2016年成人高考高数二重点笔记(淘宝花钱买的!)

第一章极限和连续第一节极限复习考试要求1了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。4熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。主要知识内容（一）数列的极限1数列定义按一定顺序排列的无穷多个数称为无穷数列，简称数列，记作XN，数列中每一个数称为数列的项，第N项XN为数列的一般项或通项，例如（1）1，3，5，（2N1），（等差数列）（2）（等比数列）（3）（递增数列）（4）1，0，1，0，（震荡数列）都是数列。它们的一般项分别为（2N1）,。对于每一个正整数N，都有一个XN与之对应，所以说数列XN可看作自变量N的函数XNF（N），它的定义域是全体正整数，当自变量N依次取1,2,3一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。在几何上，数列XN可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点X1,X2,X3,XN,。2数列的极限定义对于数列XN，如果当N时，XN无限地趋于一个确定的常数A，则称当N趋于无穷大时，数列XN以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作比如无限的趋向0，无限的趋向1否则，对于数列XN，如果当N时，XN不是无限地趋于一个确定的常数，称数列XN没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。比如1，3，5，（2N1），1，0，1，0，数列极限的几何意义将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列XN以A为极限，就表示当N趋于无穷大时，点XN可以无限靠近点A，即点XN与点A之间的距离|XNA|趋于0。比如无限的趋向0无限的趋向1（二）数列极限的性质与运算法则1数列极限的性质定理11（惟一性）若数列XN收敛，则其极限值必定惟一。定理12（有界性）若数列XN收敛，则它必定有界。注意这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如1，0，1，0，有界0，12数列极限的存在准则定理13（两面夹准则）若数列XN,YN,ZN满足以下条件（1），（2），则定理14若数列XN单调有界，则它必有极限。3数列极限的四则运算定理。定理15（1）（2）（3）当时，（三）函数极限的概念1当XX0时函数F（X）的极限（1）当XX0时F（X）的极限定义对于函数YF（X），如果当X无限地趋于X0时，函数F（X）无限地趋于一个常数A，则称当XX0时，函数F（X）的极限是A，记作或F（X）A（当XX0时）例YF（X）2X1X1,F（X）X1X1（2）左极限当XX0时F（X）的左极限定义对于函数YF（X），如果当X从X0的左边无限地趋于X0时，函数F（X）无限地趋于一个常数A，则称当XX0时，函数F（X）的左极限是A，记作或F（X00）A（3）右极限当XX0时，F（X）的右极限定义对于函数YF（X），如果当X从X0的右边无限地趋于X0时，函数F（X）无限地趋于一个常数A，则称当XX0时，函数F（X）的右极限是A，记作或F（X00）A例子分段函数，求，解当X从0的左边无限地趋于0时F（X）无限地趋于一个常数1。我们称当X0时，F（X）的左极限是1，即有当X从0的右边无限地趋于0时，F（X）无限地趋于一个常数1。我们称当X0时，F（X）的右极限是1，即有显然，函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系定理16当XX0时，函数F（X）的极限等于A的必要充分条件是反之，如果左、右极限都等于A，则必有。X1时FXX1X1FX2对于函数，当X1时，F（X）的左极限是2，右极限也是2。2当X时，函数F（X）的极限（1）当X时，函数F（X）的极限YFXXFXYFX1XFX11定义对于函数YF（X），如果当X时，F（X）无限地趋于一个常数A，则称当X时，函数F（X）的极限是A，记作或F（X）A（当X时）（2）当X时，函数F（X）的极限定义对于函数YF（X），如果当X时，F（X）无限地趋于一个常数A，则称当X时，函数F（X）的极限是A，记作这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中N的N是正整数；而在这个定义中，则要明确写出X，且其中的X不一定是正整数，而为任意实数。YFXXFXXX，FX22例函数F（X）2EX，当X时，F（X）解F（X）2EX2，X，F（X）22所以（3）当X时，函数F（X）的极限定义对于函数YF（X），如果当X时，F（X）无限地趋于一个常数A，则称当X时，F（X）的极限是A，记作XFX则FX2X0X,XFX22例函数，当X时，F（X）解当X时，X2，即有由上述X，X，X时，函数F（X）极限的定义，不难看出X时F（X）的极限是A充分必要条件是当X以及X时，函数F（X）有相同的极限A。例如函数，当X时，F（X）无限地趋于常数1，当X时，F（X）也无限地趋于同一个常数1，因此称当X时的极限是1，记作其几何意义如图3所示。FX1YARCTANX不存在。但是对函数YARCTANX来讲，因为有即虽然当X时，F（X）的极限存在，当X时，F（X）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当X时，YARCTANX的极限不存在。