线性代数 教程.ppt

线性代数教案主讲刘晓俊河北金融学院数学教研室11二阶、三阶行列式一、二阶行列式二、三阶行列式333231232221131211AAAAAAAAA提示一、二阶行列式A11A22X1A12A22X2B1A22A22A11X1A12X2B1A12A12A21X1A12A22X2A12B2A21X1A22X2B2A11A22A12A21X1B1A22A12B2引例用消元法解二元一次方程组22221211212111BXAXABXAXA方程组的解为211222112122211AAAABAABX211222112112112AAAAABBAX提示A11A21X1A12A21X2B1A21A21A11X1A12X2B1A11A11A21X1A11A22X2A11B2A21X1A22X2B2A11A22A12A21X2A11B2B1A21引例用消元法解二元一次方程组22221211212111BXAXABXAXA方程组的解为211222112122211AAAABAABX211222112112112AAAAABBAX211222112122211AAAABAABX211222112112112AAAAABAX一、二阶行列式若记2221121121122211AAAAAAAA则222112112221211AAAAABABX222112112211112AAAABABAX引例用消元法解二元一次方程组22221211212111BXAXABXAXA方程组的解为211222112122211AAAABAABX211222112112112AAAAABBAX211222112122211AAAABAABX211222112112112AAAAABAX一、二阶行列式我们用记号22211211AAAA表示代数和A11A22A12A21称为二阶行列式即2112221122211211AAAAAAAA一、二阶行列式2112221122211211AAAAAAAA例12315521313例2设132D问1当为何值时D02当为何值时D0解132D23令230则032当0且3时D0因此1当0或3时D0解解132D23二、三阶行列式引例用消元法解线性方程组233323213123232221211313212111BXAXAXABXAXAXABXAXAXA方程组的解为B1A22A33A12A23B3A13B2A32B1A23A32A12B2A33A13A22B3A11A22A33A12A23A31A13A21A32A11A23A32A12A21A33A13A22A31X1X2A11B2A33B1A23A31A13A21B3A11A23B3B1A21A33A13B2A31A11A22A33A12A23A31A13A21A32A11A23A32A12A21A33A13A22A31X3A11A22B3A12B2A31B1A21A32A11B2A32A12A21B3B1A22A31A11A22A33A12A23A31A13A21A32A11A23A32A12A21A33A13A22A31二、三阶行列式引例用消元法解线性方程组233323213123232221211313212111BXAXAXABXAXAXABXAXAXA则3332312322211312113332323222131211AAAAAAAAAAABAABAABX3332312322211312113333123221131112AAAAAAAAAABAABAABAX3332312322211312113323122221112112AAAAAAAAABAABAABAAX若用记号333231232221131211AAAAAAAAA表示代数和A11A22A33A12A23A31A13A21A32A11A23A32A12A21A33A13A22A31二、三阶行列式我们用记号333231232221131211AAAAAAAAA表示代数和A11A22A33A12A23A31A13A21A32A11A23A32A12A21A33A13A22A31称为三阶行列式即333231232221131211AAAAAAAAAA11A22A33A12A23A31A13A21A32A11A23A32A12A21A33A13A22A31A11A23A32A12A21A33A13A22A31若记333231232221131211AAAAAAAAAA11A22A33A12A23A31A13A21A32例3601504321104858301246150340251106A11A23A32A12A21A33A13A22A31若记333231232221131211AAAAAAAAAA11A22A33A12A23A31A13A21A32例4AB满足什么条件时有010100ABBA解2210100BAABBA若要A2B20则A与B须同时等于零因此当A0且B0时给定的行列式等于零解解221000BAABBAA11A23A32A12A21A33A13A22A31若记333231232221131211AAAAAAAAAA11A22A33A12A23A31A13A21A32例501140101AA的充分必要条件是什么解解111401012AAA解111401012AAA210当且仅当|A|1因此可得01140101AA的充分必要条件是|A|112N阶行列式一、排列与逆序二、N阶行列式的定义212222111211NNNNNNAAAAAAAAANNNJJJJJJNAAA2121211提示一、排列与逆序排列由N个不同数码12N组成的有序数组I1