概率论与数理统计课后答案李捷着西南财大出版社

1概率论第一章习题解答习题111写出下列随机试验的样本空间及指定的事件（1）袋中有3个红球和2个白球，现从袋中任取一个球，观察其颜色；（2）掷一枚硬币，设H表示“出现正面”，T表示“出现反面”现将一枚硬币连掷两次，观察出现正、反面的情况，并用样本点表示事件A“恰有一次出现正面”；（3）对某一目标进行射击，直到击中目标为止，观察其射击次数，并用样本点表示事件A“射击次数不超过5次”；（4）生产某产品直到5件正品为止，观察记录生产该产品的总件数；（5）从编号A、B、C、D的四人中，随机抽取正式和列席代表各一人去参加一个会议，观察选举结果，并用样本点表示事件A“编号为A的人当选”解（1）红色,白色；（2）H,H,H,T,T,H,T,T，AH,T,T,H；（3）1,2,3,N,，A1,2,3,4,5；（4）5,6,7,N,；（5）A,B,A,C,A,D,B,A,B,C,B,D,C,A,C,B,C,D,D,A,D,B,D,C，AA,B,A,C,A,D,B,A,C,A,D,A2某射手射击目标4次，记事件A“4次射击中至少有一次击中”，B“4次射击中击中次数大于2”试用文字描述事件A与B解A表示4次射击都没有击中，B表示4次射击中击中次数不超过23设A,B,C为三个事件，试用事件的运算关系表示下列事件（1）A,B,C都发生；（2）A,B,C都不发生；（3）A,B,C中至少有一个发生；（4）A,B,C中最多有一个发生；（5）A,B,C中至少有两个发生；（6）A,B,C中最多有两个发生解（1）ABC；（2）CBA；（3）ABC；（4）CBACBACBACBAUUU；（5）ABCBCACBACABUUU；（6）ABC4在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次，记事件AN“接到的呼唤次数小于N”（1,2,），试用事件的运算关系表示下列事件（1）呼唤次数大于2；（2）呼唤次数在5到10次范围内；（3）呼唤次数与8的偏差大于2解（1）3A；（2）A11A5；（3）116AAU5证明（1）ABAABUU；（2）ABBABABAUUU证（1）AAAAABBAABAABABAABUUUUUUUU；（2）UUUUUUABABBABABABAABABAABAABAUUU习题121设PAPBPC1/4，PABPBC0，PAC1/8，求A、B、C三个事件至少有一个发生的概率解因PABPBC0，且ABCAB，有PABC0，则8581414141ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAPUU2设PA04，PB05，PAB07，求PAB及PBA2解因PABPAPBPAB04050702，则PABPAPAB040202，PBAPBPAB0502033某市有A,B,C三种报纸发行已知该市某一年龄段的市民中，有45的人喜欢读A报，34的人喜欢读B报，20的人喜欢读C报，10的人同时喜欢读A报和B报，6的人同时喜欢读A报和C报，4的人同时喜欢读B报和C报，1的人A,B,C三种报纸都喜欢读从该市这一年龄段的市民中任选一人，求下列事件的概率（1）至少喜欢读一种报纸；（2）三种报纸都不喜欢；（3）只喜欢读A报；（4）只喜欢读一种报纸解分别设A,B,C表示此人喜欢读A,B,C报，有PA045，PB034，PC02，PAB01，PAC006，PBC004，PABC001，（1）PABCPAPBPCPABPACPBCPABC08；（2）201CBAPCBAPCBAPUUUU；（3）30ABCPACPABPAPCBAPBAPCBAP；（4）因210ABCPBCPABPBPBCAPBAPCBAP，110ABCPBCPACPCPBCAPCAPCBAP，故620CBAPCBAPCBAPCBACBACBAP4连续抛掷一枚硬币3次，求既有正面又有反面出现的概率解样本点总数N238，事件A中样本点数62313CCKA，则75043NKAPA5在分别写有2,4,6,7,8,11,12,13的8张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率解样本点总数2828CN，事件A中样本点数18231315CCCKA，则64290149NKAPA6一部5卷文集任意地排列在书架上，问卷号自左向右或自右向左恰好为1,2,3,4,5顺序的概率等于多少解样本点总数12055AN，事件A中样本点数KA2，则01670601NKAPA710把钥匙中有3把能打开某一门锁，今任取两把，求能打开某该门锁的概率解样本点总数45210CN，事件A中样本点数24231317CCCKA，则53330