[硕士论文精品]banach空间中集值强向量相补及广义相补问题

目录摘要IIABSTRACTIII第一章相补问题的一般理论111相补问题的产生112相补问题的类型1第二章相补问题与变分不等式的等价性321预备知识322多值强向量F相补与相应的变分不等式的等价性423BANACH空间中广义F相补与相应的变分不等式的等价性9第三章相补问题解的存在性1231预备知识1232强向量相补问题解的存在性13第四章最小元的存在性1641预备知识1642集值强向量F相补问题中最小元的存在性1643BANACH空间中广义向量相补问题中最小元的存在性19参考文献21声明I致谢II在学期间发表的论文IIIABSTRACT摘要相补问题是COTTLE和DANTZIG于1963年提出，相补问题是应用数学的一个重要方面，它与优化理论，平衡理论，变分不等式理论有着密切的联系，同时又广泛应用于经济，工程机械，弹性理论，对策理论向量相补问题由CHEN和YANG1于1990年首先提出，其后，向量变分不等式与相补问题得到了广泛而深入的研究，并取得了丰硕的成果172005年，HUANG和FANG6介绍了强向量F相补问题的概念2007年，HUANG,LI和OREGAN在7中研究了BANACH空间中的广义F相补问题与三种类型的变分不等式的关系问题在这篇文章中，我们将上述概念分别推广到向量情形和集值情形，并分别研究解集的存在性以及相补问题与相应的变分不等式的等价性全文共分三章，具体内容如下在第一章，我们介绍相补问题的产生背景,与相补问题有关的数学分支，相补问题的有关方面以及相补问题的各种类型在第二章，我们首先将HUANG和FANG6介绍的强向量F相补问题推广为集值情形，并利用KKM定理证明推广后的相补问题与相应的变分不等式的等价性其次，我们将HUANG，LI和OREGAN在7中介绍的概念推广为向量情形，并利用单调性，伪单调性等概念以及引理211，来证明此类相补问题与相应的变分不等式的等价性在第三章，我们首先介绍一些有关的基本概念，其次，利用上方有界，伪单调，严格伪单调，半连续，以及KKM定理，极大极小原理来讨论集值强相补问题解的存在性在第四章，我们介绍Z映象，序向量空间,C单调，强可行集，弱可行集等概念，并利用上方有界来讨论可行集上的最小元的存在性问题关键词集值向量F相补，变分不等式；上方有界；可行集；最小元ABSTRACTABSTRACTTHECOMPLEMENTARITYPROBLEMSWASSTUDIEDBYCOTTLEANDDANTZIGIN1963FORTHEFIRSTTIMEITISANIMPORTANTDOMAININAPPLIEDMATHEMATICSTHECOMPLEMENTARITYPROBLEMSHAVECLOSERELATIONSBETWEENOPTIMIZATIONTHEORYANDEQUALIBRIUMTHEORY,VARIATIONALINEQUALITIESANDREPRESENTAWIDECLASSOFMATHEMATICALMODELSRELATEDTOECONOMICS,ENGINEERING,MECHANICS,ELASTICITY,GAMETHEORYETCVECTORCOMPLEMENTARYPROBLEMSWASFIRSTINTRODUCEDANDSTUDIEDBYCHENANDYANGIN1990SINCETHEN,ALARGENUMBEROFRESULTSFORTHEVECTORVARIATIONALINEQUALITYANDVECTORCOMPLEMENTARYPROBLEMSHAVEBEENOBTAINEDIN2005,HUANGANDFANGINTRODUCEDSTRONGVECTORFCOMPLEMENTARYPROBLEMIN2007,HUANG，LIANDOREGANSTUDIEDTHEGENERALIZEDFCOMPLEMENTARITYPROBLEMSANDTHREEKINDOFVARIATIONALINEQUALITIESINBANACHSPACESIN7INTHISDISSERTATION,WEGENERALIZETHENOTIONTOVECTORCASEANDSETVALUEDCASE,STUDYTHEEXISTENCEOFTHESOLUTIONSETANDEQUIVALENCEBETWEENCOMPLEMENTARYPROBLEMANDVARIATIONALEQUALITYTHISDISSERTATIONISDIVIDEDINTOFOURCHAPTERSINCHAPTER