离散数学答案3-6章陈志奎

第三章集合论P451解1集合可表示为,0|RBAX2集合可表示为1,1,1,6322XXX3集合可表示为|YX4集合可表示为2,0,SIN,CO|,5集合可表示为5|INX2解设戏剧、音乐、广告分配的时间分别为ZYX,1可表示为,530|,INZYXZ2可表示为,|,Z3可表示为,5|INYXZYXZ4可表示为,5,30|,ZP463给出集合、和的例子，使得，而。ABCABCA解,ABC41该命题为假命题2该命题为假命题3该命题为真命题证明任取，由于，所以必有。又，所以必有。AXBBXCX即对于任意的，都有，所以如果且，则。CXAA4该命题为假命题5该命题为假命题。5解可能。若，则且。1,2,BABA61,A解设,A则,A21,23解设,A则1,233,BA解设A则,BABAB4解设A则,5解设,A则,7解A,B1，2，3，B8证明充分性，,DCBAC,充分性得证。必要性DBCA,C,DCB必要性得证。9（1）解子集个数102（2）解元素的奇数的子集个数为102（3）解不会有102个元素的子集。10解把17化为二进制，是00010001，；1748,BA把31化为二进制，是00011111，35678,，编码为01000110，为267,A70，编码为10000001，为18129BP531解4,3210A6,42B,2解,KOBA,KCALBB,CAL3解8,721A7,6543,21B0,9630C64,3218,D1,0759,D2BA35,430,2741,82976310C464,3218,2DBAP534证明充分性由于CABCA所以，即C充分性得证。必要性由于A所以所以CABC必要性得证。5（1）ABC证明ABC上面是一种简单的方法，还可以利用文字叙述，任取X属于，。证明。ABC还有一种方法，就是利用第五章的特征函数证明，下面给出过程1ABCCABCABC1CABCBAB所以，CAB从而可得，C。（2）证明ABCAB（3）ABCBC证明ABCACAB因此，CABC6解,71证明证明。BA充分性若，则若，那么必有。因此，若，则必有，AXBXBXAX即若，则有，即；必要性若，则若，则有，即若，则必有。那么，若，那么必有，即；AXBX由以上两点可知。证明充分性若，那么有或。BAXAXB若，则由可知，必有，所以若，必有，XBAXX即；若，那么必有，即，所以，充分性得证；BXBAX必要性因为，所以，对于任意的，必有BX，所以，XA必要性得证；由以上两点可知BA证明充分性若，那么必有，即；XXAB若，那么由可知，必有，所以，即，ABXBXA所以，；必要性因为，所以对于任意的，必有，所以；BA由以上两点可知，BA。由以上三点可知，。2证明充分性因为，所以对于任意的，若，则必有，即，BAXABX所以；必要性因为，所以对于任意的，若，则必有，即，所以；由以上两点可知BA证明充分性因为，所以对于任意的，若，则必有，即，XBAX所以；必要性因为，所以对于任意的，若，则必有，即，所以；BA由以上两点可知BA由上可知3证明充分性因为，所以若，则必有，即若，则必有，AXBXBX所以；必要性因为，必有；，又由以上两点可知证明充分性因为，所以若，则必有，即若，则必有，XXAX所以；必要性因为，必有；，又由以上两点可知由上可知。4证明充分性由于，所以,所以必要性因为所以且因为，所以又，所以所以。由上可知。81解不一定。若，此时有，但。ACB,ACBB2解不一定。若，此时有，但。,3解一定有。9（1）ABCA解由于，因此必有且。也就是ABCA并且。（2）ABC解由于，因此必有且。也就是并ABCAB且。AC（3）B解ACB因此，A意味着BC（4）C解BAACBCB两种可能，第一种，即BC；第二种，或者AB因此，此题答案为。ACB或者或者101211（1）ABCAC证明EBACEACABCABCABABC因此，A。（2）注意这个题目本身不正确，举例如下全集为1，2，3，A1，B2,C3则，不相等。