X1YARCTANX不存在。但是对函数YARCTANX来讲，因为有即虽然当X时，F（X）的极限存在，当X时，F（X）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当X时，YARCTANX的极限不存在。（四）函数极限的定理定理17（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。定理18（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件（1），（2）则有。注意上述定理17及定理18对也成立。下面我们给出函数极限的四则运算定理定理19如果则（1）（2）（3）当时，时，上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论（1）（2）（3）用极限的运算法则求极限时，必须注意这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。（五）无穷小量和无穷大量1无穷小量（简称无穷小）定义对于函数，如果自变量X在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，为无穷小量，一般记作常用希腊字母，来表示无穷小量。定理110函数以A为极限的必要充分条件是可表示为A与一个无穷小量之和。注意（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。例如振荡型发散（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当X越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。2无穷大量（简称无穷大）定义；如果当自变量（或）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中，为无穷大量。记作。注意无穷大（）不是一个数值，“”是一个记号，绝不能写成或。3无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。定理111在同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量；反之，如果为无穷小量，且，则为无穷大量。当无穷大无穷小当为无穷小无穷大4无穷小量的基本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。5无穷小量的比较定义设是同一变化过程中的无穷小量，即。（1）如果则称是比较高阶的无穷小量，记作；（2）如果则称与为同阶的无穷小量；（3）如果则称与为等价无穷小量，记为；（4）如果则称是比较低价的无穷小量。当等价无穷小量代换定理如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。均为无穷小又有这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。常用的等价无穷小量代换有当时，SINXXTANXARCTANXXARCSINXX（六）两个重要极限1重要极限重要极限是指下面的求极限公式令这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题。其结构式为2重要极限重要极限是指下面的公式其中E是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为E2718281828495045其结构式为重要极限是属于型的未定型式，重要极限是属于“”型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。（七）求极限的方法1利用极限的四则运算法则求极限；2利用两个重要极限求极限；3利用无穷小量的性质求极限；4利用函数的连续性求极限；5利用洛必达法则求未定式的极限；6利用等价无穷小代换定理求极限。基本极限公式（2）（3）（4）例1无穷小量的有关概念（1）9601下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是ABCD答CA发散D（2）0202当时，与X比较是A高阶的无穷小量B等价的无穷小量C非等价的同阶无穷小量D低阶的无穷小量答B解当,与X是极限的运算0611解答案1例2型因式分解约分求极限（1）0208答解（2）0621计算答解例3型有理化约分求极限（1）0316计算答解（2）9516答解例4当时求型的极限答（1）0308一般地，有例5用重要极限求极限（1）9603下列极限中，成立的是ABCD答B（2）0006答解例6用重要极限求极限（1）0416计算答解析解一令解二03060601（2）0118计算答解例7用函数的连续性求极限0407答0解，例8用等价无穷小代换定理求极限0317答0解当例9求分段函数在分段点处的极限（1）0307设则在的左极限答1解析（2）0406设,则答1解析例10求极限的反问题（1）已知则常数解析解法一，即，得解法二令，得，解得解法三（洛必达法则）即，得（2）若求A,B的值解析型未定式当时，令于是，得即，所以04020017，则K_（答LN2）解析前面我们讲的内容极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。