三角函数的图象与性质(教案)

14三角函数的图象和性质教学目的（一）1理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法2理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法3理解并掌握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法（二）1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间3会求简单函数的奇偶性（三）1理解并掌握作正切函数和余切函数图像的方法2理解并掌握用正切函数和余切函数的图像解最简三角不等式的方法3掌握正切函数的性质和性质的简单应用4会解决一些实际问题教学重点1用单位圆中的正弦线作正弦、正切函数的图象2正、余弦和正切函数的性质教学难点1用单位圆中的余弦线作余弦、正切函数的图象2正、余弦和正切函数性质的理解与应用教学过程一、复习引入1弧度定义长度等于半径长的弧所对的圆心角称为弧度的角12正、余弦函数定义设是一个任意角,在的终边上任取异于原点的一点,与原点的距离YXPR022YXX则比值叫做的正弦记作RYSIN比值叫做的余弦记作RCO比值叫做的正切记作XYXYTA3三角函数线根据正弦,余弦,正切的定义,则有,MPSINOCOSATTANRYX,P这三条与单位圆有关的有向线段分别叫做角的正弦线,余弦线,正ATOMP,切线当角的终边落在轴上时,与重合,与重合,此时正弦线,正切线分别变X成一个点当角的终边在轴上时,与重合,余弦线变成一个点,过的切线YA平行于轴,不能与角的终边相交,所以正切线不存在,此时角的正切值不存在Y二、讲解新课一正弦函数、余弦函数的图象1用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象几何法为了作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识正弦函数的图象XYSIN第一步,在直角坐标系的轴上任取一点,以为圆心作单位圆,从这个圆与轴1OX的交点起把圆分成这里等份把轴上从到这一段分成A2NX02这里等份预备取自变量值弧度制下角与实数的对应12第二步,在单位圆中画出对应于角,的正弦线正弦线等价于“列063表”把角的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与轴上相应的点XX重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点等价于“描点”第三步,连线用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数,的图象YSIN2,0X根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着轴向右和向左连续地平行X移动,每次移动的距离为,就得到,的图象2XYSINR把角的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与轴上相应的点重合,则XRX正弦线的终点的轨迹就是正弦函数的图象I余弦函数的图象XYCOS用几何法作余弦函数的图象,可以用“反射法”将角的余弦线“竖立”把坐标轴X向下平移,过作与轴的正半轴成角的直线,又过余弦线的终点作轴的1O4AO1X垂线,它与前面所作的直线交于,那么与长度相等且方向同时为正,我们AO1就把余弦线“竖立”起来成为,用同样的方法,将其它的余弦线也都“竖立”1起来,再将它们平移,使起点与轴上相应的点重合,则终点就是余弦函数图象上的XX点也可以用“旋转法”把角的余弦线“竖立”把角的余弦线按逆时针方向XMO1旋转到位置,则与长度相等,方向相同21MO1MO根据诱导公式,还可以把正弦函数的图象向左平移2SINCOXXYSIN单位即得余弦函数的图象2YYCOSXYSINX2345623456654326543211YX11OXY正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲XYSINXYCOS线2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图描点法正弦函数,的图象中,SI20五个关键点是0,21,31余弦函数,的图像中,XYCO五个关键点是,02只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握二正弦函数、余弦函数的性质1定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集或R,2值域1值域因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,所以,1|COS|,SIN|X即1也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是1,2最值正弦函数RXY,SIN当且仅当时,取得最大值ZK,2当且仅当时,取得最小值ZKX,21余弦函数RY,COS当且仅当时,取得最大值当且仅当时,取得最小值KX3周期性由知,COS2COS,IN2SINZKXK正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的定义对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值XFTX时,都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做FTFT这个函数的周期由此可知,都是这两个函数的周期0,2,4,2KZ对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最XF小正数就叫做的最小正周期根据上述定义,可知正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是0,2KZ它的周期,最小正周