158NKAPA8一副扑克牌有52张，进行不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率（1）四张花色各异；（2）四张中只有两种花色解样本点总数270725452CN，（1）事件A1中样本点数285611131131131131CCCCKA，则1055020825219711NKAPA；（2）事件A2表示两种花色各两张，或者一种1张一种3张，样本点数811202113313213213242CCCCCKA，则299604165124822NKAPA9口袋内装有2个伍分、3个贰分、5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率解样本点总数252510CN，事件A分三种情形3两枚5分，三枚其它，一枚5分，三枚2分，一枚1分，一枚5分，两枚2分，两枚1分，样本点数1262523121533123822CCCCCCCCKA，则5021NKAPA方法二10枚硬币总额2角1分，任取5枚若超过1角，那么剩下的5枚将不超过1角，可见事件A中的样本点与A中的样本点一一对应，即AAKK，则50APAP10在10个数字0,1,2,9中任取4个（不重复），能排成一个4位偶数的概率是多少（最好是更正为排在一起，恰好排成一个4位偶数的概率是多少）解样本点总数5040410AN，事件A的限制条件是个位是偶数，首位不是0，样本点数2296281814281911AAAAAAKA，则455609041NKAPA11一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率（设一年以365天计算）解样本点总数N365100，A的对立事件A表示所有学生生日都不在元旦，100364AK，则23990365364111100NKAPAPA12在0,1区间内任取两个数，求两数乘积小于1/4的概率解设所取得两个数为X,Y，X,Y|00，试证1|APBPABP证1111|APBPAPBPAPBPAPAPBAPBPAPAPABPABPU习题141一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率分别为09、08、07，求在一小时内3台机床中最多有一台需要工人看管的概率解设A1,A2,A3分别表示一小时内第一、二、三台机床不需要工人照管，可以认为A1,A2,A3相互独立，则概率为321321321321321321321321AAAPAAAPAAAPAAAPAAAAAAAAAAAAPUUU321321321321APAPAPAPAPAPAPAPAPAPAPAP09080709080309020701080709022电路由电池A与两个并联的电池B及C串联而成，设电池A,B,C损坏的概率分别是03,02,02，求电路发生断电的概率解设A,B,C分别表示电池A,B,C损坏，电路断电为事件ABC，则概率为PABCPAPBCPABCPAPBPCPAPBPC0302020302020328方法二设A,B,C分别表示电池A,B,C正常工作，系统正常工作为事件ABCABAC，则概率为1PABAC1PABPACPABC1PAPBPAPCPAPBPC10708070807080803283加工某一零件共需经过四道工序设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2,3,5,3，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率解设A1,A2,A3,A4分别表示第一、二、三、四道工序加工出合格品，有A1,A2,A3,A4相互独立，则概率为1PA1A2A3A41PA1PA2PA3PA41098097095097012404抛掷一枚质地不均匀的硬币8次，设正面出现的概率为06，求下列事件的概率（1）正好出现3次正面；（2）至多出现2次正面；（3）至少出现2次正面解将每次掷硬币看作一次试验，出现正面A，反面A；独立；PA06伯努利概型，N8，P06（1）123904060353388CP；（2）04980406040604060210622871188008888CCCPPP；（3）991504060406011017118800888CCPP5设每次射击时命中率为02，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于09解将每次射击看作一次试验，击中A，没击中A；独立；PA02伯努利概型，N次试验，P02，则90801802010100NNNNCP，即08N01，故321080LG