刘喜波讲义答案

1第一讲第一讲第一讲第一讲函数、极限与连续函数、极限与连续函数、极限与连续函数、极限与连续题型一、题型一、题型一、题型一、函数的概念和性质函数的概念和性质函数的概念和性质函数的概念和性质例1、（0434）函数2SIN1XXFXXX在下列哪个区间内有界（A）（1，0）（B）（0，1）（C）（1，2）（D）（2，3）答案答案答案答案A【详解】本题要讨论的是开区间的有界性易知F（X）的定义域是（,0）（0,1）（1,2）（2,）,在（1,0）连续,且在X1的右极限、X0的左极限为1LIMXF（X）1LIMX2|SIM212XXXXSIN329SIN318，200|SIN2SIN2LIMLIM124XXXXFXXX故F（X）在（1,0）有界,选（A）另外,也可由21|SIN2LIM12XXXXX,排除（B）,（C）,以及由22|SIN2LIM12XXXXX,排除（D）,从而选（A）例2、（0534）以下四个命题中正确的是（）（A）若FX在（0，1）内连续，则FX在（0，1）内有界（B）若FX在（0，1）内连续，则FX在（0，1）内有界（C）若FX在（0，1）内有界，则FX在（0，1）内有界（D）若FX在（0，1）内有界，则FX在（0，1）内有界答案答案答案答案C分析分析分析分析,1XXF（A）、（）、（）、（）、（B）不正确）不正确）不正确）不正确,XXF（D）不正确）不正确）不正确）不正确例3、（051、2）设FX是连续函数FX的一个原函数，则必有（A）FX是偶函数FX是奇函数（B）X是奇函数FX是偶函数（C）FX是周期函数FX是周期函数（D）X是单调函数FX是单调函数答案答案答案答案A2题型二、题型二、题型二、题型二、极限的概念和性质极限的概念和性质极限的概念和性质极限的概念和性质例4、当0X时，311COSXX是（A）无穷小（B）无穷大（C）有界的但不是无穷小（D）无界的但不是无穷大答案答案答案答案D分析分析分析分析考虑特殊序列考虑特殊序列考虑特殊序列考虑特殊序列NXN21，221NYN例5、（0312）设,NNNCBA均为非负数列，且0LIMNNA,1LIMNNB,NNCLIM,则必有ANNBANX，（，（，（，（2）再证）再证）再证）再证NNXX（2）33613633631NNNNNXXXXX例23、设114,31,2,NNXXX证明LIMNNX，并求其解。分析分析分析分析1、可检验、可检验、可检验、可检验NX不单调，如不单调，如不单调，如不单调，如321XXX，即3故的取值范围为31F，则存在0，使得（A）XF在,0内单调增加（B）XF在0,内单调减少（C）对0,0FXFX有（D）对00,FXFX有分析分析分析分析00LIM00XFXFFX，则存在，则存在，则存在，则存在0对对对对,00UX时，时，时，时，00XFF答案答案答案答案C例5、设FX是以4为周期的函数，且12F，则0LIM341HHFHF12分析分析分析分析0LIM341HHFHF141LIM1441LIM00FHFFHFHH8111411414LIM410FFHFH例6、（1123）设函数XF在0X处可导，且00F，则23302LIMXXFXFXXA02FB0FC0FD0【】【答案】应选【分析】利用导数的定义，属基本题型【详解】23333000200LIMLIM2LIMXXXXFXFXFXFFXFXXX,0200FFF因此应选B【评注】导数的定义一直是历年考试的重点内容例7、设函数FX在X1处连续，且是周期为2的周期函数，满足,22COS3LNLIM1XXFX求曲线YFX过点X1处的切线方程为解由题设知031LN3LNLIM1FXFX,于是F12，从而有22LN3LNXFXFXF12COS2COS3LNLIM12LIM11LIM1111XXXXFXXFXFXFFXXX12COSLIM21XXX故有11,21FFFF，所求切线为12XY题型二、题型二、题型二、题型二、分段函数的导数分段函数的导数分段函数的导数分段函数的导数例8、设0,SIN00,21LNXCXXBXXAXXXXXF在0X处可导，求CBA,13分析分析分析分析1、XF在0X处连续10,10BABFF2、220021LN2LIM121LNLIM0XXXXXXXXFXX0142LIM42212LIM200XXXXXXXCXXCXXXCXXFXX2200SINLIM1SINLIM0，0C例9、设000,1ARCTANXXXXXF，则XF在0X处（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但XF在0X不连续（D）可导且XF在0X连续分析分析分析分析1、001ARCTANLIMLIM00FXXXFXXXF在在在在0X处连续处连续处连续处连续2、21ARCTANLIM00XFX，XF在在在在0X处可导处可导处可导处可导0X时，时，时，时，0,11ARCTAN0,1ARCTAN22XXXXXXXXF02LIM0FXFX答案答案答案答案D例10、求函数XXXXXXFSIN232的不可导点。分析分析分析分析此函数的可能不可导点为此函数的可能不可导点为此函数的可能不可导点为此函数的可能不可导点为1,0X法一、利用左右导数考虑太麻烦法一、利用左右导数考虑太麻烦法一、利用左右导数考虑太麻烦法一、利用左右导数考虑太麻烦法二、用重要结论法二、用重要结论法二、用重要结论法二、用重要结论0,SIN1222XXXXXF处可导处可导处可导处可导1,SIN1212XXXXXXF处可导处可导处可导处可导1,SIN1212XXXXXXF处不可导处不可导处不可导处不可导例11、（034）设13XXXF，其中X在1X处连续，则01是XF在1X处可导的（A）充分必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分但非必要条件（D）既非充分也非必要条件答案答案答案答案A14题型三、题型三、题型三、题型三、变限积分求导变限积分求导变限积分求导变限积分求导例12、20XDTTXTFXF求XF解令解令解令解令UTX，则，则，则，则XXXXXXDUUFDUUFDUUFUXF2221212122222222XXFXXDUUFXXFXXXXXFXXFXXXXFDUUFXFXXXX例13、设2SIND,0,0,0,XXXUXFXUX求0F分析这是变限积分求导问题，先经变量替换将参数提至积分号外再求导解当X0时，32SINDXXUXTTFXTT，323SIN2SINXXFXXX,0000LIMLIM0XXFXFFFXX，32320000SINSIN0LIMLIMLIM32XXXFXFFXXXFXXXXX例14、设XF连续，100,LIMXFXXFXTDTAX（）（为常数），求X，并讨论X在0X处的连续性分析分析分析分析1、000,00AFF2、0X时，时，时，时，200,1XDUUFXXFXDUUFXXXX22LIMLIM0LIM002000AXXFXDUUFXXXXXX3、022LIMLIMLIM20000AAXDUUFXXFXXXXXX在在在在0X处连续。处连续。处连续。处连续。题型四、题型四、题型四、题型四、利用导数公式及法则求导利用导数公式及法则求导利用导数公式及法则求导利用导数公式及法则求导例15、设方程YX确定Y是X的函数，求DXDY分析分析分析分析法一、化为指数形式法一、化为指数形式法一、化为指数形式法一、化为指数形式YYEXLN法二、两边取对数法二、两边取对数法二、两边取对数法二、两边取对数YYLNLN151、两边对、两边对、两边对、两边对X求导求导求导求导YYYYX1LN11LN1YXY2、两边微分、两边微分、两边微分、两边微分YYDYDYDXXLNLN11LN11LN1YXDXDYDYYYDYDXX3、公式法、公式法、公式法、公式法例16、设函数XYY由52ARCTAN2TETYYTX确定，求DXDY解两边分别对解两边分别对解两边分别对解两边分别对T求导求导求导求导0221122TEDTDYTYYDTDYTDTDX，得，得，得，得211TDTDX，122TYYEDTDYT12122TYTYEDXDYT注、可两边微分注、可两边微分注、可两边微分注、可两边微分题型五、题型五、题型五、题型五、高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数例17、（0023,5分）求1LN2XXXF的0NF。