1,23ABC2,3BCP571解设A，B，C分别表示参加足球队、篮球队和棒球队的队员的集合3185320138|CBACBA即同时参加两个对的队员共有18个。2解设A，B，C分别表示读甲种、乙种、丙种杂志的学生的集合。110650B333CA60103|CBACBAB所以确定读两种杂志的学生的百分比为60。2301061|CBAACBACBA所以不读任何杂志的学生的百分比为30。3解设A，B，C分别表示骑木马、坐滑行轨道和乘宇宙飞船的儿童集合。由公园的总收入知，|70/514BC|20|5ABC因此，|3|52|409ABCBA没有坐过任何一种的儿童总数为|75|14092ABCABCABC答一共10个儿童没有坐过其中任何一种游乐设备。4解用A，B分别表示在第一次考试和第二次考试中得A的学生的集合。1261|又，则50|14|17|2650|BABA所以有14个学生两次考试都取得A。204B又，则5|34|6BAA所以有34个学生在两次考试中都取得A。6340|BAA所以有6个学生仅在第一次考试中取得A。6340|BAB所以有6个学生仅在第二次考试中取得A。5解设A，B，C分别是学习数学、物理、生物的大一学生集合。由题意可知，|67,|4,|95,286|27,|0BC0|2|6749526785AABCA解方程，得|ABC因此，一共有22人三门功课都学。数学物理生物E2246535146450P591（1）AB解,2,2（2）解,0,0,12,01,2AB（3）2解1,0,2,120,0,2,10,2,1,2,1BA1P602解表示在在笛卡尔坐标系中，且的矩形区域内的点集。XY32X0Y12第60页第3题（1）ABCDABD证明任取,有,XY,XABYCXDY由取值的任意性知，ABACB。,X（2）当且仅当才，才有C证明当时，于是。CABC当时，ABC任取，可知，由ABC知，XXABXABC于是得到。所以，。31证明任取YX,DBCAYXYXDCYBA,所以任取,DCBAYXYXDBYXCA所以C故2证明充分性由于CABCAB所以C，即充分性得证。必要性由于A所以所以CABC必要性得证。4证明必要性若，；A同理，若，；BAB若，则显然有；A必要性得证。充分性性由于所以对于任意的,必有YX,ABYX,ABYX,AYX即若则必有；若，则必有，所以当XYY时，；A,充分性得证。5,（1）ABCDABD解任取,有,XY,XABYCDXBYCDAXBYY选择A1，B2，CA，DB则1,2,ABABABCD因此该等式不成立。（2）ACBD解任取,有,XY,XYABCDYXXACBYYD选择A1，2，B1，CA，B，DA2,BDB1,2,ACAB因此，该等式不成立。（3）BACBD解设A1，2，B2，C3，4，D4则1,3AD4,2C因此，该等式不成立。（4）BACB解取,有,XY,XABYCXYXYBAC因此，该等式成立。（5）B解任取取,有,XYB,XYACBXYCXBYCXAYCAXABYYC因此，该等式成立。第四章二元关系P631给出下列关系R的所有序偶。（1）4,20,BAYXR|,解2,0,2,0,（2）315431BA2|,YXXYR解2,2设和都是从到的二元关系，并且124,31A4,32B,R，32求、1、。21R1D2R12R21D21R解,43,4,213,RD42,132R4,1D23用L表示“小于或等于”，D表示“整除”，这里表示“X整除Y”。L和D都定义DY于集合1,2,3,4,5,6上。试把L和D表示成集合，并求出。解6,5,6,45,4,6,35,4,3,62,5,42,3,2,1,1,21,L6,5,4,3,2,2,1,121D,4,6,6,4,6,5,4,3L4如果关系R和S都是自反的。证明，也是自反的。SR证明设R是集合A上的二元关系，S是集合B上的二元关系。因为R和S都是自反的，所以对于都有，XX,对于都有。，BXSX,（1）设，那么或。AAB若，有，那么必有。XRX,SRX,若，有，那么必有。BS因此，当时，必有，AXX,所以也是自反的。