[硕士论文精品]路网交通流连续模型理论分析与数值模拟方法

摘要本文主要研究对象是LWR网络交通流连续模型的理论和数值模拟算法LWR网络模型是原有路段LWR模型的拓展，其相关理论在近十年时间里有了长足的发展本文将着重探讨网络节点处的配流策略，并利用6MAPPING算法给出节点处RIEMANN问题的精确解GODUNOV流通量和近似解ROE流通量在此基础上，我们利用所得到的节点流通量函数构造了针对网络模型的一阶有限体积FVM数值模拟算法考虑到实际应用中的计算效率问题，我们还将经典的界面追踪移动网格算法推广到了LWR路网模型的计算，并通过与CTM模型结果的比较说明了算法在计算效率上的优势最后，本文将对网络中一些重要现象进行有效的数值模拟在第一章，我们将阐述交通流科学理论的研究意义和背景，简单综述交通流的研究状况和发展过程，介绍LWR模型、多车道数模型、多车种模型、高阶模型以及网络连续模型的发展历史与此同时，我们还将明确我们的研究工作在交通工程中的潜在应用领域在第二章，我们将详细介绍道路LWR模型的基础理论，它是网络模型的前身我们将着重讨论道路LWR模型的特征线分析、RIEMANN问题、间断分解等理论性问题，并进一步介绍推广的LWR模型ELWR，即路段条件非均匀的LWR模型，给出它的RIEMANN问题精确解和GODUNOV数值流通量函数。在第三章，我们将回顾几个重要的交通流网络模型，重点介绍LWR路网模型的基本理论，尤其是如何定义节点处RIEMANN问题以及如何应用最大化原则MAXIMALPRINCIPAL确定节点处RIEMANN问题的熵解本章还将介绍著名的CTM模型和ODE网络模型，并说明两者与LWR网络模型间的紧密联系。最后，我们将对ODE网络模型提出一些修正，使之能更好地反映网络中的车流密度演变本文的主要研究工作集中在论文的第四章和第五章。在第四章，我们首先介绍6MAPPING算法在路段瓶颈处的应用，然后定义针对一叉二和二叉一路口的6MAPPING，并利用这一定义给出节点处的流量分配策略从数值计算的角度看，此策略其实就是网络节点处的数值流通量函数本章将讨论节点处的GODUNOV流通量函数和ROE流通量函数，并说明利用MAPPING算法得到的节点GODUNOV流通量与第三章中利用流量最大化原则MAXIMALPRINCIPAL得到HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年上海大学硕士学位论文摘要第V页的结果是等价的我们还会给出节点处的相容性条件的定义，它对于确保数值格式正确性十分重要最后，我们给出基于MAPPING算法的LWR路网模型的一阶有限体积法计算格式，并证明CTM模型和LWR模型的GODUNOV离散格式在网络情形下的等价关系在第五章，我们将界面追踪算法DAFERMOS方法推广到LWR路网模型，给出一个基于移动网格技术的计算策略以提高模型的模拟效率我们主要针对分段线性基本图和分段常数初始密度分布的情形设计算法，并将数值模拟结果与CTM网络模型进行了比较比较结果显示算法有很好的模拟效果，并在计算速度上较CTM模型有一定优势。第六章给出了几个简单网络的算例算例分别模拟了简单网络中的拥堵产生和传播过程、网络相变现象和交通信号灯控制下交叉口各路段的车辆排队和疏散过程模拟结果显示了网络LWR模型对于交通网络中的一些重要现象有较强的模拟能力，也印证了我们提出的算法的有效性和实际应用潜力。关键词网络交通流模型；LWR模型；双曲守恒方程；MAPPING算法；弱解理论HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销ABSTRACTTHISPAPERDISCUSSESTHETHEORYANDAPPROXIMATIONMETHODSFORTHELWRMODELINNETWORKSITUATIONTHELWRNETWORKMODELISEXTENDEDFROMTHECLASSICLWRMODELONSINGLEROADWHILEITSTHEORYHASEXPERIENCEDGREATDEVELOPMENTINTHERECENTTENYEARSINRESPECTOFMATHEMATICALTHEOREMWEFOCUSOURATTENTIONONTHEFLOWASSIGNMENTSTRATEGYATNETWORKJUNCTIONSBYTHE5MAPPINGALGORITHMTHEEXACTRIENLANNSOLVERGODUNOVNUMCRICMFLUXTOGETTLERWITHA11APPROXIMATERIEMANNSOLVERROENUMERICALFLUXATNETWORKJUNCTIONSISPROVIDEDVIAANEXTENDED5MAPPINGBOTHOFTHESETWOSOLVERSAREUSEDTOCONSTITUTETHEFIRSTORDERFINITEVOLUMESCHEMEFORTHELWRNETWORKMODELENLIGHTENEDBYTHEREALTRAFFICDEMAND，THECLASSICWAVEFRONTTRACKINGMETHODDAFERMOSMETHODISINTRODUCEDTOCONSTRUCTAMOVINGMESHSCHEMEFORTHISMODELTHESIMULATIONRESULTSARECOMPAREDWITHTHOSEOBTAINEDBYTHECTMMODELTOILLUSTRATETHATOURSCHEMEEANNOTORDYOFFERGOODNUMERICALRESULTS，BUTALSOBOASTSADVANTAGEINTHECOMPUTATIONALCOSTINCHAPTERI，THEINTRODUCTIONOFTHISPAPER，WECLARIFYTHEMEANINGANDTHERESEARCHBACKGROUNDOFTRAFFICFLOWTHEORYANDBRIEFLYSUMMARIZETHEDEVELOPMENTHISTORYANDSTATUSQUOOFTRAFFICFLOWMODELSINCLUDINGTHECLASSICLWRMODEL，THEMULTILANEMODEL，THEMULTICLASSMODEL，THEHIGHERORDERMODELANDTHENETWORKCONTINUUMMODELWEALSOPOINTOUTTHEPOTENTIALAPPLICATIONOFOURWORKINREALTRAFFICENGINEERINGINCHAPTERII，WEDISCUSSINDETAILSTHETHEORYOFTHELWRMODELONSINGLEROADWHICHISTHEBASISOFTHEL、VRNETWORKMODEL0URDISCUSSIONCOVERSTHETHEOREMOFCHARACTERISTICSANALYSIS，RIEMANNPROBLEMANDWAVEDECOMPOSITIONFURTHERMORE，THEEXTENDEDLWRMODELELWRFORINHOMOGENEOUSROADCONDITION，TOGETHERWITHITSRIEMANNSOLVERANDTHECORRESPONDINGGODUNOVNUMERICALFLUXISALSOINTRODUCEDINCHAPTERIII，WERETROSPECTSEVERALIMPORTANTNETWORKTRAFFICFLOWMODELSMUCHEFFORTISMADETOINTRODUCETHETHEORETICALFUNDAMENTALSOFTHESEMODELS，ESPECIALLYTHERIEMANNPROBLEMATNETWORKJUNCTIONSWEINTRODUCETHEIDEAOFEXTENDINGV1HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年ABSTRACT上海大学硕士学位论文第VII页THERIEMANNPROBLEMANDTHEDEFINITIONOFTHEWEAKSOLUTIONTOTHENETWORKCASEANDTHEMETHODOFOBTAININGTHEENTROPYSOLUTIONOFTHERIEMANNPROBLEMATJUNCTIONSVIATHEMAXIMALPRINCIPALTHEFAMOUSCTMMODELANDTHEODENETWORKMODELAREALSOINTRODUCEDBRIEFLYFURTHERMORE，ANIMPROVEMENTONTHEODENETWORKMODELISOFFEREDFORABETTERSIMULATIONOFDENSITYEVOLUTIONONNETWORKSOURMAJORRESEARCHWORKISPRESENTEDINCHAPTERIVANDCHAPTERV。INCHAPTERIV，WEFIRSTLYDISCUSSTHEGMAPPINGFORROADBOTTLENECKSANDTHENEXTENDTHEMAPPINGTOTHEDISPERSINGANDMERGINGJUNCTIONTOPROPOSEATRAFFICFLOWASSIGNMENTSTRATEGYATNETWORKJUNCTIONSINTHEVIEWOFNUMERICALCOMPUTATION，THEPROPOSEDSCHEMEISINFACTANUMERICALFLUXFUNCTIONATNETWORKJUNCTIONSTWONUMERICALFLUXESAREPROVIDEDINCLUDINGTHEGODUNOVFLUXANDTHEROEENTROPYFIXFLUXWEPOINTOUTTHATTHEGODUNOVFLUXATJUNCTIONSVIA6MAPPINGALGORITHMISEQUIVALENTTOTHATOBTAINEDBYTHEMAXIMALPRINCIPALDISCUSSEDINCHAPTERIIIWEALSOPROPOSETHEDEFINITIONOFTHECONSISTENCYPROPERTYATNETWORKJUNCTIONSITISOFGREATSIGNIFICANCEINENSURINGTHECORRECTNESSOFTHENUMERICALSCHEMEFINALLY,WEPRESENTAFIRSTORDERFINITEVOLUMESCHEMEBASEDONTHEGMAPPINGALGORITHMFORTHELWRNETWORKMODELANDPROVIDEAPROOFTOCLARIFYTHEEQUIVALENCEFACTBETWEENTHECTMMODELANDTHEGODUNOVDISCRETIZATIONOFTHELWRMODELINNETWORKSITUATIONINCHAPTERV，WEAPPLYTHEWAVEFRONTTRACKINGMETHODDAFERMOSMETHODINSIMULATIONOFTHELWRNETWORKMODEL，PROVIDINGANUMERICALSCHEMEFEATURINGMOVINGMESHTECHNOLOGYOURAIMISTOIMPROVETHECOMPUTATIONEFFICIENCYFORLARGESCALETRAFFICNETWORKSTHESCHEMEISDESIGNEDESPECIALLYFORTHEPIECEWISELINEARFUNDAMENTALDIAGRAMANDTHEPIECEWISECONSTANTINITIALDENSITYDISTRIBUTIONNUMERICALRESULTSARECOMPAREDWITHTHOSEOFTHECTMNETWORKMODELTHATALSOAPPLIESTHETRIANGLEORTRAPEZOIDFUNDAMENTALDIAGRAMANDTHEPIECEWISECONSTANTINITIALCONDITIONCOMPARISONRESULTSILLUSTRATETHATOURSCHEMEENJOYSADVANTAGEINCOMPUTATIONALCOSTOVERTHECTMNETWORKMODELCHAPTERVIGIVESSEVERALNUMERICALEXAMPLESFORTRAFFICSIMULATIONONSIMPLENETWORKSWESIMULATETRAGICJAMEMERGINGANDPROPAGATIONONNETWORKS，THENETWORKHTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年ABSTRACT上海大学硕士学位论文第VIII页PHASETRANSITIONPHENOMENONANDTHEQUEUINGANDEVACUATINGOFTRAFFICATROADCRO鼠QWITHATRAFFICSIGNALTHERESULTSSHOWTHATTHELWRNETWORKMODELISABLETOSIMULATESOMESIGNIFICANTPHENOMENONSOFNETWORKTRAFFICSYSTEM，WHICHCONFIRMSNOTONLYTHECORRECTNESSOFOURNUMERICALSCHEME，BUTALSOTHEGREATPOTENTIALOFITSAPPLICATIONINEALTRAFFICENGINEERINGKEYWORDSNETWORKTRAFFICFLOWMODELS；LWRMODEL；HYPERBOLICCONSERVATIONLAWS；MAPPINGALGORITHM；WEAKSOLUTIONTHEORYHTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销原创性声明本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本论文使用授权说明本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。保密的论文在解密后应遵守此规定盘遂K日期HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销致谢本文的研究工作是在导师张鹏教授的指导下完成的自我开始攻读硕士学位以来，张鹏教授始终给予我悉心和热情的指导不仅将其丰富的理论知识和学术成果无私地传授给我，而且主动提供了我许多学习和学术交流的机会，为我营造了很好的学习和发展环境在跟随张鹏教授开展研究工作期间，我的学术能力、思考能力、思维方式及其它各方面的素质都得到大幅提升这些能力和经验上的积累为我今后的人生道路打下了扎实的基础同时，张鹏教授在指导过程中给予了我足够的自由度，使我能够在一个宽松的氛围中学习成长，追求自己的人生道路在此，我衷心地感谢张鹏老师在这三年中对帮助和关心在硕士学习期间，我感受到了我们交通流课题组融洽上进的氛围在此，我要感谢戴世强老师和董立耘老师的辛勤工作，为我们提供了良好和研究环境。我还要感谢香港大学的黄仕进教授，感谢黄教授为我提供赴香港大学学习和交流的机会，并给予我悉心的指导我要感谢交通流课题组的所有组员对于我的帮助尤其是师姐吴春秀、师妹吴冬艳和师兄宋涛，经过三年的相处，我们成为了学习上的伙伴、生活中的好友对于他们平日给予我的帮助、关心和支持我十分感激感谢在这三年和我共同学习、生活、娱乐的同学们，尤其是我的室友徐松立、花羽超、胡知力、张翟、严永华、陈浩感谢他们和我一起度过这宝贵的三年时光最后，谨以此文献给我的父母，感谢他们对我的养育之恩以及长久以来的鼓励与支持HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销第一章引言随着我国国民经济的发展，今后的几十年时间将成为我国城市高速发展的时期从而城市交通、城市问交通就成了影响我国未来发展的关键性问题然而，我国目前的交通状况，尤其是公路交通建设，与经济高速发展的需求之间仍有一段距离目前，我国113个大城市陷入交通拥堵的桎梏之中以上海为例，在交通高峰时段，市中心平均车速不足15公里小时，最低车速甚至低于步行速度首都北京，1996年共发生交通堵塞16，769起，全市交通瓶颈达99处，主干道平均负荷95以上，平均车速降到12公里小时，汽车尾气排放的二氧化碳超过二氧化碳排放总量的50，成为首都首要的污染源。