10LGN，取N11ABC66一大批产品的优质品率为60，从中任取10件，求下列事件的概率（1）取到的10件产品中恰有5件优质品；（2）取到的10件产品中至少有5件优质品；（3）取到的10件产品中优质品的件数不少于4件且不多于8件解将取每件产品看作一次试验，优质品A，非优质品A；独立；PA06伯努利概型，N10，P06（1）20070406055551010CP；（2）P105P106P107P108P109P1010288103771046610555104060406040604060CCCC8338040604060010101019910CC；（3）P104P105P106P107P108288103771046610555106441040604060406040604060CCCCC08989；7证明若|BAPBAP，则事件A与B独立证因11|BPABPAPBPBAPBPBAPBAPBPABPBAP，则PAB1PBPBPAPAB，即PABPABPBPBPAPBPAB，故PABPAPB，A与B相互独立复习题一1设PA05，PB06，问（1）什么条件下PAB可以取最大值，其值是多少（2）什么条件下PAB可以取得最小值，其值是多少解（1）当AB时PAB最大，PABPA05；（2）当AB时PAB最小，PABPAPBPAB05061012一电梯开始上升时载有5名乘客，且这5人等可能地在8层楼的任何一层出电梯，求（1）每层至多一人离开的概率；（2）至少有两人在同一层离开的概率；（3）只有一层有两人离开的概率解样本点总数是8取5次的可重排列，即N8532768，（1）事件A1中样本点数6720581AKA，则2051051210511NKAPA；（2）事件A2是A1的对立事件，则79490512407112APAP；（3）事件A3表示有两人在同一层离开，而另外三人分别在3个不同楼层或者都在同一层离开，样本点数1736033173725183CAACAKA，则529802048108533NKAPA3从5副不同的手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率解样本点总数210410CN，A的对立事件A表示4只手套都不配套，801212121245CCCCCKA，则61900211311NKAPAPA4从1,2,N中任取两数，求所取两数之和为偶数的概率解样本点总数为1212NNCN，事件A表示取得两个偶数或两个奇数，722424XY01当N为偶数时，共有2N个偶数和2N个奇数，样本点数2411222222NNNNCCKNNA，则1222NNCKAPNA；当N为偶数时，共有21N个偶数和21N个奇数，样本点数2221221141212121232121NNNNNCCKNNA，则NNCKAPNA2125在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以一只吃掉另一只的概率解样本点总数4005290CN，事件A中样本点数7652911021019CCCCKA，则191008917NKAPA6某货运码头仅能容一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率解X,Y|0X2或YX1，有M242576，55062221232122AM，则879305765506MAMAP7从区间0,1中任取三个数，求三数和不大于1的概率解X,Y,Z|0X,Y,Z1，AX,Y,Z|0X,Y,Z1,XYZ1，有M1，A是一个三棱锥，6112131AM，则1667061MAMAP8已知5的男人和025的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率是多少（假设男人和女人各占人数的一半）解设A1,A2分别表示男人和女人，B表示色盲，则95240212000250500505005050|22111111ABPAPABPAPABPAPBPBAPBAP9发报台分别以07和03的概率发出信号0和1（例如分别用低电频和高电频表示）由于随机干扰的影响，当发出信号0时，接收台不一定收到0，而是以概率08和02收到信号0和1；同样地，当发报台发出信号1时，接收台以概率09和01收到信号1和0试求（1）接收台收到信号0的概率；（2）当接收台收到信号0时，发报台确是发出信号0的概率解设A0,A1分别表示发出信号0,1，B0,B1表示收到信号0,1，（1）PB0PA0PB0|A0PA1PB0|A107080301059；（2）9492059565908070|000000000BPABPAPBPBAPBAP10设A,B独立，ABD，DBA，证