第章习题解答

1习题1111判断下列方程是几阶微分方程（1）；（2）；23DTANSI1YTT76D0XYXY（3）；（4）20XX42解微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶所以有，（1）一阶微分方程；（2）一阶微分方程；（3）三阶微分方程；（4）三阶微分方程2指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解（1），；XY25X（2），；03SIN4COSYX（3），；2E（4），0XYLNXY解（1）将代入所给微分方程的左边，得左边，而右边510YX210X左边，所以是的解22025（2）将，代入所给微分方程的左边，3COS4IN3SIN4COSYX得左边右边，所以是INS0X3SIN4COSYX所给微分方程的解0Y（3）将，代入所给微分方程2EX2EX2E4EXXY的左边，得左边（右边），22240XXXX所以不是所给微分方程的解2EY0Y（4）对的两边关于求导，得LNXYX，1Y即X2再对求导，得X，2YXYXY即，20所以是所给微分方程的解LNYX2XYYY3确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件（1），；（2），2C05X210E,XCY0XY解（1）将，代入微分方程，得Y205所以，所求函数为2X（2），将，22112EEEXXYCC0XY分别代入01X和，21X212XY得，10C2所以，所求函数为2EXY4能否适当地选取常数，使函数成为方程的解EXY90Y解因为，所以为使函数成为方程X2EX的解，只须满足90Y，2E90X即2X而，因此必有，即或，从而当，或时，E0X29033函数均为方程的解33,EXYY5消去下列各式中的任意常数，写出相应的微分方程12,C（1）；（2）；2CXTANYXC（3）；（4）12EXY21解注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含3两个独立常数的式子对应于二阶微分方程（1）由两边对求导，得2YCXX，YC代入原关系式，得所求的微分方程为22X（2）由两边对求导，得TANYXC，2TANSECYC即2TTANXX而，故所求的微分方程为TANYXC，2YX化简得2YY（3）由两边对求导，得12EXXYC，12EXXC两边再对求导，得，12XXY这样便可得所求的微分方程为Y（4）由两边对求导，得21YCX，122C将代入上式，并化简得212X，1XY对上式两边再对求导，得，2故所求的微分方程为0XY习题1121求下列微分方程的通解或特解4（1）；（2）；LN0XYCOSINSICO0XYDXYD（3）；（4）；2Y1（5），；X01（6），22SIND3COSDYY16X解（1）分离变量，得，LNYX两端积分，得，LLC即，LNYX所以原方程的通解为ECX注该等式中的与等本应写为与等，去绝对值符号时会出现号；XC|但这些号可认为含于最后答案的任意常数中去了，这样书写简洁些，可避开绝对值与正负号的冗繁讨论，使注意力集中到解法方面，本书都做这样的处理（2）原方程分离变量，得，COSCSDINIYX两端积分，得，LSILSILNC即，LNILYX故原方程的通解为SI（3）原方程可化成，2D1YX分离变量，得，2YX5两端积分，得，12LN|1|XCY即2LN|1|X是原方程的通解（4）分离变量，得，D11YX两边积分，得，LNLNLC即E1XYX是原方程的通解（5）分离变量，得，2D31YX两端积分，得，22LNLN6YC即12623EX由定解条件，知01XY，即，16C16故所求特解为，即12623XYE223EXY（6）将方程两边同除以，得SIN0，2COD3IXY两端积分，得6，12COSD3INXYC积分后得（其中），2LNLSILXY1LN从而有，23INXC代入初始条件，得16XY4SI26因此，所求方程满足初始条件的特解为，23INXY2一曲线过点在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲0,M线的方程解设曲线的方程为，过点的切线与X轴和Y轴的交点分别YFX,MXY为及，则点就是该切线的中点于是有2,0AX,2B,AB，即，且，YXY23Y分离变量后，有，1DXY积分得，LNLC即YX由定解条件，有23XY，6C故为所求的曲线