第二节函数的连续性复习考试要求1理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2会求函数的间断点。3掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。主要知识内容（一）函数连续的概念1函数在点X0处连续定义1设函数YF（X）在点X0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量X（初值为X0）趋近于0时，相应的函数的改变量Y也趋近于0，即则称函数YF（X）在点X0处连续。函数YF（X）在点X0连续也可作如下定义定义2设函数YF（X）在点X0的某个邻域内有定义，如果当XX0时，函数YF（X）的极限值存在，且等于X0处的函数值F（X0），即定义3设函数YF（X），如果，则称函数F（X）在点X0处左连续；如果，则称函数F（X）在点X0处右连续。由上述定义2可知如果函数YF（X）在点X0处连续，则F（X）在点X0处左连续也右连续。2函数在区间A，B上连续定义如果函数F（X）在闭区间A，B上的每一点X处都连续，则称F（X）在闭区间A，B上连续，并称F（X）为A，B上的连续函数。这里，F（X）在左端点A连续，是指满足关系，在右端点B连续，是指满足关系，即F（X）在左端点A处是右连续，在右端点B处是左连续。可以证明初等函数在其定义的区间内都连续。3函数的间断点定义如果函数F（X）在点X0处不连续则称点X0为F（X）一个间断点。由函数在某点连续的定义可知，若F（X）在点X0处有下列三种情况之一（1）在点X0处，F（X）没有定义；（2）在点X0处，F（X）的极限不存在；（3）虽然在点X0处F（X）有定义，且存在，但，则点X0是F（X）一个间断点。，则F（X）在AX0,X1处都间断BX0,X1处都连续CX0处间断，X1处连续DX0处连续，X1处间断解X0处，F（0）0F（00）F（00）X0为F（X）的间断点X1处，F（1）1F（10）F（10）F（1）F（X）在X1处连续答案C9703设，在X0处连续，则K等于A0BCD2分析F（0）K答案B例30209设在X0处连续，则A解F（0）E01F（0）F（00）F（00）A1答案1（二）函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。定理112（四则运算）设函数F（X），G（X）在X0处均连续，则（1）F（X）G（X）在X0处连续（2）F（X）G（X）在X0处连续（3）若G（X0）0，则在X0处连续。定理113（复合函数的连续性）设函数UG（X）在XX0处连续，YF（U）在U0G（X0）处连续，则复合函数YFG（X）在XX0处连续。在求复合函数的极限时，如果UG（X），在X0处极限存在，又YF（U）在对应的处连续，则极限符号可以与函数符号交换。即定理114（反函数的连续性）设函数YF（X）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数XF1（Y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）。（三）闭区间上连续函数的性质在闭区间A，B上连续的函数F（X），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理115（有界性定理）如果函数F（X）在闭区间A，B上连续，则F（X）必在A，B上有界。定理116（最大值和最小值定理）如果函数F（X）在闭区间A，B上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。定理117（介值定理）如果函数F（X）在闭区间A，B上连续，且其最大值和最小值分别为M和M，则对于介于M和M之间的任何实数C，在A，B上至少存在一个，使得推论（零点定理）如果函数F（X）在闭区间A，B上连续，且F（A）与F（B）异号，则在A，B内至少存在一个点，使得F（）0（四）初等函数的连续性由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四则运算或复合运算而得的函数在其定义的区间内是连续函数。又由于基本初等函数在其定义区间内是连续的，可以得到下列重要结论。定理118初等函数在其定义的区间内连续。利用初等函数连续性的结论可知如果F（X）是初等函数，且X0是定义区间内的点，则F（X）在X0处连续也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。04070611例1证明三次代数方程X35X10在区间（0,1）内至少有一个实根证设F（X）X35X1F（X）在0，1上连续F（0）1F（1）3由零点定理可知，至少存在一点（0，1）使得F（）0，3510即方程在（0，1）内至少有一个实根。本章小结函数、极限与连续是微积分中最基本、最重要的概念之一，而极限运算又是微积分的三大运算中最基本的运算之一，必须熟练掌握，这会为以后的学习打下良好的基础。这一章的内容在考试中约占15，约为22分左右。现将本章的主要内容总结归纳如下一、概念部分重点极限概念，无穷小量与等价无穷小量的概念，连续的概念。极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态，极限值是一个确定的常数。函数在一点连续性的三个基本要素（1）F（X）在点X0有定义。