中考数学专题总复习讲义--初中数学基础知识及经典题型汇编（广东版）（可编辑）

中考数学专题总复习讲义初中数学基础知识及经典题型汇编（广东版）初中数学中考复习综合知识讲解第一章绪论211初中数学的特点212怎么学习初中数学313如何去听课514几点建议6第二章应知应会知识点721代数篇722几何篇10第三章例题讲解17第四章兴趣练习3641代数部分3642几何部分66第五章复习提纲76第一章绪论11初中数学的特点12怎么学习初中数学1培养良好的学习兴趣两千多年前孔子说过知之者不如好之者好之者不如乐之者意思说干一件事知道它了解它不如爱好它爱好它不如乐在其中好和乐就是愿意学喜欢学这就是兴趣兴趣是最好的老师有兴趣才能产生爱好爱好它就要去实践它达到乐在其中有兴趣才会形成学习的主动性和积极性在数学学习中我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的认识过程这自然会变为立志学好数学成为数学学习的成功者那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢1课前预习对所学知识产生疑问产生好奇心2听课中要配合老师讲课满足感官的兴奋性听课中重点解决预习中疑问把老师课堂的提问停顿教具和模型的演示都视为欣赏音乐及时回答老师课堂提问培养思考与老师同步性提高精神把老师对你的提问的评价变为鞭策学习的动力3思考问题注意归纳挖掘你学习的潜力4听课中注意老师讲解时的数学思想多问为什么要这样思考这样的方法怎样是产生的5把概念回归自然所有学科都是从实际问题中产生归纳的数学概念也回归于现实生活如角的概念直角坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的只有回归现实才能对概念的理解切实可在应用概念判断推理时会准确2建立良好的学习数学习惯习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要建立良好的学习数学习惯会使自己学习感到有序而轻松高中数学的良好习惯应是多质疑勤思考好动手重归纳注意应用良好的学习数学习惯还包括课前自学专心上课及时复习独立作业解决疑难系统小结和课外学习几个方面学生在学习数学的过程中要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言并永久记忆在自己的脑海中另外还要保证每天有一定的自学时间以便加宽知识面和培养自己再学习能力3有意识培养自己的各方面能力数学能力包括逻辑推理能力抽象思维能力计算能力空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的在平时学习中要注意开发不同的学习场所参与一切有益的学习实践活动如数学第二课堂数学竞赛智力竞赛等活动平时注意观察比如空间想象能力是通过实例净化思维把空间中的实体高度抽象在大脑中并在大脑中进行分析推理其它能力的培养都必须学习理解训练应用中得到发展特别是教师为了培养这些能力会精心设计智力课和智力问题比如对习题的解答时的一题多解举一反三的训练归类应用模型电脑等多媒体教学等都是为数学能力的培养开设的好课型在这些课型中学生务必要用全身心投入全方位智力参与最终达到自己各方面能力的全面发展4及时了解掌握常用的数学思想和方法学好初中数学需要我们从数学思想与方法高度来掌握它中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个集合与对应思想分类讨论思想数形结合思想运动思想转化思想变换思想有了数学思想以后还要掌握具体的方法比如换元待定系数数学归纳法分析法综合法反证法等等在具体的方法中常用的有观察与实验联想与类比比较与分类分析与综合归纳与演绎一般与特殊有限与无限抽象与概括等解数学题时也要注意解题思维策略问题经常要思考选择什么角度来进入应遵循什么原则性的东西高中数学中经常用到的数学思维策略有以简驭繁数形结合进退互用化生为熟正难则反倒顺相还动静转换分合相辅等5逐步形成以我为主的学习模式数学不是老师教会的而是在老师的引导下自己主动的思维活动去获取的学习数学就要积极主动地参与学习过程养成实事求是的科学态度独立思考勇于探索的创新精神正确对待学习中的困难和挫折败不馁胜不骄养成积极进取不屈不挠耐挫折的优良心理品质在学习过程中要遵循认识规律善于开动脑筋积极主动去发现问题注重新旧知识间的内在联系不满足于现成的思路和结论经常进行一题多解一题多变从多侧面多角度思考问题挖掘问题的实质学习数学一定要讲究活只看书不做题不行只埋头做题不总结积累也不行对课本知识既要能钻进去又要能跳出来结合自身特点寻找最佳学习方法6针对自己的学习情况采取一些具体的措施记数学笔记特别是对概念理解的不同侧面和数学规律教师在课堂中扩展的课外知识记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题以及你还存在的未解决的问题以便今后将其补上建立数学纠错本把平时容易出现错误的知识或推理记载下来以防再犯争取做到找错析错改错防错达到能从反面入手深入理解正确东西能由果朔因把错误原因弄个水落石出以便对症下药解答问题完整推理严密13如何去听课认真听好每一节棵要上好每一节课数学课有知识的发生和形成的概念课有解题思路探索和规律总结的习题课有数学思想方法提炼和联系实际的复习课要上好这些课来学会数学知识掌握学习数学的方法概念课要重视教学过程要积极体验知识产生发展的过程要把知识的来龙去脉搞清楚认识知识发生的过程理解公式定理法则的推导过程改变死记硬背的方法这样我们就能从知识形成发展过程当中理解到学会它的