机械工程控制基础修订本陈康宁习题解答

1第1章拉普拉斯变换的数学方法复习思考题1拉氏变换的线性性质、微分定理、积分定理、时域的位移定理、复域位移定理、初值定理、终值定理、卷积定理是什么如何应用解答（1）线性性质若有常数K1，K2，函数F1T，F2T，且LF1TF1S，LF2TF2S，则121212FTFTLFTFTKSMERGEFORMAT22（2）微分定理若FT的拉氏变换为FS，则MERGEFORMAT230FTFF0为T0时的FT值。此定理需考虑在T0处是否有断点。如果在T0处有断点，F0F0，则该定理需修改成LFTSFF0F0为由正向使T0时的FT值；F0为由负向使T0时的FT值；进而可推出FT的各阶导数的拉氏变换2122100NNNNNNLFTSFFLFTSFFFFMERGEFORMAT24式中FI0（0IN）表示FT的I阶导数在T0时的取值。如果在T0处有断点，F0F0，则该定理需修改成21221000NNNNNNLTSFFFLFTSFFFFF221221000NNNNNNLFTSFFFLFTSFFFFF式中FI0（0IN）表示FT的I阶导数在T从正向趋近于零时的取值。FI0（0IN）表示FT的I阶导数在T从负向趋近于零时的取值当初始条件均为零时，即10“0NFFF则有2“NNLFTSFFTS（3）积分定理若FT的拉氏变换为FS，则MERGEFORMAT251D0FSLFTF是对不定积分的拉普拉斯变换。式中，是在T0时的值。10DT如果FT在T0处包含一个脉冲函数，则，此时，必须将上述11FF定理修正如下1D0FSLFTFFTFS式中，是在T0时的值；，是在T0时的值。10DT10DFFT对于定积分的拉普拉斯变换，如果FT是指数级的，则上述定理修改如下0DTFSLF如果FT在T0处包含一个脉冲函数，则，此时00DTTFF0DTLFTS0TFTLF3依此类推21221D0LFTFSFFS1100NNNNFTFFFS如果，该定理也要修正成00DTT12101110DNNNNKNKTLFTFSFFFSST（4）时域的位移定理若FT的拉氏变换为FS，对任一正实数A，有MERGEFORMAT26SLFTEFAFTA为延迟时间A的函数FT，当TA时，FT0。（5）复域位移定理FT的拉氏变换为FS。对任一常数A（实数或复数），有MERGEFORMAT27TLEFFS（6）初值定理若函数FT及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数FT的初值为MERGEFORMAT280LIMLITSFF即原函数FT在自变量T趋于零（从正向趋于零）时的极限值，取决于其象函数FS的自变量S趋于无穷大时SFS的极限值。（7）终值定理若函数FT及其一阶导数都是可拉氏变换的，并且除在原点处唯一的极点外，SFS在包含J轴的右半S平面内是解析的（这意味着当T时FT趋于一个确定的值），则函数FT的的终值为MERGEFORMAT290LIMLITSFF（8）卷积定理若，FSLFTGSLGT则有MERGEFORMAT2100DTFFSG4式中，积分，称作FT和GT的卷积。0DTFGFTG2用部分分式法求拉氏反变换的方法。解答（1）FS无重极点的情况FS总是能展开为下面简单的部分分式之和MERGEFORMAT212NKKBSFAPSSP11式中K1、K2、KN为待定系数（系数KI为常数，称作极点SPI上的留数）。11SPBA22SPSMERGEFORMAT1,IIIISPBBKINAA212式中PI为AS0的根，。DIISP求得各系数后，则FS可用部分分式表示MERGEFORMAT2131NIIIBASP因1IPTILES从而可求得FS的原函数为MERGEFORMAT21411INPTIIBFTLFSEA当FS的某极点等于零，或为共轭复数时，同样可用上述方法。注意，由于FT是个实函数。若P1和P2是一对共轭复数极点，那么相应的系数K1和K2也是共轭复数，只要求出K1或K2中的一个值，另一值即可得。（2）FS有重极点的情况假设FS有R个重极点P1，其余极点均不相同，则5111212RNRNNRRRRBSBSFAAPPKKKSSSSPSP式中K11、K12、K1R的求法如下MERGEFORMAT211111221311DDRSPRSPRSPRRRSPFSKFS15其余系数KR1、KR2、KN的求法与第一种情况所述的方法相同，即1,2,JJJSPJBFSRAN求得所有的待定系数后，FS的反变换为112112NRRPTPTPTPTRRRFTLSTTKEKEE3用拉氏变换求解微分方程的步骤。