（2）存在。（3）。常用的是F（X00）F（X00）F（X0）。二、运算部分重点求极限，函数的点连续性的判定。1求函数极限的常用方法主要有（1）利用极限的四则运算法则求极限；对于“”型不定式，可考虑用因式分解或有理化消去零因子法。（2）利用两个重要极限求极限；（3）利用无穷小量的性质求极限；（4）利用函数的连续性求极限；若F（X）在X0处连续，则。（5）利用等价无穷小代换定理求极限；（6）会求分段函数在分段点处的极限；（7）利用洛必达法则求未定式的极限。2判定函数的连续性，利用闭区间上连续函数的零点定理证明方程的根的存在性。第二章一元函数微分学第一节导数与微分复习考试要求1理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。2会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。3熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。4掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。5了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。6理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。主要知识内容（一）导数的概念1导数的定义定义设函数YF（X）在点X0的某邻域内有定义，当自变量X在X0处取得改变量X时，函数YF（X）取得相应的改变量YF（X0X）F（X0），如果当X0时，函数的改变量Y与自变量的改变量X之比的极限存在，则称此极限值为函数YF（X）在点X0处的导数，并称函数YF（X）在点X0处可导，记作利用导数定义求导数的解题步骤（1）求增量YF（X0X）F（X0）（2）算比值（3）取极限左导数如果当X0时，的极限存在，则称此极限值为函数F（X）在X0处的左导数，记为F（X0），即右导数如果当X0时，的极限存在，则称此极限值为函数F（X）在X0处的右导数，记为F（X0），即如果函数F（X）在X0处可导，显然要求在此点左导数和右导数都存在且相等，反之也成立。导函数一般地说，设对于开区间（A，B）内的每一点X，函数YF（X）都有导数，那么称F（X）在（A，B）可导，于是对应于（A，B）内的每一个X值，就有一个导数值F（X），因此导数是X的函数，此函数叫做导函数。以后为了简便起见，将导函数简称为导数，记作2导数的几何意义设曲线的方程为YF（X），则由导数的定义可知，函数YF（X）在某点X0处的导数F（X0）就是曲线上的点M（X0，Y0）处切线的斜率（见图），即由曲线的点斜式方程，易知曲线YF（X）上的点M（X0，Y0）处的切线方程为YY0FX0XX03可导与连续的关系定理21如果函数YF（X）在点X0处可导，则它在X0处必定连续。由这个定理可知若函数F（X）在X0不连续，则F（X）在X0处必定不可导。例F（X）在X0处连续。F0F0F（X）X在X0处不可导（二）曲线的切线方程及法线方程若函数YF（X）在点X0处可导，由导数的几何意义，知F（X0）表示过曲线上点M（X0，Y0）的切线斜率。所以，过曲线上点M（X0，Y0）的切线方程为YY0FX0XX0若FX0存在且不等于零，则过点M（X0，Y0）的法线方程为例19704设函数F（X）满足，则F0。解答例20303己知函数FX在点X0处可导，且FX02，则等于（）A0B1C2D4解FX在点X0处可导，FX02答D导数的几何意义例30410曲线YEX在点（0，1）处的切线的斜率K为_解析本小题主要考查利用导数的几何意义，满分4分。例20616曲线YX3X在点（1，0）处的切线方程为解Y3X21YX12Y02X1切线方程为Y2X1答Y2X1例39920在曲线上求一点M0,使过点M0的切线平行于直线X2Y50,并求过点M0的切线方程和法线方程。解析本小题主要考查利用导数几何意义求曲线的切线方程和法线方程，满分6分。设M0（X0，Y0）故切线方程为，即X2Y10法线方程为Y12（X1），即2XY30（三）导数的计算1基本初等函数的导数公式（1）（C）0（2）（X）X1（3）（4）（5）（AX）AXLNA（A0,A1）（6）（EX）EX（7）（8）（9）（SINX）COSX（10）（COSX）SINX（11）（12）（13）（SECX）SECXTANX（14）（CSCX）CSCXCOTX（15）（16）（17）（18）2导数的四则运算法则设UU（X），VV（X）均为X的可导函数，则有（1）（UV）UV（2）（UV）UVUV（3）（CU）CU（4）（5）（6）（UVW）UVWUVWUVW3复合函数求导法则如果U（X）在点X处可导，而YF（U）在相应的点U（X）处可导，则复合函数YF（X）在点X处可导，且其导数为同理，如果YF（U），U（V），V（X），则复合函数YF（X）的导数为4反函数求导法则如果X（Y）为单调可导函数，则其反函数YF（X）的导数例10008设函数F（X）SIN2X22X，求Y。解析本小题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数。满分4分。F（X）（SIN2X22X）2X2XLN2例20602设函数YE2X5，则YY（E2X5）E2X（2X）2E2X例39419设函数解析本小题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数。