法一、用莱布尼兹公式，法一、用莱布尼兹公式，法一、用莱布尼兹公式，法一、用莱布尼兹公式，2N时时时时00NF2N时，时，时，时，002|1LN0XNKKNKKNNXXCF21|11311|1LN23023022NXNNXCNXNNXNN法二、泰勒公式法二、泰勒公式法二、泰勒公式法二、泰勒公式213223322NXXXXXXFNN212343NXXXNN2,212,003NNNFNN16第三讲第三讲第三讲第三讲不定积分不定积分不定积分不定积分题型一、基本概念与性质题型一、基本概念与性质题型一、基本概念与性质题型一、基本概念与性质例1、（893）下列等式中，正确的是AXFDXXFDXDBXFDXXFCXFXDFDXFDXXFD注此题主要考察不定积分的概念。注此题主要考察不定积分的概念。注此题主要考察不定积分的概念。注此题主要考察不定积分的概念。答案答案答案答案A例2、设XF是连续函数，XF是XF的原函数，则（A）当XF时奇函数时，XF必为偶函数（B）当XF时偶函数时，X必为奇函数（C）当XF时周期函数时，XF必为周期函数（D）当XF时单调增函数时，X必为单调增函数答案答案答案答案A例3、若25FXDXXC,求FX分析分析分析分析等式两边求导得等式两边求导得等式两边求导得等式两边求导得FX，再求不定积分可求得，再求不定积分可求得，再求不定积分可求得，再求不定积分可求得FX。解解解解因为因为因为因为24FXDXXC,所以所以所以所以245FXX令令令令2XT,则则则则25FTT从而从而从而从而2355FXXDXXC评注此题主要考察原函数的概念评注此题主要考察原函数的概念评注此题主要考察原函数的概念评注此题主要考察原函数的概念题型二、题型二、题型二、题型二、凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法例4、求不定积分2394XXXXIDX解223331112LN33332LN3LN21LN11222XXXXXXDIDXC132LN2LN3LN232XXXXC评注本题利用了333LN222XXDXD例5、求232211XIDXXX分析利用2111DXDDXXX解5222333322111111315XIDXDDCXXXXXXX17例6、求4231ARCSINXDXIXX分析凑微分224411ARCSIN2121XDXDXDXXX解22222323411ARCSIN1ARCSIN22ARCSIN4ARCSIN1DXDXIXCXXX例7、求211LN11XIDXXX分析由于2LN11XX，可凑微分2111LN121XDXDXX。解2111LNLNLN21121XIDCXXX评注主要利用了2111121XDXDXX这种复杂因式的整体凑微分，需要我们平时的积累和训练。例8、ARCTANXXXD1解1XXXARCTAND22ARCTAN1XXXXXARCTANDDARCTAN2ARCTANXC例9、XXEEDX31解原式312212121EDEDEEARCTANEE1EXXXXXXC题型三、题型三、题型三、题型三、有理函数的积分有理函数的积分有理函数的积分有理函数的积分例10、求23242XXIDXXXX解322212XXXXX令2322421XXABXCXXXXX,得2,1,0ABC22212LN1LN212IDXDXXXCXX例11、求421DXIXX解224242211111XXIDXDXXXXXX342211111ARCTAN13DXXXCXXXX例12、求DXX641118解442226626311111111ARCTANARCTAN3XXXXXXXXXXXXXXXCDDDD例13、求DXXX91解方法一788811LNLN1118XXXXXCXXXXDD方法二87888888881118111111LNLN818181XTXXXXXXXXXXTXTCTTTXDDDD方法三889898111LN118181XXXXCXXXXXDDD题型四、题型四、题型四、题型四、三角有理函数的积分三角有理函数的积分三角有理函数的积分三角有理函数的积分例14、求1COS1COSXIDXX解令TAN2XT,则22222221222ARCTAN2TAN11122TTXXTIDTDTTTCCTTTT