明PADPAPD证因ABD，有ABAD，则PADPABPADAB，BDA8因DBABAU，有DAB，DBABBA，则ADABADBDB，故PADPABPADABPDBPAPDBPAPDPB，由于A,B独立，有PABPAPB，故PADPAPD11甲、乙、丙三人同时向一架飞机射击，他们击中目标的概率分别为04,05,07假设飞机只有一人击中时，坠毁的概率为02，若2人击中，飞机坠毁的概率为06，而飞机被3人击中时一定坠毁现在如果发现飞机已被击中坠毁，计算它是由三人同时击中的概率解结果设B表示目标被击毁，原因设A0,A1,A2,A3分别表示无人、1人、2人、3人击中目标，则|332211003333ABPAPABPAPABPAPABPAPABPAPBPBAPBAP，且有PB|A00，PB|A102，PB|A206，PB|A31，又设C1,C2,C3分别表示甲、乙、丙击中目标，则0903050603213210CPCPCPCCCPAP，3213213211CCCCCCCCCPAPUU321321321CPCPCPCPCPCPCPCPCP040503060503060507036，3213213212CCCCCCCCCPAPUU321321321CPCPCPCPCPCPCPCPCP040503040507060507041，PA3PC1C2C3PC1PC2PC3040507014，故3057045801401140604102036000901140|3BAP12已知某种疾病患者的痊愈率为25，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4人治好则认为这种药有效，反之则认为无效试求（1）虽然新药有效，且把痊愈率提高到35，但通过试验被否定的概率；（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率解将每人服药看作一次试验，痊愈A，没有痊愈A；独立；（1）新药有效，痊愈率为035，即PA035，伯努利概型，N10，P035，故概率为P100P101P102P10351380650350650350650350650350733108221091110100010CCCC（2）新药完全无效，痊愈率为025，即PA025，伯努利概型，N10，P025，故所求概率为1P100P101P102P103224107502507502507502507502501733108221091110100010CCCC1概率论第二章习题解答习题211试分别给出可能取值为有限、可列的随机变量的实例解如掷一枚骰子，X表示掷出的点数，X的全部可能取值为1,2,3,4,5,6，即可能取值为有限个；观察某商店一小时内的进店人数X，X的全部可能取值为0,1,2,，即可能取值为可列个2试给出可能取值至少充满一个区间的随机变量的实例解电池的使用寿命X小时，X的全部可能取值为0,，即可能取值充满区间0,习题221一箱产品20件，其中5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次。求取到的优质品件数X的分布律解X的全部可能取值为0,1,2，X0表示没有取得优质品，即2个全为非优质品，38211901050220215CCXP，X1表示取得1个优质品1个非优质品，381519075122011515CCCXP，X2表示取得2个优质品没有非优质品，19119010222025CCXP，故X的分布列为19138153821210X2上题若采取放回抽取，其它条件不变，求随机变量X的分布律解X的全部可能取值为0,1,2，有XB2,025，5625075025002002CXP，375075025011112CXP，0625075025020222CXP，故X的分布列为06250375056250210X3从分别标有号码1,2,3,7的7张卡片中任意取出2张，求余下的卡片中最大号码的分布律解设X表示余下卡片中的最大号码，X的全部可能取值为5,6,7，X5表示取出了6,7号卡片，21152722CCXP，X6表示取出了7号卡片，并且另一张不超过5号，21562715CCXP，X7表示没有取出7号卡片，75211552726CCXP，2故X的分布列为75215211210X4某人有N把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开。