初中数学，开放题的几个案例及其教育价值

1开放题的几个案例及其教育价值【摘要】目前，数学开放题已成为数学教学领域的热点和亮点，被认为是当今最富有价值的题型之一。现行初中数学教材中的数学题大多是封闭题，而实践表明封闭题已不能完全满足新课程数学素质教育的要求，所以，关注初中数学开放题并用之于数学教学实践就显得特别有价值。笔者在学习相关文献的基础上，结合平素教学案例，主要对其内在的教育价值予以分析和阐述。关键词数学开放题教学案例教育价值一、开放题的涵义数学开放题是对数学问题自身结构、解题的思维过程进行研究，以及对他们进行外在形式分类的结果，数学开放题是相对数学封闭题而言的。除了和封闭题的相对对立这样一点外，国际上对于什么是数学开放题这一概念还没有取得完全一致的意见。从查阅的文献资料看，学者们多从问题命题要素的特点来分析数学开放题的涵义，归纳起来主要有以下三类1、答案不确定的数学问题日本的泽田利夫认为“有几种正确答案似乎都带有可能条件的问题，称为未完结的问题、开放的问题，目的在于使之思索集G1025得G1998答案的G7053G8873和过程，G2172G7438在于G3533G1871G17908G4613数学的思G13783G7053G8873和G3800G10714G7053G8873的能G2159和G5589G5242G257A1G727有多种正确答案、结果是开放的题，这类问题G13485G1116学G10995以自G5061G2928G8438的G15932G17810G7053式解答问题的G7438G1262，在解题过程G1025，学G10995可以G6238自G5061的G11705G16794、G6228能以G2520种G7053式结G2524，G2447G2469G10628G7044的思G5831G7053G8873A2G727答案不G2819一的问题G6116为开放题A3G727数学开放题是G6363G18039G1135答案不G2819一、G5194在G16786问G7053式上要G8726学G10995进行多G7053G1313、多G16294G5242、多G4630G8437G6518索的数学G1076题。A4G21、条件不完G3803，结G16782不确定的数学问题。G3926条件多G1325G19668G17885G6333，条件不G17287G19668G15929G1817的G6122答案不G3278定的数学问题A5G727问题不1A0A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15A16A17A18A19A20A21A22A23A24A25A26A20A27A25A28A29A9A30A31A27A32A91980A33A344A35A362A37A25A38A9A15A16A39A40A41A42A31A43A44A45A9A24A25A27A25A91993A342A35A363A46A47A48A9A49A25A24A25A27A50A51A49A20A52A53A16A9A49A25A24A25A27A25A54A55A91999A344A35A364A56A57A58A59A60A9A52A53A16A61A61A24A25A27A25A20A62A63A64A9A65A66A27A32A19A67A68A92002A365A69A70A71A9A72A49A25A24A25A73A16A74A75A76A77A78A362G5529有解、答案不G5529G2819一，条件可以多G1325A79G727数学开放题是相对于G1268G13491G1025条件完G3803、结G16782确定的封闭题而言的，是G6363G18039G1135条件不完G3803、结G16782不确定的数学问题A80G727开放G3423问题是G6363题目的条件不完G3803G6122结G16782不G7138确，从而G15176涵G11540多种可能G5627，要G8726解题者自行G6524G7041A81。G22、数学开放题是G6363条件开放G708条件在不G7041G2476G2282G709、结G16782开放G708多结G16782G6122G7092结G16782G709、G12586G11065开放G708可以G18331G11004多种G7053G8873和G17896G5464G2447解G1927G709的问题。G1867有多种不G2528的解G8873、G6122有多种可能的解答，G12560G13491G3332称之为问题的开放G5627G708G18085G8615G1461，1994G709。9一G1022数学问题，G3926果G4439的答案不G2819一G6122者有多种解G8873，G4613称这G1022问题为开放题。10G13520上G6164G17860，和G1268G13491意义上的数学G1076题G8616G17751起来，这类题目的G7380G3835特点G4613是条件的开放和答案不确定，这样的问题对解题者来G16840没有G11464G6521的解G1927问题的G7053G8873，G5460G5460G19668要解题者对问题G5326立自G5061的G10714解之G2530，G13864G13007G5062有的G11705G16794和G13475G20576，G4593G16809对问题进行解答。