乐趣在解决问题的过程中体会到成功的喜悦习题课要掌握听一遍不如看一遍看一遍不如做一遍做一遍不如讲一遍讲一遍不如辩一辩的诀窍除了听老师讲看老师做以外要自己多做习题而且要把自己的体会主动大胆地讲给大家听遇到问题要和同学老师辩一辩坚持真理改正错误在听课时要注意老师展示的解题思维过程要多思考多探究多尝试发现创造性的证法及解法学会小题大做和大题小做的解题方法即对选择题填空题一类的客观题要认真对待绝不粗心大意就像对待大题目一样做到下笔如有神对综合题这样的大题目不妨把大拆小以退为进也就是把一个比较复杂的问题拆成或退为最简单最原始的问题把这些小题简单问题想通想透找出规律然后再来一个飞跃进一步升华就能凑成一个大题即退中求进了如果有了这种分解综合的能力加上有扎实的基本功还有什么题目难得倒我们复习课在数学学习过程中要有一个清醒的复习意识逐渐养成良好的复习习惯从而逐步学会学习数学复习应是一个反思性学习过程要反思对所学习的知识技能有没有达到课程所要求的程度要反思学习中涉及到了哪些数学思想方法这些数学思想方法是如何运用的运用过程中有什么特点要反思基本问题包括基本图形图像等典型问题有没有真正弄懂弄通了平时碰到的问题中有哪些问题可归结为这些基本问题要反思自己的错误找出产生错误的原因订出改正的措施在新学期大家准备一本数学学习病例卡把平时犯的错误记下来找出病因开出处方并且经常拿出来看看想想错在哪里为什么会错怎么改正通过你的努力到高考时你的数学就没有什么病例了并且数学复习应在数学知识的运用过程中进行通过运用达到深化理解发展能力的目的因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量的数学习题做到举一反三熟练应用避免以练代复的题海战术14几点建议1记数学笔记特别是对概念理解的不同侧面和数学规律教师为备战考试而加的课外知识如我在讲课时的注解2建立数学纠错本把平时容易出现错误的知识或推理记载下来以防再犯争取做到找错析错改错防错达到能从反面入手深入理解正确东西能由果朔因把错误原因弄个水落石出以便对症下药解答问题完整推理严密3记忆数学规律和数学小结论4与同学建立好关系争做小老师形成数学学习互助组5争做数学课外题加大自学力度6反复巩固消灭前学后忘7学会总结归类从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分类总之对初中生来说学好数学首先要抱着浓厚的兴趣去学习数学积极展开思维的翅膀主动地参与教育全过程充分发挥自己的主观能动性愉快有效地学数学其次要掌握正确的学习方法锻炼自己学数学的能力转变学习方式要改变单纯接受的学习方式要学会采用接受学习与探究学习合作学习体验学习等多样化的方式进行学习要在教师的指导下逐步学会提出问题实验探究开展讨论形成新知应用反思的学习方法这样通过学习方式由单一到多样的转变我们在学习活动中的自主性探索性合作性就能够得到加强成为学习的主人第二章应知应会知识点21代数篇一数与式一有理数1有理数的分类2数轴的定义与应用3相反数4倒数5绝对值6有理数的大小比较7有理数的运算二实数8实数的分类9实数的运算10科学记数法11近似数与有效数字12平方根与算术根和立方根13非负数14零指数次幂负指数次幂三代数式15代数式代数式的值16列代数式四整式17整式的分类18整式的加减乘除的运算19幂的有关运算性质20乘法公式21因式分解五分式22分式的定义23分式的基本性质24分式的运算六二次根式25二次根式的意义26根式的基本性质27根式的运算二方程和不等式一一元一次方程28方程方程的解的有关定义29一元一次的定义30一元一次方程的解法31列方程解应用题的一般步骤二二元一次方程32二元一次方程的定义33二元一次方程组的定义34二元一次方程组的解法代入法消元法加减消元法35二元一次方程组的应用三一元二次方程36一元二次方程的定义37一元二次方程的解法配方法因式分解法公式法十字相乘法38一元二次方程根与系数的关系和根的判别式39一元二次方程的应用四分式方程40分式方程的定义41分式方程的解法转化为整式方程检验42分式方程的增根的定义43分式方程的应用五不等式和不等式组44不等式组的有关定义45不等式的基本性质46一元一次不等式的解法47一元一次不等式组的解法48一元一次不等式组的应用三函数一位置的确定与平面直角坐标系49位置的确定50坐标变换51平面直角坐标系内点的特征52平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置53对称问题PXYQXY关于X轴对称PXYQXY关于Y轴对称PXYQXY关于原点对称54变量自变量因变量函数的定义55函数自变量因变量的取值范围使式子有意义的条件图象法56函数的图象变量的变化趋势描述二一次函数与正比例函数57一次函数的定义与正比例函数的定义58一次函数的图象直线画法59一次函数的性质增减性60一次函数YKXBK0中KB符号与图象位置61待定系数法求一次函数的解析式一设二列三解四回62一次函数的平移问题63一次函数与一元一次方程一元一次不等式二元一次方程的关系图象法64一次函数的实际应用65一次函数的综合应用1一次函数与方程综合2一次函数与其它函数综合3一次函数与不等式的综合4一次函数与几何综合三反比例函数66反比例函数的定义67反比例函数解析式的确定68反比例函数的图象双曲线69反比例函数的性质增减性质70反比例函数的实际应用71反比例函数的综合应用四个方面面积问题四二次函数72二次函数的定义73二次函数的三种表达式一般式顶点式交点式74二次函数解析式的确定待定系数法75二次函数的图象抛物线画法五点法76二次函数的性质增