I2IN称为一个N级排列定义11逆序数在N级数排列I1ISITIN中如果ISIT则称IS与IT构成一个逆序排列I1I2IN中逆序的总数称为逆序数记为NI1I2IN例如1234和3421都是4级排例25431是一个5级排列奇排列与偶排列如果逆序数NI1I2IN是奇数则排列I1I2IN称为奇排列如果逆序数NI1I2IN是偶数或0则排列I1I2IN称为偶排列提示一、排列与逆序排列由N个不同数码12N组成的有序数组I1I2IN称为一个N级排列定义11逆序数在N级数排列I1ISITIN中如果ISIT则称IS与IT构成一个逆序排列I1I2IN中逆序的总数称为逆序数记为NI1I2IN奇排列与偶排列如果逆序数NI1I2IN是奇数则排列I1I2IN称为奇排列如果逆序数NI1I2IN是偶数或0则排列I1I2IN称为偶排列N2543173421是奇排列N342151234是偶排列N1234025431是奇排列对换在一个排列I1ISITIN中将数码IS与IT对调就得到另一个排列I1ITISIN这样的变换称为一个对换记为对换ITIS举例对排列21354施以对换14后得到排列24351提问排列21354与排列24351的奇偶性如何定理11任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变1显然对换相邻的两个数码奇偶性改变证对换在一个排列I1ISITIN中将数码IS与IT对调就得到另一个排列I1ITISIN这样的变换称为一个对换记为对换ITIS定理11任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变1显然对换相邻的两个数码奇偶性改变证2设排列IK1K2KSJ经过对换IJ变为JK1K2KSI这个变换可以按如下方法完成J与前面S1个数码逐个对换然后I与后面S个数码逐个对换按上述方法总共进行了2S1次相邻数码的对换因为相邻数码的对换的次数为奇数所以最后得到的排列与原排列的奇偶性不同对换在一个排列I1ISITIN中将数码IS与IT对调就得到另一个排列I1ITISIN这样的变换称为一个对换记为对换ITIS定理11任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变定理12N个数码N1共有N个N级排列其中奇偶排列各占一半这是因为一方面N级排列的总数为NN121N另一方面有排列I1ISITIN必有排列I1ITISIN两者的奇偶性不同所以奇偶排列数相等各占一半二、N阶行列式的定义观察二阶行列式和三阶行列式2112221122211211AAAAAAAA333231232221131211AAAAAAAAAA11A22A33A12A23A31A13A21A32A11A23A32A12A21A33A13A22A311它们的项数与阶数有什么关系2各项的一般形式怎样3各项的符号与下标有怎样的关系定义N阶行列式时应保留二、三阶行列式的性质二、N阶行列式的定义定义12N阶行列式用N2个元素AIJIJ12N组成的记号212222111211NNNNNNAAAAAAAAA称为N阶行列式它表示代数和NNNJJJJJJNAAA2121211其中和式中的排列J1J2JN要取遍所有N级排列212222111211NNNNNNAAAAAAAAANNNJJJJJJNAAA2121211N阶行列式共有N项且冠以正号的项和冠以负号的项各占一半在行列式中NNJJJAAA2121是取自不同行不同列的N个元素的乘积NNJJJAAA2121之前的符号是211NJJJN行列式有时简记为|AIJ|一阶行列式|A|就是A说明212222111211NNNNNNAAAAAAAAANNNJJJJJJNAAA2121211提问四阶行列式表示的代数和有多少项有424项1N4314A14A23A31A44是否为行列式中的一项1N4312A14A23A31A42是否为行列式中的一项是不是对于四阶行列式44434241343332312423222114131211AAAAAAAAAAAAAAAA问我们要求出展开式中非零的乘积项解要使取自不同行不同列的N个元素的乘积不一定为零例1计算N阶下三角形行列式的值其中AII0I12N000000321333231222111NNNNNAAAAAAAAAAD第N行只能取ANN第三行只能取A33第二行只能取A22第一行只能取A11这样的乘积项只有一个即A11A22A33ANN因此D1N123NA11A22A33ANNA11A22A33ANN下三角行列式NNNNNNNAAAAAAAAAAAAA0000002211321333231222111结论上三角行列式NNNNNNNAAAAAAAAAAAAA0000002211333223221131211对角行列式NNNNAAAAAAA0000000000002211332211定理13N阶行列式D|AIJ|的一般项可以记为NNNNJIJIJIJJJNIIINAAA221121211其中I1I2IN与J1J2JN均为N级排列这是因为乘积项中的任意两个元素进行对换后乘积项的行标排列和列标排列的奇偶都发生变化所以对换前后行标排列与列标排列的逆序数的和的奇偶性不变因此若NNJIJIJIAAA2211经若干次对换变成为NNKKKAAA2121则NNNNJIJIJIJJJNIIINAAA221121211NNNKKKKKKNNNAAA212121121NNNKKKKKKNAAA2121211NNNKKKKKKNNNAAA212121121NNNKKKKKKNAAA2121211例2若1NI432KN52J14AI5A42