古城西安，随着车辆数量增加与城市交通设施发展缓慢的矛盾日益激化，车速下降到约10公里小时，而交通事故的数量却直线上升，每天死伤15人，直接损失年均1，300万元西安市政府每年要为交通拥挤付出高达数十亿元的代价不仅在高速发展的中国，世界各国，或多或少的都被交通运输及其级联的问题所困扰经济越是发达，交通问题就越被突显出来。世界经济第一大国美国，每年有L，640，000人因交通事故受伤或死亡，造成直接经济损失1，560亿美元由交通拥堵，物资运送延误造成的经济损失达1，000亿美元，堵塞带来的油料浪费超过20亿加仑。日本，一直被认为拥有高度发达的铁路公路网路，但其大城市的城市交通仍面临严峻的局面。东京高速道路的最大拥挤长度也要达到987千米，曾持续拥堵达17小时之久，拥堵的交通状况为其带来了高达123，000亿日元的经济损失【51】每年高昂的经济损失，触痛了人们的神经，人们开始更多的关注交通运输问题，各国政府也纷纷加大了对于交通建设的投入然而，逐年增加的资金投入并未能带来更好的交通状况因此人们开始反思，反思我们遇到的问题是否只是加大硬件投入所能够解决的终于，大家认识到了交通科学理论研究的重要意义，从而交通流理论获得了发展的土壤。交通流理论是一门交叉性边缘学科，涉及数学、物理、力学、信息科学和交通工程等基础和应用领域交通流研究主要是以各种交通现象为对象，通过交通实测，分析车辆流在各种交通环境下出现的交通行为和交通状态，建立能够描述实际交通一般特性的交通流模型，以揭示控制交通流动的基本规律交通流理论研究始子上世纪50年代PIPES27，28】提出的车辆跟驰模型以及1HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年上海大学硕士学位论文第一章引言第2页LIGHCHIU和WHITHAM20I以及RICHARDS3011955提出的交通流流体力学模型LWR模型此后，PAYNE261提出了交通流动量方程和连续方程构成的交通流动力学高阶模型；PRIGOGINE和HERMAN291运用气体动力论提出了交通流气体动力论模型；NAGEL和SCHRECKENBERG251提出了一维元胞自动机交通流模型NS模型目前，关于交通流模型的研究主要分为三大类型基于宏观描述的流体力学模型、基于概率统计描述的气体动力论模型、基于微观离散描述的跟驰模型、元胞自动机模型等，其中许多模型和理论都已经达到实际应用的要求交通流流体力学模型、交通密度波的研究是交通科学研究中的重要研究内容，对于现实的交通问题，拥堵产生的机理及解决方法的研究有着重要的指导意义交通流连续模型发展始于著名的LWR模型，它是之后所有连续模型的重要基础，已成为交通流体力学模型的一个里程碑交通流流体力学高阶模型则包括PW模型26、KK模型18】等，它们是高阶各项同性模型的典型代表。但DAGANZO10对于各项同性模型提出了严厉的质疑，认为其不符合交通实际且会出现负密度的情况为此一大批各项异性模型应运而生，包括AWRASCLE模型【3、ZHANG模型48】、JIANGRUI等的模型12J以及XUEDAI模型41J等AWRASCLE模型3L在这些各项异性模型中有着最为重要的地位，因为通过给定相应的压力函数PP，AWRASCLE模型可以导出其它各个模型39】。高阶模型可以成功地模拟和揭示交通拥堵形成与消散及其它交通不稳定现象AWRASCLE模型等一部分高阶模型还成功地模拟了交通时停时走波这一重要的交通现象。随着对于交通流流体力学模型研究的不断深入成熟，许多学者开始着手对原有的路段交通流模型进行推广随着多车种、多车道数交通流模型陆续出现，交通流流体力学模型的研究进入了一个新的阶段另一方面，将流体力学模型推广到城市路网的尝试也在近十年得到了充分的发展HOLDEN和RISEBRO171将LWR模型推广到了网络上，并推广了节点处的RIEMANN问题，完成模型解存在性、唯一性等一系列的数学理论研究，为连续模型在网络上的发展奠定了理论基础此后，COCLITE和PICCOLI6完善了HOLDEN和RISEBRO17的模型，使之更实用化。HERTY与RASCLE16】合作提出了对于一大类高阶流体力学模型的节点耦合条件，并做了数学上的严格讨论，开始了高阶网络模型的研究此外，包括多车种网络LWR模型、网络模型数值算法、网络优化算法等许多方面的研究都在近些年得到了发展HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年上海大学硕士学位论文第一章引言第3页另一方面，DAGANZO91提出了元胞传输模型，即著名的CTM模型，并将其推广到了网络上【10】CTM模型在交通工程领域的应用方面较之其它模型可谓先行一步这十几年来，它在交通工程领域得到了广泛的认可和应用CTM模型还被应用到了诸如动态交通流量分配问题DTA、动态用户最优DUO模型等城市交通流量控制理论研究中LO【21，22就将交通配流问题的解析方法与CTM仿真模型结合起来解决DUO问题。