有关圆锥曲线的经典结论

1一、椭圆1PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点2以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离3以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切4设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF5过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF二、双曲线1PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点2以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交3以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切（内切P在右支；外切P在左支）4设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF5过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF椭圆与双曲线的对偶性质（会推导的经典结论）椭圆1椭圆（ABO）的两个顶点为,，与Y轴平行的直线交21XY10AA2椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2XYB2过椭圆A0,B0上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭21XYAB0,AXY圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）20BCKA3若P为椭圆（AB0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,21XY2,，则12PF21FTANT2CO1设椭圆（AB0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆2XY上任意一点，在PF1F2中，记,，则有12FP12F12PSINCEA2若椭圆（AB0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当21XY0E时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离D与PF2的比例中项3P为椭圆（AB0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，21XY则,当且仅当三点共线时，等号成211|2|AAFPF2,P立4椭圆与直线有公共点的充要条件是2200XYAB0AXBYC2220ABX5已知椭圆（AB0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且21Y（1）（2）|OP|2|OQ|2的最大值为OPQ221|AB（3）的最小值是24ABOPS26过椭圆（AB0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦21XYMN的垂直平分线交X轴于P，则|EMN37已知椭圆（AB0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平21XY分线与X轴相交于点,则0PX220BABX8设P点是椭圆（AB0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦21YA点记，则1212F212|COSPF12TANPFSB9设A、B是椭圆（AB0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，2XYAB,，C、E分别是椭圆的半焦距离心率，则有PAB1232|COS|A2TAN12COTPABABS10已知椭圆（AB0）的右准线与X轴相交于点，过椭圆右焦点21XYLE的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线ACFCCX经过线段EF的中点11过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直12过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直13椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数E离心率14（注在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）15椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比E16椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项17双曲线（A0,B0）的两个顶点为,，与Y轴平21XYB10AA24行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是21XYAB18若P为双曲线（A0,B0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,21XYBF2是焦点,，则（或12PF21PFTANT2CCO）TANTCCO19设双曲线（A0,B0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为21XYB双曲线上任意一点，在PF1F2中，记,12FP,，则有12PF12PSINCEA20若双曲线（A0,B0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，2XYB则当1E时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离D与PF2的比例中项21P为双曲线（A0,B0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内21XYB一定点，则,当且仅当三点共线且和21|AFPF2,P在Y轴同侧时，等号成立2,22双曲线（A0,B0）与直线有公共点的充要条件21XB0AXBYC是22ABC23已知双曲线（BA0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，21XY且OPQ524（1）（2）|OP|2|OQ|2的最小值为（3）221|OPQAB24AB的最小值是PQS225过双曲线（A0,B0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N21XYB两点，弦MN的垂直平分线交X轴于P，则|2EMN26已知双曲线（A0,B0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