毕业论文_用微积分理论证明不等式的方法

用微积分理论证明不等式的方法摘要本文总结了利用微积分理论证明不等式的10种方法导数定义法、单调性法、极值与最大最小值法、拉格朗日中值定理法、柯西中值定理法、函数的凹凸性法、泰勒公式法、幂级数展开式法、定积分理论法、参数法关键词不等式、导数、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式英文摘要THEWAYSTOPROVEINEQUALITIESWITHCALCULUSTHEORYABSTRACTINTHISPAPER,ISUMUPTENMETHODSTOPROVEINEQUALITIESWITHCALCULUSTHEORYTHEMETHODWITHDERIVATIVESDEFINITION,THEMETHODWITHMONOTORICITY,THEMETHODWITHEXTREMUM,THEMETHODWITHLAGRANGEMEANVALUETHEOREM,THEMETHODWITHFUNCTIONSCONCAVITYORCONVEXITY,THEMETHODWITHTAYLORFORMULA,THEMETHODWITHDEVELOPMENTOFPOWERSERIES,THEMETHODWITHDEFINITEINTEGRALTHEORYANDTHEMETHODWITHPARAMETERKEYWORDSINEQUALITY,DERIVATIVE,LAGRANGEMEANVALUETHEOREM,CAUCHYMEANVALUETHEOREM,TAYLORFORMULA用微积分理论证明不等式的方法高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种函数不等式含变量和数值不等式不含变量对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式一、用导数定义证明不等式法1证明方法根据导数定义导数定义设函数在点的某个邻域内有定义，若极限XFY0存在，则称函数在可导，称这极限为函数在点XXFLIMLI000F0XXFY的导数，记作FY2证明方法1找出，使得恰为结论中不等式的一边；2利用导数的定义并结合已0X0XFY知条件去研究3例例1设函数，其中都为实数，NXAXAXFSI2SINI1NA,21为正整数，已知对于一切实数，有，试证NF1分析问题中的条件与结论不属于同一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能帮助解决此题，可以看出于是问题可以转化为证明021FNAA10F证明因则XXXFNCOSCOSS21利用导数的定义得NAAF21由于XFXFXFFXLIM00LI000XFSIN所以即1SIN0FX12NAA4适用范围用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的二用可导函数的单调性证明不等式法1证明方法根据可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理定理一若函数在可导，则在内递增（递减）的充要条件是XF,BAXF,BA,0FXF定理二设函数在连续，在内可导，如果在内（或XF,0XF），那么在上严格单调增加（或严格单调减少）XFBA定理三设函数在内可导，若（或），则在XF,0XFXFXF内严格递增（或严格递减）,BA上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性2证明方法（1）构造辅助函数，取定闭区间；XF,BA如何构造辅助函数利用不等式两边之差构造辅助函数（见例2）；利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数（见例3）；若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（若取对数）将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数（见例4）2研究在上的单调性，从而证明不等式XF,BA3例例2证明不等式01LN122XXX分析利用差式构造辅助函数，则将,01LN2XF要证明的结论转化为要证，而，因而只要证明0,XFF0,XFF证明令，易知在上连,01LN122XXXF,0续，且有，由定理二可知在上严格单,0,L2XF调增加，所以由单调性定义可知，即XFXF因此1LN122XX0X例3求证BABA11分析不等式两边有相同的“形式”试构造辅助函数A0,1XF利用定理二与在在上的单调性证明不等式XF,0证明设辅助函数易知在上连续，且有0,1XXF,0,012XF则由定理二可知在上严格单调增加由，有0XF,0BA0，得到BAFF，所以原不等式成立BABA111例4证明当时，0X21XE分析此不等式为幂指数函数不等式，若直接利用差式构造辅助函数将很难求其导数，更很难判断其在上的单调性，可对不等式两边分别取对数得到,，化简得，在此基础上可利用差式构造21LN1XX21LNXX辅助函数，因，因而只要证明0LN2XF0F即可0,XF证明分别对不等式得两边取对数，有，化简有21LN1XX设辅助函数，21LN2XX0,LN2F，易知在上连续，也在上连续，因FF,0F，根据定理二，得在上严格单调增加，所以0,1XXXF,0又由在上连续，且，根据定理二可知FFXF,XF在上严格单调增加，所以，即X,0,F，因此，即01LN2X1LN2XX21XE4适用范围利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处的值为0，然后通XFXF过在开区间内的符号来判断在闭区间上的单调性XFXF三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1证明方法根据极值的充分条件定理定理四（极值的第一充分条件）设在连续，在内可导，XF0,0X（I）若当时，,当时，,则,00