至今，CTM模型的推广和发展仍然是交通领域研究的热门课题本文中的主要研究对象是LWR网络模型、路网节点流量分配策略以及数值模拟算法。我们还将揭示网络CTM模型与网络LWR模型离散格式在某些情形下的等价关系，从而说明LWR模型的巨大应用潜力而较之CTM模型，LWR模型对于基本图的限制更为宽泛，从而能适应更多的实际交通状况对于城市路网的计算而言，由于所涉及的路段众多，计算成本是一个不容忽略的因素LWR模型良好的解析理论结果将有助于发展更加快速的数值模拟算法以提高模拟速度。这对于LWR模型在诸如动态流量分配DTA、动态用户最优DUO和交通信号灯控制策略等城市交通控制系统中的有效应用很有意义综上所述，我们认为路网LWR模型的理论和数值模拟方法研究具有极其重要的意义和非常宽广的应用前景HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销第二章道路交通流连续模型英国学者LIGHTHILL和WHITHAM201将交通流比拟为一种流体，研究了较高车流密度下的交通流规律在速度密度假设前提下，提出了著名的LWR模型，成为交通流流体力学模型的一个里程碑LWR模型将交通中的车辆看成连续流动的可压缩流体介质，通过对于空间各点的流量、密度和速度随时间的演变情况的描述来模拟真实交通模型能够模拟交通中的拥堵、疏散以及信号灯控制下的车辆密度演变情况，LWR模型被提出之后，不仅在交通工程中得到了广泛的应用，而且其理论也在不断地发展丰富在原有模型的基础上，出现了不少推广的新模型，诸如推广的路段非均匀LWR模型ELWR60】和多车种LWR模型38，45】HOLDEN和RISEBRO17】还将LWR模型推广到了网络上，建立了网络交通流连续模型的理论体系，结束了连续模型研究只是停留在路段的状况，为连续模型的发展打开了新的局面本章将着重介绍LWR模型以及ELWR模型的基础理论，为后文对网络LWR模型的讨论做一些理论准备21道路LWR模型LWR模型形式简洁、物理意义清晰、模型理论也比较完善围绕LWR模型理论，已经有许多成熟的研究成果，36，26，20】等都有十分细致完整的讨论在此，仅对于LWR模型的建模过程、物理含义、弱解理论等方面的问题作简单介绍考察车辆在任一路段，记为Z，ZAX】内，从时刻T到TAT的车流密度演变情况。T时刻，路段内车辆数为。E缸PX，TDX，在TAT时刻，路段内的车辆数为譬PZ，TATDX那么，从T到TAT时段，路段内的车辆数变化量为FXAXPXAXFXAX上PZ，ADX一上PZ，TDZ2上J口Z，TAT一PZ，TDX另一方面，在T到T时段内，从Z处流入路段的车辆数以及从ZAX处流出路段的车辆数分别可以用以下两个积分来计算，十。QX，TDT，。GZAX，TDT再由车辆数守恒，我们立即可以得到FXAXFTATPZ，TAT一PZ，TDXQZ，T一口ZAX，TDTHTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年上海大学硕士学位论文第二章道路交通流连续模型第5页21道路LWR模型上式亦可表示为XRAXF2塞出，出2CZ。Z差兰如，出即，。XRAX件越C害瓦OQDTDXO再由AX和AT的任意性，就可以得到。塞瓦OQ0。21砒AZ、_7这里延用了流体力学中关于流量的定义QPU显然，仅凭方程21是无法确定密度P和速度U两个变量的为了实现模型的封闭性，模型假设了速度是密度的一元函数，即钍钍。这里U。P就是我们经常谈及的速度一密度假设关系相应地，QPU。尸被称为基本图函数在速度一密度假设下，LWR模型有如下完整的形式害笔掣02，执8Z。一J对于LWR模型来说，速度一密度假设十分重要而对于速度一密度假设函数的研究，本身就是交通工程领域一项重要的研究课题通过实测和数据分析，交通工程学家们提出了许多种速度一密度假设关系最为常见的则是基于线性速密关系的抛物型基本图Q让MP1一23一M其中UM和P。分别为畅行速度和最大密度从函数分类的角度上看，可以简单地将基本图大致分为凸基本图、非凸基本图和间断基本图其中凸基本图最为常见，例如抛物型基本图23非凸基本图在交通流高阶连续模型中也被广泛应用，尤其是对于时停时走行波解的模拟间断基本图，也就是我们常说的倒A型的基本图源于交通实测，也被人们认为最符合交通实际。但因为它的不连续性，其在连续模型中的应用也受到了一定的局限。但具体到间断基本图在LWR模型中的应用，则可以通过将间断区域用一极薄的过渡层取代的方法来研究间断基本图下LWR模型RIEMANN问题精确解对此有兴趣的读者可以参考F23做进一步了解，在此我们就不展开讨论了HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年上海大学硕士学位论文第6页第二章道路交通流连续模型22LWR模型的特征线理论和RICMANN问题22LWR模型的特征线理论和RIEMANN问题LWR模型的初值问题可以表示成如下的非守恒形式T瓦OP州P塞0P27，0PO2724其中，APVEJDP在XT平面内，定义特征线C为协”5，容易验证方程24在C上满足再由初始条件可以得到PI。