A3JA21AK4是五阶行列式|AIJ|的一项则IJK应为何值此时该项的符号是什么该项前应冠以正号解由行列式定义每一项中的元素取自不同行不同列故有J3或I5时K1且有I1时K5当I1J3K5时1N14325N52314191该项前应冠以负号A15A42A33A21AK4为|AIJ|的一项当I5J3K1时1N54321N523141161所以所以所以A55A42A33A21A14也为|AIJ|的一项解第一列取A21后第三列只能取A43第四列只能取A14第二列只能取A32所以132111111D1N2413N1342A21A43A14A32例3用行列式定义计算行列式1100001001011010D13行列式的性质N阶行列式共有N项因此定义计算N阶行列式是较为困难的只有少数行列式用定义计算比较方便我们已经知道三角行列式的值就是主对角线上各元素的乘积因此我们想到能否把一般的行列式化成三角行列式来计算这就需要研究行列式的性质行列式的转置将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式记为DT或D即如果212222111211NNNNNNAAAAAAAAAD则212221212111NNNNNNTAAAAAAAAAD212222111211NNNNNNAAAAAAAAAD则212221212111NNNNNNTAAAAAAAAAD显然若D|AIJ|DT|BIJ|则BIJAJIIJ12N行列式的转置将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式记为DT或D性质1将行列式转置行列式的值不变即DDT证记D|AIJ|DT|BIJ|则BIJAJIIJ12N按定义及定理13DT的一般项为NNNJJJJJJNBBB2121211NJJJJJJNNNAAA2121211NJJJNNJJJNNNAAA121122121这也是D的一般项所以DDTNNNJJJJJJNBBB2121211NJJJJJJNNNAAA2121211性质2互换行列式的两行列行列式的值变号记D|AIJ|交换D的第S行与第TST行得到的行列式为D1|BIJ|则BSJATJBTJASJJ12ND1的一般项为证NTSNTSNJTJSJJJJJJNBBBB1111NTSNTSNJSJTJJJJJJNAAAA1111NSTNTSNJTJSJJJJJJNAAAA1111NSTNSTNJTJSJJJJJJNAAAA1111它与D的一般项相差一个负号所以D1D推论如果行列式中有两行列的对应元素相同则此行列式的值为零这是因为将行列式D中具有相同元素的两行互换后所得的行列式仍为D但由性质2可知其结果应为D因此DD所以D0性质2互换行列式的两行列行列式的值变号性质3用数K乘以行列式的某一行列等于以数K乘此行列式即如果设D|AIJ|则推论如果行列式中有两行列的对应元素相同则此行列式的值为零性质2互换行列式的两行列行列式的值变号这是因为D1的一般项为NINNJIJJJJJNAKAA1121111211NINNJIJJJJJNAAAK上面等号右端方括号内是D的一般项所以D1KD2121112111NNNNINIINAAAKAKAKAAAADKDAAAAAAAAAKNNNNINIIN212111211推论1如果行列式某行列的所有元素有公因子则公因子可以提到行列式外面推论2如果行列式有两行列的对应元素成比例则此行列式的值为零性质3用数K乘以行列式的某一行列等于以数K乘此行列式推论如果行列式中有两行列的对应元素相同则此行列式的值为零性质2互换行列式的两行列行列式的值变号因为由推论1可将行列式中这两行列的比例系数提到行列式外面则余下的行列式有两行列对应元素相同由性质2可知此行列式的值等于零所以原行列式的值等于零性质4如果行列式中的某一行列的每一个元素都是两个数的和则此行列式可以写成两个行列式的和例如21211121121211121121221111211NNNNINIINNNNNINIINNNNNININIIIINAAABBBAAAAAAAAAAAAAAABABABAAAANIINNJIJIJJJJJNABAA112111112111NININNJIJJNJIJJJJJNABAAAANINNJIJJJJJNAAA12111NINNJIJJJJJNABA12111这是因为推论如果将行列式某一行列的每个元素都写成M个数的和则此行列式可以写成M个行列式的和性质4如果行列式中的某一行列的每一个元素都是两个数的和则此行列式可以写成两个行列式的和例如21211121121211121121221111211NNNNINIINNNNNINIINNNNNININIIIINAAABBBAAAAAAAAAAAAAAABABABAAAA性质5将行列式的某一行列的所有元素同乘以数K后加到另一行列对应位置的元素上行列式的值不变例如21212111211NNNNSNSSINIINAAAAAAAAAAAA2121221111211NNNNSNSSSNINSISINAAAAAAKAAKAAKAAAAA这是因为右边2121211121121212111211NNNNSNSSSNSSNNNNNSNSSINIINAAAAAAKAKAKAAAAAAAAAAAAAAAA例1计算行列式4105363142D因为第一行与第二行对应元素成比例根据性质3的推论2得解04105363142D反对称行列式反对称行列式为下列形式的行列式0000321323132231211312NNNNNNAAAAAAAAAAAA例2证明奇数阶反对称行列式的值为零解设0000321323132