1,WEINTRODUCETHEBACKGROUNDOFTHECOMPLEMENTARITYPROBLEMSANDTHEBRANCHOFTHEMATHEMATICSCORRESPONDINGPROBLEMSANDTHETYPEOFTHECOMPLEMENTARITYPROBLEMSINCHAPTER2,WEGENERALIZEFCOMPLEMENTARITYPROBLEMINTRODUCEDBYHUANGANDFANGTOSETVALUEDFCOMPLEMENTARITYPROBLEM,PROVETHEEQUIVALENCEBETWEENSETVALUEDFCOMPLEMENTARITYPROBLEMANDCORRESPONDINGVARIATIONALEQUALITYPROBLEMSBYKKMTHEOREMWEGENERALIZETHECONCEPTINTRODUCEDBYHUANG,LIANDOREGANIN7TOVECTORCASE,ANDBYUSINGMONOTONICITYOFSETVALUEDMAPPING,PSEUDOMONOTONICITY,WEPROVETHEEQUIVALENCEBETWEENTHISTYPEOFCOMPLEMENTARITYANDCORRESPONDINGVARIATIONALEQUALITYPROBLEMSINCHAPTER3,WEFIRSTINTRODUCEBASICCONCEPTSABOUTCOMPLEMENTARITY，BYUSINGTHENOTIONOFBOUNDEDFROMABOVE，PSEUDOMONOTONICITY,STRICTPSEUDOMONOTONICITY,HEMICONTINUITY,KKMTHEOREMANDMINIMAXPRINCIPLE,WEPROVETHEEXISTENCEOFTHESOLUTIONOFSETVALUEDSTRONGCOMPLEMENTARITYPROBLEMSABSTRACTINCHAPTER4,WEINTRODUCEZMAPPING,STRICTPSEUDOMONOTONICITY,STRONGFEASIBLESET,WEAKFEASIBLESETBYUSINGTHENOTIONOFBOUNDEDFROMABOVE,WEPROVETHEEXISTENCEOFTHELEASTELEMENTOFTHEFEASIBLESETKEYWORDSSETVALUEDVECTORCOMPLEMENTARITYVARIATIONALINEQUALITYPSEUDOMONOTONICITYBOUNDEDFROMABOVE；FEASIBLESETLEASTELEMENT第一章相补问题的一般理论1第一章相补问题的一般理论11相补问题的产生相补问题是由著名运筹学家，数学规划的创始人DANTZIG和他的学生COTTLE于1963年首先提出的COTTLE曾经指出过，线性规划与二次规划是线性相补问题的特例线性相补问题还包括双矩阵对策问题，最优停止问题和市场均衡问题，非线性相补问题还包括了更多的数学问题，相补问题与最小值问题，极大极小问题，变分不等式问题，不动点理论等数学分支有着紧密的联系，相补问题也广泛应用于社会，经济，交通等领域，这就使得相补问题成为数学规划中一个热门的研究课题，相补问题是从线性规划与非线性规划的推广而形成的，它的研究分为理论与算法两个方面，前者主要研究解的存在性，唯一性与解的拓扑性质，以及相补问题与其它数学分支的联系，后者则主要建立不同类型的互补问题的求解方法及相应的算法理论分析，相补问题在研究过程中应用了非线性分析与拓扑学中的许多理论，同时又广泛应用于经济，交通，金融等领域，故它可被视为基础数学，应用数学和计算数学的一个交叉相补问题被提出后，立即引起了应用数学界的广泛关注和浓厚兴趣，推动了相补问题的快速发展，特别是二十世纪90年代以来,们对相补问题的研究达到了一个阶段性高潮（见文献28,29,30,）12相补问题的类型（1）线性相补问题设,EF是一局部凸空间的一对偶系统，且KE是一闭凸锥，LEE是连续线性映象给定QF,线性补问题是,LCPLKQ求0XK,使得0,LXQK且00,0XLXQ特别地，若,NNNERLR是NN实矩阵，NQR是N维向量，线性相补问题为求,NXR满足0,0,0QMXXQMXXT（2）非线性相补问题设,EF是一局部凸空间的一对偶系统，且KE是一闭凸锥，给定映象，,EKF一般的非线性相补问题是,NCPFK求0XK,使得0,FXK且00,0XFX线性相补问题是非线性相补问题的特例，非线性相补问题