6YX3一粒质量为20克的子弹以速度（米/秒）打进一块厚度为10厘米02V的木板，然后穿过木板以速度（米/秒）离开木板若该木板对子弹的阻力187与运动速度的平方成正比（比例系数为K），问子弹穿过木板的时间解依题意有，2DVMT0T即，21DKVT两端积分得，（其中20克002千克），10KTCTVM代入定解条件，得02T，120故有10VKT设子弹穿过木板的时间为秒，则T021D1TK0LNTKT，1L015K又已知时，米/秒，于是TT180V，210KT从而，5为此有，01LN150T所以（秒），7LN2T508962故子弹穿过木板运动持续了（秒）0884求下列齐次方程的通解或特解（1）；（2）；20XYX2D0XYX（3）；（4）；3DY1E1DY（5），；（6），22X1X230XYX01XY解（1）原方程变形，得，21YX令，即，有，则原方程可进一步化为YUXUXYU，21X分离变量，得，21DUX两端积分得，2LNLNC即，21UX将代入上式并整理，得原方程的通解为YUX22YXC（2）原方程变形，得，即2DXY21DYX令，即，有，则原方程可进一步化为YUXUXU，21X即9，1DUX两端积分，得，21LN|C将代入上式并整理，得原方程的通解为YUX（其中）2L|YX12（3）原方程变形，得，即，32DXY32D1YX令，有，则原方程可进一步化为YUXYU，32D1UX即，231UX两端积分，得，31LN2LLNC即，23XU将代入上式并整理，得原方程的通解为YUX3XYCX（4）显然，原方程是一个齐次方程，又注意到方程的左端可以看成是以为XY变量的函数，故令，即，有，则原方程可化为XUYUYDXUY，12E10U整理并分离变量，得，D2EUY两端积分，得10，LN2ELNUYC即UY将代入上式并整理，得原方程的通解为XUY2EXYC（5）原方程可化为2DX令，有，则原方程可进一步化为YUXDUX，2DUX即，21UX两端积分，得，LN|C将代入上式，得YUX，LN|XY代入初始条件，得1XY1LC因此，所求方程满足初始条件的特解为LN|XY（6）原方程可写成2D130XY令，即，有，则原方程成为XUYUYDU11，2D130UUY分离变量，得，21UY两端积分，得，2LNLNC即，21UY代入并整理，得通解XUY23XYC由初始条件，得于是所求特解为01XC325设有连结点和的一段向上凸的曲线弧，对于上任一点,AAO，,PXY曲线弧与直线段所围成图形的面积为，求曲线弧的方程AOP2X解设曲线弧的方程为，依题意有YX，201DX上式两端对X求导，2YXYX即得微分方程，4X令，有，则微分方程可化为YUXDU，即，D4XD4UX积分得，LN|UC因，故有YUXYXO11A1,1PX,YXYY124LN|YXC又因曲线过点，故于是得曲线弧的方程是1,A1CL|6化下列方程为齐次方程，并求出通解（1）；（2）1D41D0XYYX3解（1）原方程可写成，1D4YX令，解得交点为，作坐标平移变换，041XY01XX，有Y，DD1YYXX所以原方程可进一步化为，D4Y这是齐次方程设，则，于是（13）式可化为YUXUUX，D/14Y即，D1UX变量分离，得，24U两端积分，得，2111LNARCTNLXC即，2L4RT2XUU12将代入上式，得原方程的通解为1YYUXX1322LN41ARCTN1YYXCX（2）原方程可写成，D3XY该方程属于类型，一般可令DYFAXBYCUAXBC令，有，则原方程可化为UD1U，43UX即，D2XU积分得，3LNC将代入上式，得原方程的通解为UXY2LXYX习题1131求下列微分方程的通解（1）；（2）；（3）；2EXY23XYDTAN5YX（4）；（5）；（6）1LNYX26D0YXY2D解（1）DDEEPXPXQC222DDEDXXX221EXXC（2）原方程可化为，3YX故通解为1433DD3321EXXYCCX（3）原方程可化为，COS5SDINIYX故通解为COSCOSDDININEEIXXYC25SSISI5IXXX（4）所给方程的通解为11DDLNLN1ELNDXXYCXCLLX（5）方程可化为，2D6XY即，31D2XYY故通解为33DDEEYYXC321Y3C（6）3D3D3E2E2D33C2求下列微分方程的特解15（1），；（2），DTANSECYX0XYCOSDT5EXYX；24X（3），23D1YX1XY解（1）TANDTANDESCEXCLNCOSLNCOSEEDXXC，1OOXXS代入初始条件，得故所求特解为0,Y0COSYX（2）COTDCOTDSE5EXXYC，COS1INSINXCOS15ESINXC代入初始条件，得，故所求特解为,42XY，COS15EINXY即COSSIX（3）3322DDEEXXYC22113LN3LNEDXC2222111333DXXXX，22211233EEXXXC代入初始条件，得，故所求特解为,0Y213EXY3求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点处的切线斜率等于,XY162XY解设曲线方程为，依题意有，即从而YX2YX2YXDDE2EDCCE2EXXX由，得故所求曲线的方程为0XYC21XY4设曲线积分在右半平面（）内与路径无关，DDLFXFY0X其中可导，且，求FX1FF解依题意及曲线积分与路径无关的条件，有，2XFYFX即2FFF记，即得微分方程及初始条件为YFX，1YX1XY于是，11DD22EDXXYCXC3X代入初始条件，得，从而有1,XY123FXX5求下列伯努利方程的通解（1）；（2）；2DYX423YXY（3）；413XY17（4）3D1LND0XYX解（1）方程可以化为21DYX令，则，即代入上面的方程，得1ZYDZYXZX，1DZ即，ZX其通解为，11DDELNXXZCX所以原方程的通解为1LXY（2）原方程化为41233DXX令，则，即代入上面的方程，得13ZY43D1ZYXYZ，2D3ZX即，2DZX其通解为22DD33EEXXZC24332733XC18所以原方程的通解为12337YCX（3）原方程化为4312令，则，于是原方程化为3ZY4ZY，ZX其通解为DDE12EE12EDXXXXZCC，XXX所以原方程的通解为321EXY（4）原方程化为，即31LNYXX321LNYXX令，则，则原方程化为2ZY3Z，21LNZX其通解为22DDELEXXZC221LN331LDXXX23321LN9C，2LXX所以原方程的通解为，221LN39YC19或写成234LN9XXCY习题1141求下列全微分方程的通解（1）；（2）；2DD0XYY2236D46D0XYXY（3）34X解（1）易知，因为PY21QXY，所以原给定的方程为全微分方程而2001,DDXYUYX，22214Y故所求方程的通解为2214XYC（2）易知，因为236PX36Q，1PXY所以原给定的方程为全微分方程而23200,3D46DXYUYXY，故所求方程的通解为342XYC（3）易知，因为32PY2Q，46PXQY20在的区域内为全微分方程，故0Y24011,2D3DXYUYXY222331Y所求方程的通解为，（或），213XYC23XYC即23XY2用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解（1）；D0XY（2）2231XY解（1）用乘方程，便得到了全微分方程2，21D0YX即2YYXX故通解为CX（2）用乘方程，便得到了全微分方程21Y，21D3D0XYXY，21D30XY故原方程的通解为21213XYC3用积分因子法解下列一阶线性方程（1）；（2）24LNXYTANYX解（1）将原方程写成，4LNXY此方程两端乘以后变成2DEX，24LNYX即，2L两端积分，得，2224LNDLXYXXC故原方程的通解为2L1X（2）方程两端乘以，则方程变为TANDECOSX，IY即，CSSX两端积分，得，ODINCOYXC故原方程的通解为TA1CSXX习题1151求下列微分方程的通解（1）；（2）；2YXEXY（3）54022解（1），112DARCTNYXCX12ARCTN212RTALNXC（2），1EDEXXY，1212EXC3E2DXY23XX（作为最后的结果，这里也可以直接写成）11C（3）令，则有，可知，从而有4ZY0DZXZX，4Y再逐次积分，即得原方程的通解5321245YCXXC2求下列微分方程的通解（1）；（2）；YX0XY（3）；（4）303解（1）令，则，且原方程化为PYPX利用一阶线性方程的求解公式，得DD11EEDXXXXPCCEXXX即，1EXP再积分，得通解2112EDXXYCC（2）令，则，且原方程化为P，0P分离变量，得23，DPX积分得，1LNLCX即，1P再积分，得通解12DLN|CYX（3）令，则，且原方程化为YPP，3D10Y分离变量，得，3PY积分得，21C故，2