期是24奇偶性由XXCOSS,INSI可知为奇函数,其图象关于原点对称YRO为偶函数,其图象关于轴对称COY5对称性正弦函数的对称中心是,SINX,0KZ对称轴是直线2KZ余弦函数的对称中心是,COSYXR,2KK对称轴是直线K正余弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为X图象与轴中轴线的交点X6单调性从的图象上可看出2,SINY当时,曲线逐渐上升,的值由增大到XXSIN1当时,曲线逐渐下降,的值由减小到结合上述周期性可知正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,2,2ZKK其值从增大到1正弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,2,ZKK其值从增加到1余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到和的图象和性质表中RXY,SINRXY,COSKZ函数IXYCOS图象YSINX11OYXYCOSX11OYX定义域,值域最值当,2KX1MAXY当,IN当,KX21MAXY当,IN奇偶性奇函数偶函数对称中心,0KZ,02KKZ对称轴2XX最小正周期单调性递增,K递减22递增2,K递减三正切函数的图象和性质1正切函数的图像XYTAN在区间内作出函数图像,根据2,XYTAN正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函数,且RXYTAN的图像,称“正切曲线”ZKX22正切函数和余切函数的性质1定义域ZKX22值域R3周期ZKXRXX,2,TANCOSICOSINTA且的周期为最小正周期ZKY,2,且T4奇偶性正切函数是奇函数由诱导公式,我们可以证明正切函数是奇函数,正切函数的图XTANTA像关于原点对成5对称性对称中心是,特别提醒正余切型函数的对称中心,02KZ有两类一类是图象与轴的交点,另一类是渐近线与轴的交点,但无对称轴,XX这是与正弦、余弦函数的不同之处6单调性由图像可知,正切函数再区间内都是单调增ZKK,2,函数113/23/2A/23/8/4/8/23/8/4/8O1O1X三、讲解范例一图象问题例1画出与两函数的图象,观察两曲线的平移关系COSYXRSINYXR解略例2作下列函数的简图1,23）XYSIN12,0|SIN|XY|SINXY解略例3用五点法作函数的简图,并求其与直线交点20,3COS2个数解略例4分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的的集合X1221SINX2501COSX解略例5求下列函数的定义域1231SIN2XYXXYCOS62XYCOSIN解略补充例题1函数图象的对称轴是_对称中心是_XFSIN2函数图象的对称轴是_对称中心是_33函数图象的对称轴是_对称中心是_1SI2F4函数与的图象关于_对称填一种情况即可COXYXYCOS5方程的根的个数为10INABCD789106用五点法作函数的图象时,首先应描出的五个点横坐标可是XY2SINAB,23,4CD4032,60二定义域、值域问题例1求下列函数的定义域1XYSIN12CO233ILG求下列函数的值域143,1SINI2XXY22633COSXY解略例2求使下列函数取得最大值的自变量的集合,并说出最大值是什么XR若呢,32X121COSYY2SIN解略例3已知函数的定义域为,值域为BXAXF32SIN205,1求的值BA,解略例4求函数的最大值2,0385COSSIN2XAXY解略例51已知,求的最大值和最小值CSINI,Y2求的XXXXXF43234COSSINOIS2最大值和最小值注,4ICOSINI1CSI解略三周期性、奇偶性问题例1判断下列函数的奇偶性1XXFCOSIN122S44XX22SINCOS3ILGIF4X解略例21已知,且,求,13SIN为常数BAXBAF75F5F2若为奇函数,且当时,X0XXF2COSIN求当时,的解析式0XF3若函数是偶函数,求的值SINX解略例3求下列三角函数的周期,并探究其结12XYCOSXY2SIN34621IN35解略点评一般地,函数及函数其中、RXAY,SIRXY,COSA、为常数,且,的周期02T例41求函数的周期XXYCOS32SIN4SI222求函数的周期63解略例5求下列函数的最小正周期123|SIN|XY|1COS2|XY|COS|SIN|XY解略例61已知是周期为的周期函数,且,求XF52071F1F2已知奇函数是上的函数,且,求R3X8F解略例7是定义在上的偶函数,其图象关于对称,对任意的,XF1X210,1X都有2121XF1设,求F4,2证明是周期函数X解略例81若函数的图象关于直线与都对称,XFYRAXBA求证是周期函数,且是它的一个周期2B2若函数满足常数,FFFFR求证是周期函数,且是它的一个周期A6解略四单调性问题例1求下列函数的单调区间XR123YCOS32COSXY62COSXY4563ININ41IN解略例2求下列的单调递增区间12SIN21XY12LOGCSYX解略例3不通过求值,比较下列各式的大小1,2,18SIN0SI523COS417COS3,4,946CO1INI解略例4求函数,的单调增区间321SINXY2,解略例5已知XXFSIN1LOG21求的定义域和值域2判断它的奇偶性、周期性3判断的单调性XF解略1,2奇函数,周期函数,2|ZKRXF2T2增区间减区间KZKK,3,2五正切函数的图象和性质例1讨论函数的性质定义域,值域,周期性,奇偶性,单调性4TANXY解略例21用描点法作函数的图像2,3,42TANXY2作出函数的图像,并根据图像求其单调区间|X3作出函数且的简图,0TA12,解略例3不通过求值,比较下列各组数的大小1,15TAN38T2,417A3,T2T4N解略例4解不等式3TANX解略例5求下列函数的定义域1231TANCOXYTAN1LGXY2TANXY解略例6求函数的值域,2TAT2ZKXRXY且解略思考如果,结果又如何43X例7证明如果,那么必有COTTAN2且23证明