SR（2）设，那么BXB且X因此且，即。,S,SRX,所以也是自反的。SR5如果关系R和S都是自反的、对称的、可传递的，证明也是自反的、对称的SR和可传递的。证明设R是集合A上的二元关系，S是集合B上的二元关系。自反性的证明如题4。对于任意的，若，YX,SYX,那么且,S因为R和S都是对称的，所以且，RXY,XY,所以。XY,即对于任意的，若，则必有BA,SYX,，SRXY,所以是对称的。对于任意，若且，BAZYX,SRYX,SRZY,那么有。R，且因为R和S都是可传递的，所以有且，即。ZX,S,ZXS,ZX即对于任意，若且，都有BAZYX,SRYX,SRZY,。S,RZX所以是可传递的。6给定集合和S中的关系R，证明R是不可传递的。求出一个关系，4,321SR1而是可传递的，能否再求出另外一个关系且是可传递的。1R22解此题不正确，关系R没有给出7给定集合和S中的关系，关系R有哪几10,2SR10|,YX种性质。解R是不自反的，对称的，不可传递的。不自反性当X5时，；当X是集合S中的其他数时，RX,X,因此，R不是自反的，也是反自反的。对称性对于任意的，若有，SYX,YX,那么，则必有1010即。RXY,即对于任意的，若有，则必有。S,RYX,RXY,所以R是对称的。不可传递性举反例即可。由此可知，且，但是。6,44,4,所以R是不可传递的。8给出满足下列要求的二元关系的实例。（1）既是自反的又是反自反的。（2）既不是自反的又不是反自反的。（3）既是对称的又是反对称的。（4）既不是对称的又不是反对称的。解（1）空集上的二元关系。（2）,，R是集合A上的二元关系。1A1,（3）空集上的二元关系。（4）,R是集合A上的二元关系。33,1,2,P691给定集合，R是X中的关系，并可表示成3,210X2,3,1,20,试画出R的关系图，并写出对应的关系矩阵。解123031RM关系图如下03212设集合，则集合X中有多少个二元关系。,21X解有个二元关系。5233设X是具有N个元素的有穷集合，证明X中有个二元关系。2N证明集合X中的每个二元关系都是的子集，有个元素，有个元素，XX2N有个元素，每一个元素都是的一个子集，也是一种二元关系，因而，2N在中有个不同的二元关系。24给定集合。图46给出了X中的关系R的12个关系图。对于每个关系图，3,21X写出相应的关系矩阵，并证明被表达的关系是否是自反的或反自反的；是否是对称的或反对称的；是否是可传递的。（A）自反的、不对称的、不可传递的；其对应的关系矩阵为10RM（B）不自反的、反对称的、不可传递的；其对应的关系矩阵为01RM（C）自反的、对称的、可传递的；其对应的关系矩阵为1R（D）自反的、不对称的、不可传递的；其对应的关系矩阵为10RM（E）不自反的、不对称的、不可传递的；其对应的关系矩阵为01R（F）不自反的、对称的、不可传递的；其对应的关系矩阵为01RM（G）自反的、反对称的、可传递的；其对应的关系矩阵为10RM（H）自反的、不对称的、不可传递的；其对应的关系矩阵为10R（I）不自反的、对称的、可传递的；此题图有错误其对应的关系矩阵为1RM（J）自反的、反对称的、不可传递的；其对应的关系矩阵为10RM（K）自反的、反对称的、可传递的；其对应的关系矩阵为10RM（L）不自反的、反对称的、可传递的。其对应的关系矩阵为10RM5给定集合，和是X中的关系，分别为3,210X122/1|,IJIJIR|2求出下列合成关系。（1）2R（2）1（3）2（4）1R（5）32解，10,2,30,2,121R（1）,（2）1023,（3）2,1R（4）1,0,1,2,2,3（5）326设和是集合X中的二元关系。试证或反证下列命题1R2（1）如果和是自反的，则也是自反的。21R（2）如果和是反自反的，则也是反自反的。12（3）如果和是对称的，则也是对称的。1R221（4）如果和是反对称的，则也是反对称的。R（5）如果和是可传递的，则也是可传递的。1221解（1）证明任取，由于和是自反的，因此，XX1,XR，可得，由X取值的任意性可知，是自反的。