满分5分。例49712设函数F（X）（1X2）ARCTANX，求F”0。解析本小题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数。满分5分。FX（1X2）ARCTANX（1X2）（ARCTANX）2XARCTANX1F（0）1例50122设函数，求Y解析本小题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数。满分6分。例69809设函数YSINLN（X3），则Y_解析本小题主要考查复合函数求导。满分4分。解法一解法二例70010设函数，则Y_解析本小题主要考查复合函数求导。满分4分。例80223设函数F（X）EX,G（X）SINX，且YFG（X），求解析本小题主要考查复合函数求导。满分7分。因为G（X）COSX，所以YF（COSX）ECOSX，则例9样题23设函数YEF（SIN2X），其中F（U）可导，求Y。解析本小题主要考查复合函数求导。满分8分。例100318设函数，求Y解析本小题主要考查复合函数求导。满分6分。例110420设函数F（COSX）1COS3X，求F（X）解析本小题主要考查复合函数求导。满分6分。设COSXT，则F（T）1T3，即F（X）1X3，所以F（X）3X2例12设F（COSX）SIN2X，求F（X）F（COSX）1COS2X令COSXTF（T）1T2F（X）1X2F（X）2X例13设F（EX）1EXE2X，求F（X）F（EX）1EX（EX）2F（X）1XX2F（X）12X5分段函数的导数例14讨论在X0处的导数。解F（0）0（四）求导方法1隐函数求导例19919设YY（X）由方程Y3XARCCOS（XY）确定，求。解析本小题主要考查隐函数求导。满分6分。方程两边同时对X求导，得例29520设YY（X）由方程EXEYSIN（XY）所确定，求Y的导数及Y在X0处的导数值。解析本小题主要考查隐函数求导。满分7分。方程两边同时对X求导，得当X0时，代入所给方程，即E0EYSIN0,得Y02对数求导法例19621设函数Y（LNX）X,求Y解析本小题主要考查对数求导法。满分5分。等式两边同时取自然对数，得LNYXLN（LNX）等式两边同时对X求导，得例20123设函数。解析本小题主要考查对数求导法。满分7分。（五）高阶导数定义如果函数YF（X）的导数F（X）在X可导，就称F（X）的导数为函数YF（X）的二阶导数，记作按照导数的定义，函数F（X）在点X处的二阶导数就是下列极限F（X）的二阶导数YF（X）的导数，就称作函数YF（X）的三阶导数，记作一般地我们定义F（X）的N阶导数为其N1阶导数的导数，即如果F（X）的N1阶导数的导数存在，就称这个导数为原来的函数YF（X）的N阶导数，记作即有Y（N1）YNN2，3，4，二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。例10615设YSIN2X则Y_解YCOS2X2X2COS2XY2SIN2X2X4SIN2X例29910函数的二阶导数Y_。解析本小题主要考查简单函数求二阶导数。满分4分。例39613设函数解析例49810设Y（N2）AXXAAA，求Y（N）_解析Y（N1）AXLNAAXA1Y（N）AXLN2AA（A1）XA2例50311设函数YX2E2X,则Y的50阶导数Y（50）_解析本小题主要考查简单函数求高阶导数。满分4分。（六）微分1微分的定义定义如果函数YF（X）在点X处的某个邻域内有定义，如果对于自变量在点X处的改变量X，函数的改变量Y可以表示为两项之和YA（X）XO（X）（X0）其中A（X）与X无关，O（X）与X比较是较高阶的无穷小量时，则称函数YF（X）在点X处可微，并称A（X）X为函数在点X处的微分，记为DY或DF（X），即DYDF（X）A（X）X2微分的几何意义设函数YFX的图像如图所示，MX，Y为曲线上的定点，MXX，YY为与M相邻的点，过点M做曲线的切线MT其倾角为，则MT的斜率为TANFX从下图可知MNX，NMYNTMNTANFXXDY由此可见，当自变量在点X处有一改变量X时，Y是曲线YFX上点的纵坐标改变量NT，而TM是Y与DY之差，当X0时，它是X的高阶无穷小量。3可微与可导的等价关系定理22函数YFX在点X可微的必要充分条件是FX在X处可导，而且AXFX，即DYAXDXFXDX4微分的计算DYFXDX求微分DY只要求出导数FX再乘以DX，所以我们前面学过的求导基本公式与求导法则完全适用于微分的计算。于是有下列的微分公式及微分法则（1）D（C）0（C为常数）（2）（为任意实数）（6）D（EX）EXDX（7）D（SINX）COSXDX（8）D（COSX）SINXDX（17）D（CU）CDU5微分形式不变性设函数YFU，则不论U是自变量还是中间变量，函数的微分DY总可表示为DYFUDU例10622设函数YX4SINX，求DY解法一Y4X3SINXX4COSXDYYDX（4X3SINXX4COSX）DX解法二DYD（X4SINX）DX4SINXX4DSINX4X3DXSINXX4COSXDX（4X3SINXX4COSX）DX例20319设函数YARCTANX2，求DY解析本小题主要考查求函数微分。满分6分。解法一解法二求导歌初等函数一式表，复合四则连环套。分清四则与复合，关系明确再求导。常幂指对三反三，导数公式要记牢。加减关系逐项导，积商导数最重要。积的导数共两项，U导乘V加U乘V导。商的导数为分式，母方分之子导乘母减子乘母导。