例15、（962）求DXXSIN11方法一原式2221SIN1SIN1TANCOSCOSCOSCOSXXXXCXXXDDD方法二211SIN1COS1COS22TAN242COS4XXXXXXXCXDD原式DD方法三令22TAN,SIN,211XTTTXXTTDD，则19原式2222222111TAN112TTCCXTTTTTDD题型五、题型五、题型五、题型五、简单无理函数的积分简单无理函数的积分简单无理函数的积分简单无理函数的积分例16、求31DXIXX分析令6XT，即6XT解令6XT52323616111DXTDTIDTTTTXX666ARCTAN6ARCTANTTCXXC评注被积函数中含有两个同类根式,为了同时消去这两个根式，可令开方次数为二者的最小公倍数，本题2和3的最小公倍数为6，故而令6XT。例17、求33221XIDXX分析被积函数FX中含有21X,应作变换TANXT解令TANXT，则2332322TANSIN1COSSECCOSSINCOSCOSTTTITDTDTDTTTT2221111COSCOS1COSCOS1DTTCXCTTX评注若被积函数中含有22211XXX,可作代换1TANXT,其它情形类似例18、求1XXEIDXE分析虽然被积函数含的根式中有XE,为了消去根号也可作交换1XTE解令1XET,即2LN1XT,从而22222221LN12LN12LN14111XXETTTTIDXDTTDTTTDTTTTE22LN144ARCTAN21414ARCTAN1XXXTTTTCXEEEC题型六、分部积分法题型六、分部积分法题型六、分部积分法题型六、分部积分法例19、求2LN1XXIDXX解2221111LNLN2121IXDXXDXXXX222211111LN1LNLNLN1221224XXXDXXXXXCXX20例20、（113）求不定积分DXXXXLNARCSIN【分析】直接分部积分或令XT,用基本积分方法,属基本题型【详解1】XDXXDXXXXLNARCSIN2LNARCSINXDXXDXXXX21LNARCSIN2CXXXXX412LNARCSIN2【详解2】令XT，DTTTTDTTTDXXXXLN2ARCSIN2LN2ARCSIN2LNARCSINDTTTTTTT2112LN2ARCSIN22TTTDTTT411LN2ARCSIN222CTTTTT412LN2ARCSIN22CXXXXX412LNARCSIN2例21、（032）求DXXXEX232ARCTAN1【分析】被积函数含有根号21X，典型地应作代换XTANT,或被积函数含有反三角函数ARCTANX，同样可考虑作变换ARCTANXT，即XTANT【详解】设TXTAN，则DXXXEX232ARCTAN1TDTTTET2232SECTAN1ANSINTDTET又TDETDTETTCOSSINCOSCOSTDTETETTTDTETETETTTSINSINCOS，故COSSIN21SINCTTETDTETT因此DXXXEX232ARCTAN1CXXXEX1112122ARCTAN1212ARCTANCXEXX【评注】本题也可用分部积分法DXXXEX232ARCTAN1XDEXXARCTAN2121DXXEXXEXX232ARCTAN2ARCTAN11XXDEXXXEARCTAN22ARCTAN111DXXXEXEXXEXXX232ARCTAN2ARCTAN2ARCTAN111，移项整理得DXXXEX232ARCTAN11212ARCTANCXEXX本题的关键是含有反三角函数，作代换TXARCTAN或TANTX,题型七、题型七、题型七、题型七、分段函数的不定积分分段函数的不定积分分段函数的不定积分分段函数的不定积分例22、（理工P138例4、26，经济P133例4、25设0,12LN0,2SINXXXXXF，求DXXF解当0X时，DXXXXXDXXXF12212LN12LN212LN2112LN1212LNCXXXXXDXDXXX为了保证XF在点0X连续，必须1221CC0,2112LN2112LN0,2COS2111XCXXXXXCXDXXFXF2第四讲第四讲第四讲第四讲定积分与反常积分定积分与反常积分定积分与反常积分定积分与