人教a版高中数学必修5第2章 数列全部教案 同步单元测试卷

21数列的概念与简单表示法211数列的概念与简单表示法一从容说课本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教具准备课件三维目标一、知识与技能1理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式二、过程与方法1采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3理论联系实际，激发学生的学习积极性三、情感态度与价值观1通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣教学过程导入新课师课本图211中的正方形数分别是多少生1，3，6，10，师图212中正方形数呢生1，4，9，16，25，师像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些生1的正整数次幂1，1，1，1，无穷多个数排成一列数1，1，1，1，生一些分数排成的一列数，32154638910推进新课合作探究折纸问题师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次请同学们随便取一张纸试试学生们兴趣一定很浓生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了师你知道这是为什么吗我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样生随着对折数厚度依次为2，4，8，16，256，；随着对折数面积依次为,216251生对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分1256式，再折下去太困难了师说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点生均是一列数生还有一定次序师它们的共同特点都是有一定次序的一列数教师精讲1数列的定义按一定顺序排列着的一列数叫做数列注意（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现2数列的项数列中的每一个数都叫做这个数列的项各项依次叫做这个数列的第1项或首项，第2项，第N项，同学们能举例说明吗生例如，上述例子均是数列，其中中，“2”是这个数列的第1项或首项，“16”是这个数列中的第4项3数列的分类1根据数列项数的多少分有穷数列项数有限的数列例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列项数无限的数列例如数列1，2，3，4，5，6是无穷数列2根据数列项的大小分递增数列从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列常数数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列请同学们观察课本P33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列生这六组数列分别是1递增数列，2递增数列，3常数数列，4递减数列，5摆动数列，61递增数列，2递减数列知识拓展师你能说出上述数列中的256是这数列的第多少项能否写出它的第N项生256是这数列的第8项，我能写出它的第N项，应为AN2N合作探究同学们看数列2，4，8，16，256，中项与项之间的对应关系，项2481632序号12345你能从中得到什么启示生数列可以看作是一个定义域为正整数集N或它的有限子集1，2，3，N的函数ANFN，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值反过来，对于函数YFX，如果FII1、2、3、4有意义，那么我们可以得到一个数列F1,F2,F3,FN,师说的很好如果数列AN的第N项AN与N之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式例题剖析1根据下面数列AN的通项公式，写出前5项1AN2AN1NN1师由通项公式定义可知，只要将通项公式中N依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项生解1N1,2,3,4,5A1A2A3A4A562N1,2,3,4,5A11A22A33A44A55师好就这样解2根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式13，5，7，9，11，；2，；163891030，1，0，1，0，1，；41，3，3，5，5，7，7，9，9，；52，6，12，20，30，42，师这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式给学生一定的思考时间生老师，我写好了解1AN2N1；2AN；3AN；1221N4将数列变形为10，21，30，41，50，61，70，81，ANN；N5将数列变形为12，23，34，45，56，AN1N1NN1师完全正确这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式合作探究师函数与数列的比较由学生完成此表函数数列特殊的函数定义域R或R的子集N或它的有限子集1，2，N解析式YFXANFN图象点的集合一些离散的点的集合师对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列4，5，6，7，8，9，101,的图象2134生根据这数列的通项公式画出数列、的图象为师数列4，5，6，7，8，9，10,的图象与我们学过的什么函数的图象有关生与我们学过的一次函数YX3的图象有关师数列1,的图象与我们学过的什么函数的图象有关213生与我们学过的反比例函数的图象有关XY1师这两数列的图象有什么特点生其特点为它们都是一群孤立的点生它们都位于Y轴的右侧，即特点为它们都是一群孤立的，都位于Y轴的右侧的点本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前N项求一些简单数列的通项公式布置作业课本第38页习题21A组第1题板书设计数列的概念与简单表示法一定义1数列例12项3一般形式例2函数定义4通项公式5有穷数列6无穷数列备课资料一、备用例题1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数11，3，5，7；251,31223,14分析1项1211322152317241序号1234所以我们得到了AN2N1；2序号1234项分母211321431541项分子2211121321212142131215214121所以我们得到了AN或；1N3序号1234324315411111所以我们得到了AN2写出下面数列的一个通项公式，使它的前N项分别是下列各数11,0,1,0AN,NN212,AN1N32815436237,77,777,7777AN10N19741,7,13,19,25,31AN1N6N55,AN2345169