231211312NNNNNNAAAAAAAAAAAAD利用行列式性质3的推论1及性质1有DDAAAAAAAAAAAADNTNNNNNNNN1100001321323132231211312当N为奇数时有DD所以D0DDAAAAAAAAAAAADNTNNNNNNN1100001321323132231211312DDAAAAAAAAAAAADNTNNNNNNNN1100001321323132231211312例3设1333231232221131211AAAAAAAAA求53531026333231232221131211AAAAAAAAA解53531026333231232221131211AAAAAAAAA5353532333231232221131211AAAAAAAAA解解53531026333231232221131211AAAAAAAAA5353532333231232221131211AAAAAAAAA532333231232221131211AAAAAAAAA235130例4计算行列式0112012120112110D解14132RRRR413021102110201124233RRRR220042002110201134RR200042002110201111224解0112012120112110D21RR0112012121102011解0120121212110D21RR0112012121102011解0112012120112110D21RR011201212110201114132RRRR4130211011001124233RRRR220042002110201114132RRR13021102110201124233RRRR220042002110201114132RRRR413021102110201124233RRR220042002110201134RR2000420021102011例5计算N阶行列式XAAAAAXAAAAAXAAAAAXAAAAAX解解XAAAAAXAAAAAXAAAAAXAAAAAX31211CCCCCCN11111XAAAANXAXAAANXAAXAANXAAAXANXAAAAANX13121RRRRRRN00000000001AXAAXAAAXAAAAXAAAAANX解XAAAAAXAAAAAXAAAAAXAAAAAX31211CCCCCCN11111XAAAANXAXAAANXAAXAANXAAAXANXAAAAANX解XAAAAXAAAAXAAAAXAAAAAX31211CCCCCCN11111XAAAANXAXAAANXAAXAANXAAAXANXAAAAANX13121RRRRRRN00000000001AXAAXAAAXAAAAXAAAAANXXN1AXAN114行列式按行列展开设212222111211NNNNNNAAAAAAAAAD则JIJIDAAAAAAJNINJIJI02211JIJIDAAAAAANJNIJIJI0221144434241343332312423222114131211AAAAAAAAAAAAAAAAD定义13余子式与代数余子式在N阶行列式D|AIJ|中去掉元素AIJ所在的第I行和第J列后余下的N1阶行列式称为D中元素AIJ的余子式记作MIJ令AIJ1IJMIJAIJ称为元素AIJ的代数余子式例如四阶行列式在D中A32的代数余子式是1444341242321141311322332AAAAAAAAAMA1444341242321141311322332AAAAAAMA44434241343332312423222114131211AAAAAAAAAAAAAAAAD定义13余子式与代数余子式在N阶行列式D|AIJ|中去掉元素AIJ所在的第I行和第J列后余下的N1阶行列式称为D中元素AIJ的余子式记作MIJ令AIJ1IJMIJAIJ称为元素AIJ的代数余子式例如四阶行列式在D中A32的代数余子式是A13的代数余子式是1444241343231242221133113AAAAAAAAAMA1444341242321141311322332AAAAAAAAAMA1444341242321141311322332AAAAAAMA1444241343231242221133113AAAAAAAAAMA定理14行列式按行列展开定理N行列式D|AIJ|等于它的任意一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积的和即DAI1AI1AI2AI2AINAINI12N或DA1JA1JA2JA2JANJANJJ12N定理15N阶行列式D|AIJ|的某一行列的元素与另一行列对应元素的代数余子式乘积的和等于零即AI1AJ1AI2AJ2AINAJN0IJ或A1IA1JA2IA2JANIANJ0IJ例1分别按第一行与第二列展开行列式132311201D1按第一行展开解321112123110133111312111D1802518321112123110133111312111D321112123110133111312111D例1分别按第一行与第二列展开行列式132311201D1按第一行展开解321112123110133111312111D1802518按第二列展开312113122111123110232221D01331531518321112123110133111312111D321112123110133111312111D312113122111123110232221D31113122111123110