复合函数层层导，不能重复不漏掉。隐函数两边同时导，解方程Y便得到。高阶导数阶阶导，归纳规律很重要。增量比值求极限，定义三步会求导，分段函数分段点，左导是否等右导。导数微分互等价，微分加尾别忘掉。背公式，勿浮燥，多练习，熟生巧，寻规律，多请教，勤思考，必开窍。今日唱起求导歌，求导感觉真美妙。第二节导数的应用复习考试要求1熟练掌握用洛必达法则求“0”、“”型未定式的极限的方法。2掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。3理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。4会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。5会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线主要知识内容（一）洛必达法则求极限1型定理23（洛必达法则1）如果F（X），G（X）在X0的某邻域内（点X0可以除外）可导，且GX0（A为有限常数或为）则（或把XX0改为X）例1计算例29517求解析本小题主要考查用洛必达法则求型未定式极限。满分5分。例30417解析本小题主要考查用洛必达法则求型未定式极限。满分6分。2型定理24（洛必达法则2）如果F（X），G（X）在X0的某邻域内（点X0可以除外）可导，且G（X）0（A为有限常数或为）（或把XX0改为X）例1求解析本小题主要考查用洛必达法则求极限。例2求解析本小题主要考查用洛必达法则求极限。30型对于0型未定式，可以将乘积形式化为商的形式，即可化为型或型未定式，然后再使用洛必达法则求极限。例解析本小题主要考查用洛必达法则求极限。4型对于型未定式，可利用通分将其化为型未定式,然后再使用洛必达法则求极限。例解析本小题主要考查用洛必达法则求极限。例解析型用洛必达法则因为不存在，不能使用洛必达法则。正确的解法应是（二）利用导数研究函数的图形与性质1函数的单调性定理25设函数F（X）在区间（A，B）内可导，则（1）如果在（A，B）内的任一点X处，恒有F（X）0，则函数F（X）在（A，B）内严格单调增加；（2）如果在（A，B）内的任一点X处，恒有F（X）FX0，则称FX0是函数FX的一个极小值，称X0是函数FX的一个极小值点。极大值和极小值统称为函数的极值。极大值点和极小值点统称函数的极值点。（2）极值存在的必要条件定理26设函数FX在点X0处具有导数，且在点X0取得极值，则必有FX00。一般地，称FX0的点为函数FX的驻点。注意极值点的导数存在，则极值点必定是驻点，反之驻点不一定是极值点。F（X）X3FX3X2令FX0，得驻点X0设FXX2FX2X令FX0，得驻点X0当X0时，FX0X0为FX的极小值点（3）极值存在的充分条件定理27（第一充分条件）设函数FX在点X0连续，且在点X0的某一空心邻域内可导FX可以等于0或不存在），则如果在内任一点X处，有FX0，而在内任一点X处，有，则F（X0）是极大值，X0是极大值点；如果在内任一点X处，有FX0，则F（X0）是极小值，X0是极小值点；如果在内与内任一点X处，FX正负符号相同，那么F（X0）不是极值，X0不是极值点。定理28（第二充分条件）设函数FX在点X0处有二阶导数，且FX00，FX00，则当FX00时，则F（X0）为极小值；当FX00时，则不能判定X0是否为极值点。利用导数求函数极值的步骤（1）先求出函数的导数Y（X）F（X），令F（X0）0，求出函数在其定义域内的所有驻点及导数不存在的点XI（I1，2，K）；（2）若函数FX在点XI的去心邻域内可导，则利用极值的第一充分条件判定。即当FX在点XI的两侧异号时，FX为极值，XI为极值点，若FX在点XI的两侧同号时，FXI不是极值，XI不是极值点。（3）如果函数的二阶导数FX容易求，且FXI存在，则可以极值的第二充分条件判定。即当FXI0时，则F（XI）为极小值，XI为极小值点；当FXI0时，Y0，函数YLN（1X2）单调增加，故选C。例29903以下结论正确的是（）A函数F（X）的导数不存在的点，一定不是F（X）的极值点B若X0为F（X）的驻点，则X0必为F（X）的极值点C若F（X）在点X0处有极值，且F（X0）存在，则必有F（X0）0D若F（X）在点X0处连续，则F（X0）一定存在解析本小题主要考查函数极值点的有关概念。满分4分。根据函数极值存在的必要条件，应选C。例30426求函数YXEX的单调增减区间和极值。解析本小题主要考查求函数的单调增减区间和极值。满分10分。解函数的定义域为（，）。YEXX（EX）（1X）EX令Y0，得驻点X1又当X0；当X1时，Y0时，Y0，X0为的极小值点例50626求函数F（X）X33X1的单调区间与极值解DF，FX3X233X1X1令F（X）0，得驻点X1,X1F（X）的单调增区间为（,1）（1，）单调减区间为（1，1）F（X）的极大值F（1）3极小值F（1）13曲线的凹向和拐点（1）曲线的凹向定义如果在（A，B）内，曲线弧总位于其上任一点处的切线的上方，则称曲线弧在（A，B）内是向上凹的（简称上凹，也称凹）；如果在（A，B）内，曲线弧总位于其上任一点处的切线的下方，则称曲线弧在（A，B）内是向下凹的（简称下凹，也称凸）。（2）曲线凹向的判别法定理29设函数YF（X）在开区间（A，B）内具有二阶导数，如果在（A，B）内的每一点X，恒有F（X）0，则曲线YF（X）在（A，B）内是向上凹（凹）的如果在（A，B）内的每一点X，恒有F（X）0时，Y0，所以曲线YY33X1的拐点是（0，1）。