712点评上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系3已知数列AN的通项公式是AN2N2N，那么A30是数列AN的一项B44是数列AN的一项C66是数列AN的一项D90是数列AN的一项分析注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决答案C点评看一个数A是不是数列AN中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数N，使得ANA4链接探究题假定有一张极薄的纸，厚度为CM就是每200张叠起来刚好为1CM，201现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为A1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为A2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为A3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列A1,A2,A3,AK,你能求出这个数列的通项公式吗你知道A50，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗是否有10层楼高呢答案这个数列的通项公式为AN，20裁了50次、叠了50次后的厚度是562949953421312CM56294995KM，大于地球到月球距离的146倍二、阅读材料无法实现的奖赏相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔达依尔对他的国王说陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了在我的棋盘上它有64个格第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢212数列的概念与简单表示法二从容说课这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点理解递推公式与通项公式的关系教具准备多媒体三维目标一、知识与技能1了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2会根据数列的递推公式写出数列的前几项二、过程与方法1经历数列知识的感受及理解运用的过程2发挥学生的主体作用，作好探究性实验3理论联系实际，激发学生的学习积极性三、情感态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣教学过程导入新课师同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式生如果数列AN的第N项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式师你能举例说明吗生如数列0，1，2，3，的通项公式为ANN1NN1,1,1的通项公式为AN1NN,1N31,的通项公式为ANNN41合作探究数列的表示方法师通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列生图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数N为横坐标，相应的项AN为纵坐标，即以N,AN为坐标在平面直角坐标系中作出点以前面提到的数列1,21,为例，作出一个数列的图象，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为314正整数，所以这些点都在Y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势师说得很好，还有其他的方法吗生师下面我们来介绍数列的另一种表示方法递推公式法知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题下面同学们来看右下图钢管堆放示意图投影片观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型生模型一自上而下第1层钢管数为4,即1413第2层钢管数为5,即2523第3层钢管数为6,即3633第4层钢管数为7,即4743第5层钢管数为8,即5853第6层钢管数为9,即6963第7层钢管数为10,即71073若用AN表示钢管数，N表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且ANN31N7师同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循启发学生寻找规律生模型二上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,即A14；A2541A11；A3651A21依此类推ANAN112N7师对于上述所求关系，同学们有什么样的理解生若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项师看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式推进新课1递推公式定义如果已知数列AN的第1项或前几项，且任一项AN与它的前一项AN1或前N项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式注意递推公式也是给出数列的一种方法如下列数字排列的一个数列3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为A13,A25,ANAN1AN23N82数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有列表法、图象法、解析式法相对于数列来说也有相应的这几种表示方法即列表法、图象法、解析式法例题剖析【例1】设数列AN满足写出这个数列的前五项1,1NAN师分析题中已给出AN的第1项即A11，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可这个递推公式AN1我们将如何应用呢1生这要将N的值2和A11代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了师请大家计算一下生解据题意可知A11,A212,A31,A41,A512318师掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系【例2】已知A12，AN12AN，写出前5项，并猜想AN师由例1的经验我们先求前5项生前5项分别为2，4，8，16，32师对，下面来猜想第N项生由A12，A22222，A322223观察可得，我猜想AN2N师很好生老师，本题若改为求AN是否还可这样去解呢师不能必须有求解的过程生老师，我由AN12AN变形可得AN2AN1，即，依次向下写，一直到第一项，然21N后将它们乘起来，就有，所以ANA12N