伽，Z口伽T26上式表明在特征线上LWR模型的解为常数对于线性方程A为常数，不同的值构成了一簇平行的特征线组而这簇特征线正好覆盖了整个ZT上半平面这样一来，原方程初值问题在XT上半平面内任意点的解都可以通过特征线给出然而对于像LWR方程这样的非线性方程，由于不同的对应的特征线不一定平行，情况将变得十分复杂尽管如此，仍然能够通过特征线分析得到一些定性的结论，这些性质对于模型的认识以及方程弱解的描述十分重要36】为此，可以将26对Z求导并整理得到PZ压毒2砧F南这里，C79，伪F磊F，1厂PV。P针对，力的凹凸性质，可分以下三种情形对模型解的性质分别予以讨论1流量函数FP关于密度P是严格凹函数，即厂P0恒成立此时由26可知，任意两条从Z轴出发的特征线在ZT空间互不相交如图21所示HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年上海大学硕士学位论文第7页第二章道路交通流连续模型22LWR模型的特征线理论和RIEMANN问题2类似地，如果假设FP关于P严格凸F帮P0，则当POZ光滑且磊Z0时，特征线也不会相交3相反地，如果假设FP为严格凹函数，P0的情况出现时，一定会有特征线相交的情形出现如图23所示而在相交部分密度可以有多个值，从而方程初值问题的解就不唯一了同理当，J90，砧ZN矿，29继HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年上海大学硕士学位论文第9页第二章道路交通流连续模型22LWR模型的特征线理论和RICMANN问题也就是左侧流体的速度大于右侧流体的速度时，才能出现激波。因此方程的解除了要满足RH条件28外，还应该满足式29这样的解才是物理上有意义的通常式29被称为熵条件，而把满足熵条件的弱解称为熵解在交通流模型中，熵条件则反应了驾驶员的提速欲望2】，通常情况下，司机总是希望以尽可能高的速度前进图24描述了交通灯由红变绿后车流疏散的情况如果引入如图中所示的三条间断线，同样可以得到满足间断条件的解。但这样的解并不满足熵条件。此解得到的车流密度变化显示，在红灯转绿灯后车辆是停止不动的这显然不符合驾驶员的驾驶欲望，与实际交通状况大相径庭LWR模型RIEMANN问题间断分解LWR模型的RIEMANN问题对于研究交通拥堵、疏散以及交通信号灯前的车流密度演变有着重要的意义同时RIEMANN问题精确解在构造一阶有限体积数值计算格式时也十分关键著名的GODUNOV格式就是直接利用RIEMANN精确解构造的LWR模型的RIEMANN问题由方程22以及初始条件PCZ，。，2P；三至兰构成。由特征线的定义，可以得到LWR模型RIEMANN问题的特征线是两组平行直线。当条件29成立，即JD一P时，两组特征线是不会相交的此时。一T上半平面就会出现一扇形区域没有被特征线覆盖在这一区域内可假设解满足PPEP代回原方程可得曰伊一PP7口0即扇形区域内的解为P口从而LWR模型RIEMANN问题有如下形式的精确解IPXTPPZ，2；JP一0，劈0，F一0，劈0，譬F或者口0，劈F3乃一6矿，矿P。O如果声0，劈0，F一FP。O，矿或者疗0，譬0，厂江N，A一FP，矿，A。4卢一P。A一，卢6卢一如果0，譬吼L店，OU【7风，O，L】，矶，O纯，0，3。3【磊ZST胁Z，TPI，0詈，7磊对于流出节点的路段，节点RIEMANN解为式35和36岛Z，Z西ZSTL力孝乃，O36I乃，O詈，7乃，O这里S镑掣HOLDEN和RISEBRO171给出的模型为LWR在路网上的应用奠定了数学理论基础和建模框架以此为基础，COCLITE和PICCOLI6又提出了PC网络交通流连续模，FL，、，HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年第三章上海大学硕士学位论文第16页网络交通流连续模型31路网LWR模型及节点PDCMANN问题型。PC模型进一步提出了两方面的改进第一，对于流入节点的路段引入流量分配参数Q，反映由于不同目的地驾驶员对于行驶路线的选择在流出节点的路段引入优先级参数PRIGHTOFWAYPARAMETER，反映不同路段的行驶优先级第二，将节点处优化问题的目标函数确定为总流量，即在节点处的有NNMTRTAX【FIPIBI，JPJAJ，I1JFNI由于PC模型主要应用于城市路网交通流模拟，两个参数Q和P正好可以模拟城市交通信号灯信号灯的存在使得对于一叉二路口DISPERINGJUNCTION和二叉一路口MERGINGJUNCTIONS的讨论显得尤为重要如图32所示本节余下部分将分别介绍这两类交叉口的RIEMANN解求解过程图32左T一叉二路口，右。二叉一路口对于一叉二的路口，节点处优化问题为MAX厦五屁西8T厦儿Z2厶历厶历化厦，历1一O历厩Q船K1，2，3注意到求解区域的约柬条件，在求解区域内是厦到厩的一对一映射如果记厥为五，上述非线性优化问题可以转化为如下的线性优化问题，而线性优化问题比较容易求解。MAX8T五Q五，五1一Q五0五CK1，2，3HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年上海大学硕士学位论文第17页第三章网络交通流连续模型31路网LWR模型及节点RIEMANN问题趄一入置一QHP铅铅一触陷卜仍彩彩。