在优化理论中有着广泛第一章相补问题的一般理论2的应用，它与变分不等式有着紧密的联系，非线性相补问题等价于下列变分不等式问题求0XK，使得00,0FXYXYK集值相补问题设,EF是一局部凸空间的一对偶系统，且KE是一闭凸锥，设2,EFK集值相补问题是,MCPFK求0XK，和0,YK使得00,YFXK且00,0XY集值相补问题与经济，古典相补问题以及拟变分不等式或集值映象变分不等式有着紧密的联系，集值相补问题被应用于相补问题的灵敏度分析及经济均衡问题的研究4隐补问题设E是局部凸空间，KE是一闭凸锥，,BEAMEE是两个映象，,是EE上的半内积，隐补问题是,ICPFK求00,XKYE使得000,MXXKBAXK且000,0AXBXMX隐补问题产生于连续随机优化控制的动态规划方法，它与拟变分不等式之间也有一定的联系5集值隐补问题设,EE是一局部凸拓扑空间的对偶系统，设MEE是映象，FEE且2ELE,LXEXE，是一闭凸锥，集值隐补问题是,MICPFK求00,XY使得000,XMXLX000,YFXLX且000,0YXMX同样，设KE是闭凸锥，DE是非空集，集值广义隐补问题是,MGICPFGDK求0,XK使得00,XGXK且00,YFXK满足00,0XY（6）序补问题设,E是局部凸空间，E是由闭凸锥K定义了序的序空间，序关第一章相补问题的一般理论3系满足XYYXK再设,EK是一向量格，即对每一个,XYEE,XY和,XY分别表示在E中的序关系“下取最小和最大。12,NFFFEE是N个映象。序补问题是1,MIIOCPFDK求0XD，使得10200,0NFXFXFX第二章相补问题与变分不等式的等价性3第二章相补问题与变分不等式的等价性21预备知识在这章中，我们总假设,XY是BANACH空间，,LXY是XY上的所有连续线性泛函组成的线性空间，,FX表示F在X处得函数值，K是X中的闭凸锥，C是Y中的闭凸锥,TKLXY表示K到,LXY的单值映射，,2LXYTK表示K到,LXY的集值映射FKY是单值映象定义211F是正齐次的，如果0,XK,FXFX定义212F是凸的，如果,01XYK,1CFXY1FXFY定义213F是次可加的，对,XYKCFXYFXFY定义214设,2LXYFK,F在K是上半连续的，如果对每个VFX，则存在一个开集XU，使FUV,这里,LXY赋以W拓扑,F在K上是上半连续的，如果对每个XK是上半连续的定义215单调,0YXTTXY，XTFX，YTFY定义216严格单调对每个,XYKXY，,0YXTTXY，XTFX，YTFY定义217C单调如果对每个,XYK，,YXTTXYC，XTFX，YTFY定义218严格C单调如果对每个,XYK，,INTYXTTXYC，XTFX，YTFY注1F是次线性的，当且仅当F是凸的且正齐次的注2F是次线性的，当且仅当下面二者之一成立1212CFXYFXFY，12,0XYKF是正齐次的和次可加的第二章相补问题与变分不等式的等价性4上述定义有如下的包含关系引理211设,PE是由闭凸锥PINTP所导出,BANACHABCE空间，对,下列结论成立（I）如果00,PPPCAABBC则（II）如果C0PA，且0,PPABBC则（III）如果00,PPPABBCAC且则（IV）如果,AP且0BP,则12120,0,TATBPTT证明（I）若0PBC,0BCP则由于PBA,ABP,P是凸的尖锥，于是有0ACP，于是A0PC,这与0PAC相矛盾,因此，0PBCII,III的证明类似于I现在证明IV假设存在12,0,TT，120,TATBP则210,TBTAP于是122100TBAPPPTT）0P，这与0BP矛盾，于是（IV）成立22多值强向量F相补与相应的变分不等式的等价性设X是一个实自反BANACH空间，KX是一个非空的闭凸锥，,CY是由一个非空的闭凸锥INTCC导出的序BANACH空间,2,LXYTKFKY是两个非线性映像，Y中的序关系定义如下对,XYY0CYXYXC0CYXYXC考虑下面多值强向量相补问题,MSVFCP求,XK,VTXPPMSVFCP00,0,0CCVXFXVYFY使YKSPMSVFCP使0,0,0,CCVXFXVYFYYKPSMSVFCP使0,0,0,CVXFXVYFYYK第二章相补问题与变分不等式的等价性5SSMSVFCP使,0,0,CVXFXVYFYYK上面的多值强向量相补问题与下面的多值强向量变分不等式有密切的关系PMGVVIP求,XK,VTX使0,0,CVYXFYFXYKSMGVVIP求,XK,VTX使,0,CVYXFYFXYK（1）特别的（1）如果,YRCR则