12N321NNA12N师太妙了，真是求解的好方法你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法知识拓展已知A12，AN1AN4,求AN师此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢生1写出A12，A22，A36，A410，观察可得AN2N1N424N1生2他这种解法不行，因为不是猜出AN，而是要求出AN我这样解由AN1AN4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来,ANAN14AN1AN24AN2AN341412NAN24N1师好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会教师精讲1数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的例如，由数列AN中的递推公式AN12AN1无法写出数列AN中的任何一项，若又知A11，则可以依次地写出A23,A37,A415,2递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式学生活动根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式投影片1A10，AN1AN2N1NN；2A11，AN1NN；23A13，AN13AN2NN让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答解1A10，A21，A34，A49，A516，ANN122A11，A2，A3，A4，A5，AN231613A131230，A271231，A3191232，A4551233，A51631234，AN123N1注不要求学生进行证明归纳出通项公式合作探究一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗析这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到爬一级梯子的方法只有一种爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种若设爬一个N级梯子的不同爬法有AN种,则ANAN1AN2AN3N4,则得到A11,A22,A34及ANAN1AN2AN3N4，就可以求得A881课堂小结师这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说生通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项或N项之间的关系生对于通项公式，只要将公式中的N依次取1，2，3,即可得到相应的项而递推公式则要已知首项或前N项，才可求得其他的项让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合培养学生的概括能力和语言表达能力布置作业课本第38页习题21A组第4、6题预习内容课本P41P44板书设计数列的概念与简单表示法二一、定义二、例题讲解小结7递推公式例1通项公式与例2递推公式区别备课资料一、数列通项公式的求法介绍求通项公式是学习数列时的一个难点由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强现举数例1观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项【例1】已知数列,写出此数列的一个通项公式21485632941解观察数列前若干项可得通项公式为AN1N32公式法已知数列的前N项和求通项时，通常用公式AN,2,1SNSNSN1,N2用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”,即A1和AN合为一个表达式【例2】已知数列AN的前N和SN满足LOG2SN1N1,求此数列的通项公式解由条件可得SN2N11，当N1时，A13,当N2时,ANSNSN12N12N2N所以AN3,N1,2N,N23累差迭加法若数列AN满足AN1ANFN的递推式，其中FN又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项【例3】已知数列6，9，14，21，30，求此数列的通项解A2A13,A3A25,A4A37,，ANAN12N1,各式相加得ANA13572N1,ANN25NN4连乘法若数列AN能写成ANAN1NN2的形式，则可由ANAN1FN,AN1AN2FN1,AN2AN3FN2,A2A1F2连乘求得通项公式【例4】已知数列AN满足A11,SNNN，求AN的通项公式2解2SNN1ANNN，2SN1NAN1N2,NN，两式相减得2ANN1ANNAN1，N2,NN1N于是有,，,N2,NN，123241AN以上各式相乘，得ANNA1NN2,NN又A11，ANNNN5求解方程法若数列AN满足方程FAN0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式【例5】已知函数FX2X2X,数列AN满足FLOG2AN2N,求数列AN的通项公式解由条件FLOG2AN2LOG2AN2LOG2AN2N,即N1AN22NAN10,又AN0，ANN26迭代法若数列AN满足ANFAN1，则可通过迭代的方法求得通项公式二、阅读材料愚公的子子孙孙愚公移山中愚公说过这样一段话“即使我死了，还有儿子在；儿子又生孙子，孙子再生儿子，儿子又有儿子，儿子又有孙子，子子孙孙无穷无尽”愚公的话，不但表达了他移山的决心，而且提出了一个有趣的无穷数列，即他的子孙后代繁殖的数列设愚公的儿子，即第一代的人数为A1；愚公的孙子，即第二代子孙的人数为A2；孙子的儿子，即第三代子孙的人数为A3；一般地，第N代子孙的人数为AN这样，我们就得到一个由正整数组成的无穷数列A1，A2，A3，AN（1这个数列描述了愚公子孙生殖繁衍的“无穷无尽”的状态这个数列的每一项显然都与它前面的项有关，但这种关系不是确定的关系，而具有随机性质可惜我们没有任何资料来确定1的具体数字如果愚公的时代人们也自觉地计划生育，例如，一对夫妇只生两个孩子假设愚公子孙们不能互相通婚，那么数列1就可成为递推数列AN12AN2如果愚公有3个儿女，即A13，就得到下面这个数列3，6，12，24，48，96，（3这个数列3，就是一个满足AN12AN的数列22等差数列221等差数列的概念、等差数列的通项公式从容说课本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察分析概括师生互动，形成概念启发引导，演绎结论拓展开放，巩固提高在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题教学难点1等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用2概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式教具准备多媒体课件，投影仪三维目标一、知识与技能1了