G3252为问题解G1927过程的G1022G5627G2282，G4560致问题解G1927结果的多样G5627。本文对数学开放题的G10714解是数学开放题是答案不G2819一G6122者有多种解G8873，G19668要解题者进行多G4630G8437、多G16294G5242的G10714解和G6518索的题目。二、数学开放题在教学实践中的类型和特点分析从不G2528的分类G16294G5242可以G6238数学开放题进行不G2528的分类，G5132见的分类G7053式有G6365命题要素分类、G6365答案结构分类、G6365解题目G7643分类G12573G1257311，G7693G6466G2033G1025学G10995的G5192龄特点，笔者在课堂教学G1025G6164G17885G11004的开放题主要是G6365命题要素分类的，即条件开放G3423、G12586G11065开放G3423、结G16782开放G3423、G13520G2524开放G3423四种类G3423。借助G1867体的题例分析数学开放题的特点。G7081G709条件开放题6A82A83A84A85A86A87A88A89A90A91A92PROBLEMSOLVINGA93A85A94A95A96A95A851995A926A93A977A98A99A85A94A95A100A101A89A102A95A103A104A105A106A107A108A109A110A85A111A95A94A95A852008A112A929A93A978A113A114A115A85A116A117A96A118A119A120A100A101A121A88A89A85A94A95A122A123A852006A925A93A979A124A125A126A85A127A88A89A90A91A128A94A95A96A129A130A85A131A132A133A134A135A852004A9710A136A137A84A85A138A95A94A95A100A101A89A108A139A140A128A141A142A85A138A95A96A95A85A143A144A144A144A112A92A145A93A9711A146A147A84A85A100A101A89A148A148A94A95A96A95A108A149A150A151A85A152A153A96A129A133A134A135A85P39A973数学命题一般可G7693G6466思维形式分为“假G16786G6524G10714判G7041G257三G1022部分。G3926果数学开放题的未G11705要素是假G16786，则为条件开放题。下面一G1022例题G4613是笔者在平行四边形的教学G1025G17885G11004的条件开放题。例1G5062G11705G3926图21，四边形ABCD,仅从下列条件G1025任取两G1022加以组G2524,能得G1998四边形ABCD是平行四边形的结G16782。ABCDBCADABCDBCAD图21分析这是一道条件开放题，题目G13485G1998了部分条件及确定的结G16782，目的在于G13783察学G10995对平行四边形判定的G10714解和应G11004，要G8726学G10995深入认G16794题G1025的内在G13864G13007，填写G1998能得到结G16782的两G1022条件G4613能解G1927。G7082G709G12586G11065开放题G3926果数学开放题的未G11705要素是G6524G10714，则为G12586G11065开放题。这类题目从题G16786G1998G2469，G2447G6518索结G16782G6116立的多种G17896G5464G6122G7380优G17896G5464，G1867体G15932G10628为一题多解、一题多G2476引申G6524广、G7380优G7053案G16786计G12573。在有G10714数的运算教学G1025笔者使G11004了下面这G1022例题例2请G11004你认为G8616G17751简便的G7053G8873计算分析本题有以下几种的G1867有代G15932G5627解题G7053G8873G7053G88731G11464G6521通分，相加G2530约分。G7053G887324G7053G88733其G1025G7053G88731是G5132规G7053G8873，G7053G88732提G1998了与G5132规G7053G8873不相G2528的G7053G8873，体G10628了G2282归思G5831。G7053G88733运G11004了一种数学G7053G8873，即G6238分数拆分G6116两G1022分数的差，抵消互为相反数，得到计算结果。显然G8616前两种G7053G8873更G7044颖、简便，容易引起思维的震憾。G7083G709结G16782开放题数学开放题的未G11705要素是判G7041，则为结G16782开放题。