彩以比化饥M掰M、J3鳓愚鳓铅一A吖8吖B，0，、【IIHTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年上海大学硕士学位论文第19页第三章网络交通流连续模型32CTM网络交通流模型于复杂城市交通网络的流量分配问题至今仍有许多国内外学者致力于CTM模型的研究、推广与应用我们指出网络情形下CTM模型与LWR模型离散格式是等价的，对此等价关系的证明将在后面的章节中给出，此处仅对CTM网络模型的基本理论做简单介绍CTM模型采用如下的基本图QMINVK，Q，如唧一后310这里后FCI。，Q，V分别表示最大密度、通行能力、自由流速度、向后激波传播速度注意式310其实是对一般基本图的分片线性函数近似CTM模型将路段划分成若干个等距的元胞，并将时间离散化元胞的长度为自由车流在一个时间步内行驶的长度每个时间步采用递推公式3，11更新元胞里的车辆数码U12U协U一珊LU311协UMINNJ一1，QU，W，Y【U一U】式311给出了交通流随时间演变的更新法则，下标J则代表元胞J，JLJ一1代表J的下游上游的元胞哪，协，GJU表示时刻U元胞J上的车辆数、实际流入量和元胞能够承载的最大车辆数对于网络CTM模型，DAGANZO9】给出了一叉二和二叉一两种交叉口由三个元胞组成，如图34和图35所示的流量更新规则。图34，CTM模型一叉二交叉口示意HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年上海大学硕士学位论文第三章网络交通流连续模型第20页32CTM网络交通流模型对于一叉二交叉口图34，交叉口处三个元胞的流量为YBKWRAIN岛K，REKP七，RCKP。七】，YKWPKYBK，弛“，PCKYBK312此处YBK表示由元胞BK流出的车辆数，YK，YCK表示进入元胞EK，CK的车辆数PK，弛与LWR模型中口含义一致，且PKP幽1SZW和R，由式313给出研UMINQ，几J】，R1WRAINQ1，WY，一佗，图35，CTM模型二叉一交叉口示意对于二叉一交叉口图35，交叉口处三个元胞的流量为如果SB七十七RE七YEKW可引YCK，YKWMID庇，REK一七，PKREK，妣UMID昆，REK一如七，P吐REK如果S音赶SRE七YEKWYBKYCK，玑，YCKW七313314315HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年上海大学硕士学位论文第21页第三章网络交通流连续模型33简化的ODE网络模型此处，PK，刀呔是表示路段优先级的参数，其含义与网络LWR模型中的P一致，且满足肌PCK1在每一个时间步，只需利用式311，312，314和315更新各个元胞内的车辆数就可以模拟整个网络上的车流密度演化过程CTM模型简单直观的特点使得它很快被交通工程领域认可，并得到广泛应用33简化的ODE网络模型对于LWR路I碉交通流模型，由于涉及备条路段条件不一致的情况，一般需要采用松弛算法进行数值模拟【5】。此类算法的优点在于可以很好地处理道路条件不一致的问题但它的缺点也同样明显，用松弛算法对模型进行计算，计算成本是一般同阶精度的有限体积法FVM的两倍左右因此对于大规模路网的数值模拟，其计算成本过于昂贵为了解决计算量的问题，HERTY14尝试通过路段空间平均，将原有的PDE模型简化成为ODE模型，从而大大减少模型计算量HERTY14简化模型的思路是将LWR模型在【A，D，【D，6】上空间积分平均，其中D丁AB为路段【N，6】中点那么对第J条路有岛谬T一手，乃D，T一，乃O，A砖6亡LFP3D，一FPJB，这里LBA，空间平均密度彦，定义为批兰ZD北地舯兰Z6北妇对初始条件也做同样的处理，即抛兰ZD础地穰Z2ZB肿州如HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年上海大学硕士学位论文第22页第三章网络交通流连续模型33简化的ODE网络模型节点处的边界条件孝，苟仍利用37和39计算，只是需要将PJO换成一PJ加A或巧PJB，O最后对上述ODE做时间离散，就得到各路段密度更新规则如下格式1谬7孝T一2，7“D,T一，蟛AT，谬K丁谬K荤，乃以啪一，每K。J6这里卢；口和芦；6由37或39确定，7为时间步长在316中仍有FPJD，需要确定，丽一般的做法是定义胁D，T去P尹T4P；6THERTY14指出这一假定会导致在畅行情况下，密度演化不合理情形如图36所示对于一个初值为空的网络网络中没有车辆存在，这一格式会导致路段密度先增加后减少然后逐渐趋于一个稳定值的情形而实际交通中，此情形下的密度应该由零单调上升趋于一稳定值。T图36T一叉二交叉口入口路段前半段平均密度随时间变化曲线格式1为此，HERTY14提出了一个新的迭代格式来解决这一问题。格式2删P5AC叫丝学盥一等地6功卅批，挑川丞喾筝讹啪_，批我们指出此格式虽然解决了格式1的问题，但丢失了原来PDE模型的一些重要物理性质。