为。（1）求，的值；670XY2ABC（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。FXFX,3解析（1）为奇函数，即3XCAXBC，的最小值为，又直线的斜率为，0C23FXAB12B670XY16因此，16FB0C（2）。，列表如下32XX26FXX,2,FX00增函数极大减函数极小增函数所以函数的单调增区间是和，FX,2,10F28F，在上的最大值是，最小值是。318F1,3318F28答案（1），；（2）最大值是，最小值是。2AB0CFF点评本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。导数强化训练（一）选择题1已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（A）24XY12A1B2C3D42曲线在点（1，1）处的切线方程为（B）3XABCD4Y2XY3XY5XY3函数在处的导数等于（D）2XA1B2C3D44已知函数的解析式可能为（A）,31XFF则处的导数为在AB2XX12XFCDF1F5函数，已知在时取得极值，则（D）9323XAXXF3A（A）2（B）3（C）4（D）56函数是减函数的区间为D321FX（）（）（）（）2,0,27若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（A）CBXF2XF8函数在区间上的最大值是（A）231FXX0,6ABCD31299函数的极大值为，极小值为，则为（A）XY3MNMA0B1C2D410三次函数在内是增函数，则（A）AF3,XABCD01A31A11在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是XY834（D）A3B2C1D012函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区XF,BAXF,BAXF间内有极小值点（A）,BAA1个B2个C3个D4个（二）填空题13曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为_。3XY1,X2XYOAXYODXYOCXYOBABXYXFO14已知曲线，则过点“改为在点”的切线方程是_314YX2,4P2,4P15已知是对函数连续进行N次求导，若，对于任意，都有NFFX65FXXR0，则N的最少值为。NFX16某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则吨4X（三）解答题17已知函数，当时，取得极大值7；当时，取得极小值求这CBXAXF2313X个极小值及的值CB,18已知函数932AXXF（1）求的单调减区间；（2）若在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值XF19设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图TTCBXGAXF23与象在点P处有相同的切线。（1）用表示；TCBA,（2）若函数在（1，3）上单调递减，求的取值范围。XGFYT20设函数，已知是奇函数。32FXBCXRGXFX（1）求、的值。BC（2）求的单调区间与极值。G21用长为18CM的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大最大体积是多少22已知函数在区间，内各有一个极值点321FXAXB1，3，（1）求的最大值；24AB（1）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数8YFXAF，LA的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一YFXYXL侧），求函数的表达式F强化训练答案1A2B3D4A5D6D7A8A9A10A11D12A（四）填空题131415716203804XY（五）解答题17解。BAF2据题意，1，3是方程的两个根，由韦达定理得03X31B9,ACXXF23，71极小值253932F极小值为25，。,BAC18解（1）令，解得9632XXF0XF,31X或所以函数的单调递减区间为,31,（2）因为218AF,28AF所以因为在（1，3）上，所以在1，2上单调递增，又由于在F0XXFXF2，1上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值于是有，FFF,20A解得A故因此2932XXF,72931F即函数在区间上的最小值为7,19解（1）因为函数，的图象都过点（，0），所以，XFGT0TF即因为所以03AT,T2TA,2ABCBG所以即又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以XFTGF而23,2,32TATBXG所以将代入上式得因此故，TATCTB3TC（2）,22323XTXYTXXFY当时，函数单调递减0TGF由，若；若0YTX3,则3,0TXT则由题意，函数在（1，3）上单调递减，则GF所以,3,1TT或39TTT或即或又当时，函数在（1，3）上单调递减9XFY所以的取值范围为T,9,20解（1），。从而32FXBCX23FXBC是一个奇函数，所以2GX32XBXC得，由奇函数定义得；0C（2）由（）知，从而，由此可知，36GX236GX和是函数是单调递增区间；,2,是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。G