这类题目从G2528一条件G1998G2469G2447G6518G8726多种不G2528的结G16782，主要G13783查和G3533G1871学G10995的G2469散能G2159和应G11004能G2159。在G2033三函数部分期末复G1076时笔者举了这样一G1022例子例3G5062G11705函数图像G13475过A3，3、B1，1两点，请你G4560G1998满G17287上G17860条件的函数解析式，G5194简要G16840G7138解答过程。分析该题由于函数解析式的类G3423未G11705，G3252此G6164确定的函数可能为G11464线、双曲线、抛物线G12573，结G16782不确定，是一道结G16782开放题。此题既G13783察数学基本G7053G8873待定G13007数G8873，又能训练学G10995思维的逻辑G5627和严密G5627。G7084G709G13520G2524开放题5G3926果数学题只G13485G1998一定的情境，其条件、解题G12586G11065与结G16782都要G8726主体在情境G1025自行G16786定与寻找，这类题目可G6116为G13520G2524开放题。对于这种问题，由于答题者思G13783G16294G5242与G13475G20576背景不G2528，G5529然G1262提G1998多种多样的解题G12586G11065，这样的问题，其条件、解题G12586G11065与结G16782都呈G10628极G3835的开放G5627。例4G3926图G21G21，在ABCG1025，点D、E分别在边AB、AC上，G13485G19985G1022G16782G7041CDAB，BEAC，AECE，ABEG220G101，G315CDBEG714G111G12G3926果G16782G7041、都G6116立，G18039么G16782G7041G315一定G6116立G2539G34G11G21G12从G16782G7041、G1025G17885取G22G1022G1328为条件，G4570G16782G7041G315G1328为结G16782，组G6116一G1022G11507命题，G18039么你G17885的G22G1022G16782G7041是G714G11只G19668填G16782G7041的G5219G2507G12G11G22G12G11004G11G21G12G1025你G17885的G22G1022G16782G7041G1328为条件，G16782G7041G1328为结G16782，组G6116一道G16789G7138题，G11023G1998图形，写G1998G5062G11705、G8726G16789，G5194加以G16789G7138。图22分析这是G13520G2524开放题，G4439从G12573边三G16294形及其两条G20652G1025写G19985G1022G16782G7041，然G2530加以组G2524来研究G7044命题G714G4439G15441然G19602G5242不G20652，G2376G1208G1166G20059G5875G7044意，从命题的G4630G4630G6524进到解题，体G10628G1998对G9801G8975思维的要G8726，G2528时G1075能G1431进思维的G2469G4649。三、开放题的应用及教育价值（附课堂观察案例）数学开放题本身G15176涵的广G19432时G12366和思维内容，G5132G5132G1867有G1028G4512的思维G7460料、多样的思维G7053G2533和解题G17896G5464，G4439使学G10995能更加自然的进行自主G6518索、G1158身G4466G17353、G2524G1328G1144G8981，G16765学G10995的数学学G1076G8975G2172G11507正G6116为一G1022G5875G2475G2469G10628的G1060G17271、G14731得G1028G4512的学G10766体G20576的过程。笔者结G2524教学G4466G17353，G17885取学G10995G2469G4649和教G5084G6116G19283两G1022维G5242G4570其教G13958G1227G1552概G6336G3926下（一）促进学生发展1、有助于G3533G1871学G10995的问题意G16794，G1431进学G10995的数学G10714解和数学思维能G2159的G2469G4649。