例30226求函数YX33X21的单调增减区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点解析本小题主要考查求函数的单调增减区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点。满分8分。D（F）（，）Y3X26X，Y6X6令Y0，得X0，X2，令Y0，得X1X,00,111,222,Y00Y0极大值拐点极小值YF011，3F25所以函数的单调增加区间为（，0）U（2，），单调减少区间为（0，2），极大值为F（0）1,极小值为F（2）5。其曲线的凸区间为（，1），凹区间为（1，），拐点为（1，3）。4曲线的渐近线定义如果曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某一固定直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线C的渐近线。（1）水平渐近线若当X时，F（X）C（C为常数），即若,则称YF（X）有水平渐近线YC。（2）铅直渐近线若XA（有时仅当XA或XA），有F（X），即若则称XA为曲线YF（X）的铅直渐近线（也称垂直渐近线）（其中A为常数）。例1曲线的水平渐近线为_,铅直渐近线为_解析本小题主要考查求曲线的水平、铅直渐近线。（三）函数的最大（小）值及实际应用问题1函数的最值（1）设F（X）在A，B上是连续的，则F（X）在A，B上一定存在着最大值M和最小值M。且F（X）在A，B上的最值只能在A，B内的极值点和区间端点中求得。注意在开区间内连续的函数不一定有最大值和最小值。（2）求连续函数F（X）在区间A，B上的最大值的解题步骤求出函数F（X）在（A，B）内的所有驻点以及导数不存在点XI（I1，2K）计算以上各点的函数值F（X1），F（X2），F（XK）以及区间的两个端点的函数值F（A），F（B）；比较以上的K2个函数值，其中最大的函数值就是最大值M，最小的函数值就是最小值M。注意如果F（X）在区间（A，B）内只有一个极大值而没有极小值，则这个极大值就是F（X）在区间（A，B）内的最大值；同理如果F（X）在区间（A，B）内只有一个极小值而没有极大值，则这个极小值就是F（X）在区间（A，B）内的最小值。如果F（X）在区间A，B上为单调连续函数，则最大（小）值在区间端点取得。例10019求函数YXEX在区间0，2上的最大值与最小值（）解析本小题主要考查求函数的最值。满分6分。Y（1X）EX，令Y0，得驻点X1,因为Y（0）0,所以函数YXEX在区间0，2上的最大值,最小值Y（0）02最大（小）值的应用问题求解最大（小）值的应用问题的步骤（1）认真审题，弄清题意，列出函数解析式；（2）对这个函数求极值；（3）判定最大（小）值；（4）答题。例2将边长为A的一块正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做一个无盖的方盒，问截去的小正方形的边长为多少时，所得方盒的容积最大最大容积为多少解析本小题主要考查求解函数的最值实际应用问题。设小正方形的边长为X，则方盒底面的边长为A2X，又设方盒的容积为V，则令，得驻点，其中不合题意，应舍去，当时，当时，。所以为惟一的极大值点，即是最大值点，亦即当小正方形的边长为时，所得方盒的容积最大，容积。（四）利用函数的单调性证明不等式欲证当XX0时,有FXGX作辅助函数FXFXGX_FX满足以下条件（1）FX00；（2）当XX0时，FX0，FXFX0，FX0当XX0时，FXF（X0）FX0FXGX0FXGX例10026证明解析本小题主要考查利用函数的单调性证明不等式。满分8分。证F00则当X0时，,为单调增加，F（X）F（0）例20328证明当X0时，解析本小题主要考查利用函数的单调性证明不等式。满分10分。证所以当X0时，,GXXLN1X均单调增加,因为F00,G00FXF0,GXG00，即,LN1X0时，。本章小结一元函数微分学在微积分中占有极重要的位置，在考试中约占30，约为45分左右。主要内容总结归纳如下一、概念部分重点导数和微分的定义、函数的可导性与连续性的关系、导数与微分的关系。二、运算部分重点基本初等函数的导数、微分公式，四则运算的求导公式、复合函数求导法、对数求导法等。求导歌初等函数一式表，复合四则连环套。分清四则与复合，关系明确再求导。常幂指对三反三，导数公式要记牢。加减关系逐项导，积商导数最重要。积的导数共两项，U导乘V加U乘V导。商的导数为分式，母方分之子导乘母减子乘母导。复合函数层层导，不能重复不漏掉。隐函数两边同时导，解方程Y便得到。高阶导数阶阶导，归纳规律很重要。增量比值求极限，定义三步会求导，分段函数分段点，左导是否等右导。导数微分互等价，微分加尾别忘掉。背公式，勿浮燥，多练习，熟生巧，寻规律，多请教，勤思考，必开窍。今日唱起求导歌，求导感觉真美妙。三、应用部分重点利用洛必达法则求极限，利用导数研究函数的性态，主要包括函数的单调性与极值、曲线的凹凸性与拐点、曲线的渐近线，最值的应用问题，利用函数的单调性证明简单的不等式。定对增极凹拐线，增极凹拐是关键，适当添加辅助点，描点连线图形见。第三章一元函数积分学第一节不定积分复习考试要求1理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。2熟练掌握不定积分的基本公式。3熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。