232221D例2计算行列式5021011321014321D方法一将D按第三列展开应有解1952101320113113A6352101342113223A1852120142113333A1001320142113443A所以D319163118010241952101320113113A6352101342113223A1852120142113333A1001320142113443ADA13A13A23A23A33A33A43A43其中A133A231A331A430527211417112323212RRRR1092112065021011321014321D343122RRRR5207011321014107例2计算行列式5021011321014321D方法二先用行列式的性质将行列式中某一行列化为仅含有一个非零元素再按此行列展解19261122618241926122618245021011321014321D343122RRRR52070113210141075021011321014321D34322RRRR5207011321014107527211417112323212RRRR10921120652721417112323212RRRR109211206例3讨论当K为何值时02002000110011KKK解2020011KKKKKK221K1K242020011KKKKKK221K1K2420011KKKKK221K1K24所以当K1且K2时02002000110011KKK所以当K1且K2时02002000110011KKK当K1且K2时02002000110011KKK解2002000110011KKK12RR20020001100011KKK解2002000110011KKK12RR2020011001KKK解2002000110011KKK12R20020001100011KKK15克莱姆法则NNNNNNNNNNBXAXAXABXAXAXABXAXAXA22112222212111212111与000221122221211212111NNNNNNNNNXAXAXAXAXAXAXAXAXA本节讨论以下含有N个未知数N个方程的线性方程组前者称为非齐次线性方程组后者称为齐次线性方程组行列式212222111211NNNNNNAAAAAAAAAD称为线性方程组的系数行列式定理17克莱姆法则如果非齐次线性方程组NNNNNNNNNNBXAXAXABXAXAXABXAXAXA22112222212111212111的系数行列式D不等于零那么方程组有唯一解DDXJJJ12N其中DJJ12N是把系数行列式D中第J列的元素A1JA1JA1J对应地换为方程组的常数项B1B2BN后所得到的N阶行列式克莱姆法则如果非齐次线性方程组的系数行列式D不等于零那么方程组有唯一解XJDJ/DJ12N例1解线性方程组4221234422243213214314321XXXXXXXXXXXXXX因为解D2提示022121012341022111D022121012341022111D克莱姆法则如果非齐次线性方程组的系数行列式D不等于零那么方程组有唯一解XJDJ/DJ12N因为解D2D12例1解线性方程组4221234422243213214314321XXXXXXXXXXXXXX提示022121012341022111D022121012341022111D221240121410421121D221240121410421121D221240121410421121D221240121410421121D克莱姆法则如果非齐次线性方程组的系数行列式D不等于零那么方程组有唯一解XJDJ/DJ12N因为解D2D24D12例1解线性方程组4221234422243213214314321XXXXXXXXXXXXXX提示022121012341022111D022121012341022111D421410113414221212D4214101131421212D421410113414221212421410113414221212D克莱姆法则如果非齐次线性方程组的系数行列式D不等于零那么方程组有唯一解XJDJ/DJ12N因为解D2D30D24D12例1解线性方程组4221234422243213214314321XXXXXXXXXXXXXX提示022121012341022111D022121012341022111D024210123440222113D024210123440222113D024210123440222113D024210123440222113D克莱姆法则如果非齐次线性方程组的系数行列式D不等于零那么方程组有唯一解XJDJ/DJ12N因为解D2D41D30D24D12例1解线性方程组4221234422243213214314321XXXXXXXXXXXXXX提示022121012341022111D022121012341022111D141211123410221114D14121123410221114D1412112341022114D1211231021114D所以所给方程组的唯一解为克莱姆法则如果非齐次线性方程组的系数行列式D不等于零那么方程组有唯一解XJDJ/DJ12N因为解D2D41D30D24D12111DDX222DDX033DDX2144DDX111DDX222DDX033DDX2144DDX111DDX222DDX033X2144DDX111DDX222DDX033DDX44DDX例1解线性方程组4221234422