例G3926G9005教G10268G1855G5192G13435上722一G14422G1025的G6518究G8975G2172正G7053形边上的点数N与G2520边上的点数和S之G19400的函数G1863G13007，这是一G1022G12586G11065开放问题，笔者在教学G1025G21735G2181学G10995G12227极思G13783G5194G19428G17860自G5061的G5831G8873，G16772G5417G3926下学G109951S4NG23G15G10714由是G8611条边上有NG1022点，4条边G4613是4NG1022，4G1022G20042点有G18337复计算G6164以G1889G19554学G109952G6117们G4579组认为是4G708N1G709，G8611条边G6238要G18337复的点G2447G6493一G1022G1889G1068以4学G109953G1075可以是2NG142G708NG21G709学G109954G6117G16285得可以从面G12227上G13783G15397N2G708N2G7092G925G925该题的解题过程没有G3278定的G7053G8873，结果G15441一样G1306过程G1867有G5468G3835的开放G5627，G19668要解题者通过自G5061的G10714解，结G2524自G5061的G16294G5242和G6228能，G6518索和构G5326解G1927问题的G7053G8873。学G10995可以在自G5061G10714解的基G11796上，在自G5061G17885定的G7053G2533上G11004自G5061的G7053式G2174G2159。在这G1022过程G1025，学G10995G5132G5132可以G1582G1998多种不G2528的G10714解，G17885G6333自G5061G2928G8438的思维G7053式G6122者问题G15932G5461G7053式，G18331取不G2528的G7053式G6122G17347G5464解G1927问题。而G1000G6164有学G10995都可以在问题解G1927的过程G1025G1582G1998自G5061的G2174G2159，学G10995在与G1166G1144G8981的过程G1025能意G16794到自G5061有G6164G2469G10628，有G6164G6116G4613，G5194G17892G9188G5907意思G13783、G1060于思G13783和G2904于思G13783。G2904于思G13783的一G1022G18337要G15932G10628G4613是G2904于提G1998问题和解G1927问题的思G17347。G5527G10714学的研究G15932G7138，没有问题的思维G5460G5460是G15999G2172的、G13944G8985的思维，思维过程G1075即是G2469G10628问题、G6524G7041问题和解G1927问题的过程。G3252而G5390G9884的问题意G16794不仅可以体G10628G1022体思维G2709G17148的G8975G17303G5627、深G2063G5627，而G1000可以G1328为思维的G2172G2159，G6524G2172思维的G4649开和运G1328。学G10995在对数学开放题进行G10714解的G2528时，G5132G5132更能放开思维的G16282G16294，教G5084要G8892意在与学G10995互G2172的过程G1025引G4560学G10995G16278察、分析、概G6336、提G9872，可以G3533G1871学G10995的问题意G16794，引G4560学G10995G6966问、G1262问。G2528时，学G10995之G19400对问题G1582G1998的G10714解和G5831G8873本身G4613是一种G19762G5132G1028G4512和G10657G17161的教学资G9316，学G10995们对来自G2528G1288的G10714解和意见更能对他们G17908G6116G7588种思维7上的G1926G1999，更能引起他们的G11109问和G16764G16782G9921情。他们G5132G5132主G2172G1582G1998解G18334，和要G8726其他G8731G6265的G2528学G1582G1998解G18334，不G7041G4649G12046思维过程。这一过程是学G10995对数学开放题进行分析、G13520G2524、G8616G17751G12573思维G8975G2172的过程。学G10995在不G7041G3332进行G16764G16782、G15932G17810，G1262G1431进学G10995的思维G11908G6770，有利于G3533G1871学G10995思维的逻辑G5627、G6221判G5627和深G2063G5627。2、有利于G3533G1871学G10995G2031G7044思维能G2159。开放题的解题没有G3278定G8181式可G17993G5502，在解答过程G1025，可能引G2469不G2528的G16282G16294，G5529G20047打破G5132规的思维G8181式束缚，G4649开G13864G5831和G5831象的翅膀，从多G16294G5242、多G7053G1313寻找答案，G3252而思维G7053G2533和G8181式呈G2469散G5627有利于G3533G1871学G10995的G2031G7044意G16794和G2031G7044思维能G2159。