减性的描述以对称轴为分界77二次函数YAX2BXCA0中ABC与特殊式子的符号与图象位置关系78求二次函数的顶点坐标对称轴最值79二次函数的交点问题80二次函数的对称问题81二次函数的最值问题实际应用82二次函数的平移问题83二次函数的实际应用84二次函数的综合应用1二次函数与方程综合2二次函数与其它函数综合3二次函数与不等式的综合4二次函数与几何综合22几何篇1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短7经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行这两条直线也互相平行9同位角相等两直线平行10内错角相等两直线平行11同旁内角互补两直线行12两直线平行同位角相等13两直线平行内错角相等14两直线平行同旁内角互补15三角形两边的和大于第三边16三角形两边的差小于第三边17三角形三个内角的和等18018直角三角形的两个锐角互余19三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21全等三角形的对应边对应角相等22有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等SAS23有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等ASA24有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AAS25有三边对应相等的两个三角形全等SSS26有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL27在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28到一个角的两边的距离相同的点在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线底边上的中线和高互相重合33等边三角形的各角都相等并且每一个角都等于6034等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等等角对等边35三个角都相等的三角形是等边三角形36有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42关于某条直线对称的两个图形是全等形43如果两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44两个图形关于某直线对称如果它们的对应线段或延长线相交那么交点在对称轴上45如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分那么这两个图形关于这条直线对称46直角三角形两直角边AB的平方和等于斜边C的平方即ABC47如果三角形的三边长ABC有关系ABC那么这个三角形是直角三角形48四边形的内角和等于36049四边形的外角和等于36050多边形内角和定理N边形的内角的和等于N218051任意多边的外角和等于36052平行四边形的对角相等53平行四边形的对边相等54夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形的对角线互相平分56两组对角分别相等的四边形是平行四边形57两组对边分别相等的四边形是平行四边形58对角线互相平分的四边形是平行四边形59一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形的四个角都是直角61矩形的对角线相等62有三个角是直角的四边形是矩形63对角线相等的平行四边形是矩形64菱形的四条边都相等65菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积对角线乘积的一半即SAB267四边都相等的四边形是菱形68对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形的四个角都是直角四条边都相等70正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分每条对角线平分一组对角71关于中心对称的两个图形是全等的72关于中心对称的两个图形对称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分73如果两个图形的对应点连线都经过某一点并且被这一点平分那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等那么在其他直线上截得的线段也相等79经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰80经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边81三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半82梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半LABSLHABBCDDACMBDNABN2K24第三章例题讲解例如图10平行四边形ABCD中AB5BC10BC边上的高AM4E为BC边上的一个动点不与BC重合过E作直线AB的垂线垂足为FFE与DC的延长线