反常积分题型一、定积分的概念及性质题型一、定积分的概念及性质题型一、定积分的概念及性质题型一、定积分的概念及性质例1、设,COSSIN,COS1SIN1143412DXXXNXDXXXMDXXXXPCOSSIN43112，则（A）M，0PLN,00129解XXXDXXDTXXDXTTXDTBATABTABTABLN01010110111111TDTBAABLN9、几类特殊问题1分段函数求积分例22、求222,2MINDXXI解令解令解令解令,2IN2XXF，则有则有则有则有2|,22|,2XXXXF，于是，于是，于是，于是238822222222222222DXDXXDXDXXFDXXFDXXFDXXF2含有绝对值的积分例23、求10|DTXTTXF分析分析分析分析注意到关于注意到关于注意到关于注意到关于T的被积函数中含有参数的被积函数中含有参数的被积函数中含有参数的被积函数中含有参数X，积分应对，积分应对，积分应对，积分应对X的取值分情况讨论。但的取值分情况讨论。但的取值分情况讨论。但的取值分情况讨论。但10T，X的取值分的取值分的取值分的取值分三种情形，三种情形，三种情形，三种情形，0X、1X、10在A,B上连续、单调递增，且0XF，证明存在,BA使得2222FAFBBFA证明证明证明证明令令令令AFBBFAXFXXF22222220,0FAABFAFBBAFB由零点定理知，存在,BA使得0F即2222FAFBBFA例3、设XF在A,B上连续且0XF，证明存在,BA使得BBAADXXFDXXFDXXF21。分析分析分析分析令令令令XABXDTTFDTTFXF00故由连续函数的介值定理知在,AB内存在唯一的，使得0F，即DDBAFXXFXX例4、设,XGXF在A,B上连续，证明存在,BA使得32BADXXGFDXXFG分析分析分析分析1、令、令、令、令XABXDTTGXFDTTFXGXFBABADTTFBGBF,DTTGFAF2、再令、再令、再令、再令XABXDTTGXFDTTFXGXFXXABFTDTGTDT可取可取可取可取XXABFXFTDTGTDT例5、设FX在0,1上连续，且FX且20FXFX由根的存在性利用零值定理知在0，1内存在唯一的，使得02D10FFTT，即02D1XXFTT在0，1内有且仅有一个实根题型二、验证满足某中值定理例6、验证函数1,11,232XXXXXF，在0，2上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的详解由题意21131LIM1,1LIM12XXXFFX因而111FFF，FX在0，2上连续又21131121LIMLIM112XXXXFX1111LIMLIM11XXXFX所以11F，FX在（0，2）上可导，FX在0，2上满足拉格朗日中值定理且2,11,1XXFXXX，20122FF3由14得14由2112得2,2（舍去）满足定理的为12，2题型三、三、三、三、证明存在证明存在证明存在证明存在,使使使使FN0N1,2,例7、（理工P82例3、21，经济P79例3、21）设XF在0,3上连续，在（0,3）内可导，且13,3210FFFF，证明存在一个3,0使得0F分析分析分析分析1、存在、存在、存在、存在,2,0使得使得使得使得13210FFFF2、在、在、在、在3,上用罗尔定理上用罗尔定理上用罗尔定理上用罗尔定理【详解】因为FX在0,3上连续，所以FX在0,2上连续，且在0,2上必有最大值M和最小值M，于是MF0M，MF1M，MF2M故M0123FFF由介值定理知，至少存在一点C0,2，使01213FFFFC因为13FCF，且FX在C,3上连续，在C,3内可导，所以由罗尔定理知，必存在,30,3C，使0F【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形例8、设XF在0,2上连续，在（0，2）内具有二阶导数且12112LIM0,2COSXFXFXDXFX，证明存在2,0使得0F分析分析分析分析1、021,021FF，2、用积分中值定理有、用积分中值定理有、用积分中值定理有、用积分中值定理有1,2，使得，使得，使得，使得2FF3、两次用罗尔定理、