笔者在G1025G13783第一轮复G1076阶段G1025曾G18331G11004了下面这G1022例题例G16809G8616G17751下列两G1022图形的异G2528。分析这两G1022图形的异G2528可从多G16294G5242来挖掘，相G2528点有都是正多边形G727都有外G6521圆G727都有内切圆G12573G12573。不G2528点有边数不G2528G727对称轴不G2528G12573G12573。在解本题时G5194没有G5132规的解题G8181式可以G17993G5502，呈G2469散G5627，G3926果找到一G1022G7044的G16294G5242，G4613G1262有G7044的答案。数学开放题本身G1867G3803的G2031G7044G5627，容易激起学G10995的G2031G17908欲望。学G10995在解G1927开放题的过程G1025，通过分析G2530独立G5460G5460G1262提G1998一种G7044的解题G16282G16294G6122独立构G17908G1998一种G7044的G7053案，这本身G4613是一种G2031G17908。在开放题的教学G1025，教G5084要引G4560学G10995G7693G6466G6164G13485的G5062G11705条件G6122要G8726对问题广泛G13864G5831，G12227极G6518索、猜G5831，以便寻找G7053G8873，使问题得到G2524G10714解G1927。数学开放题由于G1867有G6518索G5627和多样G5627，不G2528的问题应有不G2528的解题G12586G11065，G19668要不G7041研究和G6524敲，G5132G5132要不G5502G5132规，勇于G2031G7044，G13783G15397的问题存在G11540多种可能G5627，这样有利于G3533G1871思维的独G2031G5627、多G2533G5627和G9801G8975G5627，从而提G20652学G10995的G2031G7044思维能G2159。3、有利于数学G1144G8981，G1431进G3533G1871学G10995的民主G5627与G2524G1328G5627。数学G1144G8981是G6363G11004G2172G1328、G8181像、语言和符G2507为载体，对数学的认G16794、情G5875G12573进8行G15932G17810、G6521G2475与转换12。学G10995通过听G16285、G16282G16285、触G16285G708多游戏的G7053式G709来G6521G2475他G1166的数学G16278念和G5875G2475，G2528时G4570自G5061的数学G16278念和G5875G2475G11004G2172G1328的、G11464G16278的形式G6122者数学语言的形式G15932G17810G1998来。G708全美数学教G5084协G1262G709G708NTCMG709G2469G15932的G1025G4579学数学课程与评估G7643准G1025G7138确G6363G1998G6238学G10995G3533G1871G6116为有数学素G1871的社G1262G6116员的一条G18337要G7643G16772G4613是他们G1262数学G1144G898113。为G1431进学G10995G1144G8981G11705G16794构G5326，学G1076他G1166思G13783的G7053G8873，G5194G1000澄清自G5061的思维，笔者在命题和定G10714的教学G1025穿插了这样一G1022例子例在ABC和ADCG1025，下列三G1022G16782G7041ABADG727BACDACG727BCDC，G4570其G1025的两G1022G16782G7041G1328为条件，另一G1022G16782G7041G1328为结G16782,写G1998一G1022G11507命题该题是条件开放，结G16782G1075开放，3G1022G16782G7041G10252G1022G16782G7041G1328为条件，剩G1325一G1022G16782G7041则是结G16782，要G8726学G10995G4649开G13864G5831，G2469散思维，G7693G6466自G5061的G10714解提G1998G2520种不G2528的可以解G1927的问题。由于题目的G2469散G5627，不G2528的学G10995G5132G5132G3252为有不G2528的G5831G8873得到不G2528的结果，这为学G10995与学G10995之G19400进行G1144G8981提供了G17751G3835的G12366G19400。数学开放题的课堂教学尤其G18337G16282在G5084G10995之G19400、G10995G10995之G19400有效的数学G1144G8981。教G5084提G1998要G6518索的问题G5194要G8726学G10995解G18334他们的G5831G8873时，教G5084G4613在G6524进了数学G1144G8981的过程。