《理论力学》精品课件第15章-虚位移原理

第15章虚位移原理虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。虚位移原理与达朗贝尔原理结合起来组成动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍方法，构成了分析力学的基础。本课程只介绍虚位移原理的工程应用，而不按分析力学的体系追求其完整性和严密性。151约束虚位移虚功一、约束及其分类1约束和约束方程（1）约束定义在第一章，我们将限制物体位移的周围物体称为该物体的约束。为研究上的方便，现将约束定义为限制质点或质点系运动的条件称为约束。（2）约束方程表示限制质点或质点系运动条件的数学方程称为约束方程。2几何约束和运动约束（1）几何约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。例如图151所示单摆，其中质点M可绕固定点O在平面OXY内摆动，摆长为L。图151这时摆杆对质点的限制条件是质点M必须在以O点为圆心、以L为半径的圆周上运动。若以X，Y表示质点的坐标，则其约束方程为。22YX又如质点M在图152所示固定曲面上运动，那么曲面方程就是质点M的约束方程，即0ZYXF，图152又例如，在图153所示曲柄连杆机构中，连杆AB所受约束有点A只能作以点O为圆心、以R为半径的圆周运动；点B与点A间的距离始终保持为杆长L；点B始终沿滑道作直线运动。这三个条件以约束方程表示为22RYXA2LYABB0图153上述例子中各约束都是限制物体的几何位置，因此都是几何约束。（2）运动约束在力学中，除了几何约束外，还有限制质点系运动情况的运动学条件，称为运动约束。例如，图154所示车轮沿直线轨道作纯滚动时，车轮除了受到限制其轮心A始终与地面保持距离为R的几何约束YAR外，还受到只滚不滑的运动学的限制，即每一瞬时有0VA上述约束就是运动约束，该方程即为约束方程。图154设XA和分别为点A的坐标和车轮的转角，有，。则上式AXV又可改写为0RXA3定常约束和非定常约束（1）非定常约束图155为一摆长L随时间变化的单摆，图中重物M由一根穿过固定圆环O的细绳系住。图155设摆长在开始时为L0，然后以不变的速度V拉动细绳的另一端，此时单摆的约束方程为202TLYX由上式可见，约束条件是随时间变化的，这类约束称为非定常约束。（2）定常约束不随时间变化的约束称为定常约束，在定常约束条件下的约束方程中不显含时间T，图151所示单摆的约束是定常约束。4其他约束（1）非完整约束和完整约束。如果约束方程中保含坐标对时间的导数（如运动约束），而且方程不可能积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。非完整约束方程总是微分方程的形式。反之，如果约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式，这类约束称为完整约束。例如，在上述车轮沿直线轨道作纯滚动的例子中，其运动约束方程虽是微分方程形式，但它可以积分为有限形式，所以仍是完整约0RXA束。完整约束方程的一般形式为01TZYXZYXFNJ，21NJ，式中N为质点系的质点数，S为完整约束的方程数。（2）双侧约束和单侧约束在前述单摆的例子中，摆杆是一刚性杆，它限制质点沿杆的拉伸方向位移，又限制质点沿杆的压缩方向的位移，这类约束称为双侧约束（或称为固执约束），双侧约束的约束方程是等式。若单摆是用绳子系住的，则绳子不能限制质点沿绳子缩短方向的位移，这类约束称为单侧约束（或称为非固执约束），单侧约束的约束方程是不等式。例如，单侧约束的单摆，其约束方程为22LYX这里只讨论定常的双侧几何约束，其约束方程的一般形式为01NJZZF，21NJ，式中N为质点系的质点数，S为约束的方程数。二、虚位移1虚位移的概念在静止平衡问题中，质点系中各个质点都不动。我们设想在约束允许的条件下，给某质点一个任意的、极微小的位移。例如在图152中，可设想质点M在固定曲面上沿某个方向有一极小的位移。在图153中，可设想曲柄在平衡位置上转过任一极小角，这时点AR沿圆弧切线方向有相应的位移，点B沿导轨方向有相应的位移。ARBR上述两例中的位移，都是约束允许的、可能实现的某种假想的极微小的位移。在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。虚位移用符号表示，它是变分符号，“变分”包含有无限小“变更”的意思。2虚位移与实际位移的区别必须注意，虚位移与实际位移（简称实位移）是不同的概念。实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移，它除了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及运动的初始条件有关；而虚位移仅与约束条件有关。因为虚位移是任意的无限小位移，所以在定常约束的条件下，实位移只是虚位移中的一个，而虚位移视约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。对于非定常约束，某个瞬时的虚位移是将时间固定后，约束所允许的虚位移，而实位移是不能固定时间的，所以这时实位移不一定是虚位移中的一个。对于无限小的实位移，我们一般用微分符号表示，例如，等。RDX三、虚功力在虚位移中作的功称为虚功。如图153中，按图示的虚位移，力F的虚功为，是负功；力偶M的虚功为，是正功。BRF力F在虚位移上作的虚功一般以表示，本课程中的虚功与DRFW实位移中的元功虽然采用同一符号，但它们之间是有本质区别的。因为虚位移只是假想的，不是真实发生的，因而虚功也是假想的，是虚的。图153中的机构处于静止平衡状态，显然任何力都没作实功，但力可以作虚功。四、理想约束如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。若以表示作用在某质点I上的约束力，表示该质点的INFIR虚位移，表示该约束反力在虚位移中所作的功，则理想约束可以用数学公IW式表示为0NNIIWRF在动能定理一章中已分析过光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆、不可伸长的柔索、固定端等约束为理想约束，现从虚位移原理的角度看，这些约束也为理想约束。理论力学（72学时）第72学时讲稿一、授课主题约束虚位移虚功二、基本问题1约束的定义是什么什么叫约束方程2什么称为几何约束、运动约束、定常约束和完整约束3什么叫虚位移4什么叫虚功如何用数学公式表示虚功5什么叫理想约束如何用数学公式表示理想约束三、基本概念和基本定律约束；约束方程；几何约束；运动约束；定常约束；完整约束；理想约束；虚位移；虚功四、基本定理和基本结论五、基本方法六、基本内容1约束及其分类2虚位移3虚功4理想约束七、思考题和课外作业思考题151，152习题151，155八、参考文献1哈尔滨工业大学理论力学教研室编理论力学（普通高等教育“十五”国家级规划教材），（）第六版北京高等教育出版社，20022洪嘉振，扬长俊编著理论力学（普通高等教育“十五”国家级规划教材）第二版北京高等教育出版社，20023范钦珊，刘燕，王琪编著理论力学（普通高等院校基础力学系列教材）北京清华大学出版社，20044清华大学理论力学教研组编理论力学上册，中册，下册第四版北京高等教育出版社，19945王铎主编理论力学解题指导及习题集上册，下册（高等院校教学参考书）北京高等教育出版社，19866南京工学院，西安交通大学主编理论力学上册，下册（高等学校试