相交于点G连结DEDF1求证BEFCEG2当点E在线段BC上运动时BEF和CEG的周长之间有什么关系并说明你的理由3设BEXDEF的面积为Y请你求出Y和X之间的函数关系式并求出当X为何值时Y有最大值最大值是多少解析过程及每步分值1因为四边形ABCD是平行四边形所以1分所以所以3分2的周长之和为定值4分理由一过点C作FG的平行线交直线AB于H因为GFAB所以四边形FHCG为矩形所以FHCGFGCH因此的周长之和等于BCCHBH由BC10AB5AM4可得CH8BH6所以BCCHBH246分理由二由AB5AM4可知在RTBEF与RTGCE中有所以BEF的周长是ECG的周长是又BECE10因此的周长之和是246分3设BEX则所以8分配方得所以当时Y有最大值9分最大值为10分例如图二次函数YAX2BXCA0与坐标轴交于点ABC且OA1OBOC31求此二次函数的解析式2写出顶点坐标和对称轴方程3点MN在YAX2BXC的图像上点N在点M的右边且MNX轴求以MN为直径且与X轴相切的圆的半径解析过程及每步分值1依题意分别代入1分解方程组得所求解析式为4分25分顶点坐标对称轴7分3设圆半径为当在轴下方时点坐标为8分把点代入得9分同理可得另一种情形圆的半径为或10分例3已知两个关于的二次函数与当时且二次函数的图象的对称轴是直线1求的值2求函数的表达式3在同一直角坐标系内问函数的图象与的图象是否有交点请说明理由解析过程及每步分值1由得又因为当时即解得或舍去故的值为2由得所以函数的图象的对称轴为于是有解得所以3由得函数的图象为抛物线其开口向下顶点坐标为由得函数的图象为抛物线其开口向上顶点坐标为故在同一直角坐标系内函数的图象与的图象没有交点例4如图抛物线与X轴分别相交于点BO它的顶点为A连接AB把AB所的直线沿Y轴向上平移使它经过原点O得到直线L设P是直线L上一动点1求点A的坐标2以点ABOP为顶点的四边形中有菱形等腰梯形直角梯形请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标3设以点ABOP为顶点的四边形的面积为S点P的横坐标为X当时求X的取值范围解析过程及每步分值解1A242四边形ABP1O为菱形时P124四边形ABOP2为等腰梯形时P1四边形ABP3O为直角梯形时P1四边形ABOP4为直角梯形时P13由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是Y2X8所以直线的函数关系式是Y2X当点P在第二象限时X0POB的面积AOB的面积即X的取值范围是当点P在第四象限是X0过点AP分别作X轴的垂线垂足为AP则四边形POAA的面积AAB的面积即X的取值范围是例4随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展对花木的需求量逐年提高某园林专业户计划投资种植花卉及树木根据市场调查与预测种植树木的利润与投资量成正比例关系如图所示种植花卉的利润与投资量成二次函数关系如图所示注利润与投资量的单位万元1分别求出利润与关于投资量的函数关系式2如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木他至少获得多少利润他能获取的最大利润是多少解析过程及每步分值解1设由图所示函数的图像过12所以2故利润关于投资量的函数关系式是因为该抛物线的顶点是原点所以设由图12所示函数的图像过22所以故利润关于投资量的函数关系式是2设这位专业户投入种植花卉万元则投入种植树木万元他获得的利润是万元根据题意得当时的最小值是14因为所以所以所以所以即此时当时的最大值是32例5如图已知现以A点为位似中心相似比为94将OB向右侧放大B点的对应点为C1求C点坐标及直线BC的解析式2一抛物线经过BC两点且顶点落在X轴正半轴上求该抛物线的解析式并画出函数图象3现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P解析过程及每步分值解1过C点向X轴作垂线垂足为D由位似图形性质可知ABOACD由已知可知C点坐标为直线BC的解析是为化简得2设抛物线解析式为由题意得解得解得抛物线解析式为或又的顶点在X轴负半轴上不合题意故舍去满足条件的抛物线解析式为准确画出函数图象3将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P设P到直线AB的距离为H故P点应在与直线AB平行且相距的上下两条平行直线和上由平行线的性质可得两条平行直线与Y轴的交点到直线BC的距离也为如图设与Y轴交于E点过E作EFBC于F点在RTBEF中可以求得直线与Y轴交点坐标为同理可求得直线与Y轴交点坐标为两直线解析式根据题意列出方程组解得满足条件的点P有四个它们分别是例6如图抛物线交轴于AB两点交轴于M点抛物线向右平移2个单位后得到抛物线交轴于CD两点1求抛物线对应的函数表达式2抛物线或在轴上方的部分是否存在点N使以ACMN为顶点的四边形是平行四边形若存在求出点N的坐标若不存在请说明理由3若点P是抛物线上的一个动点P不与点AB重合那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上请说明理由解析过程及每步分值例7如图在矩形中点是边上的动点点不与点点重合过点作直线交边于点再把沿着动直线对折点的对应点是点设的长度为与矩形重叠部分的面积为1求的度数2当取何值时点落在矩形的边上3求与之间的函数关系式当取何值时重叠部分的面积等于矩形面积的解析过程及每步分值解1如图四边形是矩形又2如图1由轴对称的性质可知由1知