解答用拉氏变换解线性常微分方程，首先通过拉氏变换将常微分方程化为象函数的代数方程，进而解出象函数，最后由拉氏反变换求得常微分方程的解。习题（1）51COS3FTT解利用拉氏变化的线性叠加特性22545S39SFSLFTTLT（2）05COS1TE解法1利用COS10T的拉氏变换结果和复数域位移定理05220505S11TSSFSLFT解法2直接按定义并与COST的拉氏变换进行比较60505022COS1DCOS1D5TSTSTFSLFTETE解法3直接按定义求解051005105105105100COSDD22TSTJTJTSTSJTSJTSJTSJTFSLFTEEEESJS2205115JSS解法4直接套用教材表21中第14项结果0522COS1050TFSLFTES（3）（用和角公式展开）SIN3FTT解法1利用和角公式展开，然后利用拉氏变换的线性叠加性13SI5SICOS5INSI5COS32FTTTTTT所以2235IN22SFLFTTLT解法2直接利用定义求解，令，则有SIN5SI531FTTT15T（1）1501515151500NSINSIISISSTSSSSFLFEDEDEEE而（2）20INSD7（3）555151110000551555112000SINDDD222SIN1SJJSSJSJSJJJJSJSJSEDEEEEEJJSEJOSINCO53SSJE将（3）式和（2）式代入（1）得235SFSLFT【注】本题不可直接利用延时定理，因为函数不是延时函数，如果使用了延时定理，则将改变定义域。（4）NATFTE解法1，利用复域平移特性得1,23NLS1,23NATNFLES解法2000DDATATATSSATLES利用复域微分特性得11,23NNFTFS1D,23NNATNAFSLES解法3直接按定义并与TN的拉氏变换进行比较100DD,NATSSATNFSLFT解法4直接按定义求解80001001101DDDDDNATNATSNSATNSATSTSATSTNNSATNTLEEEETELES得到递推关系如下112102111NATNATTTATATATLELESLELLSSSAS所以1NATN解法5直接套用教材表21中第9项结果1NATNLES（1）32TFTTE解设T0时，FT0利用拉氏变换的线性特性3324432131261854TFSLFTTLESSSS（2）33COIN0TTTFTEET解利用拉氏变换的性质线性性质，复域平移特性334227654328COSSIN1169875493509018012TTTFSLFTLESSSSSS（3）251TFTTTE9解设T0时，FT0。利用拉氏变换线性特性、延时特性和复域平移特性2222235115TTTTSFSLFTLETEES【注】本题不可对第二项T12E2T采用如下方法因为，利用时域位移定理得，再利用复域平移定理得23LTS231SLTE。这样计算的结果是错误的，原因在于在利用时域位移2231TTE定理时，将T12的定义域变成了，而原题中T12的定义域为210TF。换句话说，这里T12并不是T2的延时函数。10TTF（4）SIN,TFTT解法1，如图22所示。I1TA所以222SINI1SFSLFTLTEE234561050051TFT图题22SINTSINT1T解法2直接按定义求解。1000000001DSINDD211122122STSTJTJTSTJSTJSTJSTJSTJSJSJSFSLFFEEEEJJEEJJSJJS2222211SINCOS11JJJJJSSSSESSJEJJEE解（1）0001LIMLILIMLITSSSFF（2）12KFS根据部分分式法得101S21SKS所以10FS所以111100010TFTLSLTESSS所以，与（1）中计算结果相同。LIMLITTTTE【注】本题求拉氏反变换时，可以利用教材表21中的第10项。、解（1）201LILIMLI0TSSFFF根据拉氏变换的微分特性得知FT的拉氏变换为112200SSLFTSFF则再次利用初值定理得20LIMLI1TSFF（2）1120TFTLFSETTF则200LILITTTFEM1TTTTF结果与（1）中计算的一致。