PMGVVIP与SMGVVIP简化为通常的集值变分不等式问题GVIP,求,XK,VTX使GVIP,0,CVYXFYFXYK当T是单值映射时，上式进一步简化为，求XK使,0,CTXYXFYFXYK（2）如果,YRCR,所有强向量F相补问题简化为普通强F相补FCP问题，即求,XK,VTXUTY使FCP,0,0,VXFXVYFYYK当T为单值时，上式进一步化为,0,0,TXXFXTXYFYYK3若0F,且T为单值映像，则上式简化为PPSVCP求XK,使00,0,0CCTXXTXYYKSPSVCP求XK,使0,0,0,CCTXXTXYYKPSSVCP求XK,使0,0,0,CTXXTXYYKSSSVCP求XK，使,0,0,CTXXTXYYK第二章相补问题与变分不等式的等价性6定义适度可行集21FF和强可行集如下10,0,CFXKVTXVYFYYK,2,0,CFXKVTXVYFYYK显然，21FF如果,YRCR且T为单值映射，则12FF与退化为普通的可行集命题221下列的包含关系是成立的（1）SSXSVFCP是（的解SPXSVFCP是（的解PPXSVFCP是（的解（2）SSXSVFCP是（的解X是PSSVFCP的解PPXSVFCP是（的解（3）SXP是（GVVI的解PXP是（GVVI的解下面是几个熟悉的概念（I）FKY是正齐次的，若FXFX，对,XK0IIFKY是凸的，若对,0,1XYKT，11CFTXTYTFXTFY定理221设X是一个实自反BANACH空间，KX是一个非空的闭凸锥，,CY是由一个非空的闭凸锥INTCC导出的序BANACH空间,2,LXYTKFKY是两个非线性映像,如果X是SPMSVFCP的解，则X是SMGVVIP的解证明若X是SPMSVFCP的解,则存在,VTX有0,0CVXFX221,0,CVYFYYK222让（222）中YX，则有,0CVXFX223与（221）相比较，得,0VXFX224从（222）和（224）有,VYXFYFX,0,CVYFYVXFX第二章相补问题与变分不等式的等价性7,YK于是X是SMGVVIP的解定理222设X是一个实自反BANACH空间，KX是一个非空的闭凸锥，,CY是由一个非空的闭凸锥INTCC导出的序BANACH空间,2,LXYTKFKY是两个非线性映像（1）如果X是PSMSVCP的解，则X是PMGVVIP的解（2）假设F是正齐次凸的，且,UZFZCC,ZK,UTZ如果X是PMGVVIP的解，则X是PSMSVFCP的解证明（1）若X是PSMSVFCP的解，则,XK,VTX且0,0,0,CVXFXVYFXYK于是,VYXFYFX,VYFYVXFX,0CVYFY0,YK于是X是PMGVVIP的解2因为F是正齐次的，于是00F若XK是PMGVVIP的解,则VTX，使0,0,CVYXFYFXYK225在225中，令0Y，则0,0CVXFX,即0,0CVXFX226对ZK,令YZX代入（225）得0,0CVZFXZFX227由于F是正齐次凸的，于是111122222222CFXZFXZFXFZFXFZ，于是CFXZFXFZ228由（227）有,FXZFXVZC0,结合（228）应用引理211,有0,CVZFZ从而0,0,CVZFZZK229第二章相补问题与变分不等式的等价性8在（229）中取ZX，得0,0CVXFX2210又由于,UZFZCC,对ZK,UTZ，我们有,0CVXFX或者,0CVXFX2211由（226），（2210），2211有,0VXFX2212综上所述，（229）和（2212）合起来，就得X是PSMSVCP的解定理223（1）假设,UZFZCCZK,UTZ如果PPXMSVFCP是的解，则X也是PGVVIP的解（2）假设F是正齐次凸的，若X是PMGVVIP的解，则X也是PPMSVFCP的解证明（1）若PPXMSVFCP是的解，则,VTX0,0CVXFX22130,0,CVYFYYK2214令（2214）中的,YX得到0,0CVXFX2215又由于,UZFZCC对ZK,于是,0CVXFX或者,0CVXFX2216由（2213），（2215），（2216），得,0VXFX2217从（2214），（2217），我们知道X是PSMSVFCP的解，于是再由定理22知，X是PMGVVIP的解（2）让PXKMGVVIP是（的解，则VTX，使0,0,CVYXFYFXYK2218在2218中分别令0Y,和YXZ，由F是正齐次的,知0,0CVXFX22190,0,CVZFZXFXZK2220由于F是正齐次和凸的第二章相补问题与变分不等式的等价性9CFZXFZFX2221