在中根据题意得解这个方程得3当点在矩形的内部或边上时当时当在矩形的外部时如图2在中又在中当时综上所述与之间的函数解析式是矩形面积当时函数随自变量的增大而增大所以的最大值是而矩形面积的的值而所以当时的值不可能是矩形面积的当时根据题意得解这个方程得因为所以不合题意舍去所以综上所述当时与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的第四章兴趣练习41代数部分1已知抛物线与X轴交于AB两点与Y轴交于点C其中点A在X轴的负半轴上点C在Y轴的负半轴上线段OAOC的长OAOC是方程的两个根且抛物线的对称轴是直线1求ABC三点的坐标2求此抛物线的解析式3若点D是线段AB上的一个动点与点AB不重合过点D作DEBC交AC于点E连结CD设BD的长为MCDE的面积为S求S与M的函数关系式并写出自变量M的取值范围S是否存在最大值若存在求出最大值并求此时D点坐标若不存在请说明理由2已知如图1过点作平行于轴的直线抛物线上的两点的横坐标分别为1和4直线交轴于点过点分别作直线的垂线垂足分别为点连接1求点的坐标2求证3点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点过点作交轴于点是否存在点使得与相似若存在请求出所有符合条件的点的坐标若不存在请说明理由3已知矩形纸片的长为4宽为3以长所在的直线为轴为坐标原点建立平面直角坐标系点是边上的动点与点不重合现将沿翻折得到再在边上选取适当的点将沿翻折得到使得直线重合1若点落在边上如图求点的坐标并求过此三点的抛物线的函数关系式2若点落在矩形纸片的内部如图设当为何值时取得最大值3在1的情况下过点三点的抛物线上是否存在点使是以为直角边的直角三角形若不存在说明理由若存在求出点的坐标4如图已知抛物线交轴于AB两点交轴于点C抛物线的对称轴交轴于点E点B的坐标为01求抛物线的对称轴及点A的坐标2在平面直角坐标系中是否存在点P与ABC三点构成一个平行四边形若存在请写出点P的坐标若不存在请说明理由3连结CA与抛物线的对称轴交于点D在抛物线上是否存在点M使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分若存在请求出直线CM的解析式若不存在请说明理由5如图已知抛物线A0与轴交于点A10和点B30与Y轴交于点C1求抛物线的解析式2设抛物线的对称轴与轴交于点M问在对称轴上是否存在点P使CMP为等腰三角形若存在请直接写出所有符合条件的点P的坐标若不存在请说明理由3如图若点E为第二象限抛物线上一动点连接BECE求四边形BOCE面积的最大值并求此时E点的坐标二动态几何6如图在梯形中厘米厘米的坡度动点从出发以2厘米秒的速度沿方向向点运动动点从点出发以3厘米秒的速度沿方向向点运动两个动点同时出发当其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止设动点运动的时间为秒1求边的长2当为何值时与相互平分3连结设的面积为探求与的函数关系式求为何值时有最大值最大值是多少7已知直线与轴交于A与轴交于D抛物线与直线交于AE两点与轴交于BC两点且B点坐标为101求抛物线的解析式2动点P在轴上移动当PAE是直角三角形时求点P的坐标3在抛物线的对称轴上找一点M使的值最大求出点M的坐标8已知抛物线的对称轴为与轴交于两点与轴交于点其中1求这条抛物线的函数表达式2已知在对称轴上存在一点P使得的周长最小请求出点P的坐标3若点是线段上的一个动点不与点O点C重合过点D作交轴于点连接设的长为的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值若存在请求出最大值若不存在请说明理由9如图1已知抛物线经过坐标原点和轴上另一点顶点的坐标为矩形的顶点与点重合分别在轴轴上且1求该抛物线所对应的函数关系式2将矩形以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿轴的正方向匀速平行移动同时一动点也以相同的速度从点出发向匀速移动设它们运动的时间为秒直线与该抛物线的交点为如图2所示当时判断点是否在直线上并说明理由设以为顶点的多边形面积为试问是否存在最大值若存在求出这个最大值若不存在请说明理由10已知抛物线1求抛物线的顶点坐标2将抛物线向右平移2个单位再向上平移1个单位得到抛物线求抛物线的解析式3如下图抛物线的顶点为P轴上有一动点M在这两条抛物线上是否存在点N使O原点PMN四点构成以OP为一边的平行四边形若存在求出N点的坐标若不存在请说明理由提示抛物线的对称轴是顶点坐标是11如图已知抛物线C1的顶点为P与X轴相交于AB两点点A在点B的左边点B的横坐标是11求P点坐标及A的值4分2如图1抛物线C2与抛物线C1关于X轴对称将抛物线C2向右平移平移后的抛物线记为C3C3的顶点为M当点PM关于点B成中心对称时求C3的解析式4分3如图2点Q是X轴正半轴上一点将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N与X轴相交于EF两点点E在点F的左边当以点PNF为顶点的三角形是直角三角形时求点Q的坐标5分12如图在平面直角坐标系中已知矩形的三个顶点抛物线过两点1直接写出点的坐标并求出抛物线的解析式2动点从点出发沿线段向终点运动同时点从点出发沿线段向终点运动速度均为每秒1个单位长度运动时间为秒过点作交于点过点作于点交抛物线于点当为何值时线段最长连接在点运动的过程中判断有几个时刻使得是等腰三角形请直接写出相应的值13如图1已