求此人直至将门打开所需的试开次数的分布律解设X表示将门打开所需的试开次数，X的全部可能取值为1,2,N，X1表示第一次就打开门，NXP11，X2表示第一次没有打开门，第二次才打开，NNNNXP11112，X3表示前两次没有打开门，第三次才打开，NNNNNNXP1211213，XN表示前N1次没有打开门，第N次才打开，NNNNNNNNXP1112123121L，故X的分布列为NNNNNX1111321LL5设X的分布律PXNCN，N1,2,10，求C之值解根据概率函数规范性知C2C10C55C，故551C6某书店开设新书征订业务，每位顾客在一周内收到书店回单的概率为02，有4位顾客预定新书求一周内收到回单的顾客数X的分布律解伯努利概型，N4，P02，40960802004004CXP，40960802013114CXP，15360802022224CXP，02560802031334CXP，00160802040444CXP，故X的分布列为001600256015360409604096043210X7某学生参加一项测试，对其中的20道是非题，纯粹是随机地选择“是”与“非”计算该生至少做正确14道题目的概率解设X表示该生做正确的题目个数，伯努利概型，N20，P05，故概率为05770505014201420202014KKKKKCKXPXP8设收到一批100个零件的订货，每一零件是次品的概率为001，该批零件验收合格的标准是次品数不超过3个试求这批订货合格的概率解设X表示这批订货的次品数，伯努利概型，N100，P001，故概率为9816099001033010010030KKKKKCKXPXP3注此题N100很大，P001很小，NP1较小，可用泊松分布近似计算，取NP1，1PX0,0,0,11ZZEZZFZZ密度函数为0,0,0,ZZZEZFZZ16设X,Y在矩形区域DX,Y|0X1,0Y2上服从均匀分布，求下列随机变量的密度函数（1）Z1XY；（2）Z2MINX,Y解因D的面积SD2，有X,Y的联合密度函数,0,20,10,21,其他YXYXF（1）对于Z1XY，作曲线簇XYZ，得Z的分段点0,2，当Z0时，F1Z0，则011ZFZF，当0其它,01,1,1,22YXYXYXF，求下列随机变量的密度函数（1）Z1XY；（2）YXZ2解（1）对于Z1XY，作曲线簇XYZ，得Z的分段点1，当Z0，又知EX075，求K和A的值解由规范性知，111D10110AKAXKXKXDXXFAA，又知75022DDE10210AKAXKXKXXXXXFXAA，故K3,A26设随机变量X的概率分布为51KXP，K1,2,3,4,5求EX,EX2及EX22解3515514513512511EX，11515514513512511E222222X，275175165155145132E222222X7设随机变量X的密度函数为,0,0,0,EXXXFX求EX,E2X,EE2X解1E0DEEDEDEDE00000XXXXXXXXXXXXXFX，2DE2D22E0XXXXXFXX，31E31DEDEEDEEE03030222XXXXXXXXXXF8球的直径测量值X在A,B上均匀分布，求球体积V的数学期望解XUA,B，有X的密度函数为,0,0,0,E44YYYFYY则0404204204222D2EEDEDE4DEYYYYYYYYFYYYYYYY81E21D21DE4210004YYYYFYYYY，（1）85813212E3E232EE22YXYXZ；（2）因X与Y独立，有8341213EE33EEYXXYW12设X,Y的联合分布律为151156151115315200210XY求E3X2Y及E2XY解321510153115611513153415220023EYX；58152415341562151015301520002EXY13一学徒用机床接连加工10个零件，设第I个零件报废的概率为I11,（I1,2,3,10），求报废零件个数的数学期望解设X表示报废零件个数，有X的全部可能取值为1,2,3,10，令,0,1个零件没有报废第个零件报废第IIXI0XY2YX/2X2GG0X2,0YX/24有111IXPI，1110IXPI，11EIXI，I1,2,3,10，又因101IIXX，故01992277205599111141312111EE101101LIIIIXX习题421求习题41中第1,6,7题所给随机变量的方差解第1题中X的分布列为19138153821210X，且21EX，382319143815138210E2X，故7627413823EED22XXX；第6题中X的分布为51KXP，K1,2,3,4,5，且EX3，则11515514513512511E222222X，故DXEX2EX21192；第7题中X的分布为,0,0,0,EXXXFX即XE1，故DX12地铁的运行间隔时间为两分钟，一旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