两次用罗尔定理、两次用罗尔定理、两次用罗尔定理【证明】由12LIM0COSXFXX知121LIM0,2XFXF且341122112211COS2LIMLIM112COS22SINLIMLIM0COS1XXXXFXFFXXFXXFXX再由112D2FXXF，知11,12，使11222FF,即12FF在1,2上应用罗尔定理，21,2，使20F再在2,2上对FX应用罗尔定理，知21,0,22，使0F题型四、证明存在证明存在证明存在证明存在,使使使使GFF,0例9、设,XGXF在A,B上连续，在A,B内可导，且,0BAXXG，求证存在,BA使得GFBGGFAF证明证明证明证明令令令令XFBGXGXFXGAFXFX在在在在,BA上连续，在上连续，在上连续，在上连续，在,AB内可导内可导内可导内可导且且且且FAFBFAGB由罗尔定理知，罗尔定理知，罗尔定理知，罗尔定理知，,AB使得0F即GFBGGFAF例10、（0134）设FX在0,1上连续，0,1内可导，且KXKDXXFXEF1011,1证明在0,1内至少存在一点,使11FF证明由1101XKFXEFXDX及积分中值定理知，至少存在一点110,0,1K，使得1111FEF即111111EFEF令XFXXEFX，则FX在11，满足罗尔定理在0,1内至少存在一点，有0亦是11FF例11、设FX在A,B上连续，在A,B内可导，且,02,0BAFAFBFAFGX在A,B上连续，试证对,ABFGF使得证明由,02,0BAFAFBFAF用零点定理知存在,2,2,21BABA使得021FF35令FXEFXGTDTX0，其在,12上满足罗尔定理0,FBA使得，即FGF例12、设XF在A,B上连续，在A,B内可导，且BFAF，证明存在,BA使得FF分析分析分析分析解微分方程解微分方程解微分方程解微分方程XFXF得得得得CEEXFXX，即，即，即，即CEXFX令令令令XEXFXF例13、设FX在0,1上连续，在0,1内可导，且F00,F11,证明对任意实数,必存在（，01,使得FF1证FF10FXXFXX0FXFXXEX,或用微分方程法FXFXX1FXEXEDXCXECXXX1即FXXECX，故FXFXXEX例14、（理工P87例3、33，经济P84例3、33）设XF在,BA上连续，在,BA内可导，求证存在,AB，使得FAFBAFF分析取FX为XFX，用拉格朗日中值定理例15、设XF在,BA上连续，在,BA内可导0BA0,于是由介值定理知，存在存在,1,0使得0F，即1F（I）在,0和1,上对FX分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点1,0，使得00FFF，11FFF于是11111FFFF【评注】中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式例21、（102）设函数FX在闭区间0,1上连续，在开区间0,1内可导,且F00,F131,证明存在1,2,21,0，使得FF22【分析】这是一个双介值的证明题，构造辅助函数用两次拉格朗日中值定理【证明】令31FXFXX,由题知F0F10,FX在10,2上用拉格朗日中值定理，1110,0222FFFFX在1,2上利用拉格朗日中值定理，111,1222FFF两式相加得22FF【评注】一般来说，对双介值问题，若两个介值有关联同时用两次中值定理，若两个介值无关联时用一次中值定理后，再用一次中值定理题型题型题型题型7、综合题综合题综合题综合题例22、（011，7分）设函数XF在（1,1）内具有二阶连续导数，且0XF，试证（1）对于1,1内的任意0X,存在唯一的1,0X使得0FXFXFX成立（2）21LIM0XX证（1）拉格朗日中值定理，单调性（2）泰勒公式,21002XFXFFXF在0与X之间22100XFXFFXFXFX3821LIM2100XFXFXFXX或由0XFXFXF2000XXFFXFXFXFX02120LIM00LIM020FXFXFXXFFXFXX21LIM0XX第六讲第六讲第六讲第六讲不等式证明不等式证明不等式证明不等式证明题型一、利用单调性题型一、利用单调性题型一、利用单调性题型一、利用单调性例1、求证当0X时，XXX1ARCTAN1LN证FXXXXLNARCTAN11FXXXXXXLNLN1111110222FXF00例2、设011证先取对数变形，再利用单调性。