112|YPYY再分离变量，得21|DXCY由于，故上式两端积分，|SGNY，即，21DYX2112SGNYCX两边平方，得2211CY（4）令，则，且原方程化为，即YPDP3DPY242D10PY若，则是原方程的解，但不是通解0PYC若，由于的连续性，必在的某区间有于是PXP，2D10PY分离变量，得，21P积分得，1ARCTNYC即，1TP亦即1COTDYCX积分得12LNSILN即，12IEXYC也可写成21ARCSINX由于当时，故前面所得的解也包含在这个通解之内20C1YY3求下列初值问题的解（1），；SINYX02Y（2），；2Y13（3），；YE0（4），210Y解（1）易知，21COSYXC312SIN6XCX由初值条件，知，得；由，知0010Y25，得故特解为210C213SIN16YX（2）令，则，且原方程化为YP，21PX变量分离，得，2DX两端积分，得，21YPC再两端积分，得，312X由初值条件，有03Y，210C解得，13由初值条件，有01Y20C解得，21故所给初值条件的微分方程的特解为3YX（3）在原方程两端同乘以，得，即，2EY2EY积分得，21YC代入初始条件，得0Y，1从而有2EY26分离变量后积分，2DE1YX即，2DEYX得，2ARCSINYC代入初始条件，得0Y2于是得符合所给初值条件的特解为，ESINYX即LCOLE（4）令，则，且原方程化为YPDPY，21Y分离变量，得，2D1P两端积分，得，21LNYC代入初始条件，得0Y10从而，即，2LNYP21EYYP再分离变量，得，即21DEYX2DDE1YX两端积分，得27，2ARCHEYXC代入初始条件，得0Y，20C从而有满足所给初始条件的特解为，即ARCHEYXECHYX或写成LN4试求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线YX0,1M12YX解由于直线在处的切线斜率为，依题设知，所求积分曲2,线是初值问题，YX0102XY的解由，积分得YX，21YC再积分，得，2126X代入初始条件，解得01XY0X，12C于是所求积分曲线的方程为216YX5对任意的，曲线上的点处的切线在轴上的截距等0XF,FXY于，求的表达式01DXFTF解设曲线的方程为，其中有二阶导数，则在点YFXYFX处的切线方程为,MXF28，YFXXX令，知切线在轴上的截距为0XY，FF据题意，有，即01DXFTFXF20DXXFFFT两端求导，得，2FFFFFX即0,XFFX已知，故有0X,FF令，则，且原方程化为YPYD0,PX分离变量，得，1DPX两端积分，得，即1LNLPCX1CYPX再对两端积分，得，即12LY12LNF习题1161下列函数组中，在定义的区间内，哪些是线性无关的（1），；（2），；EX23SINX2COSX（3），；（4），COS2INXL解（1）因为，满足1EY2X常数，212EXY所以函数组，是线性无关的EX29（2）因为，满足213SINYX21COSYX，223IN所以函数组，是线性相关的2SIXCSX（3）因为，满足1OY2IY常数，12OSCT2INX所以函数组，是线性无关的CS2XI（4）因为，满足1LY2LY常数，12NLX所以函数组，是线性无关的LNX2验证及都是方程的解，并写出该方程的1COSY2SIYX20Y通解证明由，得，；1SX1SIN21COSX由，得，2INYCOYXINY可见，2SIN0I1,2I故及都是方程的解1COSYX2SINYX2Y又因为常数，故与线性无关于是所给方12T1COSX2SINYX程的通解为1212CSIYCX3验证及都是方程的解，并写出该21EXYEX40YY方程的通解证明由，得，；21X21XY21EX由，得，2EY22X2364XY因为；22221144EE0XXXXY30222232464E1E4E0XXXYXY所以及都是方程的解1EEX0YY又因为常数，故与线性无关，于是所给方程的通解21Y21EX2EX为2121EXYC4若，都是方程13Y22X3X（）PQYF0F当，都是连续函数时，求此方程的通解PXQF解因为，221YX32EXY所以及都是方程对应齐次方程的特解又因为2XEPF常数，所以与线性无关因此，所给方程3221Y2132的通解为PXQYFX12EXYC习题1171求下列微分方程的通解（1）；（2）；40Y310YY（3）；（4）；96解（1）所给方程对应的特征方程为，240R解之，得