直21XYB平分线与X轴相交于点,则或0PX20AB20ABX27设P点是双曲线（A0,B0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为21YB其焦点记，则1212F212|COSBPF12COTPFSB28设A、B是双曲线（A0,B0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，2XYB,，C、E分别是双曲线的半焦距离心率，则PAB有12|COS|A29232TN1E2COTPABABS30已知双曲线（A0,B0）的右准线与X轴相交于点，过双曲线2XYBLE右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，FCLBCX则直线AC经过线段EF的中点31过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直632过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直33双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数E离心率34注在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点35双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比E36双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项圆锥曲线中的一些定点、定值、定比等结论结论1设椭圆和双曲线共焦点，2110XYAB2210,XYABB1,0FC，P是两曲线的一个交点，经过点P的椭圆和双曲线的斜率分别为，则2,0FCK21K结论2设抛物线和椭圆共焦点，P是两20YPX210XYAB,0FC曲线的一个交点，椭圆的离心率是，经过点P的两曲线切线的斜率为和，则E1K2（试选此题证明）21KE结论3设抛物线和双曲线共焦点，P20YPX210,XYAB,0FC是两曲线的一个交点，双曲线的离心率是，经过点P的两曲线切线的斜率为和，则E1K221KE结论4抛物线的两条弦平行的充要条件是这两条弦的中点连线平行（或重合）于该抛物线对称轴（试证明）结论5椭圆与双曲线的两条平行弦的中点连线经过椭圆的中心（试证明）结论6过椭圆的右顶点MA,0作直线MA与直线MB交该椭圆于210XYABA，B两点，若MAMB，则直线必过定点（试证明）2,0B结论7过椭圆上的任意定点MX0,Y0作直线MA与直线MB交椭圆于210XYABA，B两点，若MAMB，则直线必过定点2200,ABA7结论8过椭圆上的任意定点MX0,Y0作直线MA与直线MB交椭圆于210XYABA，B两点，若KMAKMBM，则直线必过定点22200,ABAY结论9直线AB与抛物线相交于点A和B，若OAOB，则此直线必过定20YPX点2,0P结论10直线与抛物线交于A，B两点，M是其顶点，当KMAKMBM20YPX时，直线恒过定点（试用三种方法证明）0M,M结论11过抛物线的任意定点MX0,Y0作直线AM与MB交双曲线于A，B20YPX两点，当KMAKMBM时，直线AB恒过定点02,PM结论12已知抛物线过点FM,0的直线交抛物线于点M、N，交Y20YPX轴于点P，若，则（试用三种方法证明）,FN1结论13已知抛物线Y22PXP0,过点M0,MM0的直线与抛物线相交于不同的两点A、B,与X轴相交于CC,0,求证|MC|2|MA|MB|结论14已知椭圆，过点FM,0的直线交椭圆于点M、N，交Y轴于210XAB点P，若,MF，则特别地，当F为焦点时，（试证明）N2MA2AB结论15已知双曲线，过点FM,0的直线交椭圆于点M、N，交Y210,XYB轴于点P，若，则特别地，当F为焦点时，,FPN2A2AB结论16A、B是椭圆上的两点，且OAOB，则210XYAB试证明22211|OAB结论17A、B是双曲线上的两点，且OAOB，则210,XYAB22211|AB8结论18设是椭圆上的N个点,且12,NP210XYAB,则试用极坐1231NOOP222111NPOPAB标方法证明结论19若M、N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上不同于20XYABM、N的任意一点，且存在，则试用点差法证明和函数与方程思想,PMNK2MNKA证明结论20若M、N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上210,XYBA不同于M、N的任意一点，且存在，则,PMNK2MNKA结论21直线AB与椭圆交于A、B两点，M是AB的中点，且直线210XYBAAB、OM的斜率存在，证明2OMABKA结论22直线AB与双曲线交于A、B两点，M是AB的中点，且直210,XYBA线AB、OM的斜率存在，证明2OMABKA结论23过双曲线上任意一点P作双曲线的渐近线的平行线，分别210,XYBA交渐近线于点M、N，则试证明24P结论24设双曲线的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动210,XYBA点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OPO为坐标原点分别交于Q和R两点若,则,ORPQO结论25设双曲线的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动210,XYAB点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OPO为坐标原点分别交于Q和R两点则试证明23条2RP结论26过双曲线上任意一点P作双曲线的渐近线的垂线，垂足分210,XYAB别为M、N，则224C结论27过双曲线上一点P作双曲线的切线交两条渐近线分别于210,XYABM、N，O为坐标原点，则2OMN9结论28过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原20YPX点，则2|AOBS38结论29过X轴上一点AM,0M0引动直线与抛物线相交于M、N两20YPX点，过点M、N分别作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程是XM试证明2,YPM结论30过X轴上一点引一条动直线与椭圆相交2,0AA210YAB于M、N两点，过点M、N分别作椭圆的切线，则两条切线的交点轨迹方程是XM22,BABAMYY结论31过X轴上一点引一条动直线与双曲线相交2,0A210,XYAB于M、N两点，过点M、N分别作双曲线的切线，则两条切线的交点轨迹方程是XM22,BAMBAYY结论32过直线XM上一点引抛物线的两条切线，,2PYM20YPX切点分别为M、N，则M、N的连线过定点M,0试证明结论33过直线XMAM0上一点引椭圆22,BABYY的两条切线，切点分别为M、N，则M、N的连线过定点210XYAB2,0AM结论34过直线XM上一点引双曲线22,BABAYYA的两条