解（A）解法1设，则10502TTFT（见图251A）12FTFTTA由此得1122201250SSFSLFTFTLFTTEA解法2令GTFTTTA2251210250SSGSLFLLTEA根据拉氏变换的积分特性得0222D51TSSGFSLGE解法3直接利用拉氏变换定义02TTF，则12022200222022222D155D110550STSTSTSTSTSSTSSSSSSFSLFFEEEEE（B）解法1设，则由图251B可知13FTT113FTFTTA所以3322213SSSSFLFTTLLTEE解法2令1GTFTTTTA313232212SSSSGLTFTLTTLTTEE根据拉氏变换的积分特性得03322D11TSSSSGFLGEE解法3直接利用拉氏变换定义1003TTF，则13033311133113313DDD22D24STSTSTSTSTSTSTSSTSSFSLFTFEEEEEEE333222211SSSSSSSSSSSEEE（C）解法1利用拉氏变换的积分特性。由图可见551551023GTFTTTTTTTTAAA2301023515SSSGSLGTFTLTTLTEE根据拉氏变换的积分特性得0232D5105TSSSGFSLGEE图题521F1TF1T2101T2F1TF1T121T3F1T31T1（1）214FS解法1利用部分分式法。先将FS展开成部分分式141221142KFSSJJSJJ124SJKJJ因为两个极点共轭，所以K2与K1共轭，即214J即42JJFSSSJJ所以11122SINSI2044JTJTFTLLJJETT欧拉公式解法2查表法221FSS利用拉氏变换对照表查得112IN0FTLSTS（2）2259SF解法1利用部分分式法。先将FS展开成部分分式2211213SSJSJJJ令2125KSFSSJJJSJ3422193JSJJSJ11224SJKJJJ124KJ336SJSJJJ1543126KJ即121JJFSS263JJSS所以111122444121COS2SIN4IJTJTTJTJTTJTJTTTTJJFTLFSLSEEEJETT11122336266112COS32SIN361IJTJTJTJTJTJTJJFTLFSLSEETJT根据拉氏变换线性特性得121COSINCOS3IN0TFFTETTT解法222222213591SSF利用拉氏变换复域平移定理及线性性质得16111COS2INCOS3INSIN5102ARCTSIN3ARCT0TTTTFLFEETTTET（3）1FS解利用部分分式法。先将FS展开成部分分式12KS10S21SKS即F所以11110TTFTLSLES（4）23SF解利用部分分式法。先将FS展开成部分分式12233KS12SSK23SS即1F11123023TTFTLSLES（5）243FS解利用部分分式法。先将FS展开成部分分式3112243KSSS1721224343411SSSK21222D8SSSS3211443SSK即28FS则11112248480TTTTTFTLSLSSEEE（6）1SEF解1TLS利用拉氏变换的实数域位移定理（延时定理）得111STEFTLFSA（7）25SF解将FS展开成部分分式22312511KKSSJJSJSJ212SKSJJ221531SJJJ32K即35121FSSJSJ所以181111222333COS3COS0TJTJTTTJTJTTTTTFTLFSLLSSSJEEET21求下列卷积（1）11解因为，利用拉氏变换的卷积定理得1LS21LSA对上式进行拉普拉斯逆变换得120TS（2）TT解因为，利用拉氏变换的卷积定理得21LS241LTSA对上式进行拉普拉斯逆变换得1134306TTSS（3）TET解因为，利用拉氏变换的卷积定理得21LS1TES221TLSSA对上式进行拉普拉斯逆变换（可查表）得1210TTEETS（4）TSINT解因为，利用拉氏变换的卷积定理得21LS2IN1TS221ILTSSA对上式进行拉普拉斯逆变换得191122SINSIN0TLLTTSS22用拉氏变换的方法解下列微分方程（1）20,XX解对微分方程等号两边同时求拉氏变换得20202SXXSXXXS将初始条件代入上式并整理得21S解得21XSSJSJ对XS求拉普拉斯逆变换得到IN0TXET（2）073,X解对微分方程等号两边同时求拉氏变换得2730SXXSXXS将初始条件代入上式并整理得2032S解得000277711313233XSXSSXXS对XS求拉普拉斯逆变换（查表）得到1133220130273605TTTTTTXTEE20第2章系统的数学模型习题31列出图题31所示各种机械系统的运动微分方程式图中未注明XT均为输入位移，YT为输出位移解（A）对YT点利用牛顿第二定律得0BTKYTX即（B）对M利用牛顿第二定律得YTKTXMYT整理得MTBTKT（C）对YT点利用牛顿第二定律得210KYTTXYTX整理得211BTKTBTKT（D）对图D所示系统，由牛顿定律有FTKXTMT其中1212K12KXTXTF（E）对M利用牛顿第二定律得21BYTTMYT整理得211MTTBXT32列出图题32所示系统的运动微分方程式，并求输入轴上的等效转动惯量J和等效阻尼系数B。