LNLNXXXX1,令FXXXXLN21则FXFXF,010于是得证。例3、求证TANSIN,XXXXXSINTA,SINTANXXXFXXXX220,则FXXXXXSINTANSEC2FXXXXXCOSSECTANSEC322FXXXXXXSINSECTANTANSEC533SIN5SECTANSEC,XXXXX431002FXFXFFXFXFXF00000例4、求证当X0时，LN1100,则且LN1TTT110LN取FT1LN1TTT,FTTTTLN211221GTTTGTTTGTGTGLN,2112111000FT0结论题型二、利用极值（最值）题型二、利用极值（最值）题型二、利用极值（最值）题型二、利用极值（最值）例5、设01令LN1LN1FXXXXX，则11LN1LN111XFXXXXXF在0处取到最小值，所以00FXF即11LN11XXX时，有SIN证FXXXSIN2FXXCOS1221,SIN2XXX，即或FXXXFXFXFSIN210040题型四、利用微分中值定理题型四、利用微分中值定理题型四、利用微分中值定理题型四、利用微分中值定理例7、（10123）（1）证明对任意正整数N,都有NNN111LN11XXXXXG,有XG在1,0上单调递增因而,当10FXF,即1LN1XXX01LN1342312LNNNN,即数列NA有下界故数列NA收敛题型五、题型五、题型五、题型五、转化常数不等式为函数不等式转化常数不等式为函数不等式转化常数不等式为函数不等式转化常数不等式为函数不等式例8、设FX在0,1上连续，在0,1内可微且F00,010令FXFTDTFTDTXX0230，则FXFXFTDTFXX220又令GX220FTDTFXX,则XFXFXFXFXFX22210于是GXG00,从而FXF00,X0,1故F10，得证。例9、设02证考虑函数FXXXXLN121则FXXXFXXXLN,111当X1时，FXFX,0所以严格单增，所以FXFX,101从而FX在1,上严格单增，FXF00,X1取XB/A,得LN,LNBABABABABAAB12102即例10、（0412）设2EBAE【分析】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明【证法1】对函数X2LN在A,B上应用拉格朗日中值定理，得,L2LNLN22BABABE时，,0，即222LNLNEEE，故4LNLN222ABEAB【证法2】设XEXX224LN，则24LN2EXXX，2LN12XXX,所以当XE时，,0EEEX，即当2EXE，42即AEABEB22224LN4LN，故4LNLN222ABEAB【评注】本题也可设辅助函数为2222,4LNLNEXAEAXEAXX，所以1XF例12、设FX在0,1上二阶可导，且FF010FX在0,1上的最小值等于1,试证至少存一点0,1,使F8证由题设AFAFA,0110利用泰勒公式FXFAFAXAFXA22122FXA令X0,X1,得0120121BA恒有2100BABADXXFDXXFDXXXF【分析】00DDBAFXXFXX可看做0DTXFXFT在B，A两点的函数值之差，因此可考虑用微积分基本公式证明【证明】令0DXFXFXX，则0DXFXFTTXFX，于是0DDDBBXAAFBFAFXXXFXFTTTD2DBBAAXFXXFXXXFXX，即0011DDD22BBAAXFXXFBFAFXXFXX【评注】一般涉及到某两点的函数值之差的情形，可考虑用微分中值定理或微积分基本公式例15（10123）、I比较DTTTN101LN|LN|与DTTTN10|L|N1,2,的大小,说明理由I记UNDTTTN101LN|LN|N1,2,求极限NNULIM【分析】对I比较被积函数的大小，对I用分部积分法计算积分DTTTN10|L|再用夹逼定理求极限【详解】I当0T1时,0LN1TT,故|LNT|LN1TN|LNT|TN由积分性质得DTTTN101LN|LN|DTTTN10|L|N1,2,IDTTTDTTTNN1010L|L|1|LN11101101DTTTTTNNN4102|11NTN211N于是有0UN211N,N1,2,由夹逼定理得0211LIMLIMNUNNN0,故0LIMNNU【评注】若一题有多问，一定要充分利用前面提供的信息第七讲第七讲第七讲第七讲一元函数微积分的应用一元函数微积分的应用一元函数微积分的应用一元函数微积分的应用导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用1、求曲线的切线与法线方程求曲线的切线与法线方程求曲线的切线与法线方程求曲线的切线与法线方程例、设XF是可导的偶函数，它在0X的某邻域内满足2SIN132222XOXXFEFX，求曲线XFY在点1,1F处的切线方程及法线方程。分析分析分析分析1、由、由、由、由02SIN13LIM22202XXXFEFXX，得，得，得，得010131FFF2、02SINSINSI1311LIM222220222XXXXFXEEEFXXXX有有有有110231FFF3、111,011FFFF，切线方程为，切线方程为，切线方程为，切线方程为1XY例2、（021）已知曲线XFY与XTDTEYARCTAN02在0,处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2LIMNFNN分析分析分析分析1、1110,0002ARCTAN2XXXEFF2、切线方程为、切线方程为、切线方程为、切线方程为XY3、2LIMNFNN202202LIM2FNFNFN2、函数的单调性、凹凸性、极值、曲线的拐点函数的单调性、凹凸性、极值、曲线的拐点函数的单调性、凹凸性、极值、曲线的拐点函数的单调性、凹凸性、极值、曲线的拐点例3、已知0LIM,00XXFXFX，则当X0时，FX（A）单调递减大于零（B）单调递增大于零45（C）单调递减小于零（D）单调递增小于零分析分析分析分析1、由、由、由、由0LIM0XFXX得000FF2、0FXFX单调递增，有00FXF进而FX单调递增，有00FXF答案答案答案答案B例4、设FX在X0的某邻域内连续，且1LIM20XXFX，则X0处FXA取得极大值B取得极小值C不可导D可导且00F分析由1LIM20XXFX得000FF又由保号性，在X0的某去心邻域内有0002FXFXXF,所以B成立例5、（031）设FX在,内连续，其导函数的图形如图所示，则FX有A一个极小值点和两个极大值点B两个极小值点和一个极大值点C两个极小值点和两个极大值点D三个极小值点和一个极大值点YOOOOX答案C例6、已知FX满足XXFXF2，且00F，则AF0是FX的极大值BF0是FX的极小值C0,F0是曲线YFX的拐点DF0不是极值，0,F0不是拐点分析1、在XXFXF2中，令0X得00F2、上式两边对X求导12XFXFXF得10F0,F0是曲线YFX的拐点答案C例7、设FX有连续的二阶导数，其导函数XF的图形如图略所示，若FX有P个驻点，Q个极值点，曲线YFX有R个拐点，则APQR3BPQR2CP3,Q2,R3DP3,Q2,R1答案C例8、设FX满足XFXXFXEFXX,312且连续1若FX在XC（C0）处有极值，证明它是极小值；2若FX在X0处有极值，它是极小值还是极大值46解1FCECCC,100,取极小值,2FFXXLIM0100取极小值例9、试求FXXXXXX,2100的极值解FX在X0点处连续但不可导，且FE10，而在X0的左右两侧FX变号，故FX在XE1取极小值FEEE12FX在X0取极大值F013、函数作图、函数作图、函数作图、函数作图渐进线渐进线渐进线渐进线例10、（0034）求函数XEXYARCTAN21的单调区间和极值及该函数图形的渐近线。解YXXXEX22210ARCTAN,XX1201,列表讨论可得递增区间为,10递减区间为1,0极小值为F0E2极大值为F12E4因为AFXXEBFXAXEXX1112LIM,LIMAFXBFXAXXX22212LIM,LIM所以，渐近线为YEXYX,22例11（07数12）曲线1LN1XEXY的渐近线的条数解11LIMLIMLNE,LIMLIMLNE0XXXXXXYYXX，所以0