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M2且P2为双曲线上的一点Q为坐标平面上一动点PA垂直于X轴QB垂直于Y轴垂足分别是AB1写出正比例函数和反比例函数的关系式2当点Q在直线MO上运动时直线MO上是否存在这样的点Q使得OBQ与OAP面积相等如果存在请求出点的坐标如果不存在请说明理由3如图2当点Q在第一象限中的双曲线上运动时作以OPOQ为邻边的平行四边形OPCQ求平行四边形OPCQ周长的最小值14如图矩形ABCD中AB6CMAD3CM点E在边DC上且DE4CM动点P从点A开始沿着ABCE的路线以2CMS的速度移动动点Q从点A开始沿着AE以1CMS的速度移动当点Q移动到点E时点P停止移动若点PQ从点A同时出发设点Q移动时间为TSPQ两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为SCM2求S与T的函数关系式15如图已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点与轴的交点为设的外接圆的圆心为点1求与轴的另一个交点D的坐标2如果恰好为的直径且的面积等于求和的值16如图点坐标分别为4008点是线段上一动点点在轴正半轴上四边形是矩形且设矩形与重合部分的面积为根据上述条件回答下列问题1当矩形的顶点在直线上时求的值2当时求的值3直接写出与的函数关系式不必写出解题过程4若则17直线与坐标轴分别交于两点动点同时从点出发同时到达点运动停止点沿线段运动速度为每秒1个单位长度点沿路线运动1直接写出两点的坐标2设点的运动时间为秒的面积为求出与之间的函数关系式3当时求出点的坐标并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标18如图1过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线外侧两条直线之间的距离叫ABC的水平宽A中间的这条直线在ABC内部的线段的长度叫ABC的铅垂高H我们可得出一种计算三角形面积的新方法即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半解答下列问题如图2抛物线顶点坐标为点C14交X轴于点A30交Y轴于点B1求抛物线和直线AB的解析式2求CAB的铅垂高CD及3设点P是抛物线在第一象限内上的一个动点是否存在一点P使SPABSCAB若存在求出P点的坐标若不存在请说明理由19如图在平面直角坐标系中点的坐标分别为点在轴上已知某二次函数的图象经过三点且它的对称轴为直线点为直线下方的二次函数图象上的一个动点点与不重合过点作轴的平行线交于点1求该二次函数的解析式2若设点的横坐标为用含的代数式表示线段的长3求面积的最大值并求此时点的坐标20如图所示菱形的边长为6厘米从初始时刻开始点同时从点出发点以1厘米秒的速度沿的方向运动点以2厘米秒的速度沿的方向运动当点运动到点时两点同时停止运动设运动的时间为秒时与重叠部分的面积为平方厘米这里规定点和线段是面积为的三角形解答下列问题1点从出发到相遇所用时间是秒2点从开始运动到停止的过程中当是等边三角形时的值是秒3求与之间的函数关系式21定义一种变换平移抛物线得到抛物线使经过的顶点设的对称轴分别交于点点是点关于直线的对称点1如图1若经过变换后得到点的坐标为则的值等于_四边形为A平行四边形B矩形C菱形D正方形2如图2若经过变换后点的坐标为求的面积3如图3若经过变换后点是直线上的动点求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值22如图已知直线交坐标轴于两点以线段为边向上作正方形过点的抛物线与直线另一个交点为1请直接写出点的坐标2求抛物线的解析式3若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑直至顶点落在轴上时停止设正方形落在轴下方部分的面积为求关于滑行时间的函数关系式并写出相应自变量的取值范围4在3的条件下抛物线与正方形一起平移同时停止求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积23如图点坐标分别为4008点是线段上一动点点在轴正半轴上四边形是矩形且设矩形与重合部分的面积为根据上述条件回答下列问题1当矩形的顶点在直线上时求的值2当时求的值3直接写出与的函数关系式不必写出解题过程4若则24如图所示某校计划将一块形状为锐角三角形的空地进行生态环境改造已知的边长120米高长80米学校计划将它分割成和矩形四部分如图其中矩形的一边在边上其余两个顶点分别在边上现计划在上种草每平米投资6元在上都种花每平方米投资10元在矩形上兴建爱心鱼池每平方米投资4元1当长为多少米时种草的面积与种花的面积相等2当矩形的边为多少米时空地改造总投资最小最小值为多少25已知是方程的两个实数根且抛物线的图象经过点1求这个抛物线的解析式2设点是抛物线上一动点且位于第三象限四边形是以为对角线的平行四边形求的面积与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围3在2的条件下当的面积为24时是否存在这样的点使为正方形若存在求出点坐标若不存在说明理由三说理题26如图抛物线经过三点1求出抛物线的解析式2P是抛物线上一动点过P作轴垂足为M是否存在P点使得以APM为顶点的三角形与相似若存在请求出符合条件的点P的坐标若不存在请说明理由3在直线AC上方的抛物线上有一点D使得的面积最大求出点D的坐标27如图在平面直角坐标系中半径为1的圆的圆心