XX,0F在取得极大值F0II若当时，,当时，,则,00XX0XF,0XXF在取得极小值XF0定理五（极值的第二充分条件）设在的某领域内一阶可导，在XF,0X处二阶可导，且，,I若，则在取得0X0XF0FXF0极大值；II若，则在取得极小值0FX极值和最值是两个不同的概念极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系2证明方法（1）构造辅助函数，并取定区间XF如何构造辅助函数当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数（见例5）；当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数（见例6）；当不等式形如（或）（为常数）时，可设为辅助函数（见AXGAXGXG例7）2求出在所设区间上的极值与最大、最小值XF极值与最大、最小值的求法极值求法（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条件判定可疑点是否为极值点最大、最小值的求法（1）闭区间上连续函数的最大、最小值的求法先求出,BA可疑点，再将可疑点处的函数值与端点处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值（2）开区间内可导函数的最大值、最小值的求法若在内可导，且,BAXF,BA有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点3例例5证明当时有0X45X分析利用差式构造辅助函数，这与前面利用函数单调性定0,XF义证明不等式中所构造辅助函数的方法相同，但由于在上不是单调函数，（因F,对任意，且，不能判断的0,21X5,212512121XXXFFXXF符号）所以不能用可导函数的单调性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之函数的单调性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之证明构造辅助函数，则有0,45XXF令，解得，其,115224XF0XF1X中只有在区间内，由，有在点连1,045LIMLI1XFXF续因当时，则在上为减函数；当时，XF,01X0X则在上为增函数；由定理四可知，在处取得极小值，即为F,1XFF区间上的最小值，所以当时，有故,00X01FX即,045XX45例6设，则,BABBA1分析此不等式两边含有相同的“形式”，可将不等式变形为BA，可构造辅助函数BBA1101XXFB证明将不等式变形为，构造辅助函数，BBA1101XFB则有，令，则有当时，BXXF210XFXX0，所以单调递减；当时，则单调递增因此，由定0FFBFF理四可知在时取得极小值，即最小值所以当，有XFB,0A，即BAF1BF1,1BAB例7证明若，则对于中的任意有1P,0X121PPX分析显然设辅助函数，若设，由,1XFPPG，故很难用函数单调性的定义去证2001FGFFP明考虑到，不难看到不等式，即为与其端点F1PPXXF处的函数值的大小比较问题，因而可想到用最值方法试之1,X证明设辅助函数为，则时，有0,1XXFPP0X令得,111PXFF,解之得稳定点,因函数在闭区间0,1上连续,因而在0,1上11PPXX21XXF有最大值和最小值，已知有1212,10PPFF,12,MAXAX101,0PFMIN1,0XX因此对一切时，有所以原不等式得,21,I10PPX1,0PX,121XFP证4适用范围（1）所设函数在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函XF数时；（2）只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式四、用拉格朗日中值定理证明不等式法1证明方法根据拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理若函数满足下列条件（I）在闭区间上连续；XFXF,BA（）在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得XF,BA,BAF拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系2证明方法辅助函数，并确定施用拉格朗日中值定理的区间；XFXF,BA对在上施用拉格朗日中值定理；XF,BA利用与的关系，对拉格朗日公式进行加强不等式3例例8证明当XX1LN,0分析所证不等式中的函数的导数为，即所证不等式中含有函数及其导1数，因而可用拉格朗日中值定理试之由于，因此可构造函数的改变量0L，则相应自变量的改变量为，原不等式等价于1LNLXX，由不等式中间部分的形式可知，可利用拉格朗日中值定理去证明证明构造函数，因在上连续，在上可导，TFLNTF01,X1,X在TF上满足拉格朗日条件，于是存在，使01,X,X，因1FF，所以1,LNLN1XXFXF1LX即0,LN1X4适用范围当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明五、用柯西中值定理证明不等式法1证明方法根据柯西中值定理柯西中值定理若函数与都在闭区间上连续；与都在开XFG,BAXFG区间内,BA可导；与在内不同时为0；则在内至少存在一XFG,BAG,BA点，使得AGBFGF柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系2证明方法构造两个辅助函数和，并确定它们施用柯西中值定理的区间；XFG,BA对与在上施用柯西中值定理；XFG,BA利用与的关系，对柯西公式进行加强不等式,3例例9设，证明20,YXEAAYXAXXYLNCOS分析原不等式可等价于可看出不等式左边可看成是函数AXXLNCOSTAF与在区间上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