我们发现格式2对于不同的路段长度L，路段密度的增加所需要的时间变化HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年上海大学硕士学位论文第23页第三章网络交通流连续模型33简化的ODE网络模型不大如图37所示而实际情况下，对于越长的路段，路段平均密度的上升需要越长的时间P图37T一叉二交叉口入口路段前半段平均密度随时间变化曲线【格式2图37模拟一个一叉二路口从初始状态各路段上密度均为0到T10S内，流入节点路段的前半段平均密度P8随时间变化益线两条曲线分别为路段长度L20米和L200米的模拟结果从图中可以看出，对于路段长度相差10倍的两种情况，格式2的模拟结果显示平均密度在几乎相同的时刻达到稳定值，这无法与真实交通现象相吻合我们指出，只需适当地给出路段中点D处流量FPD，T，完全可以同时解决格式1和格式2的问题我们尝试借助数值流通量函数来确定FPD，将P。和JD6看成一个宏观的RIEMANN问题，通过RIEMANN问题的精确解给出D处的流量我们采用GODUNOV流通量函数厂GPC引，PO来确定D处流量，并采用牛顿向前差分进行时间离散，得到了新的密度更新规则如下格式3谬丁T一了ST，G谬T，矽T一，孝，历R谬筝，G彦T，T一，矽T下面的算例给出了不同路段长度L下，单个一叉二交叉口各条路段的平均密度随时间演化曲线Q05从图38可以看到，格式3对于路段长度参数L是敏感的，较大的L情况下，平均密度变化较缓慢。同时格式3也克服了格式1的缺陷HTTP/INFO3DOUCOM/口碑营销2008年上海大学硕士学位论文第24页第三章网络交通流连续模型33简化的ODE网络模型TPB图38T一叉二交叉口各路段平均密度随时F冒变化曲线格式3T虽然ODE模型在计算量上的优势毋庸置疑，但是只用两个平均密度值P引、P来描述整条路段的车流分布情况仍比较粗糙尤其是对于在交通信号灯干扰下路段密度起伏变化较大的情况，其应用会受到较大的局限第四章交叉口流量分配的MAPPING算法MAPPING算法由ZHANG和LIU46】提出，用于处理空间非均匀路段计算问题我们将把这一算法推广到网络LWR模型，通过在节点处推广5MAPPING算法来解决一叉二和二叉一路口的配流问题从数值计算的角度看，我们给出的节点流量分配策略就是在节点处的数值流通量函数表达式这一表达式继承了原来路段上传统数值流通量函数的形式，是原有数值流通量函数在路网交叉口的推广我们给出了两个流量分配方案，第一个采用著名的GODUNOV流通量函数，即利用RIEMANN精确解来确定节点流量我们指出GODUNOV流通量函数与节点流量最大化原理确定的节点流量式37，3。9是完全一致的我们推广的另一个节点流通量是ROEENTROPYFIX流通量351ROE流通量利用了RIEMANN问题近似解来确定流量，而RIEMANN近似解对于双曲方程数值计算问题有很重要的意义因为对于复杂的情形下比如复杂基本图，显式的RIEMANN精确解并不容易得到，而隐式的解则需要通过迭代求解非线性方程组确定这样做不但会增加计算量，而且计算的稳定性也不容易保证。所以推广一个好的节点近似GODUNOV流通量函数对于网络模拟，尤其是对于推广的多车道、多车种LWR网络模型或高阶连续网络模型的数值计算策略设计都很有意义本章尝试就这一问题作出初步的探索，推广出单车道单车种LWR网络模型的节点RIEMANN近似解，希望能为此类问题的研究提供一种可行的思路41路段瓶颈处的MAPPING算法ZHANG和LIU46，47提出了MAPPING算法，并运用此算法解决交通瓶颈如图41处的数值模拟问题。对于路段上的瓶颈，其左侧和右侧具有不同的流量函数厂，这导致通常的数值流通量函数无法正确模拟此情形MAPPING算法处理此问题的核心思想就是将处于左右两侧不同状态下的密度胁，陆投影到一个中间过渡状态厶上，并在中间状态上确定界面INTERFACE处的数值流通量2008年上海大学硕士学位论文第26页第四章交叉口流量分配的DMAPPING算法41路段瓶颈处的MAPPING算法INTE眄ACEF，图41交通瓶颈示意图ZHANG和LIU461通过对瓶颈处过渡RIEMANN问题的分析得到了相应的RIEMANN问题精确解通过分析RIEMANN解的结构确定了投影算子MAPPING应该满足如下性质1、通过界面时保持流量守恒2、通过界面时保持特征线方向，即厂P的符号不变，3、当无法实现投影时某侧流量大于另一侧的最大流量，采用最大原理基于上面三条性质，MAPPING被定义如下T1F_FPT厶6PZ且爿N6PZO，如果五凤名否则，跏麻此外，如果爿渤0，则厶跏02办厶6胁且群办名6胁0，如果LP，虎否则，5PRJD此外，如果胁0，则岛6胁0这里定义麻群，群为使得歹麓五，矗取到最大值的密度值。另外，厶碥名五衍疗，矗PR岔对于中间过渡状态的选择，下式提供了一种较为简单的方法疗0由于此类清形的存在，节点处只能采用值域恒大于等于零的数值流通量函数，比如GODUNOV和ROE流通量注意ROE流通量在处理跨音速稀疏波时会出现非物理解，应用时应与ENTROPYFIX技术【19相结合我们只需注意到GODUNOV流通量是利用RIEMANN精确解来确定流量这一事实，很自然就会得到下面的结论如果在44，45，46中取厂厂G的话，得到的配流结果与利用节点流量最大化MAXIMALPRINCIPAL方法求得的节点RIEMANN解所确定的节点流量式37，39是等价的这一结果也说明了我们提出的配流方法的正确性43二叉一路口的MAPPING算法相比一叉二路口