望和方差解设X表示旅客的候车时间，有XU0,2，故12EBAX，3112D2ABX3某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的考生总数的23，试求考生的外语成绩在60分84分之间的概率解设XN,2，有EX72，且02307296196196FXP，则977024，224，12，故682601121112726012728460848460FFXP4公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在1以下设计的，设男子身高服从均值为175CM，方差为36CM2的正态分布问车门高度应设计为多少解设XN,2，有EX175，2DX36，又设车门高度是XCM，则010617511XXFXXP，有9906175X，3326175X，故X18898CM5随机变量X的分布律为501040210PX，又Y3X1，求EY,DY解EX00410120511，EX202041201220521，DXEX2EX221112089，5故EY3EX143，DY9DX8016在习题41第7题中，求D2X和DE2X解习题41第7题中X的分布为,0,0,0,EXXXFX即XE1，有DX1，故D2X4DX4；因31E31DEDEEDEEE03030222XXXXXXXXXXF，51E51DEDEEDEEEEE0505044422XXXXXXXXXXXF，故4543151EEEEED222222XXX7设X的方差为25，利用切比雪夫不等式估计以下概率P|XEX|75解由切比雪夫不等式得04440452575257D57|E|22XXXP8随机地掷10颗骰子，用切比雪夫不等式估计点数总和在20和50之间的概率解设XI表示第I颗骰子出现的点数，有616161616161654321IX，则27616615614613612611EIX，且691616615614613612611E2222222IX，则1235449691DIX；设10颗骰子点数总和为101IIXX，有352710EE101IIXX，12350DD101IIXX，由切比雪夫不等式得2212350D|35|XXP，故870405447270023501512350115|35|50202M9YGAMMANM/2/GAMMAN/2/GAMMAM/2N/MN/2XN/211N/MXNM/2F分布密度命令窗口输入P1QUADLFDIS,0,354设总体XN,2，X1,XN为X的样本如果利用样本讨论与总体期望有关的概率问题，应选取哪个统计量选用哪个抽样分布解讨论总体期望，应选取样本均值X，当2已知时，选用1,0NNXU，当2未知时，选用1,0NNSXT5设X1,XN与Y1,YM分别为来自正态总体,211NX与,222NY的样本，且两样本相互独立如果利用样本讨论与两总体样本均值差12有关的概率问题，应选取哪个统计量选用哪个抽样分布如果利用样本讨论与两总体样本方差比2221有关的概率问题，应选取哪个统计量选用哪个抽样分布解讨论两总体均值差12，应选取样本均值差YX，当21和22已知时，选用1,0222121NMNYX，当21和22未知但2221时，选用211211222121MNTMNMNSMSNYX复习题五1设X1,XN为来自总体X的样本，下列样本函数何时是统计量，何时不是统计量（1）XXNNII211；（2）NIIBAXN121；（3）NIIIXXN12E1；（4）MINMAX11INIINIXX；（5）DMINMAX11XXXINIINI解（1）不含未知参数，是统计量；（2）含参数A,B，当参数A,B已知时，是统计量，当A,B未知时，不是统计量；6（3）含EXIEX，当总体期望EX已知时，是统计量，当EX未知时，不是统计量；（4）不含未知参数，是统计量；（5）含D1DXNX，当总体方差DX已知时，是统计量，当DX未知时，不是统计量2设X1,XN为总体X的样本，NIIXNX1221，在下列情形下求E2X（1）X服从参数为P06的两点分布，；（2）X服从参数7的泊松分布；（3）XN3,16解因222EDEDEXXXXXIII，有2122EDE1EXXXNXNII，（1）因X01，有EXP06，DXPQ024，故6060240E22X；（2）因XP7，有EX7，DX7，故5677E22X；（3）因XN3,16，有EX3，DX216，故25316E22X3设XN,4，X为样本均值，试求样本容量N为多少时，才能使9010|BSSPBSSPYXYX，即9737,5938050FB，故B094037设X1,X5为来自总体N20,9的样本，求（1）PMAXX1