4熟练掌握不定积分的分部积分法。5掌握简单有理函数不定积分的计算。主要知识内容（一）不定积分有关概念1原函数定义设F（X）是定义在区间I上的一个己知函数，如果存在一个函数F（X），使得在区间I上的每一点，都有则称F（X）是F（X）在区间I上的一个原函数。结论如果F（X）在某区间上连续，则在这个区间上F（X）的原函数F（X）一定存在。2不定积分定义函数F（X）的全体原函数的集合称为F（X）的不定积分，记作并称为积分号，函数F（X）为被积函数，为被积表达式，X为积分变量。如果F（X）是F（X）的一个原函数，即有，其中C为任意常数（积分常数）。3不定积分的性质（K为不等于0的常数）典型例题例19607如果等式成立，则F（X）等于ABCD解析本小题主要考查不定积分概念。满分4分。由不定积分的定义，有，即。故选B例20004设COTX是F（X）的一个原函数，则F（X）等于ACSC2XBCSC2XCSEC2XDSEC2X解析本小题主要考查原函数的概念。满分4分。由原函数的定义，有F（X）（COTX）CSC2X。故选B例30304F（X）EX的一个原函数是AEXBEXCEXDEX解析本小题主要考查原函数的概念。满分4分。，所以F（X）EX的一个原函数是EX。故选C例40403设函数，则不定积分等于AB2E2XCC2E2XCDE2XC解析本小题主要考查不定积分的基本性质。满分4分。故选D（二）计算不定积分1基本积分公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）2不定积分法（1）直接积分法例1求下列不定积分（1）解析（2）解析（3）解析（4）解析（5）解析例29904等于ABCD解析本小题主要考查简单函数求不定积分。满分4分。故选A例30322设函数，求_。解析本小题主要考查先作函数式的变换，再求不定积分。满分4分。由，得,则（2）第一换元积分法若，且有连续的导数，则证例10111_解析本小题主要考查凑微分法求不定积分。满分4分。解一解二常用的凑微分公式例2（1）0218计算解析本小题主要考查凑微分法求不定积分。满分6分。（2）（3）例30022计算解析本小题主要考查凑微分法求不定积分。满分7分。例49822计算解析本小题主要考查凑微分法求不定积分。满分6分。（3）第二换元积分法如果是严格单调可导函数，且，又设具有原函数F（T），则有第二换元积分公式其中是的反函数。常用的换元类型有被积函数类型所用代换代换名称正弦代换正切代换根式代换例1计算解析本小题主要考查通过简单的根式代换求不定积分。令，得，DX2TDT，则有例2计算解析本小题主要考查通过简单的根式代换求不定积分。令，得，则有例3计算解析本小题主要考查通过三角换元（弦变）求不定积分。令XSINT，得DXCOSTDT，则有例4计算解析本小题主要考查通过三角换元（切变）求不定积分。令XTANT，得DXSEC2TDT，则有（4）分部积分法分部积分公式U,DV的选择主要有以下类型类型U,DV的选择令幂指幂弦，令令幂对幂反三令指弦，令例1计算答XSINXCOSXC例2计算答例30120计算答例4计算答例5计算答例69921计算解析本小题主要考查凑微分法与分部积分法求不定积分。满分6分。例79621例89821计算解析本小题主要考查凑微分法与分部积分法求不定积分。满分6分。令，得，DX2TDT，则有例99729计算答例100224设，求F（X）解析本小题主要考查不定积分的基本性质与分部积分法求不定积分。满分7分。（5）简单的有理函数的不定积分例10422计算解析本小题主要考查求简单有理函数的不定积分。满分6分。例2计算解析本小题主要考查求简单有理函数的不定积分。例39722计算解析本小题主要考查求简单有理函数的不定积分。满分6分。求不定积分的歌微分积分逆运算，先后积微必还原，不定积分是求原函数，不加常数不算完，不定积分提限外，一表三法记心间，牢记基本积分表，通过求导可检验。直接积分最基本，恒等变型需熟练，换原积分繁化简，积完分后再还原，第一换元最重要，能凑便凑最简单，第二换元不能凑，根式代换常出现，三角代换有两种，只需弦变与切变，分部积分未转化，确定DV是关键，幂指弦幂在前，幂对反后为先，指乘弦出循环，寻求规律抓典型，掌握技巧会再练，今日唱起积分歌，积分运算不算难。第二节定积分及其应用复习考试要求1理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件2掌握定积分的基本性质3理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。4熟练掌握牛顿莱布尼茨公式。5掌握定积分的换元积分法与分部积分法。6理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。7掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。主要知识内容（一）定积分有关概念1定义设函数YF（X）在区间A,B上连续，用分点AX00,称类似地，如果PA0，则事件B对事件A的条件概率为例1同时掷两颗均匀的骰子，在出现的点数之和为7点的前堤下，有一颗骰子为1点的概率是多少。解析设A“点数之和为7点”，B“其中一颗为1点”。事件A1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1事件AB1,6,6,1解法1解法2例2设盒中有10个木质球，6个玻璃球，木质球有3个为红色，7个为蓝色，玻璃