，12所以原方程的通解为412EXYC（2）所给方程对应的特征方程为230R解之，得31，15R2所以原方程的通解为12EXXYC（3）所给方程对应的特征方程为2960R解之，得，123R所以原方程的通解为1312EXYC（4）所给方程对应的特征方程为，0R解之，得，1I2I所以原方程的通解为12COSINYCX（5）所给方程对应的特征方程为，2650R解之，得，134I2I所以原方程的通解为12ECOSIN4XYCX（6）所给方程对应的特征方程为，即425360R90R解之，得，1,23,4I所以原方程的通解为1234ECOSIN3XXYCCX2求下列微分方程满足所给初始条件的特解（1）；0043,6,1XXYY（2）；232（3）；0025,2,5XXYY（4）133Y解（1）所给方程对应的特征方程为，240R解之，得，123所以原方程的通解为，12EXXYC从而，312XX代入初始条件，得006,XXY126,30C解得，124,C故所求特解为34EXY（2）所给方程对应的特征方程为，210R解之，得，1,2所以原方程的通解为，121EXYC从而，12221EXXX代入初始条件，得002,XXY3312,0,C解得，12,C故所求特解为12EXY（3）所给方程对应的特征方程为，250R解之，得，1,2I所以原方程的通解为，12COS5INYCX从而，12ICSX代入初始条件，得002,XXY12,5C解得，12,C故所求特解为COS5INYX（4）所给方程对应的特征方程为，24130R解之，得，1,2I所以原方程的通解为，12ECOS3INXYCX从而，34，21221E3COS3SINXYCXCX代入初始条件，得00,X120,3,解得，120,C故所求特解为2ESIN3XY3具有特解，的最低阶常系数齐次线性微分方程是21XYCO_解由题意可知特征方程至少有一个是三重实根，是一对共轭0RIR2复数根因此，满足条件的最低阶的特征方程应为，即32R532所以满足条件的最低阶常系数齐次线性微分方程是05Y习题1181求下列微分方程的特解的形式（不必求出待定系数）（1）；（2）；231YXYX（3）；（4）；E3EX（5）；（6）；X2（7）；（8）；26SINY5SINXY（9）；（10）ECOXEY解（1）是型（其中，），对应231FMP231MPX0齐次方程的特征方程为20R易知，不是特征方程的根，所以特解的形式为0Y（这里A、B和C为待定系数）2YAXBC35（2）是型（其中，），对应齐次方程的特FXEXMPMPX0征方程为20R易知，是特征方程的一个单根，所以特解的形式为0Y（这里A和B为待定系数）2YXABX（3）是型（其中，），对应齐次方程的特EFMP1MPX征方程为，20R易知，是特征方程的二重根，所以特解的形式为1Y（其中A为待定系数）2EXY（4）是型（其中，），对应齐次方程的EXFMP1MPX特征方程为，230R易知，是特征方程的一个单根，所以特解的形式为1Y（其中A为待定系数）EXY（5）是型（其中，），对应齐次方程的EXFMPMPX1特征方程为，230R易知，是特征方程的一个单根，所以特解的形式为1Y（其中A和B为待定系数）2EEXXYAB（6）是型（其中，），23FXMP23MPX1对应齐次方程的特征方程为，20R易知，是不是特征方程的根，所以特解的形式为1Y（其中A、B和C为待定系数）2EXYAXBC（7）属于型（其中，ESINFCOSSINLPX2，）对应齐次方程的特征方程为10LP1，2760R36易知，不是特征方程的根，所以应设其特解为I2I（其中A、B为待定系数）ECOSNXYABX（8）属于型（其中，2INFCOSSINLPX2，）对应齐次方程的特征方程为10LPX1X，2450R易知，是特征方程的根，所以应设其特解为I2I（其中A和B为待定系数）ECOSINXYABX（9）属于型（其中，2FECOSSINLPX2，）对应齐次方程的特征方程为1LPX0NX，20R易知，不是特征方程的根，所以应设其特解为I2I（其中A、B、C和D为待定系数）2ECOSSINXYABXCDX（10）属于型（其中，EINFECOSINLPX1，）对应齐次方程的特征方程为10LPX，20R易知，是特征方程的根，所以应设其特解为I1I（其中A、B、C和D为待定系数）ECOSSINXYABXCDX2求下列各微分方程的通解（1）；（2）；2EXY32EXY（3）（4）3691COSX解（1）是型（其中，），