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列2正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项二、过程与方法1通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力；2通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性三、情感态度与价值观通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识教学过程导入新课师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法列举法、通项公式、递推公式、图象法这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些数列的例子课本P41页的4个例子10，5，10，15，20，25，248，53，58，63，318，155，13，105，8，55410072，10144，10216，10288，10366，请你们来写出上述四个数列的第7项生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10510师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢以第二个数列为例来说一说生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78师说得很有道理我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征我说的是共同特征生1每相邻两项的差相等，都等于同一个常数师作差是否有顺序，谁与谁相减生1作差的顺序是后项减前项，不能颠倒师以上四个数列的共同特征从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数即等差；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫等差数列这就是我们这节课要研究的内容推进新课等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差常用字母“D”表示（1）公差D一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（2）对于数列AN，若ANAN1D与N无关的数或字母，N2，NN，则此数列是等差数列，D叫做公差师定义中的关键字是什么学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力生从“第二项起”和“同一个常数”师很好师请同学们思考数列1、2、3、4的通项公式存在吗如果存在，分别是什么生数列1通项公式为5N5，数列2通项公式为5N43，数列3通项公式为25N155，师好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考合作探究等差数列的通项公式师等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列AN的首项是A1，公差是D，则据其定义可得什么生A2A1D,即A2A1D师对，继续说下去生A3A2D,即A3A2DA12DA4A3D,即A4A3DA13D师好规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗生由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是ANA1N1D师很好这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项A1和公差D，便可求得其通项AN了需要说明的是此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗生前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用证明过程是这样的因为A2A1D,A3A2D,A4A3D,ANAN1D将它们相加便可以得到ANA1N1D师太好了真是活学活用啊这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了教师精讲由上述关系还可得AMA1M1D,即A1AMM1D则ANA1N1DAMM1DN1DAMNMD,即等差数列的第二通项公式ANAMNMD这是变通的通项公式由此我们还可以得到例题剖析【例1】（1）求等差数列8，5，2,的第20项（2）401是不是等差数列5，9，13的项如果是，是第几项分析（1）师这个等差数列的首项和公差分别是什么你能求出它的第20项吗生1这题太简单了首项和公差分别是A18,D58253又因为N20，所以由等差数列的通项公式，得A208201349师好下面我们来看看第（2）小题怎么做分析（2）生2由A15,D954得数列通项公式为AN54N1由题意可知，本题是要回答是否存在正整数N，使得40154N1成立,解之,得N100，即401是这个数列的第100项师刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是AN,A1,D,N组成的方程独立的量有三个说明1强调当数列AN的项数N已知时，下标应是确切的数字；2实际上是求一个方程的正整数解的问题这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质要判断401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式AN，判断是否存在正整数N，使得AN401成立【例2】已知数列AN的通项公式ANPNQ，其中P、Q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列若是，首项与公差分别是什么例题分析师由等差数列的定义，要判定AN是不是等差数列，只要根据什么生只要看差ANAN1N2是不是一个与N无关的常数师说得对，请你来求解生当N2时，取数列AN中的任意相邻两项AN1与ANN2ANAN1PN1PN1QPNQPNPQP为常数,所以我们说AN是等差数列，首项A1PQ，公差为P师这里要重点说明的是1若P0，则AN是公差为0的等差数列，即为常数列Q，Q，Q，2若P0，则AN是关于N的一次式，从图象上看，表示数列的各点N，AN均在一次函数YPXQ的图象上，一次项的系数是公差P，直线在Y轴上的截距为Q3数列AN为等差数列的充要条件是其通项ANPNQP、Q是常数，称其为第3通项公式课堂练习1求等差数列3，7，11，的第4项与第10项分析根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项解根据题意可知A13，D734该数列的通项公式为AN3N14，即AN4N1N1，NNA444115，A10410139评述关键是求出通项公式2求等差数列10，8，6，的第20项解根据题意可知A110，D8102