图中T1、1为输入转矩及转角，TL为输出转矩。解对J1列写平衡方程得21（1）1121JBT（2）223L（3）12N（4）21式中T2为J1的输出转矩，T3为J2的输入转矩，2为J2的转角。将（3）、（4）式代入（2）式，求得T2，再将求得的T2代入（1）式得221111LNNB输入轴上的等效转动惯量J为211NJ输入轴上的等效阻尼系数B为211NB33求图题33所示各电气网络输入和输出量间关系的微分方程式，图中UI为输入电压，UO为输出电压。解（A）方法1设流过LC回路的电流为I，利用基尔霍夫电压定律得（1）IODULT（2）O1IC对（2）式求导得（3）ODUIT（3）式代入（1）得2OIDULCT方法2设流过LC回路的电流为IL，利用基尔霍夫电流定律得ILIC22即OIOD1UUTCLT对上式求导，并整理得2OIDUT（B）方法1设流过L的电流为I，利用基尔霍夫电压定律得IOO12DUTITC消除中间变量I（过程同A）得2O1IDULT方法2设流过L的电流为I，流过C1、C2的电流分别为I1和I2，利用基尔霍夫电流定律得II1I2即OOIOD1UUTLTT对上式求导，并整理得2O1IDCUT（C）方法1设流过R1的电流为I1，流过C1的电流为I2，利用基尔霍夫电压定律得（1）I1OU（2）21DRITC（3）O212DUIIT由（1）得（4）IO1UR（4）代入（2）并后求导得（5）OI21DICT23（5）、（4）代入（3）后，求导，再整理得22OO21I21I1O1I1212DDDDUURCURCUTTRTT方法2设流过R1的电流为I1，流过C1的电流为I2，流过R2、C2的电流为I，电阻C2上的电压为UC2，利用基尔霍夫电流定律得II1I2即（1）2OCIOI1DUURTR（2）22OCT由式（2）得（3）2O2I2IC1O2111DDURURTT将式（3）及其一阶导数代入（2），并整理得22OO21I21I1O1I1212DDDDUURUCUTTRTRT（D）解法1设流过回路的电流为I，利用基尔霍夫电压定律得（1）IO1DUITUC（2）O2RIIT（1）C1（2）C2得（3）1I2OCUR对（2）求导得（4）O22DUITT（3）代入（4）并整理得OI12O2I122D1DURRTCTC或OI121O211IUTT解法2利用基尔霍夫电流定律，过程略。2434列出图题34所示机械系统的作用力FT与位移XT之间关系的微分方程。解设杠杆转角为，对M使用牛顿第二定律得COSAFTBXTKMXTB整理得AFTXTTKXB35如图题35所示的系统，当外力FT作用于系统时，M1和M2有不同的位移输出X1T和X2T，试求FT与X2T的关系，列出微分方程式。解对M1使用牛顿第二定律得（1）1211BTKXTT对M2使用牛顿第二定律得（2）21212FTXTTMT由公式（2）得（3）22121MTBXTFT对（1）式等号两边同时求微分一次得（4）1211BXTKXTMT将（3）式表示的及其二、三阶导数代入（4）并整理得到1XT432222121211DDDDDTXTXTMMBKBTFFTBKFT36求图题36所示的各机械系统的传递函数。解（A）对M利用牛顿第二定律得FTKXMT即TF令XSLXT，FSLFT，在初始条件为0的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得2MSKXFS由此得该系统的传递函数为21GSSK25（B）对M利用牛顿第二定律得FTBXTKMXT即F令XSLXT，FSLFT，在初始条件为0的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得2MSBKXSF由此得该系统的传递函数为2221NKXSGFSKS式中，RADS1，1KKNKMBM（C）引入中间变量X3T，分别对X2T点和X3T点利用牛顿第二定律得2321310BTKTXXT令X1SLX1T，X2SLX2T，X3SLX3T，在初始条件为0的条件下，对上两式等号两边同时做拉普拉斯变换得（1）230BKS（2）1321SKXS由（1）式得23SXB代入（2）式并整理得此系统的传递函数为212112221SSKSKTSGXBB式中，12BTK12K（D）对X2T点利用牛顿第二定律得12121210XTXTKTX即12BKBX3T26令X1SLX1T，X2SLX2T，在初始条件为0的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得121211BSKXSBKXS由此得该系统的传递函数为12111212222SXSSKKKTSGB式中，1BTK122K37图题37所示FT为输入力，系统的弹簧刚度为K，轴的转动惯量为J，阻尼系数为B，系统的输出为轴的转角T，轴的半径为R。