在坐标原点且与两坐标轴分别交于四点抛物线与轴交于点与直线交于点且分别与圆相切于点和点1求抛物线的解析式2抛物线的对称轴交轴于点连结并延长交圆于求的长3过点作圆的切线交的延长线于点判断点是否在抛物线上说明理由28如图1已知抛物线与轴交于两点与轴交于点经过两点的直线是连结1两点坐标分别为_抛物线的函数关系式为_2判断的形状并说明理由3若内部能否截出面积最大的矩形顶点在各边上若能求出在边上的矩形顶点的坐标若不能请说明理由抛物线的顶点坐标是29已知如图在平面直角坐标系中矩形OABC的边OA在Y轴的正半轴上OC在X轴的正半轴上OA2OC3过原点O作AOC的平分线交AB于点D连接DC过点D作DEDC交OA于点E1求过点EDC的抛物线的解析式2将EDC绕点D按顺时针方向旋转后角的一边与Y轴的正半轴交于点F另一边与线段OC交于点G如果DF与1中的抛物线交于另一点M点M的横坐标为那么EF2GO是否成立若成立请给予证明若不成立请说明理由3对于2中的点G在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q使得直线GQ与AB的交点P与点CG构成的PCG是等腰三角形若存在请求出点Q的坐标若不存在请说明理由30如图所示将矩形沿折叠使点恰好落在上处以为边作正方形延长至使再以为边作矩形1试比较的大小并说明理由2令请问是否为定值若是请求出的值若不是请说明理由3在2的条件下若为上一点且抛物线经过两点请求出此抛物线的解析式4在3的条件下若抛物线与线段交于点试问在直线上是否存在点使得以为顶点的三角形与相似若存在请求直线与轴的交点的坐标若不存在请说明理由42几何部分经典难题一1已知如图O是半圆的圆心CE是圆上的两点CDABEFABEGCO求证CDGF初二2已知如图P是正方形ABCD内点PADPDA150求证PBC是正三角形初二3如图已知四边形ABCDA1B1C1D1都是正方形A2B2C2D2分别是AA1BB1CC1DD1的中点求证四边形A2B2C2D2是正方形初二4已知如图在四边形ABCD中ADBCMN分别是ABCD的中点ADBC的延长线交MN于EF求证DENF经典难题二1已知ABC中H为垂心各边高线的交点O为外心且OMBC于M1求证AH2OM2若BAC600求证AHAO初二2设MN是圆O外一直线过O作OAMN于A自A引圆的两条直线交圆于BC及DE直线EB及CD分别交MN于PQ求证APAQ初二3如果上题把直线MN由圆外平移至圆内则由此可得以下命题设MN是圆O的弦过MN的中点A任作两弦BCDE设CDEB分别交MN于PQ求证APAQ初二4如图分别以ABC的AC和BC为一边在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG点P是EF的中点求证点P到边AB的距离等于AB的一半初二经典难题三1如图四边形ABCD为正方形DEACAEACAE与CD相交于F求证CECF初二2如图四边形ABCD为正方形DEAC且CECA直线EC交DA延长线于F求证AEAF初二3设P是正方形ABCD一边BC上的任一点PFAPCF平分DCE求证PAPF初二4如图PC切圆O于CAC为圆的直径PEF为圆的割线AEAF与直线PO相交于BD求证ABDCBCAD初三经典难题四1已知ABC是正三角形P是三角形内一点PA3PB4PC5求APB的度数初二2设P是平行四边形ABCD内部的一点且PBAPDA求证PABPCB初二3PTOLEMY托勒密定理设ABCD为圆内接凸四边形求证ABCDADBCACBD初三4平行四边形ABCD中设EF分别是BCAB上的一点AE与CF相交于P且AECF求证DPADPC初二经典难题五1设P是边长为1的正ABC内任一点LPAPBPC求证L22已知P是边长为1的正方形ABCD内的一点求PAPBPC的最小值3P为正方形ABCD内的一点并且PAAPB2APC3A求正方形的边长4如图ABC中ABCACB800DE分别是ABAC上的点DCA300EBA200求BED的度数第五章复习提纲初中数学总复习提纲实数重点实数的有关概念及性质实数的运算内容提要重要概念1数的分类及概念数系表说明分类的原则1相称不重不漏2有标准2非负数正实数与零的统称表为X0常见的非负数有性质若干个非负数的和为0则每个非负担数均为03倒数定义及表示法性质AA1AA1B1A中A0C0A1时1A1A1时1A1D积为14相反数定义及表示法性质AA0时AABA与A在数轴上的位置C和为0商为15数轴定义三要素作用A直观地比较实数的大小B明确体现绝对值意义C建立点与实数的一一对应关系6奇数偶数质数合数正整数自然数定义及表示奇数2N1偶数2NN为自然数7绝对值定义两种代数定义几何定义数A的绝对值顶的几何意义是实数A在数轴上所对应的点到原点的距离A0符号是非负数的标志数A的绝对值只有一个处理任何类型的题目只要其中有出现其关键一步是去掉符号实数的运算运算法则加减乘除乘方开方运算定律五个加法乘法交换律结合律乘法对加法的分配律运算顺序A高级运算到低级运算B同级运算从左到右如55C有括号时由小到中到大应用举例略附典型例题已知ABX在数轴上的位置如下图求证XAXBBA2已知AB2且AB0A0B0AB第二章代数式重点代数式的有关概念及性质代数式的运算内容提要重要概念分类1代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式单独的一个数或字母也是代数式整式和分式统称为有理式2整式和分式含有加减乘除乘方运算的代数式叫做有理式没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式3单项式