所以该数列的通项公式为AN10N12，即AN2N12，所以A202201228评述要求学生注意解题步骤的规范性与准确性3100是不是等差数列2，9，16，的项如果是，是第几项如果不是，请说明理由分析要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数N值，使得AN等于这个数解根据题意可得A12，D927因而此数列通项公式为AN2N177N5令7N5100，解得N15所以100是这个数列的第15项420是不是等差数列0，7，的项如果是，是第几项如果不是，请说明理23由解由题意可知A10，,因而此数列的通项公式为D27NA令，解得因为没有正整数解，所以20不是这个207N74N207N数列的项课堂小结师（1）本节课你们学了什么（2）要注意什么（3）在生活中能否运用让学生反思、归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力生通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式ANAN1DN2其次要会推导等差数列的通项公式ANA1N1DN1师本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道AN，A1，D，N中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个最后，还要注意一重要关系式ANAMNMD和ANPNQP、Q是常数的理解与应用布置作业课本第45页习题22A组第1题，B组第1题板书设计等差数列的概念、等差数列的通项公式1定义2数学表达式例1略3等差数列的通项公式例2略练习备课资料一、备用习题1已知AN是等差数列，A510，D3，求A10解法一设数列的首项为A1，由A5A14D得A12，故而A10A19D25解法二A10A55D252已知AN是等差数列，A510，A1231，求A20，AN解法一设AN的首项为A1，公差为D，则32104D因为A20A119D55，所以ANA1N1D3N5解法二因为A12A57D,所以D3所以得A20A128D55,ANA12N12D3N5注根据以上两个例题的解法二启发学生得出等差数列的变形公式ANAMNMD3等差数列2，5，8，107共有多少项解由1072N13得N36引申设等差数列AN的首项为A1，末项为AN，公差为D，则其项数,1N这是等差数列通项公式的又一变形公式4在1与7之间顺次插入三个数A、B、C使这五个数成等差数列，试求出这个数列解法一因为1,A,B,C,7成等差数列,所以B是数1与数7的等差中项所以A又是1与3的等差中项，所以21123A又因为C是3与7的等差中项，527C解法二设A11,A57,所以7151DD2则所求的数列为1，1，3，5，75在一次大型庆祝“申奥”成功的活动中，广场上正对着观礼台的场地上由近及远地竖立着“2008相聚北京”八块标语牌每块牌子的高为2M，距离观礼台最近的标语牌与观礼台的距离为20M若一个人从观礼台上距离地面8M的高处能完整地看清这八块标语牌问最后一块“京”字标语牌与观礼台的距离至少要多少米结果精确到1米答案最后一块“京”字标语牌与观礼台的距离至少要149米二、阅读材料等差数列的子数列问题从等差数列A1,A2,A3,，AN,中，选出一些项按原来的次序组成一个新的数列BN，则称数列BN是数列AN的子数列例如，数列2，4，6，8，2N，是数列1，2，3，N，的一个子数列子数列的概念虽然教材中没有讲，但我们仍可以遇到很多等差数列的子数列问题，在解此类问题时，需注意两点其一，这些项是按什么“标准”选取出来的，不同的标准，选出来的子数列具有不同的性质，因此要弄清这种“标准”的数学含义，并把它用数学式子表示出来其二，无论按何标准选取出来的子数列的项，都是原数列的一项，在这意义之下，我们可以得出下面的结论若原数列AN的通项公式为ANFN，子数列BM的通项公式为BMGM，则必存在N,MN使得FNGM成立【例1】已知一个无穷等差数列AN的首项为A1,公差为D，取出这数列中所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是否是等差数列如果是，它的首项与公差各是多少如果不是，请说明理由分析新数列BN是由原数列AN中的项数为7的倍数的各项组成的，因此，有BNA7N，再由等差数列的定义判定差BN1BN是否为与N无关的常数解设新数列为BN，依题意可知BNA7NA17N1D7DNA1D所以BN1BN7DN1A1D7DNA1D7D为常数所以新数列是等差数列，其公差为7D，首项为A16D点评本题的关键在于抓住选项的“标准”，即“项数为7的倍数”，于是得到了BNA7N，进而得出新的数列BN的通项公式【例2】等差数列1002，1005，1008，1998中能被4整除的项共有多少项并写出这些项按原来的次序组成的新数列的通项公式分析原数列的通项公式为AN10023N1，设数列中各数均为3的倍数，故数列中能被4整除的项必为12的倍数解设原等差数列为AN，则AN10023N13N999，此数列中各项均为3的倍数又依题意新数列是由原数列中能被4整除的各项组成的，所以新数列中的各项为12的倍数设12K是新数列中的项，则100212K1998，解得835K1665，故K取84，85，86，166，即原数列中能被4整除的项共有83项这些项组成的新数列的通项公式为BN12N996NN,1N83点评本例还可以运用等差数列的性质，先判断出新数列是以12为公差的等差数列，再找出其首项为1008，即可写出它的通项公式222等差数列通项公式从容说课本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数N的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题教具准备多媒体及课件三维目标一、知识与技能1明确等差中项的概念2进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质3能用图象与通项公式的关系解决某些问题二、过程与方法1通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想2发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习3理论联系实际，激发学生的学习积极性三、情感态度与价值观1通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点2通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣教学过程导入新课师同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列生我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即ANAN1DN2，NN，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差通常用字母“D”表示师对，我再找同学说一说等差数列AN的通项公式的内容是什么生1等差数列AN的通项公式应是ANA1N1D生2等差数