由（2220），（2221）和引理211,得0,0,CVZFZZK2222从（2219）和（2222）我们知道X是PPMGVVIP的解定理2241若X是SSMSVFCP（的解，则X是（SMGVVIP的解2假设F是正齐次凸的如果X是（SMGVVIP的解则X也是SSMSVFCP的解证明1若X是SSMSVFCP（的解，则,0VXFX,0,CVYFYYK所以,VYXFYFX,VYFY,VXFX,VYFY0C证完定理225若X是（SPMSVFCP的解,则X也是SSMSVFCP（的解证明若X是（SPMSVFCP的解则0,0CVTXVXFX2223,0,CVYFYYK2224从（224）我们有,0CVXFX2225从（223）和（225）有,0TXXFX于是X是SSMSVFCP（的解23BANACH空间中广义F相补与相应的变分不等式的等价性设X是一个BANACH空间，X是其对偶空间，KX是一个非空闭凸锥，记,TX是线性函数TX在点X的值，Y是一个由锥C导出的序BANACH空间，Y中的序关系如下对,XYYYYXCXYYXC，,LXY是X到Y的线性函数空间，,2LXYFK是集值映射，FKY是第二章相补问题与变分不等式的等价性10单值映射,2YCK，CX是一个闭凸锥，且,CXCXK，对任意XK，本节的问题是求XK和TFX，使,0,TXFXTYFYCXYY我们记上述问题的解为CS,并将上述问题简记为VGFCP,当YR时，上述问题就变为黄和李在7中讨论的情形我们考虑以下三类向量变分不等式1GVVI求,XK使,TFXYK,TYXFYFXCX2GVVI求,XK使YK，,TFX,TYXFYFXCX3GVVI求,XK使YK，,TFY,TYXFYFXCX我们记123,SSS为1,GVVI2,GVVI3GVVI的解集当,YRCXR时，上述问题就退化为HUANG，LI和OREGAN在7中介绍的情形，定理231设K是一个闭凸锥，0K，,2,LXYFKFKY,则下列结论成立I1CSS，II如果F是正齐次的，则1CSS证明I让,CXS且存在一个TFX，使,0,TXFXTYFYCX,YK,TYXFYFX,TYFYTXFX,TYFYCX对YK成立，于是1XS，这证明了1CSSII让1XS,则,XK使TFX，YK，,TYXFYFXCX，由于K是凸锥，且F是正齐次的，分别让2YX，12YX，我们有,TXFXCXTXFXCX而第二章相补问题与变分不等式的等价性110CXCX,这蕴含,0TXFX，于是,TYFY,TY,TXFYFX,TYXFYFXCX故CXS证完定理233设,2,LXYFK是单调的，上半连续的，有W紧凸值，FKY是次线性的，则I123CSSSSII若F是C严格单调的且1,2,3ISI，则CS由一个点组成证明I显然II从结论I123CSSSS,因此只需证明2S由一个点组成，假设F是严格单调的，且2,S让12,XX是2GVVI的解，则23XS由文献8,于是12XS，11TFX121211,TXXFXFXCX23123XS22TFX212122,TXXFXFXCX232231式和232相加，得211221,TTXXCXCXC若，12XX,则由F是C的严格单调性有22TFX2121,INTTTXXC即2112,INTTTXXC矛盾第三章相补问题解的存在性2第三章相补问题解的存在性31预备知识定义311,2LXYTK,FKY是两个非线性映象，T称为F伪单调的，对,XYK，VTX，UTY，0,0CVYXFYFX，,0CUYXFYFX定义312让,2LXYTK，FKY是两个非线性映象，T称为F严格伪单调的，如果对,XYK，XY，VTX，UTY，0,0CVYXFYFX0,0CUYXFYFX定义313一个映象GM称为一个KKM映象，如果对任何有限集A,XACOAGX2E是E的非空子集族，COA是A的凸包见文献10定义314一个映象,2LXYTK称为半连续的，如果对任意给定的,XYK，映象,TSZUSTUTZU在0连续定义315设K是X中的凸锥,0K,2LXYTK,FKY是非线性映象,T称为F强制的，如果对任意给定的YK，存在常数Y，使0,0,CUXFXFXK，UTXY，XY，若0,F则T是强制的定义316一个映象,2LXYTK称为Z映象，如果对,XYZK,0ZXY,有,0CVUZ成立，,VTXUTY定义317设D是X的一个非空子集,XD称为D的一个最小元,如果对,YD都有KXY成立引理321设M是HAUSDORFF拓扑向量空间E的非空子集，2EGM是一个KKM映象，若GX对每个XM是闭的，且存在XM使GX是紧的，则第三章相补问题解的存在性13XMGX,见