与多项式没有加减运算的整式叫做单项式数字与字母的积包括单独的一个数或字母几个单项式的和叫做多项式说明根据除式中有否字母将整式和分式区别开根据整式中有否加减运算把单项式多项式区分开进行代数式分类时是以所给的代数式为对象而非以变形后的代数式为对象划分代数式类别时是从外形来看如XX等4系数与指数区别与联系从位置上看从表示的意义上看5同类项及其合并条件字母相同相同字母的指数相同合并依据乘法分配律6根式表示方根的代数式叫做根式含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式注意从外形上判断区别是根式但不是无理式是无理数7算术平方根正数A的正的平方根A0与平方根的区别算术平方根与绝对值联系都是非负数A区别A中A为一切实数中A为非负数8同类二次根式最简二次根式分母有理化化为最简二次根式以后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式满足条件被开方数的因数是整数因式是整式被开方数中不含有开得尽方的因数或因式把分母中的根号划去叫做分母有理化9指数幂乘方运算A0时0A0时0N是偶数0N是奇数零指数1A0负整指数1A0P是正整数运算定律性质法则1分式的加减乘除乘方开方法则2分式的性质基本性质M0符号法则繁分式定义化简方法两种3整式运算法则去括号添括号法则4幂的运算性质技巧5乘法法则单单单多多多6乘法公式正逆用ABABAB7除法法则单单多单8因式分解定义方法A提公因式法B公式法C十字相乘法D分组分解法E求根公式法9算术根的性质A0B0A0B0正用逆用10根式运算法则加法法则合并同类二次根式乘除法法则分母有理化ABC11科学记数法1A10N是整数应用举例略数式综合运算略第三章统计初步重点内容提要重要概念1总体考察对象的全体2个体总体中每一个考察对象3样本从总体中抽出的一部分个体4样本容量样本中个体的数目5众数一组数据中出现次数最多的数据6中位数将一组数据按大小依次排列处在最中间位置的一个数或最中间位置的两个数据的平均数计算方法1样本平均数若则A常数接近较整的常数A加权平均数平均数是刻划数据的集中趋势集中位置的特征数通常用样本平均数去估计总体平均数样本容量越大估计越准确2样本方差若则A接近的平均数的较整的常数若较小较整则样本方差是刻划数据的离散程度波动大小的特征数当样本容量较大时样本方差非常接近总体方差通常用样本方差去估计总体方差3样本标准差应用举例略第四章直线形重点相交线与平行线三角形四边形的有关概念判定性质内容提要直线相交线平行线1线段射线直线三者的区别与联系从图形表示法界限端点个数基本性质等方面加以分析2线段的中点及表示3直线线段的基本性质用线段的基本性质论证三角形两边之和大于第三边4两点间的距离三个距离点点点线线线5角平角周角直角锐角钝角6互为余角互为补角及表示方法7角的平分线及其表示8垂线及基本性质利用它证明直角三角形中斜边大于直角边9对顶角及性质10平行线及判定与性质互逆二者的区别与联系11常用定理同平行于一条直线的两条直线平行传递性同垂直于一条直线的两条直线平行12定义命题命题的组成13公理定理14逆命题三角形分类按边分按角分1定义包括内外角2三角形的边角关系角与角内角和及推论外角和N边形内角和N边形外角和边与边三角形两边之和大于第三边两边之差小于第三边角与边在同一三角形中3三角形的主要线段讨论定义线的交点三角形的心性质高线中线角平分线中垂线中位线一般三角形特殊三角形直角三角形等腰三角形等边三角形4特殊三角形直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形的判定与性质5全等三角形一般三角形全等的判定SASASAAASSSS特殊三角形全等的判定一般方法专用方法6三角形的面积一般计算公式性质等底等高的三角形面积相等7重要辅助线中点配中点构成中位线加倍中线添加辅助平行线8证明方法直接证法综合法分析法间接证法反证法反设归谬结论证线段相等角相等常通过证三角形全等证线段倍分关系加倍法折半法证线段和差关系延结法截余法证面积关系将面积表示出来四边形分类表1一般性质角内角和360顺次连结各边中点得平行四边形推论1顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形推论2顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形外角和3602特殊四边形研究它们的一般方法平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形的定义性质和判定判定步骤四边形平行四边形矩形正方形菱形对角线的纽带作用3对称图形轴对称定义及性质中心对称定义及性质4有关定理平行线等分线段定理及其推论12三角形梯形的中位线定理平行线间的距离处处相等如找下图中面积相等的三角形5重要辅助线常连结四边形的对角线梯形中常平移一腰平移对角线作高连结顶点和对腰中点并延长与底边相交转化为三角形6作图任意等分线段应用举例略第五章方程组重点一元一次一元二次方程二元一次方程组的解法方程的有关应用题特别是行程工程问题内容提要基本概念1方程方程的解根方程组的解解方程组分类解方程的依据等式性质1ABACBC2ABACBCC0解法1一元一次方程的解法去分母去括号移项合并同类项系数化成1解元一次方程组的解法基本思想消元方法代入法加减法一元二次方程1定义及一般形式2解法直接开平方法注意特征配方法注意步骤推倒求根公式公式法因式分解法特征左边03根的判别式4根与系数顶的关系逆定理若则以为根的一元二次方程是5常用等式可化为一元