求系统的传递函数。解利用相应力学定律得RFTBTKTJT即JRF令FSLFT，SLT，在初始条件为0的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得2JSBSKSRF所以传递函数为2GSFJSK38证明图题38A和B所示的系统是相似系统。证明（A）在33题中已经得到图题38（A）所示电路的微分方程为22OO21I21I1O1I1212DDDDUURCURCUTTRTT令UISLUIT，UOSLUOT，在初始条件为0的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得2221211OOO1III1212RRCSSUSCSSUSCRCR由此得其传递函数为271212211O22I21112212211RCRCSSUSGSSRCSSR通分、约分分解因式分子分母同除或分子分母同除2211SS（B）引入中间变量X，分别对X和X2利用牛顿第二定律得2112200BKXK令X1SLX1T，X2SLX2T，XSLXT，在初始条件为0的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得212112120BBSXKSXSSK消去XS得21212XSKBGSKS（A）和（B）具有相似的传递函数，故这两个系统为相似系统。比较两式可知，两者参数相似关系为1221BRKKC或121BKKR【注】若两个系统的数学模型（如微分方程、传递函数等）具有相同的形式，则称为相似系统。在相似系统数学模型中占据相同位置的物理量，称为相似量。2839若某系统在阶跃输入XT1T作用时，系统的输出响应为，试21TTYTE求系统的传递函数和脉冲响应函数。解1求传递函数传递函数是在初始条件为零的情况下，系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。因为Y01110，所以，题中所给的单位阶跃响应为非0初始条件下的响应，因此，不能直接利用YT的拉氏变换求系统的传递函数。方法1由响应可知，系统的稳态响应为1，所以系统的静态增益为1；系统的瞬态响应有2项指数衰减项，所以，系统的传递函数有两个极点，分别为2和1，即系统为二阶系统，而且因为稳态响应为1，故可知系统微分方程的特解为1，由此可知，系统微分方程中不存在输入的微分项，所以，系统的微分方程形式为222DDNNNYTYTTXT在考虑初始条件的情况下，对上式做拉氏变换得222020NNNNSYYSYYYSX即2220NNNSXY亦即（1）2220NNSYYSSS（1）式中第一项即为系统0初始条件下的响应的拉氏变换。由单位阶跃响应得01Y将上述结果及XS1/S代入1式得单位阶跃响应的拉氏变换（2）2221NNSYS对题中给定的单位阶跃响应求拉氏变换得（3）214213SSLYTS因为（2）和（3）式相等，所以（3）式分母与（2）式公分母比较得2923N代入（2）式得（4）221433SYS因为（1）式中第一项即为系统0初始条件下的响应的拉氏变换，所以（4）式中的第一项即为系统0初始条件下的响应的拉氏变换，即213ZSYS所以系统的传递函数为2213ZSSGXS方法2由题中单位阶跃响应可知，系统的稳态响应为1，所以系统的静态增益为1；系统的瞬态响应有2项，所以，系统的传递函数有两个极点，分别为2和1，故系统在0初始条件下的单位阶跃响应（对线性因果系统就是零状态响应）应该具有如下形式2ZS1TTYTAEB因为初始条件为0，所以有ZS002Y联立上两式解得A1，B2所以，系统在0初始条件下的单位阶跃响应为2ZSTTYTE其拉氏变换为ZS11212YSS已知输入信号为单位阶跃信号，其拉氏变换为XS所以，系统的传递函数为30ZS22113YSGXSS（2）求单位脉冲响应由传递函数的定义可知YSGXS而1LT所以S所以111222310TTYTLGSLSSE这样求得响应为零初始条件下的响应（零状态响应）。310运用方块图简化法则，求图题310各系统的传递函数。