对应齐次方程XFMPMP1的特征方程为，210R解得，12故对应齐次方程的通解为12EXXYC37因为是不是特征方程的根，所以特解的形式为1Y，EXYA代入原方程得22XX消去，有，即EX1A，EXY故原方程的通解为12XXYC（2）是型（其中，），对应齐次方3EXFMP3MP1程的特征方程为，230R解得，12故对应齐次方程的通解为12EXXYC因为是特征方程的单根，所以特解的形式为1Y，2EXXYXAB代入原方程并消去，得EX23比较系数，得，AB即，23EXY故原方程的通解为221E3EXXXYYC（3）是型（其中，），对应齐次3XFXMP1MP3方程的特征方程为，2690R解得38，1,23R故对应齐次方程的通解为312EXYC因为是特征方程的二重根，所以特解的形式为3Y，23323XXYXAB代入原方程并消去，得EX61比较系数，得，A2B即，3231E6XYX故原方程的通解为3323121EEXXYYC（4）原方程对应的齐次方程的特征方程为20R解得，1,2I故对应齐次方程的通解为12COSINYCX因，对应于方程，可设特解为；对应于方程ECOSXFEY1EXYA（是特征方程的根）可设特解为，YI2COSINBCX故由叠加原理，设原方程的特解为12ECOSINXYABCX代入原方程，得，ECOSIXXC比较系数，得，12A0B12即39，1ESIN2XY故原方程的通解为121COSIESIN2XYYCX3已知函数所确定的曲线与轴相切于原点，且满足FX2SINFX，试求F解显然函数满足初值条件YX，2SINX0Y0可解得方程的通解为I121COSICOSYYCX由定解条件，有00120,解得12,C所求的曲线为1COSINCOS2YXX4设函数连续，且满足，求X0EDXTTX解由于函数连续，故可导，从而有0XT，0EDXXT，00EDXXTT于是有初值问题，EX1可解得方程的通解为X40121COSINEXXC由定解条件，可解得，故所求的函数为011COSINE2XX5求下列微分方程的通解（1）；（2）250XY2D30YXX（3）LNX解（1）令，即，原方程化为二阶常系数的齐次线性方程ET，2D30YTT其特征方程为，特征根，因此通解为2310R1R2121ETTYC再以代之，得原方程的通解为LNTX121X（2）令，即，原方程化为二阶常系数的齐次线性方程ETLN，2D0YTT其特征方程为，21R特征根为，因此通解为12R12ETYCT将代入上式，则得原方程的通解为LNTXLN1212LLNXXX（3）令，即，原方程化为二阶常系数的非齐次线性方程ET，2DETYT（）其特征方程为，特征根，故对应齐次方程通解为20R1R24121ETTYC设方程特解为，TAB代入方程（），经比较系数得，于是21ETY故方程（）的通解为21EETTTYC把变量还原为，将代入上式，则得原方程的通解为TXLNTX211LNYX习题1191设圆柱形浮筒，直径为05M，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2S，求浮筒的质量解设X轴的正向铅直向下，原点在水面处平衡状态下浮筒上一点A在水平面处，又设在时刻T，点A的位置为，此时它受到的恢复力的大小为XT（是浮筒的半径），恢复力的方向与位移方向相反，故有210|GVR排水，210MGR其中M是浮筒的质量记，则得微分方程22G20X解其对应的特征方程，得，故20R1,IR，12COSINSIXCTTAT21AC1SINCA由于振动周期，故，即T，210GRM从中解出浮筒的质量为42图119图1110（KG）21095GRM2设有一个由电阻R，电感自感L，电容C和电源E串联组成的电路简称RLC串联电路，其中R,L,C为常数，电源电动势是，这里及也是常数SINMETME（图119）求出RLC串联电路中电容C上的电压所满足的微分方程CUT解设电路中的电流为IT，电容器所带的电量为QT，自感电动势为LET由电学知识知道,DQIT,CULDIET因而在RLC电路中各元件的电压降分别为（1）,1RCLCIDIUELUTQ根据回路电压定律，得RLCE将1式代入上式，得,CU变形，得（2）1SINMCCERTLL这就是串联电路中电容C上的电压所满足的微分方程T如果电容C经充电后，撤去外接电源即E0，方程2成为（3）1CCRUL3在如图1110所示的电路中，先将开关K拨向A，使电容充电，当达到稳定状态后再将开关拨向B设开关K拨43向A的时间