2,XR12,R2（2）设，则，不是反1,3,3,11,自反的。（3）设，则12,23,2,13,2,XRR，不是对称的。12R（4）设，则12,3,1,，不是反对称的。123（5）设12,45,35,4,3XRR，则，不可传递。,217设，和是集合X中的二元关系。试证明若，则有1R2321R（1）（2）3132证明（1）任取，则一定存在某一个，使得，13,XZRYX1,XYR，由知，3,Y21323,YZXZR根据取值的任意性，问题得证，。,1323R（2）任取，则一定存在某一个，使得，31XZYX3,XYR，由知，1,YR23122,YZRXZ根据取值的任意性，问题得证，。,3132R8试证明定理441的（2），（3），（4）。（2）见书本67页（3）当且仅当存在某一个，使得且，才有YY32,RYX4,ZY，而432,RZX4342434243,RZXZXRRZYYXYYRZZ（4）当且仅当存在某一个，使得且，才有YY32,RYX4,ZY，而432,Z4342434243,RZXZXRRZYYXYYRZXZP751设，和是中的关系，3,210X12X/|,IJIJIR|2试求出关系矩阵；1RM221RM12R；。121R31解,0,2由此可得1,2,21R2,31,0,212R3,21,0,31所以00101RM010002RM00121RM01012RM001121RRM00131RM2此题有错误3试证明定理446的（3）、（4）、（5）、（7）和（8）式。3证明21212112,RYXYXRXYYX所以。2121R4证明XYYXYXY,所以。XY5证明7证明见书上P74页8证明1222,RYXX所以12R同理1得证。4试证明如果关系是自反的，则也是自反的；如果是可传递的、非自反的、对RR称的或反对称的，则亦然。证明设R是A上的二元关系，（1）若R是自反的，则，由于的转置仍是，因此，故是自反AIAIAIIAR的；（2）若R是反自反的，则。把和R都取转置，由于的转置仍是，AI因此，故是反自反的；IA（3）若R是对称的，任取，则，由R的对称性可知，XY,XY，于是。由X，Y取值的任意性知，是对称的；,YXR（4）若R是反对称的，任取，则，由R的反对称性可知，,，于是。由X，Y取值的任意性知，是反对称的；,YX,（5）若R是可传递得，任取，则，R,Z,YX，由R的可传递性，可知，于是。故是可传递,ZYRZ的。5如果R是反对称的关系，则在的关系矩阵中有多少个非零值R解R的关系矩阵上，主对角线有多少个非零值，的关系矩阵中就有多少非零记入值。P791设X是一个集合，和是X中的二元关系，并设，试证明1R221R（1）21R（2）S（3）21RTT2在图411中给出的三个关系图，试求出每一个的自反的、对称的闭包，并画出闭包的关系图。A）解由关系图可知，R则BAR,SRTB）解由关系图可知，BA,则BAR,RS,AT,C）解由关系图可知，CB,则ACBAARR,CBS,CBCCBT,3和是集合中的关系。试证明1R2X（1）2121RRRR（2）SS（3）2121TT4设集合，是中的二元关系，图412给出了的关系图。HGFEDCBAX,RXR试画出可传递闭包的关系图，并求出。RTTSR解由关系图可知，DHGFEDACBAR,则DHFEHFGEGDEFDFHFEGDFCABAGFCBFT,DHFEHFGEGDEFDFHFEGDFCABGFCBACBARTSR,5设是集合中的任意关系。试证明RX（1）（2）R（3）P851设是集合A的划分。试证明BABAN,21是集合的NA,21划分。证明因为是集合的划分，N,21所以II,JIAJINI1（1）因为AI所以NIBI,21（2）BAJIJI（3）BANNNI2121（1），（2），（3）构成满足划分的条件，因此BABAN,21是集合的划分。BA2把个元素的集合划分成两个类，共有多少种不同的分法N解1221NNC3有一个集合公式，它仅包含集合变元X和Y，还有集合运算。