由于学G10995G5132G5132可以从不G2528的G16294G5242G6122者不G2528的G7053式对数学开放题G1328G1998自G5061的G10714解、形G6116不G2528的解题G7053G8873和多种不G2528的答案，G3252此他们更加G19668要G15932G17810自G5061的G10714解和G2469G10628，G1075G1262G13475G5132G3332要G8726其他G2528学解G18334和G15999要G8726G1582G1998解G18334来辩G16789自G5061的G10714解G6122者结G16782。他们的G5831G8873和G16278点G19668要在G16764G16782和G1144G8981G1025相互G8616G17751和优G2282，而G1000这种来自G2528G1288的G7044异G16278点更能引起学G10995的兴G17271和G16764G16782的G9921情。G2528时，学G10995在解G1927问题的过程G1025G1075G1262遭遇许多困G19602G19668要相互帮助和协G1328。这样，在教学过程G1025，学G10995可以G1817分G2469G15932自G5061的见解，G5194在聆听别G1166见解和G16764G16782的G2528时，不仅学到G11705G16794，形G6116G7044的认G16794G1926突，而G1000学G1262与G1166G2524G1328，学G1262帮助他G1166G12573。4、有助于学G10995G14731得G1028G4512的学G1076体G20576，G5326立和增G5390他们的参与G5875和自G1461G5527。开放G5627问题可以G1431进学G10995G8616G17751G1817分G3332G6238G2520有的G11705G16794和G13475G20576G11004于解G1927问题之G1025，通过自G5061的G16278察和思G13783，提G1998自G5061的解题思G17347，使G8611G1022学G10995都可以从事自G5061G2159G6164能及的G6518索，优G10995可G1582得多而深G1135，基G11796差的学G10995G1075不至于G7092从下手。不G252812A154A155A156A157A158A159A160A161A162A163A164A165A166A167A168A169A170A156A157A158A171A158A1561998A1722A173A17413A175A176A171A177A178A179A180A172NTCMA173A156A181A158A182A183A184A185A186A168A187A188A185A186A189A156A190A191A171A192A193A194A195A1561989A1749的G1166在不G2528的起点上思G13783G2528一G1022问题，思G13783的G16294G5242，使G11004的G7053G8873和G6164得的结果可能G1262有G6164不G2528，G1306他们都能在自G5061原有的基G11796上有G6164得、有G6164G14731、G7693G6466自G5061的G11705G16794和G13475G20576构G17908自G5061的数学学G1076G8975G2172。笔者在勾股定G10714教学G2530G16786计了这样一G1022例题例G13485G1998一组式子你能G2469G10628G1863于式子G1025的一G1135规律G2539请你运G11004G6164G2469G10628的规律，G6122者通过G16809错的G7053G8873，G13485G1998第5G1022式子。请你G16789G7138你G6164G2469G10628的规律。这G1022开放题的起点低，学G10995可以G7693G6466自G5061的情况找到适G2524自G5061的切入点，G3252而能满G17287G2520种G4630G8437水平的学G10995的G19668要。数学开放题本身有G4630G8437G5627，即使学G1076有困G19602的学G10995G1075能G1582G1998一种G6122多种答案，G7092G16782程G5242G3926何，都G4570使学G10995体G20576到G6116功的G1060G17271，这种快G1060G5875G1262使学G10995G5527甘情G5907继续寻G8726更多更好的东西，而没有一种G7092可奈何的G15999迫练G1076的G5875G16285，从而提G20652他们学G1076的内在G2172G2159，G3533G1871学G10995的自G1461G5527，G5194能在解G1927问题的过程G1025使学G10995G5875G2475到数学的美和解G1927问题的G17271味G5627，增G5390进一步学G1076和应G11004数学的G1461G5527。