,X5215；（2）PMINX1,X5215解（1）PMAXX1,X52151PMAXX1,X52151PX1215,X52151PX1215PX52151F21551055106915508419；（2）PMINX1,X5215PX1215,X5215PX1215PX52151F215510551069155000288设X1,XN,XN1是来自正态总体N,2的样本，11NIIXXN，22111NIISXXN，试证明统计量111NXXNTTSN解因211,NIIXXNNN，XN1N,2，且X与XN1相互独立，即1NXX服从正态分布，且11EEE0NNXXXX，222111DDDNNNXXXXNN，则2110,NNXXNN，即10,11NXXNNN，因22212211NIIXXNSN，8故根据T分布的定义得112211111NNXXNXXNTNNNSSNN9设X1,X2为来自正态总体N0,2的样本，求221221XXXXY的分布解因X1N0,2，X2N0,2，且相互独立，有EX1EX20，DX1DX22，COVX1,X20，则EX1X2EX1EX20，DX1X2DX1DX222，EX1X2EX1EX20，DX1X2DX1DX222，COVX1X2,X1X2COVX1,X1COVX1,X2COVX2,X1COVX2,X2DX1DX20，因X1,X2服从二维正态分布，X1X2与X1X2都是X1与X2的线性组合，有X1X2,X1X2也服从二维正态分布，即X1X2N0,22，X2X2N0,22，且相互独立，则1,0221NXX，1,0221NXX，即1222221XX，1222221XX，且相互独立，故1,1121222212221221221FXXXXXXXXY10设X1,X6是来自正态总体N0,3的样本，试确定常数A和B，使得随机变量YAX1X22BX3X4X5X62服从自由度为2的2分布解因XIN0,3，I1,6，且相互独立，有EXI0，DXI3，则X1X2和X3X4X5X6都服从正态分布，且EX1X2EX1EX20，DX1X2DX1DX26，EX3X4X5X6EX3EX4EX5EX60，DX3X4X5X6DX3DX4DX5DX612，即X1X2N0,6，X3X4X5X6N0,12，且相互独立，得1,0621NXX，1,0126543NXXXX，2126226543221XXXXXX，故61A，121B1概率论第六章习题解答习题611求下列总体分布中参数的矩估计（1）21,01,0,XXFX其他其中0解（1）因11320021211E21D323226XXXXXX，有6EX3，故的矩估计为63X；（2）因1121111DDD11E1DDD11XXXXXXXQXXPPPXQPQPQPPQQQQPQ，故1EPX，P的矩估计为1PX；（3）因121121121121DEEDE1DE1E2XXXXXXXXXX212121121EEXXX，且121121121121D2EEDE1DE1E22222XXXXXXXXXXX22212122122222E2DE12E121121XXXXXX，则222212221212222EEDXXX，即D2X，DE1XX，故1和2的矩估计为NSX1，NS22求下列总体分布中参数的极大似然估计2（1）FX1X1，X1,2,；其中00；（3）222LN2E21,XXXF，X0；其中0解（1）NXNXXXNNIINXFXFXFL121111111121“，即1LNLNLN1NXNLNII，令0111DLND1NXNLNII，得XXNNII11，故的极大似然估计为X1；（2）NNXNXXXNXXXXXXXFXFXFLNIINEEEE212121121“，即NXXXXLNNIILNLNLN211“，令01DLND1NXLNII，得XXNNII11，故的极大似然估计为X；（3）,222212NXFXFXFL“212222222212LN212LN2LN22LN1E21E21E21E21NIINXNNXNXXXXXXXX“，即21221222LNLNLN2LN2,LNNIINXXXXNL“，令0LN21LN2,LN21212NXXLNIINII，得NIIXN1LN1，再令02LN12,LN412222NIIXNL，得NIIXN122LN1，故和2的极大似然估计为NIIXN1LN1，NINIIIXNXN1212LN1LN13设总体X的密度函数为0）的总体X中分别抽取容量为N1,N2的两个独立样本，样本均值分别为1X和2X试证对于任意满足条件AB1的常数A和B，12AXBX都是的无偏估计，并确定A、B使方差D达到最小解因12EEXX，211DXN，222DXN，有12EEEAXBXABAB，故当AB1时，E，12AXBX都