试证明能够求和,出另外一个公式，它等价于给定公式且仅由极小项的并组成。4证明对于集合公式来说，运算集合是全功能的。,证明所以，可以由表示；BA,所以，可以由表示；BA,所以，可以由表示；A,所以，运算集合是全功能的。,5在图416中给出了集合中的两个关系图，判断这两个关系是否是等价关系。3,21解左侧的关系不是等价关系，因为不满足可传递性；右侧的关系是等价关系。6在等价关系图中，应如何识别等价类解如果两个元素之间有两条连线，那么说明这两个元素是等价类。7设R是集合X中的关系。对于所有的，如果，就有XXKJI,KJIRX,IKX，则称关系R是循环关系。试证明当且仅当R是一个等价关系，R才是自反的和循环的。证明（1）当R是个等价关系时，由等价关系的定义知，等价关系满足自反性，即R是自反的。任取，由R的可传递性，知，再,XYZX,XYZ,XZ由R的对称性，知。根据X，Y，Z取值的任意性，知R是循环的。R（2）当R是自反的，可知对任意，。任取，使得X,YX，因为R是循环的，故当，时，,XY,X。由X，Y取值的任意性知，R是对称的；任取，Z，由R的循环性知，因为R是对称的，因此,Z,Z，由X，Y，Z取值的任意性，知R是可传递的。因为R是自反的、对称的和XZ可传递的，因此R是一个等价关系。8设和是集合X中的等价关系。试证明当且仅当中的每一个等价类都包含于121C的某一个等价类之中，才有。2C21R证明设等价关系造成的集合X的划分为，等价关系造成1112,M2R的集合X的划分为22,NC（1）当中的每一个等价类都包含于的某一个等价类之中时，任取中的一个等121C价类，则必包含在的一个等价类里，设包含在中，。任取I22J2IJ中两元素X，Y，由等价类的性质知，。由，可知若1IC1XRY1IJ，则，即。由I,J,X,Y取值的任意性知，1,R2,2。12（2）如果，那么对任意的永真，1,XYR2,XYR等价于X,Y落入的某个等价类中，等价于X,Y1,XYR1C1I2,XYR落入的某个等价类中，即若，则，由X,Y的任意性2C2J,IXY2JC可知，,由I的任意性可知，中的每一个等价类都包含在的某一个12IJ12等价类之中。综上所述，当且仅当中的每一个等价类都包含于的某一个等价类之中，才有。1212R9设和是集合X中的等价关系，并分别有秩和。试证明也是集合X中1R21R221的等价关系，它的秩至多为。还要证明不一定是集合X的一个等价关系。21RR证明1因为是自反的，所以对于任意的，都有对于任意的21,X，故，所以是自反的；21,RXX21RX21对于任意的，若，则且。又XY,Y1,RYX2,YX是对称的，所以有，故，即21,R1,X2X2是对称的；对于任意的，若，则，XZYX,21,RYX21,RZY1,RYX且，。又是可传递的，所以有，1,RZY2ZZ，故，即是可传递的；2X1,RZX21综上，1是等价关系。2因为21,是自反的，所以对于任意的，都有对于任意的XX，故，所以是自反的；21,RXX21RX21对于任意的，若，则可能有三种情况XY,Y若且，那么因为21,是对称的，所以有，1,X2X1,RXY，故，即是对称的；2,RXY21,RXY21若但，那么有且，此时11,RXY2,XY，即是对称的；2,XY2所以1R是对称的；若但，那么有且，此时2,YX1,RYX2,RXY1,XY，即是对称的；121对于任意的，若，当XZYX,21,YX21,RZY，时，不能确定，故R不是可传递的。1,RYX2,ZYZ由上可知，2不是等价关系。P891解X1X4X5X3X6X2（1）56,（2），45,（3），合并后，有56,XX34,35,X36,X，3456（4），5,3,23,（5），合并，得34X56XX12,X13,16,X，123,X136,X345,X356,X综上，最大相容类有四个，分别是，121345,X。356,2给定集合的覆盖，如何才能确定此覆盖的相容关系。NAS,21解相容关系是具有反对称性的关系，集合的任何一个覆盖均能确定一个相容关系，SX反之亦然。