有利于他们形G6116G1461G5527兴G17271G2469G4649能G2159的良G5627G5502环。此外，在与G2528学的G2524G1328、G16764G16782、争G16782G12573G1144G5460过程G1025，能G1817分G15932G17810自G5061的思G5831，G2469挥自G5061的特G19283，体G10628其在社G1262G1144G5460G1025的G1227G1552，增G5390了与G1166G1144G5460的自G1461，尤其当学G10995的G16278点G6122行为得到G3835家的肯定和赞扬时，更能G5390G2282学G10995的这种对自G5061的G12227极认G16794。（二）促进教师成长1、教G5084可以更准确G3332G6238握学G10995的学G1076状况，进行有针对G5627的教学评G1227和反思。G1268G13491的教学G7053G8873是G16809图教G13485学G10995一G1135特殊的G6228能，有G13475G20576的好教G5084G1262更多G3332G1863G8892解题的思维过程，G1306是在G1268G13491的评G1227G8181式下，教G5084和学G10995G1863G8892的仍然只是G7380G2530的答案是否正确，学G10995G5468少能G14731得有G1863他们G6164使G11004的问题解G1927G12586G11065G6122思维过程10的任何G5326议G6122反馈。教G5084计划G8611天、G8611G14422课的教学任务，目的是为了G2469G4649学G10995的数学G10714解，而G1582好这一工G1328的前提是教G5084自身G5529G20047十分清楚G3332了解学G10995目前正在使G11004和G2469G4649G11540的数学G11705G16794、G16278念以及思维的G8975G2172G3926何。在教学过程G1025只要教G5084有意G16794G3332G2447收集这G7053面的数G6466，是G5468容易G14731得学G10995这G7053面的G1461息的，G3252为教G5084的G8611天教学G1025，尤其是在G7044G11705G16794的G1268授之G2530G1262G5468自然G3332提供一G1135G19668要学G10995解G1927的问题和任务。通过G16278察学G10995对这G1135问题和任务的解G1927和G16764G16782，教G5084G6164G14731得的数G6466G4570G1262G8616通过一G8437正规的单元测G16809G6164G14731得的数G6466更G1028G4512和更有G11004。G4439不仅能帮助教G5084看到学G10995可能在什么G3332G7053G1998错，在哪G1135G3332G7053还不清楚G6122没有牢G3278掌握，更G18337要的G4439还能帮助教G5084G2469G10628G4560致错误答案背G2530的原G3252，找到解G1927学G10995学G1076困G5797的G11163结G6164在，在错误G15999当G6116一G1022事G4466，G6122G2469G4649G6116一G1022G1076G5827之前及时G3332G5369G15929和G16855G6984自G5061的教学14。另外，数学开放题答案的不确定G5627与多样G5627，G13485学G10995提供了更为G4497泛的G6518索G12366G19400，思维更为G2469散，他们得到的答案有G1135可能教G5084G1075是G7092G8873G20056测的。面对学G10995种种G7044颖而独特的G5831G8873以及别G1867一G7696的解答，教G5084要G13485G1116及时而适当的评G1227，这G4613对教G5084的能G2159提G1998G7044的G6373G6124。在G4466际教学G1025教G5084除了G18331G11004G10628有的开放题外，还要G7693G6466教学G4466际G16786计开G2469G7044的开放题，G3252而，对教G5084的数学G999G1006素G17148、教G13958G12197学素G17148、G1166文素G1871以及G11705G16794面G12573都提G1998更G20652的要G8726。教G5084要不G7041G3332提G2331自G5061的教学能G2159，不G7041G3332学G1076、G6518索和研究，更G7044教G13958教学G10714念，使自G5061的素G17148得到G6357续G12295定的G2469G4649，G6177能更好G3332适应数学开放题的教学。可见，开放题教学有助于教G5084对学G10995学G1076的G11705G16794、G6228能，过程、G7053G8873，情G5875、G5589G5242、G1227G1552G16278G12573G1328G1998更全面的评G1227。