解（A）简化过程如图题解310（A）所示，传递函数为21121RCSRCS（B）简化过程如图题解310（B）所示，传递函数为125342312534GHG31图题解310（A）图题310（A）的简化过程1CS1R21CS21R1CS1R21CS21R1S1RCS21RCS21SRSCSRSCSRSCS1CS1R21CS21R21SRSCS21121RSRCSRSCS相加点前移分支点后移消去两个反馈回路消去反馈回路32（B）图题解310（B）图题310（B）的简化过程分支点前移消去反馈回路和并联回路消去反馈回路消去反馈回路1GRSCS22G34G52H1GRSCS22G34G532H1GRSCS23H341G4G5RSCS1231GH3451GRSCS125341212534GHG311画出图题311所示系统的方块图，并写出其传递函数。解分别对质量M和X1T利用牛顿第二定律得21FKXTMXT1033整理得221MXTKTFKXT12在初始条件为0的情况下，对上两式等号两边同时做拉普拉斯变换得221SKXSFKXS21上两式的方块图分别如图题解311（A）、（B）所示。图题解311（A）（B）21KXSX1SFS2KFSX1SXS2MSK（C）21K21MSXS2K（D）212KMSXSFS将方块图（A）、（B）合并得系统的方块图，如图解311（C）所示，化简得方块图（D）。系统的传递函数为2221211MSKXSGKFS说明本题也可以先求出两个串联弹簧的等效刚度，然后用一个方程即可求出传递函数。12K312画出图题312所示系统的方块图，该系统在开始时处于静止状态，系统的输入为外力FT，输出为位移XT，并写出系统的传递函数。图题312X1TK1BM2M1K2XTFT34解设M1的位移为X1T，如图题312所示。分别对质量M1和M2利用牛顿第二定律得111BTXKTXT22F整理得111MXTTKXTBT221BF在初始条件为0的条件下，对上两式等号两边同时做拉普拉斯变换得11SKXS221FBS即1211SSSMK22XFBX上两式的方块图分别如图题解312（A）、（B）所示。图题解312BS（A）（B）FSX1SXS211BSMKXSX1S221MSBK（C）211BSMKFS22XSBS将方块图（A）、（B）合并得系统的方块图，如图解312（C）所示，化简一次得方块图（D）。系统的传递函数为352211221431212121212MSBKXSGFSSSKKBSK313求图题313所示系统的传递函数。解利用梅逊公式（）前向通路只有一条，该前向通路的传递函数为12BTSS有两条回路，传递函数分别为11ALSS22因为所有两个回路具有一条公共支路，所以没有不接触回路，因此特征式为121212AALSS因为两个回路都与唯一的前向通路相接触，故从中去掉两个回路的传递函数即可得到前向通路的特征式的余因子111将上述结果代入梅逊公式得到系统的传递函数为212112NBTCSBSARAS（B）前向通路有两条，这两条前向通路的传递函数分别为11BTS22T有两条回路，传递函数分别为11ALSS36212ALSS因为所有两个回路具有一条公共支路，所以没有不接触回路，因此特征式为121212SS因为两个回路都与两个前向通路相接触，故从中去掉两个回路的传递函数即可得到两个前向通路的特征式的余因子1121将上述结果代入梅逊公式得到系统的传递函数为1212122NBTTSBCSSARA314图题314所示为发动机速度控制系统的方块图。发动机速度由转速测量装置进行测量。试画出该系统的信号流图。图题314参考速度转速测量装置液压伺服机构负载干扰发动机实际速度解其信号流图如图题解314所示。图题解31422104S10S102SNSRSCS111315对传递函数26843YSSGU试推导对应的状态方程表达式。37解法1（套公式笨办法）。2268514343YSSSGU与教材式（3121）比较得到0125NABB，代入教材式（3130）得状态空间表达式为1122120345XXUYUXX式中，U为输入变量。解法2（参考现代控制工程MODERNCONTROLENGINEERING美KATSUHIKOOGATA绪方胜彦著卢伯英，于海勋等译北京电子工业出版社，2000年5月第3版）令10211XYUXU式中，0，1由下式确定021102642831BA代入上式得1212XUX而20121234AU所以状态空间表达式为1110222112203XXXUYUXXX【注】结果与解法1不同，这是因为状态空间表达式不是唯一的（取决于所选取的状态变量，可能有无穷多个）。