T0,求T0时回路中的电流IT已知E20伏，C05法拉，L16亨利，R48欧姆，且0,TI025TDI解在电路RLC中各元件的电压降分别为,1RCLUIQDIET根据回路电压定律，得RLCU将上述各式代入，得1DIQET在上式两边对T求导，又因为所以有,IT210,DLRITTC即2IIDTLT将R48，L16，C05代入，得（）25304IIT方程（）的特征方程为2R特征根为15,2R1所以方程的通解为4451221TTICE为求得满足初始条件的特解，求导数得51221TTIE将初始条件代入，得0,TI02TDI120,55C解得因此得回路电流为125,4C51224TTIE下图为电流I的图象当开关K拨向B后，这回路中的反向电流I，先由0开始逐渐增大，达到最大值后又逐渐趋于零习题11101对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术人数成正比，推广是无限的；（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低；（3）在第（2）问的前提下考虑广告媒体的传播作用解设时刻采用新技术的人数为XT（1）指数模型图111145DXT（2）LOGISTIC模型，为总人数DAXNT（3）广告等媒介在早期作用比较大，它对传播速度的影响与尚未采用新技术的人数成正比，在模型（2）的基础上，有DXABXT第（2）问和第（3）问的区别见下图2侦察机搜索潜艇设T0时艇在O点，飞机在A点，OA6里此时艇潜入水中并沿着飞机不知道的某一方向以直线形式逃去，艇速20里/时，飞机以速度40里/小时按照待定的航线搜索潜艇，当且仅当飞到艇的正上方时才可发现它（1）以O点为原点建立极坐标系，A点位于的向径上，见右,R0图分析图中由P、Q、R组成的小三角形，证明在有限时间内飞机一定可以搜索到潜艇的航线，是先从A点沿直线飞到某点，再从0P沿一条对数螺线飞行一周，而是一个圆周0P上的任一点给出对数螺线的表达式，并画出一条航线的示意图；（2）为了使整条航线是光滑的，直线段应与对数螺线在点相切，找出这0P条光滑的航线；（3）在所有一定可以发现潜艇的航线中哪一条航线最短，长度是多少，光滑航线的长度又是多少解（1）证明记飞机速度40里/小时，艇速20里/时设是所求航UVPRXX（2）（3）XT（2）O（3）O,DQR,DRRA,PR46线上的一段，即当潜艇沿航行时飞机、潜艇在相遇（图1），那么当潜艇沿,R航行时，二者必在相遇，记弧长为，则，,RPRDS2URV注意到，即可得到，这是一条对数螺线，222DDSR0/3ER是满足的任意一点的坐标，而位于以为圆心、半径0,R0/OPA02,为4里的圆周上飞机从沿直线飞至，再沿螺线飞0行，最远飞行一圈至，总能发现潜艇（图2中实线为2P飞机航线，虚线为潜艇航线）（2）考察对数螺线上任一点的切线与该点的向径夹角（图3），有P，对于，夹角，而螺线起始点所在的圆DCOSR03ER1TAN30P周上只有点使与的夹角也是（图4），所以沿的航线是12,P1AO13A光滑的O,DQRD,RRA,PR图1SA,PR图3DAO6123,P3图4OA图20P2P47O（3）一定可以发现潜艇的航线是，直线段加上螺线一圈（图2）显0AP0P然最短的航线是取点为（2，0），沿螺线飞行至点点的向径P32ER22即为潜艇的航程，因为，故飞机最短航线的长度为23ERUV里15同理，光滑航线的长度为里23E60如果计算螺线的长度，则需代入求积分0R0222DR总习题十一（A）1填空题（1）已知及是微分方程的解（其中21EXY2EX0YPXQY、都是已知的连续函数）则该方程的通解为_；PXQ（2）若曲线过点，且曲线上任意一点处的切线YFX01,2M,MXY的斜率为，则_；2LN1XF（3）微分方程的特解的形式为_；6EXYY（4）若,都是微分方程212X253XYYPXQY的解（其中，都是已知的连续函数），则此微分方程FX0FPQ的通解为_解（1）因为与线性无关，所以所求通解为1Y2；2121EXYCYC（2）因为，所以LNF2DLN1DFFXX，21C48由定解条件，知，故有102F0C221LNFXX（3）是型（其中，），对应齐次方程6EXFMP6MP1的特征方程为210R易知，是特征方程的二重根，所以特解的形式为1Y（这里A和B为待定系数）2EXYXAB（4）因为，都是对应齐次方程的解，并且线性无关，21532Y故对应齐次方程的通解为，251