设是集合的一个覆盖，则由此覆盖确定的上的,21KSXNA,21S相容关系是，其中指的子集的笛卡尔积。,21KSKSKS如是的一个覆盖，则此覆盖确定的上的相容关系是3,X3,21S3,2,3,2,1,23设集合，R是X中的关系。图423给出了R的关系图。试画出6,543,1的关系图。65R和解4,5,6,35,26,1,54464假定是集合X中的恒等关系，R是X中的任何关系。试证明是相容关系。XIRIX证明设ISX（1）由于，因此，。知是自反的；RX,XSIX（2）任取，则或者或者,YX,YSXYIRY,。X,若，则，；XIX,XXI,XS若，则，；,XYRRXY,YXS若，则，。可知无论任何情况，若，则。故是对称的。,RIX综上所述，既是自反的又是对称的，因此，是相容关系。RIXIX5给定集合，R是集合X中的二元关系，R的关系矩阵为CBAX,RM10RM试求出和的关系矩阵。32,R解AA2311110,RRRRMM6给定等价关系R和S，它们的关系矩阵是10R10S试证明不是等价关系。SR证明10RSM可知不是对称的，因此，不是等价关系。RS7设集合。求出X中的等价关系和，使得也是个等价关系。3,21X12R21解设,3,2,1R11322则和是集合X中的等价关系。1此时，也是个等价关系。3,2,3,2,1,21RP951对于下列集合中的整除关系画出哈斯图。（1）24,186,3（2）解（1）1234682412（2）1234681251097112如果R是集合X中的偏序关系，且。试证明是A中的偏序关系。XAR证明因为R是集合X中的偏序关系，所以R是自反的，反对称的，可传递的。（1）因为R是自反的，所以；IX又，所以；AA所以R是自反的。（2）对于任意，若,那么且；又AYX,ARYX,RYX,AYX,R是反对称的，所以，即，所以是反对称的。,（3）对于任意，若，那么ZYX,ZYX,且。又R是可传递的，所以，RYX,A,RZX,，即，所以是可传递的。AZZX由此可知，满足自反性、反对称性、可传递性，即是A中的偏序关系。3试给出集合X的实例，它能使是全序集合。,X解，则,此时，对于任意的，都有YX,XYX所以是全序集合。,X4给出一个关系，它是集合中的偏序关系又是等价关系。解集合上的恒等关系，既是偏序关系又是等价关系。5证明下列命题（1）如果是拟序关系，则也是拟序关系。RR（2）如果是偏序关系，则也是偏序关系。（3）如果是全序关系，则也是全序关系。（4）存在一个集合和中的关系R，使得是良序的，但不是良序的。SS,RS,证明设是上的二元关系，RA（A）若是自反的，则，由于的转置仍是，因此，故是自反AIAIAIIA的；（B）若是反自反的，则。把和都取转置，由于的转置仍是，RRAI因此，故是反自反的；RIA（C）若是对称的，任取，则，由的对称性可知，RRXY,XYR，于是。由X，Y取值的任意性知，是对称的；,YX（D）若是反对称的，任取，则，由的反对称性可知，,，于是。由X，Y取值的任意性知，是反对称的；,RRYX,R（E）若是可传递得，任取，则，Z,YX，由的可传递性，可知，于是。故是可传递,ZYZ的。从上述5条可以证明（1）（3）（1）若是拟序关系，即是反自反的和可传递得，由（B）（E）可知，也是反自反RRR的和可传递得，因此，是拟序关系。（2）若是偏序关系，即是自反的、反对称的，可传递的，由（A）（D）（E）可知，也是自反的、反对称的，可传递的，因此，是偏序关系。R（3）若是全序关系，则是偏序关系，由（2）知也是偏序关系；另知，RR，或成立，当时，当时，。因此不论任何情,XYAYXYXYYRX况，或总成立。综上，也是全序关系。R（4）举例子，设，N是自然数集合，则是良序，,S,SN但是不是良序。因为取全集N，在中没有最小成员。,NR,6证明当且仅当和，才是拟序的。当且仅当和RXIR，才是偏序的。证明设是集合上的关系RA（1）充分性，故是可传递的；，所以对于任意的，都有，即是反自反的。AXX,所以，当和时，是拟序的。