之TTGCOS,YX证明原不等式等价于，可构造函数，,AXAXLNCOSTAFTGCOS因,TFG均在上连续，在上可导，且，由于，则YX,YX0LNATFT2YX，所以在上满足柯西中值条YGTTCOSCOS0SIN,TFG,件，于是存在，使得，又因,YXSINLCOSAXYXFF,EA有，得到,因,20YX1LN,SI1,AAXSINLL,SINLLAAXX此,即AXYAXLNCOSAYXXXYLNCOS4适用范围当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明六、上述二、三、四、五种方法小结前面二、三、四、五种方法中，均可利用差式构造函数，但有时应用导数研究函数单调性证明不等式，有时应用导数研究函数极值证明不等式，而有时应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式三者有何区别若所证不等式含有函数值及其导数，宜用中值定理；若所证不等式，其两端函数均可导，且或,BAXGF,XGFAGFAF有一为0时，宜用函数的单调性FBF若所证不等式的两端函数有不可导时，不能用函数单调性证明，宜用中值定理若所证不等式，两端函数均可导，但,BAXGF,XGF不是单调的函数时，宜用函数的极值来证明XFXF七、用函数的凹凸性证明不等式1证明方法根据凹凸函数定义及其定理和詹森不等式定义设为定义在区间I上的函数，若对于I上任意两点和实数，XF21,X1,0总有,则称为I上的凸函数，若总有1122XFXFXFXF,则称为I上的凹函数定理六设为I上的二阶可导函数，则为I上的凸函数（或凹函数）的充要XFXF条件是在I上0XFXF或命题（詹森不等式）若在上为凸函数，对任意的XF,BA且,则该命题可用数学归2,10,NIBAXII1I1NIIF1INIF纳法证明函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系2证明方法定义证明法将不等式写成定义的形式，构造辅助函数，并讨论在所给区XFXF间上的凹凸性詹森不等式法对一些函数值的不等式，构造凸函数，应用詹森不等式能快速证此类不等式3例例10证明当时,0YX2LNLNLYXYX分析不等式等价于不等式两边含有相同“形式”2LN,TLN可设辅助函数因此原不等式可化为要证只要0LNTTF22YXFFX证明TF在上为凸函数，即证在内即可,0XF,Y0XF证明（定义证明法）设有则LNTT01,LNTTFT在TF,为凸函数对任意，有取要使0,YXX22YXFFX与的系数相同，当且仅当时成立，即因此XFG112LNLNLYXY例11若A,B,C是的三内角，则ABC32SINISINCBA分析不等式左边为的函数的和，考虑构造凸函数XSINXFI证明（詹森不等式）令，则则是XF0,SIN0SNF上的凸函数,取，由，得到0CBA,3211I，由詹森不等式结论得3121,因是的三内角，则SINISINSINBACBABA,C，可得即23SINISINI31CBA32SINISINBA4适用范围当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式八、用泰勒公式证明不等式法1证明方法根据泰勒定理泰勒定理若函数满足如下条件XF在闭区间上函数存在直到阶连续导数在开区间内存在的,BAN,BAXF阶导数，则对任何，至少存在一点，使得1N,X,BA112NNNAXFXFXAFAFXF泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系2证明方法根据已知条件，围绕证明目标，选取恰当的点将函数在这些点展成泰勒展式；根据已知条件，向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理，直到可以结合已知条件证出不等式为止（注意具体的题目应用此方法时要灵活运用，有些题目在进行前，要先对已知条件或证明目标进行适当的转化，以更有利于证明的进行，使不会过于繁琐）3例例12设函数在上二阶可导，,且，试证明XF1,010F2XF1XF分析根据题设条件，在上二阶可导，且函数值，XF,10F，可写出函数在处的一阶泰勒公式，并取考察点0或1，利用相应的泰勒2XF公式，对作估计F证明取10X，由泰勒公式分别有,0,2121XXFFF由于，则将以上两式12XX10F做差，整理得所以,12221XFFF21221XFXFXF因此原不等012,121122XXXX式成立4适用范围当遇到含有函数或高阶导数，或函数增量与高阶导数，或要证的是导数（一阶或二阶）不等式时，可利用泰勒公式来证明有关的不等式九、用幂级数展开式证明不等式法证明方法根据几个重要的初等函数的幂级数展开式几个重要的初等函数的幂级数展开式如下；,121XNXEX；,123SIN121XN；,421CO2XXNN；1,0,1XXN1,312LN1XNX初等函数是中学数学教学重点，某些初等函数可展开成幂级数，在展开式中添加或删去某些幂级数时，可很快证明出某些含幂级数的不等式2证明方法先把初等函数展开成幂级数，然后在展开式中添加或删去某些幂级数即可快速证明此不等式3例例13当，证明1,0XXE2证明因分别可写成幂级数展开式，有XE21NX1,0,22XN,XXENX则左边的一般项为，右边的一般项为，因此当，所以N22N2,3N1,0,12XE4适用范围当不等式中含有上面几个重要初等函数之一时，可用幂级数展开式法来证明此不等式十、用定积分理论来证明不等式法1证明方法根据定积分的性质和变上限辅助函数理论定积分性质之一设与为定义在上的两格可积函数，若XFG,BA,BAXGF则DABA微积分学基本定理若函数在上连续，则由变动上限积分XF,BA，,BAXDTFXA定义的函数在上可导，而且也就是说，函数是被积函数在XFXF上的一个原函数,B微积分学基本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系2证明方法利用定积分的性质证明不等式法对可积函数，先证出，