EXXYC取所给方程的一个特解为，于是所给方程的通解为Y2521XX2选择题（1）函数、为任意常数）是方程的（21EXCY120Y）（A）通解（B）特解（C）不是解（D）是解，既不是通解，又不是特解（2）方程是（）D54DXYXY（A）一阶线性齐次方程（B）一阶线性非齐次方程（C）齐次方程（D）可分离变量的方程（3）具有特解，的三阶常系数齐次线性微分方程1EXY2EX3EXY是（）（A）（B）00Y（C）（D）61YY2Y（4）微分方程的一个特解应具有形式（式、为常数）（EXAB49）（A）（B）（C）（D）EXABEXABEXABX解（1）因为，它实际只含有一个任意常数，2211XCXY所以它既不是通解，又不是特解而满足所给方程，所以是所给方程的E解应选（D）（2）方程可变形为D54DXYXY，2XY它是典型的齐次方程，故选（C）（3）由于，可知，是特征方程的二重根且于是所给1Y231,2R31R方程对应的齐次方程的特征方程为，23210RR故所求的微分方程应为YY本题应选（B）（4）原方程对应的齐次方程的特征方程的根为相对于方程1,2R，因，是特征方程的（单）根，故该方程的特解应形如EXY1EXF11A又相对于方程，因，不是特征方程的根，故该方程的Y2FX0特解应形如2B按微分方程解的叠加原理，原方程的特解应形如12EXYAB本题应选（B）3求下列微分方程的通解（1）；（2）；2XYXYDLNYXX（3）；（4）；D423D0Y50（5）；（6）2D0YXX2E4XY解（1）所给方程可以化为，1122DYXX令，则，方程就化成线性方程12ZY12DZYXZD12XX其通解为11DD221EEXXZCX因此，原方程的通解为XY（2）原方程可以化为，D2LNY解此线性方程，有通解22DDELEYYXC2211LNLNYY（3）令，则，从而方程可化为2ZYDZX，24ZX解得，2D2D2E4E1EXXXZC故原方程的通解为221EXY（4）原方程可化为，3DXYY51或，23DXYY令，则有2ZXDZXY，3D62ZYY解得66DD36643E2EDYYZCYCY故原方程的通解264XY（5）由于，故原222D1D1DARCTNYXXXYYY方程可表示为，22DDARCTN0XXY即2ARCTXYX所以原方程的通解为2ARCTNXXYCY（6）原方程对应的齐次方程的特征方程为，有根，320R10R，故对应齐次方程的通解为21R3213EXXY对于方程，因，其中是特征方程的（单）2EXY1XF根，故可令其特解为，代入方程中并消去，1ABEXYEX得，683XX比较系数得52解得61,830AB1,64,9A于是有214E69XY对于方程，因，其中是特征方程的（单）根，Y24FX0故可令其特解为，代入方程中，得2XCD2EXY，比较系数得解得4,20C1,CD于是有2YX根据线性方程解的叠加原理得原方程的特解，12Y2E4XY故原方程的通解为2221234EE69XXXYYC4求下列微分方程满足初值条件的特解（1），；32DD0XY1X（2），；YAX0（3），；SIN202XYXY（4）,COSY0X03X解（1）所给方程可以化为，即23DXY213D2XYY令，则，即，代入上面的方程，有1ZX2ZZ，3D2Y解得此线性方程的通解为53，22DD321EELNYYZCY即12LNXY由定解条件，可得，所求的特解为1XYC，即12L1Y2LXY（2）令，则，代入原方程有YP，即，2D0APX2DPAX积分得，或，1CP1AXC即，1DYX将初值条件代入上式，可得，从而有01XY，DYXA再积分，得21LNYC将初值条件代入上式，可得，故满足初值条件的特解为0XY20L1YAX（3）令，代入原方程，得YPDP，即2SINY2DSINPY积分得21COSC将初值条件代入上式，可解得从而有01XY154，即，221COSINYYSINY分离变量，得，DSIXY两端积分，得，或2LNTALNXC2TAEXY将初值条件代入上式，可解得，故满足初值条件的特解为02XY1，或TANEXY2ARCTNEXY（4）属于型（其中，COSFXCOSSILP01，）对应齐次方程的特征方程为1LP0N，210R解得，1,2对应齐次方程的通解为，12EXYC因为不是特征方程的根，所以可设其特解为ICOSINYAB从而有，SINYXCOSINX代入原方程，得，COSI2IICOSAXBABABX即，SINCOSXX比较系数，得，0A12B故1SIN