G21、开放题的教学有利于教G5084转G2476教G13958G16278念及教学G7053式。开放题的G16786计、参G13783答案的寻G8726、对学G10995的G1817分估计、对课堂G10995G6116的正确G3800G10714、对不G2528学G10995的分G4630教学都迫使G8611G1022G13781G5084不G7041学G1076，提G20652自身的数学G5225G15176和教学水平G727提G12046教G5084G5529G20047转G2476教G13958G16278念及教学G7053式，而当务之G5625是教G5084G5529G20047G1867有G2031G7044意G16794和G2031G7044能G2159，G5529G20047G1926突G1268G13491教学G16278念的束缚，G6925G19773教学G7053G8873，G6238学G10995G11507正当G1328学G1076的主体。14A196A197A198A199A200A201A202A203A204A205A206A207A208A209A210A211A212A213A214A215JA216A208A207A2082004A2171A218311反思数学开放题其G4466G5194不G6502G7033G1268G13491教学，G4439是G1268G13491教学的一种G15929G1817。通过教学开放题的G4466G17353笔者的体G1262是数学开放题只是为学G10995G20652G4630G8437思维的G2469G4649提供了一种可能G5627G727数学开放题对学G10995的要G8726G17751G20652，不仅要G8726学G10995有G17751G20652认G11705水平，还要有G17751G5390的主G2172参与意G16794，G6177能有开放的G8680G8687G727在教学过程G1025，不仅要G8726教G5084能放开，还要G8726教G5084收得G3250来，这样G6177能收放自G3926。G5647之，只有在教学G4466G17353G1025不G7041G3332应G11004、思G13783、G5194G6732索G13475G20576，G6177能G11507正更有效G3332体G10628数学开放题的教G13958G1227G1552。12附数学开放题教学案例的观察和思考以下是笔者在G3533训期G19400对“十G4395相G1068G8873G257的教学的课堂G16278察，笔者参与研G16764G2530加以G6984G10714G5194G2469G15932了一G1135G1022G1166见解。课题“十G4395相G1068G8873G257的开放题教学一、教学背景本G14422课的教学内容G4658于十G4395相G1068G8873的G6311G4649内容，之前学G10995G5062G13475学G1262了A,B,C是确定G6984数G1552的G1120G8437三G20045式AX2BXC的G3252式分解，即通过“G16809错G8873G257G11004十G4395相G1068G8873解G1927。例G3926，学G10995可以G11004十G4395G1144G2461线G4570下列式子G3252式分解X27X10，2X219X24G12573G12573。这G1135问题答案只有一G1022，对于学G10995的思维训练相当有G19492，G3252此G7057教者G4445G6502了一G14422开放题教学课，以便学G10995得到更G1028G4512的思维训练，G1075加深对十G4395相G1068G8873的G10714解、掌握。G1120、教学目G76431G5053G3278G11004十G4395相G1068G8873进行G1120G8437三G20045式AX2BXC的G3252式分解G7272通过对G2559参数G13007数的G1120G8437三G20045式可在G6984数G14551G3272内G3252式分解问题的G16764G16782，提G20652学G10995的G6289象思维能G2159。3使学G10995在G8975G2172G1025体G20576G6518索、G1144G8981与G6116功。三、教学过程G4466G5417学G10995是G6365学G1076G4579组分G61169组，G8611组4G1166，G8611组的课G7712G6502在一起。1、引入问题1G2528学们G5062G13475学G1262了分解G3252式X27X12，G3926果G6164G13485的式子是X2AX12，为了使式子在G6984数G14551G3272内仍然可以G3252式分解，G18039么A应该取什么数G20330G1820G16765学G10995独立思G13783几分G19059，教G5084要G8726学G10995G4625可能多G3332G8726G1998答案G2530，学G10995开G3999G4579G3780G16764G16782，从他们的G1144G89