解法3利用拉氏反变换382682531143123YSSSUS即23SUSSU令123XSS则11223SXSUS1YS对上面三式做拉氏反变换得123XU12YX所以状态方程为112230UXXX输出方程为12XYU316图题316所示系统，以图中所标记的X1、X2、X3为状态变量，推导其状态空间表达式。U、Y分别为输入、输出，1、2、3是标量。解由图可知1YXDU32312X39所以系统的状态空间表达式为112223312300XXUXYDUX317设系统的微分方程为7148YY试求系统的状态空间表达式。解这是一个三阶系统，输入变量为U，输出变量为Y。选取3个状态变量X1，X2，X3，它们分别为123XY代入原微分方程中得3123714847XYYUXXU故系统的状态方程和输出方程为（合称状态空间表达式）11223300847XX输出方程为1230XY318给定系统传递函数为234610YSSGU试写出它的状态空间表达式。解（套公式）。223346105SYSSU与教材式（3121）比较得到40012335/2/0NAABB，代入教材式（3130）得状态空间表达式为11223312305XXUXYX式中，U为输入变量。41第3章系统的瞬态响应与误差分析复习思考题习题41设单位反馈系统的开环传递函数为45GS求这个系统的单位阶跃响应。解法1系统的闭环传递函数为（假定为负反馈）2444511SGSS所以系统的单位阶跃响应的拉氏变换为312414KCSSSS利用部分分式法计算得到，10SK213SK413SC所以1434CS对上式做拉普拉氏反变换得到单位阶跃响应为410TTCTE解法2利用教材上的结论系统的闭环传递函数为（假定为负反馈）224451NGSSS上式等号两边比较得，24N5N42解得RADS1（负根舍掉），2N54这是一个过阻尼二阶震荡系统，有两个不相等的负实数极点，所以，该单位阶跃响应为2114NS221NS1220PTTECT式中，代入上式得阶跃响应为14PS21PS44410333TTTTTTECTEE42设单位反馈控制系统的开环传递函数为1GS试求系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间。解法1直接套用教材上的结论。系统的闭环传递函数为（假定为负反馈）22111NGSSS等号两边比较得N1RADS1（负根舍掉），05。这是一个欠阻尼二阶震荡系统，所以上升时间2221105ARCTARCTN4318S9RNT峰值时间223628S1105PNT最大超调量2231PMEE调整时间（用近似公式）22679S5LN10LN1L0LN058121ST调整时间的较准确值（用MATLAB按准确的理论响应曲线测量的结果）5289S50762ST43解法2直接按指标定义求解。系统的闭环传递函数为（假定为负反馈）22111NBGSSS等号两边比较得N1RADS1（负根舍掉），05。这是一个欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应为222131SI1ARCTNSIN02NTNECTTT然后按着指标的定义求解（参见教材中的求解过程）。43设有一闭环系统的传递函数为2NYSXS为了使系统对阶跃输入的响应，有约5的超调量和2S的调整时间，试求和N的值应等于多大。解设允许的误差范围为，系统为欠阻尼系统，则根据题意得到1215PME22LN0LNST由（1）式解得（舍掉负根069）069将5和069代入（2）式解得N2405RADS1将2和069代入（2）式解得N3069RADS144图题44所示系统，当输入RT10T和RT46T3T2时，求系统的稳态误差。解系统的开环传递函数为104GSHS开环增益K10/425。图题4444复域系统误差为210411RSSSRESGH（1）解法1利用教材的结论。这是一个1型系统，所以其单位斜坡响应的稳态误差为0425SUEK当RT10T时的稳态误差为1SSU解法2按定义推导。当RT10T时，RS10/S2，代入上述误差的拉氏变换式得到2041ES利用拉普拉斯变换的终值定理得系统的稳态误差为200LIMLILIM40STSSSE（2）解法1利用教材的结论。这是一个1型系统，其静态位置、速度和加速度误差系数分别为KP，KVK25，KA0根据线性系统的叠加原理可知，系统对RT46T3T2响应的稳态误差为SPVA461150E解法2按定义推导。当RT46T3T2时，代入上述2346RSS误差的拉氏变换式得到22326441010SSSSE利用拉普拉斯变换的终值定理得系统的稳态误差为2004LIMLILIMSTSSSEE45设题44中的前向传递函数变为1GSS45输入分别为RT10T，RT46T3T2和RT46T3T218T3时，求系统的稳态误差。