文献10引理322设,2LXYTK是半连续映象，FKY是凸映象，UK是给定的点，假设T是F伪单调的，则下列命题等价I0,0,CTVUFVFUVK,TTUII,0,CWVUFVFUVK，WTV证明III显然III假设II成立，对任何给定的ZK，令,0,1,TZUTZUT从II知,CTSZUTFZFU,10CSTZUFTZTUFU,0CSZUFZFUSTUTZU，由于T是半连续的，C是闭的，令0T，则有,0,CWZUFZFUWTU因此0,0,CWVUFVFUVK证完32强向量相补问题解的存在性设K是自反BANACH空间X的非空闭凸集，,CY是由闭凸锥C导出的BANACH空间,INTCY中的序关系如下对,XYYYYXCXYYXC，定理321设FKY是连续的凸映象,2LXYTK是半连续的和F伪单调的映象,如果K是有界的，则PMGVVIP是可解的证明定义二多值映象,2KHGK如下0,0CGZXKVZXFZFX,ZK,VTX321,0CHZXKWZXFZFX,ZK，WTZ322显然ZHZGZ由于T是F伪单调的,GZHZ对每个ZK,又由于F是连续的和凸的,从32我们知道HZK是有界闭凸的和弱紧的,对第三章相补问题解的存在性14每个ZK，现在我们证明G是一个KKM映象，事实上，若存在有限集12,NZZZK，0,1,2,ITIN,11NIIT使11NNIIIIIZTZGZ，则0,0IICWZZFZFZ,1,2,IN,WTZ323从323知0,CWZZFZFZ11,NNIIIIIITWZZTFZFZ1,NIIIITWZZFZFZ00C矛盾，因此，G是KKM映象，因此，H也是KKM映象，从引理321和引理322知ZKZKGZHZ,因此，存在XK，使0,0CWYXFYFX,YK,WTX定理322设FKY是连续的凸映象，,2LXYTK是半连续的和F伪单调的，若K是无界的，且0K,存在一个常数0R，使0,0,CWZFZFZK,ZR，则PGVVIP是可解的证明定义,RKZKZR,从定理331存在RXK使0,0CWYXFYFX,RYK,WTX324在（324）中令0Y得0,0CWXFXF325比较324和（325）我们知道XR足够小，使0,1T且RXTYXK，根据（324）有,CTWYXTFYFX0,0CWXTYXXFXTYXFX326从326和引理211，我们有0,0CVYXFYFX，YK证完定理323设FKY是一个连续的正齐次凸映象，,2LXYTK是半连续的和F伪单调的映象，假设K是有界的，或者K是无界的且0K，且存在一个第三章相补问题解的存在性15常数0R，使0,0,CWZFZFZK,ZR，WTZ，则PPGVVIP有解此外，若,WZFZCC对所有ZK,则PSMSVFCP是可解的证明显然推论321设,2LXYTK是一个半连续的伪单调映象，假设K是有界的或者K是凸锥，T是强制的，则对任意ZK，则存在XK，使0,0,CSYXYK,STZX证明对任意ZK，定义,2,LXYZTKZTXTZXXK易知ZTX是半连续的，由于T是半连续的，让,XYK且0,0,ZCXZWYXWTX由于T是伪单调的，且,XWYX,XWZYZX我们知道,YWYX,YWZYZX0C，YZWTY因此ZT是伪单调的由于T是强制的，则存在RZ使0,0,XCWXXK，XZWTX,XR由定理321和322，存在XK使0,0CTZXYX,YK证完第四章最小元的存在性2第四章最小元的存在性41预备知识在这一章中中，我们假设,KX是由X上的闭凸尖锥K导出的序BANACH空间，并按序构成向量格，,CY是由Y上的闭凸尖锥C导出的序BANACH空间，并按序构成向量格,2LXYTK,FKYXC是单值映射定义411T称为一个Z映像，如果对,XYZK，0ZXY蕴含,0XYCTTZ，对任何,XYTTXTTY定义412设D是X的一个非空子集，XD称为D的一个最小元,如果对,YD都有CXY成立定义413一个映象FXY称为上方有界的,如果存在一个映象XC,使对,XYK0CFXFYFXYXY定义414,2LXYTK是C单调如果对每个,XYK，,YXTTXYC，XTFX，YTFY定义415,2LXYTK是严格C单调如果对每个,XYK，,INTYXTTXYC，XTFX，YTFY定义416,2LXYTK是严格单调，如果对每个,XYK，,YXCTTXYXY分别记弱可行集和强可行集如下0,0,CFXKTTXTYFYYK12,0,CFXKTTXTYFYYK显然，21FF42集值强向量F相补问题中最小元的存在性定理421让,2LXYTK是一个Z映象，FKY是一个非线性映象，假设存在一个映象XC使第四章最小元的存