RR必要性因为是拟序的，所以是反自反的、可传递的、反对称的。是可传递的，故；是反对称的，所以对于任意，若，则RYXA,RX,；又是反自反的，所以。YX,R所以，当是拟序时，且。（2）充分性，故，即是自反的；XIRR又，所以对于任意，若，则YXA,RX,，即是反对称的；XY,又，所以是可传递的；R所以，当和时，是偏序关系。XI必要性因为是偏序关系，所以是自反的，反对称的，可传递的。是自反的，故；且R是反对称的，故对于任意的，若，则RYXA,RX,，所以。YX,XI又是自反的，可传递的，所以它的自反可传递闭包是其本身，即；所以，当是偏序关系时，且。RXIR7图428给出了偏序集合的哈斯图，这里。P,54321XXP1下列关系中哪一个是真的543215231421,RXRXXR2求出中的最大成员和最小成员，如果他们存在的话。P3求出中的极大成员和极小成员。4求出子集的上届及下届。并指出这些子集的LUB,321543432XXX和和GLB，如果它们存在的话。解1，是真的。14R12最大成员；最小成员无。X3极大成员；极小成员154,X4子集上届；下届；LUB；GLB。,432X141X4子集上届，；下届无；LUB；GLB无。,543X1X33X子集上届；下届；LUB；GLB。21414第五章函数P1001下列关系中哪些能够构成函数对于不是函数的关系，说明不能构成函数的原因。110,|,1YXNYXR2|22R3,|,3XYXY解1不能构成函数。对于某些，不止存在一个使得成立。NNY10YX2能构成函数。3不能构成函数。对于某些对于某些，存在两个使得成立。RXR22下列集合中，哪些能够用来定义函数试求出所定义的函数的域和值域。14,1,34,2,3,1S2223,1,34321S解1能够用来定义函数。域4,3值域4,1,22能够用来定义函数。域3,1值域2,34,23不能够用来定义函数。4能够用来定义函数。域3,21值域3设是证书集合，是正整数集合，并且把函数，定义为。IIIF12IF试求出函数的值域。FFR解为正奇数的集合。F4设是全集，是的幂集，是由的子集所构成的所有序偶的集合，EEE对任意的,把定义为。试证明S21,F21,21SSF的陪域与值域相等。F证明F的陪域为，设值域为，假定F的陪域与值域不相等，即。EFRFRE那么一定存在的一个元素A，使得。因为，因此，不存F1212,FS在任何一个，使得。设，则对于任何，12,S12S1E，由知，由取值的任意性可知，。这与A122SE的取值在中相矛盾，因此F的陪域与值域不相等不成立。即的陪域与值域相等。EF5设，并定义函数如下1,0ABAF20X,YYXF若1写出的全部序偶。F2求出。FR3写出。21,0/中的全部序偶4有多少个和具有相同的定义域和值域的函数。FBAG2解（1）0,1,0,12,1,0,1F（2）2FR（3）2,1,（4）F定义域元素的个数是9，值域元素的个数是5。求的个数，等同于求从2GAB9个元素的集合到5个元素集合满射函数的个数。P1031设是实数集合，并且对于，函数，和，RRX3XF12XG2/XH试求出合成函数。FHGFFG和,解3217FXX346FFXX211G/3FHX2/X/FX1053HGFFXX2设集合。试求出中如下的所有函数2,10XXXF1XFF223XF3解110种情况0,1,2,00,21,2,0,21,2FFFFF一对一二对一,0三对一24种情况,012,01FF33种情况0,1,2,FFP1051设是自然数集合，是实数集合。下列函数中哪些是满射的，哪些是单射的，哪些NR是双射的12,IFF23MOD3是偶数是奇数IIFNF,01,4是偶数是奇数，IIFF,1,5IFRNF0LOG,652,I721212,NIFNF8IR91,NFF10XAFBAF,11XFNIF,解1是单射，不是满射，不是双射。2不是单射，不是满射，不是双射。3不是单射，不是满射，不是双射。4不是单射，是满射，不是双射。5是单射，不是满射，不是双射。6不是单射，不是满射，不是双射。