列AN还有两种通项公式ANAMNMD或ANPNQP、Q是常数师好刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差D的公式DANAN1；你能理解与记忆它们吗1DN生3公式与记忆规律是项的值的差比上项数之间的差下标1M之差合作探究探究内容如果我们在数A与数B中间插入一个数A，使三个数A，A，B成等差数列，那么数A应满足什么样的条件呢师本题在这里要求的是什么生当然是要用A，B来表示数A师对，但你能根据什么知识求如何求谁能回答生由定义可得AABA，即2BA反之，若，则AABA,2由此可以得A,A,B成等差数列推进新课我们来给出等差中项的概念若A，A，B成等差数列，那么A叫做A与B的等差中项根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项有穷数列的末项除外都是它的前一项与后一项的等差中项如数列1，3，5，7，9，11，13中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项方法引导等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住A，A，B成等差数列2AAB，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由A，A，B间的关系证得A，A，B成等差数列合作探究师在等差数列AN中，D为公差，若M,N,P,QN且MNPQ，那么这些项与项之间有何种等量关系呢生我得到了一种关系AMANAPAQ师能把你的发现过程说一下吗生受等差中项的启发，我发现A2A4A1A5,A4A6A3A7从而可得在一等差数列中，若MNPQ，则AMANAPAQ师你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢生我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可设首项为A1，则AMANA1M1DA1N1D2A1MN2D,APAQA1P1DA1Q1D2A1PQ2D因为我们有MNPQ,所以上面两式的右边相等，所以AMANAPAQ师好极了由此我们的一个重要结论得到了证明在等差数列AN的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和另外，在等差数列中，若MNPQ,则上面两式的右边相等，所以AMANAPAQ同样地，我们还有若MN2P,则AMAN2AP这也是等差中项的内容师注意由AMANAPAQ推不出MNPQ，同学们可举例说明吗生我举常数列就可以说明了师举得好这说明在等差数列中，AMANAPAQ是MNPQ成立的必要不充分条件例题剖析【例1】在等差数列AN中，若A1A69，A47，求A3，A9师在等差数列中通常如何求一个数列的某项生1在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项生2而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了生3本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手师好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解生4因为AN是等差数列，所以A1A6A4A39A39A4972,所以可得DA4A3725又因为A9A494D75532，所以我们求出了A32，A932【例2】课本P44的例2某市出租车的计价标准为12元/KM，起步价为10元，即最初的4千米不含4千米计费10元如果某人乘坐该市的出租车去往14KM处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费师本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题生这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决师为什么生根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4KM时，每增加1KM，乘客需要支付12元所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费师这个等差数列的首项和公差分别是多少生分别是112，12师好，大家计算一下本题的结果是多少生需要支付车费232元教师按课本例题的解答示范格式评述本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题课堂练习1在等差数列AN中，1若A5A,A10B,求A15解由等差数列AN知2A10A5A15,即2BAA15,所以A152BA2若A3A8M,求A5A6解等差数列AN中，A5A6A3A8M3若A56,A815,求A14解由等差数列AN得A8A585D,即1563D,所以D3从而A14A5145D693334已知A1A2A530,A6A7A1080，求A11A12A15的值解等差数列AN中，因为66111,77122,所以2A6A1A11,2A7A2A12,从而A11A12A15A1A2A52A6A7A10,因此有A11A12A152A6A7A10A1A2A5280301302让学生完成课本P45练习5教师对学生的完成情况作出小结与评价方法引导此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识有何体会生通过今天的学习,明确等差中项的概念进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力布置作业课本第45页习题22A组第4、5题预习内容课本P48P52预习提纲等差数列的前N项和公式；等差数列前N项和的简单应用板书设计等差数列通项公式等差中项例题在等差数列AN中,若M、N、P、QN且MNPQ,则AMANAPAQ备课资料一、备用例题【例1】梯子最高一级宽33CM，最低一级宽为110CM，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度解设AN表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知A133，A12110，N12，所以A12A1121D，即得1103311D，解之，得D7因此A233740,A340747,A454,A561,A668,A775,A882,A989,A1096,A11103答梯子中间各级的宽度从上到下依次是40CM，47CM，54CM，61CM，68CM，75CM，82CM，89CM，96CM，103CM【例2】已知成等差数列，求证，也成等差数列CB1,CBCB证明因为，成等差数列，所以，化简得2ACBAC，所以有AA12CCBCACB22A222因而也成等差数列,CB,B【例3】设数列AN、BN都是等差数列，且A135，B175，A2B2100，求数列ANBN的第37项的值分析由数列AN、BN都是等差数列，可得ANBN是等差数列，故可求出数列ANBN的公差和通项解设数列AN