在性17I）T是严格C单调，IIF是上方有界的，III,ZZ对每个ZX，则下列结论成立1）如果CFXYFXFY（对,XYK，且SMGVVIP的解集2S是非空的，则1F存在一个最小元2）如果2F和PMGVVIP的解集1S是非空的，则KSS，对每个1SS且2SF证明1）若XK是SGVVIP（M的解，则存在VTX,0CVZXFZFXZK421在（421）式中令ZYX，于是有,0CVYFXYFX，YK由条件CFXYFXFY（，知CFXYFXFY取XX，CFXYFXFY,故,0CCVYFYVYFXYFX这蕴含2XF，于是1XF对任何1XF，令0XXX，让421式中的0ZX，可到00,0CVXXFXFX422现在证明0XX，假设0XX，由T是严格C单调的知00,INT,UVXXCUTXVTX423应用引理211，可得0000,CUXXFXFXXX）424由于1XF且0,XXK故WTX,使000,0CWXXFXX425再者，由于0000,XXXXXXX且T是一个Z映象，于是有0,0CWUXX426从（425）式和（426）式及引理211可得000,0CUXXFXX427由条件II,有0000CFXXFXFXXXX428再由（427）式和（428）式及引理211,有第四章最小元的存在性180000,CUXXFXFXXX这与（424）式相矛盾因此，0XX，于是XX对1XF，这证明了1F有一个最小元X2设SK是PGVVIP的任一解，则存在VTS,使0,0,CVYSFYFSYK429对任意给定的2SF，令0SSS在429式中让0YS，可得000,0CVSSFSFS4210我们断言0SS实际上，如果0SS,则由条件I）,00,VTSVTS0000,CVVSSSS4211由（4210）式和（4211）式及引理211,有0,000CVSSFSFSSS4212由于2SF且0,SSK故VTS,使00,0CVSSFSS4213再者0000SSSSSSS且T是一个Z映象,所以有0,00CVVSS4214比较（4213）式和（4214）式有000,CVSSFSS4215条件II）蕴含0000CFSSFSFSSSS4216根据条件III）,从（4215）式和（4216）式有0000,CVSSFSFSSS,这与（4212）式相矛盾，因此0SS，于是2,1SSSFSS对成立，证毕如果0F,定义1D和2D如下10,0,CDXKVYYK，VTX2,0,CDXKVYYK，VTX显然，21DD,若YR和CR,则1D和2D都退化为普通的可行集第四章最小元的存在性19,0,DXKFXYYK定理422假设,2LXYTK是一个严格单调映象，则下列结论成立A若SMVVIP的解集非空，则1D有最小元B若PMVVIP的解集2B和2D非空，则0KUU对所有的2UB和2UD成立证明A让2XB,则,0,CVTXVYXYK4217与定理421相似，我们能证明2XD，因此1XD，接下来，我们证明X是1D的极小元，假设存在1YD，YX，使YX，则0XYXYK，由于2XD，则,0,CVXYVTX4218与（4217）相比，有,0VXY，由于T是严格单调的，于是有00,CVUXY,VXYUXY,UXY,UYX00C1YD矛盾，因此，X是1D的极小元B假设存在1UB,2UD,使0CUU,根据0,0,CWUUWTU4219,0,CWUUWTU4220从（4219）,（4220）和引理22知0,0CWWUU这与T严格单调相矛盾，证完43BANACH空间中广义向量相补问题中最小元的存在性定理431设,XK是一个向量格，,2LXYTK是一个Z映像，FKY是一个正齐次凸函数，假设存在函数XC使第四章最小元的存在性20IT是单调的IIF是上方有界的，且,TZFZCC，对,ZK若,TFXYK0,0CTYXFYFX非空，则1F有一个最小元证明由题设知XK，,TTXYK0,0CTYXFYFX对X1F，令0XXX，则0XK，由上面的不等式有000,0CTXXFXFX431若0XX，根据条件I有0TTX，0000,CTXXTXXXX432由431式和432式知0000,CTXXFXFXXX432由于X1F，0XXK，TTX，000,0CTXXFXX43300XXXX0XXX0，T是一个Z映象，有XTTX,00XTTX,00,0XXCTTXX434由433，434有0000,0XCTXXFXX435由于F是上方有界的，0000CFXXFXFXXXX436435和436有00000,XCTXXFXFXXX这与432相矛盾，因此，0XX，这就证明XX对所有的1XF成立参考文献2参考文献1CHENGY,YANGXQTHEVECTORCOMPLEMENTARYPROBLEMANDITSEQUIVALENCESWITHTHEWEAKMINIMALELEMENTSINORDEREDSPACESJMATHANALAPPL1990,1531361582CHENGYEXISTENCEOFSOLUTIONSFORAVECTORVARIATIONALINEQUALITYANEXTENSIONOFHARTMANSTAMPACCHIATHEOREMJOPTIMTHEORYAPPL,1992,744454563GIANNESSI,FTHEOREMSOFALTERNATIVE,QUADRATICPROGRAMSANDCOMPLEMENTARITYPROBLEMS,INRWCOTTLE,FGIANNESSI,JLLIONSEDS,VARIATIONALINEQUALITIESANDCOMPLEMENTARITYPROBLEMS,WILEY,NEWYORK,1980262232544HUJYSIMULTANEOUSVECTORVARIATIONALINEQUALITIESANDVECTORIMPLICITCOMPLEMENTARITYPROBLEMJJOPTIMTHEORYAPPL,1997,931411515YANGXQVECTORCOMPLEMENTARITYANDMINIMALELEMENTPROBLEMSJJOPTIMTHEORYAPPL,1993,774834956HUANGNJ,FANGYPSTRONGVECTORFCOMLEMENTARYPROBLEMANDLEASTELEMENTPROBLEMOFFEASIBLESETJ2005,619019187HUANGNJ,LIJ,OREGANDGENERALIZEDFCOMPLEMENTARITYPROBLEMSINBANACHSPACESJNONLINEARANALYSISTMA,2008,68382838408AGARWALRP,AMINIHARANDIA,FARAJZADEHAP,ONSOMEVECTORFCOMPLEMENTARITYPROBLEMSAPPLIEDMATHEMATICSLETTERS,2006,194644719DANIILIDISA,HADJISAVVASN,EXISTENCETHEOREMSFORVECTORVARIATIONALINEQUALITIES,BULLAUSTRALMATHSOC1996,5447348110FANK,AGENERALIZATIONOFTYCHONOFFSXEDPOINTTHEOREM,MATHANN1961UJY,SIMULTANEOUSVECTORVARIATIONALINEQUALITIESANDVECTORIMPLICITCOMPLEMENTARITYPROBLEM,JOPTIMTHEORYAPPL1997,9314115112IVKONNOV,JCYAO,ONTHEGENERALIZEDVECTORVARIATIONALINEQUALITYPROBLEMS,JMATHANALAPPL1997,206425813LEEGM,KIMDS,LEEBS,GENERALIZEDVECTORVARIATIONALINEQUALITY,APPL参考文献22MATHLETT1996,9394214LINKL,YANGDP,YAOJC,GENERALIZEDVECTORVARIATIONALINEQUALITY,JOPTIMTHEORYAPPL1997,9211712515RIDDELLRC,EQUIVALENCEOFNONLINEARCOMPLEMENTARITYPROBLEMSANDLEASTELEMENTPROBLEMSINBANACHLATTICES,MATHOPERRES1981,646247416SIDDQIAH,ANSARIQH,KHALIQA,ONVECTORVARIATIONALINEQUALITIES,JOPTIMTHEORYAPPL1995,8417118017TARAFDARE,YUANGXZ,GENERALIZEDVARIATIONALINEQUALITIESANDITSAPPLICATIONS,NONLINEARANALTMA1997,304171418118YANGXQ,VECTORVARIATIONALINEQUALITYANDITSDUALITY,NONLINEARANALTMA1993，9572973419YINHY,XUCX,ZHANGZX,THEFCOMPLEMENTARITYPRO