7是单射，是满射，是双射。8是单射，不是满射，不是双射。9是单射，不是满射，不是双射。10是单射，不是满射，不是双射。11不是单射，是满射，不是双射。2设和都是有限集合，和的基数分别为和。XYXYMXNY1有多少个从到的单射函数2有多少个从到的满射函数3有多少个不同的双射函数解1当存在从X到Y的单射函数时，单射函数有MNMNC2当存在从X到Y的满射函数时，满射函数的个数有1,1,2,MMNNC4当存在从X到Y的双射函数时，双射函数的个数有个。3设。有多少个从到的满射函数具有性质3,2AAF31F解有两个。分别为和。2,31,1F,2,24设，有多少满足以下条件的从到的函数,2NAF123FFAIFIF解1有个函数满足。1NFF2有个函数满足。2CAI3有多少个函数满足F5设集合，且函数是21,0XYXF0X,YYXF若有多少与具有同样的域和值域的不同函数F解同P100页第5题。6设片函数；偏函数；偏函数XFRF/1是2XFRG是。XH是1试求出合成函数的代数表达式。HGF和,2求出各偏函数的定义域，即的子集。R3求出各偏函数的象点。解1XHGF2偏函数的定义域为F0,|XR偏函数的定义域为偏函数的定义域为H,|3偏函数的象点为F0Y偏函数的定义域为G偏函数的定义域为FYP1081解设2XFY22YXY故21XF2解1,4,3,F2,2,12F34423F,3,12F设单射函数3,4,1,G，但是。XIXI3证明设M|NY|则，满足|XY所以，存在一对一的映射。因为是一对一的映射，不同的对应的不相等，所以至少需要|YXX|XY个与之想对应，所以该映射是满射。MN|XYYP1091证明特征函数所具有的性质17和1011。证明1由特征函数的定义可知。2充分性因，故对于任意的，都有0EXAX所以。A必要性因，所以对于任意的，都有，即对于所有的，都EX有，即。003充分性因，故对于任意的，都有1XX所以。E必要性因，所以对于任意的，都有，即对于所有的，都AEAX有，即。114充分性因，则有三种情况；0，00，1。1，1当时，所以；0，0BAB当时，所以；0，1E,A当时，所以；1，1所以，当时，有，充分性得证。BA必要性当时，；由于，所以必定有，所以；X1BX1所以有；当时，；由于，所以有或两种情况。A0BA若，则，此时；BX1若，则，此时；0所以，当时，有，必要性得证。A5充分性当时，对于所有的，都有且，故。0EXAXB当时，对于所有的，都有且，故。1E所以当时，必有，充分性得证。BA必要性当时，；由于，所以必定有，所以；AX1BABX1所以有；当时，；由于，所以必定有，故；00；所以有所以，当时，有，必要性得证。BA6若，则必有。此时，即。X1，017当时，,由于，所以有1BXABX1，1所以有；当时，,由于BAX0，于是有以下几种情XXX况若，此时，；X0，10若，此时，；BA1，00若，此时，；X0，00得证。8见书上P108。9当时，,由于，此时BAX1BXABX1，01101当时，由于，于是可能有以下几X0XAX种情况若且，则；AB0，0，0若且，则；X1，1，0若且，则；0，1，0得证。10充分性若，则，由于，所以，即若，则必有AX11AX，即；B若，则，即。所以必有；X0ABA当时，必有，充分性得证。BA必要性若，则，由于，于是，此时X1BX1；1若，则，由于A，于是有以下两种情况；A0若，则，此时；BX00若，则，此时；10当A时，必有，必要性得证。11若，则，此时；X11若，则，此时00所以。2应用特征函数求下列各式成立的充分必要条件。1234解10即所以的充要条件为。220即，2的充要条件为所以320即2120或1/2不符合即所以的充要条件为4由题可知，故，即20，所以的充要条件为。P11211证明设,23|NNKA因为集合与自然数集之间存在一个双射函数，因此集合等势于23NFA自然数集，所以集合是可数的。N,|K2证明设,|2NNKA因为集合与自然数集之间存在一个双射函数，因此集合等势于自然2NFA数集，所以集合是可数的。N,|