解系统的开环传递函数为10GSHS其开环增益为K10/110。复域系统误差为3210101RSRSSRSES（1）解法1利用教材的结论。这是一个1型系统，开环增益K10，所以其单位斜坡响应的稳态误差为0SUEK当RT10T时的稳态误差为11SSU解法2按定义推导。当RT10T时，RS10/S2，代入上述误差公式得到332001110RSE利用拉普拉斯变换的终值定理得系统的稳态误差为3200LIMLILIM11STSSSEE（2）当RT46T3T2时利用上述方法可分别求得系统对单位阶跃信号1T、单位斜坡信号（T）和加速度信号（T2）的稳态误差为1320010LIMLILIMSTSSSEE232001LILILISTSSS32320010LILILISTSSE根据线性系统的叠加特性可得系统对RT46T3T2响应的稳态误差为12346SSSSEE（3）当RT46T3T218T3时46系统对信号T3的稳态误差为43200610LIMLILIMSTSSSEES根据线性系统的叠加特性可得系统对RT46T3T218T3响应的稳态误差为12344618SSSSSEEE【注】此题所给系统是一个不稳定系统（因为有一对共轭极点的实部大于0。特征方程的根闭环传递函数极点14857，02069J07974），所以上述计算结果毫无意义。若将系统改成，则系统稳定。01GSS46图题46为由穿孔纸带输入的数控机床的位置控制系统方块图，试求解系统的前向传递函数为91S系统的闭环传递函数为2222931116CSGSRSSS（1）由闭环传递函数可知，这是一个二阶震荡系统13RADS6N（2）最大超调量22116058PME上升时间22/6ARCTNARCTN1058S13RT（3）当RT1T时，RS1/S，复域系统误差为219191SEGHS利用拉普拉斯变换的终值定理得系统对单位阶跃输入响应的稳态误差为472001LIMLILIM09STSSEES也可以利用教材上的结论求解（这是个1型系统，开环增益K9。1型系统对单位阶跃输入响应的稳态误差为0）。（4）当RTT时，RS1/S2，复域的系统误差为2219191SEGHS利用拉普拉斯变换的终值定理得系统对单位斜坡输入响应的稳态误差为2001LIMLILIM9STSSEES也可以利用教材上的结论求解（这是个1型系统，开环增益K9。1型系统对单位斜坡输入响应的稳态误差为ESS1/K1/9）。47求图题47所示带有速度控制的控制系统的无阻尼自然频率N，阻尼比及最大超调量MP（取K1500，D001S）。解系统的闭环传递函数为22222507507501911NNNCSSSSRSJJ等号两边比较得RADS1750863N219N2N当输入为单位阶跃信号时，RS1/S，所以2231227501NNNNSCSSJJKKSJSJ利用部分分式法计算得到12021NJ212NKJK3148对CS进行拉氏逆变换得到系统的阶跃响应为221123NNJJCTKEEK将K1、K2、K3代入上式中，并整理得2222201OSSI1010SINARCTNNNNTTNTNCTETT令0PTDC解得第一个峰值时间为222111ARCTNARCTNARCTN00NNPT将TP代入CT中可得到最大超调量为2222212ARCTN0101SINARCT10NPNTNPNMTEE将N和代入上式求得2206386031ARCTN95/195701381PME48求图题48所示系统的静态误差系数KP、KV、KA，当输入是40T时，稳态速度误差等于多少解这是一个1型系统，其开环传递函数为1025GSHS开环增益K10。静态位置误差系数00LIMLI1PSSKS静态速度误差系数00LILI025VSSGH49静态加速度误差系数22001LIMLI05ASSSKGH当输入是40T时，稳态速度误差为或者0020LILILI141254STSSSREESS401SEK【注】此题所给系统是一个不稳定系统（可以用劳斯稳定判据判别）（闭环传递函数的三个极点为74572，02286J36548），所以上述计算结果毫无意义。49控制系统的结构如题49所示。解（1）由图可知21CSNSFRSCGSF求得2121GSSSNRSSFFF复域的系统误差为21111ESRCSSSNGGSG则在单位阶跃输入信号1T作用下系统的稳态误差为2100LIMLI11SSFSEESSFSF（2）外部扰动N1S单独作用时系统的稳态误差110LIMSENSGS外部扰动N2S单独作用时系统的稳态误差220LI1SESSF（3）501000LIMLI1LISSSPFSEENGJKS4