是的无偏估计；又2222222222212111212121221DDD1NNANANAAAXBXAANNNNN，令21211222DD0DNNANANN，得112NANN，且22122122DD0DNNNNA，5故当112NANN，2121NBANN时，方差D达到最小4设X1,X2,X3,X4是来自均值为的指数分布的样本，其中未知证明下列三个估计量1123436TXXXX，212341654310TXXXX，T32X1X23X33X4，均为的无偏估计量，并说明上述估计量中哪个最有效证因总体X服从均值为的指数分布，即XE1/，有EX，DX2，则1123411EEEEE3636TXXXX，21234E6E5E4E3E65431010TXXXX，ET32EX1EX23EX33EX4233，故T1,T2,T3均为的无偏估计量；又2222211234115DDDDD93693618TXXXX，222222123443D36D25D16D9D362516910010050TXXXX，DT34DX1DX29DX39DX44229292232，显然DT1，试证2不是2的无偏估计量证因是参数的无偏估计量，即E，有222EEDD，故2不是2的无偏估计量习题631随机地从一批零件中抽取10个，测得其长度（单位CM）为213,214,212,213,211,215,214,213,212,213假设该批零件的长度服从正态分布N,2，试求总体均值的置信系数为95的置信区间（1）若已知001；（2）若未知解（1）单个正态总体，已知，估计，总体均值的点估计为X，枢轴量为0,1XUNN，置信系数1095，置信区间为/2/2,XUXUNN，因121321421321310X“，001，N10，U0025196，故的置信系数95的置信区间为001001213196,21319621238,213621010；（2）单个正态总体，未知，估计，总体均值的点估计为X，枢轴量为1XTTNSN，置信系数1095，置信区间为/2/21,1SSXTNXTNNN，6因121321421321310X“，222221213213214213213213001159S“，N10，T0025922622，故的95置信区间为001150011521322622,2132262221217,2138310102为估计制造某件产品所需的单件平均工时（单位小时），现制造了五件，记录所需工时为105,11,112,125,128设制造单件产品所需工时服从正态分布，试求单件平均工时的置信系数95的置信区间解单个正态总体，未知，估计，总体均值的点估计为X，枢轴量为1XTTNSN，置信系数1095，置信区间为/2/21,1SSXTNXTNNN，因1105111281165X“，22222110511611116128116099754S“，N5，T0025427764，故的95置信区间为099750997511627764,11627764103615,128385553设有两台机床用来生产规格相同的铝合金薄板随机选取每台机床轧制的产品若干张，测得它们的厚度（单位CM）如下机器I0243,0238,0248,0245,0236,0241,0239，机器II0261,0254,0255,0257,0253,0250，设两台机床所生产的薄板的厚度服从方差相等的正态分布试给出两台机床生产的铝合金薄板平均厚度差的置信系数为95的置信区间解两个正态总体，未知22,XY（但22XY），估计XY，均值差XY的点估计为XY，枢轴量为22211112XYXYXYTTNMNSMSNMNM，置信系数1095，置信区间为22/2111122XYNSMSXYTNMNMNM，因1024302380239024147X“，102610254025002556Y“，222221024302414023802414023902414000426XS“，222221026102550254025502500255000375YS“，N7，M6，T00251122010，故的95置信区间为22600042500037110241402552201000185,00087117674由容量为15，取自正态总体N,2的随机样本算得232,424XS，确定2和的置信系数90的置信区间解单个正态总体，估计2，总体方差2的点估计为S2，枢轴量为222211NSN，置信系数1090，置信区间为2222/21/211,11NSNSNN，因S2424，N15，20051423685，2095146571，故2的90置信区间为1442414424,25062,90336236856571；的90置信区间为25062,9033615831,30056