243213214314321XXXXXXXXXXXXXX1对于齐次线性方程组总有DJ02齐次线性方程组总是有解的克莱姆法则如果非齐次线性方程组的系数行列式D不等于零那么方程组有唯一解XJDJ/DJ12N考虑齐次线性方程组000221122221211212111NNNNNNNNNXAXAXAXAXAXAXAXAXA讨论定理18如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于零则它仅有零解例2判定齐次线性方程组0320230320324321432143214321XXXXXXXXXXXXXXXX是否仅有零解因为解01531132211313213211D0153132113321211D所以方程组仅有零解X1X2X3X40定理18如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于零则它仅有零解例3如果齐次线性方程组032042020432142142141KXXXXXXXKXXXXKX有非零解K应取何值解41212110331240121021100KKKKKD41212110331240121021100KKKKKD38K1K2K415K1如果方程组有非零解则D0即K1定理18如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于零则它仅有零解21矩阵在某些问题中所有数据可以用一个矩形表完整表示比如线性方程组可以对应一个矩形表MNMNMMNNNNBXAXAXABXAXAXABXAXAXA22112222212111212111MNMMNNAAAAAAAAA212222111211这个矩形表就称为矩阵例1设有线性方程组7739183332154321432143214321XXXXXXXXXXXXXXXX这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个4行5列的矩形阵列如下77391111833312111151这个阵列决定着给定方程组是否有解以及如果有解解是什么等问题因此对这个阵列的研究就很有必要由此得到排成4行4列的产值阵列80827088909075908485709878755880它具体描述了这家企业各种产品各季度的产值同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况例2某企业生产4种产品各种产品的季度产值单位万元如下表由此得到一个M行N列阵列MNMMNNAAAAAAAAA212222111211它描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系例3生产M种产品需用N种材料如果以AIJ表示生产第I种产品I12M耗用第J种材料J12N的定额则消耗定额可以用一个矩形表表示定义21矩阵由MN个数AIJI12MJ12N排成的一个M行N列的矩形表称为一个MN矩阵记作MNMMNNAAAAAAAAA212222111211其中AIJ称为矩阵的第I行第J列的元素一般情况下我们用大写黑体字母ABC等表示矩阵MN矩阵A简记为AAIJMN或记作AMN例如AIAI1AI2AINNBBB21BNXXX21X等零矩阵所有元素均为0的矩阵称为零矩阵记为O非负矩阵所有元素均为非负数的矩阵称为非负矩阵N阶方阵若矩阵A的行数与列数都等于N则称A为N阶矩阵或称为N阶方阵行矩阵与列矩阵只有一行或只一列的矩阵称为行矩阵或列矩阵行矩阵与列矩阵也可用小写黑体字母ABXY表示定义22矩阵相等如果两个矩阵AB有相同的行数与相同的列数并且对应位置上的元素均相等则称矩阵A与矩阵B相等记为AB即如果AAIJMNBBIJMN且AIJBIJI12MJ12N则AB22矩阵的运算三、矩阵的转置四、方阵的幂一、矩阵的加法与数与矩阵的乘法二、矩阵的乘法一、矩阵的加法与数与矩阵的乘法定义23矩阵的加法两个MN矩阵AAIJMNBBIJMN对应位置元素相加得到的MN矩阵称为矩阵A与矩阵B的和记为AB即ABAIJMNBIJMNAIJBIJMN例1设有矩阵A与矩阵B321034022753BA846075120231320501742233111A111A111A111B120316254078315372220145372000162438111A111C111C111B44081799621011则定义23矩阵的加法两个MN矩阵AAIJMNBBIJMN对应位置元素相加得到的MN矩阵称为矩阵A与矩阵B的和记为AB即ABAIJMNBIJMNAIJBIJMN定义44数与矩阵的积以数K乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵称为数K与矩阵A的积记为KA即如果AAIJMN那么KAKAIJMNKAIJMN例2设有矩阵A105951901355040130809080175120A1059519013550401308090801751205151A10551955119051135515051405113051805190518051175511205151575142285520275601951201351205262180则把矩阵AAIJ中各元素变号得到的矩阵称为A的负矩阵记为A即AAIJ负矩阵与矩阵的减法由矩阵加法及负矩阵可以定义矩阵的减法ABAB即如果AAIJMNBBIJMN则ABABAIJMNBIJMNAIJBIJMN矩阵加法与矩阵数乘的性质设ABCO都是MN矩阵是数则1ABBA2ABCAB