2014届高三数学辅导精讲精练18

2014届高三数学辅导精讲精练181已知函数FXX28LNX，GXX214X1求函数FX在点1，F1处的切线方程；2若函数FX与GX在区间A，A1上均为增函数，求A的取值范围；3若方程FXGXM有唯一解，试求实数M的值解析1因为FX2X，所以切线的斜率KF168X又F11，故所求的切线方程为Y16X1即Y6X72因为FX，2X2X2X又X0，所以当X2时，FX0；当00时原方程有唯一解，所以函数YHX与YM的图像在Y轴右侧有唯一的交点又HX4X14，且X0，8X2X42X1X所以当X4时，HX0；当00时原方程有唯一解的充要条件是MH416LN22422013衡水调研设函数FXX22X2LN1X1求函数FX的单调区间；2当X1，E1时，是否存在整数M，使不等式M0，得函数FX的定义域为1，FX2X22X12XX2X1由FX0，得X0；由FX1，1E1E21E2X1，E1时，FXMAXE2E1E不等式M；LNXX123是否存在实数A，使FX的最小值为3，如果存在，求出A的值；如果不存在，请说明理由解析1FXXLNX，FX1，1XX1X当EX0，此时FX单调递增FX的极小值为F112由1知FX在区间E,0上有唯一的极小值1，即FX在区间E,0上的最小值为1，即FXMIN1所证不等式即FX12LNXX令HX，则HX12LNXXLNX1X2当EXLNXX123假设存在实数A，使FXAXLNX的最小值为3FXAXE,01X若A，由于XE,0，则FXA01E1X函数FXAXLNX在E,0上是增函数FXMINFEAE13，解得A0，此时FXAXLNX是增函数FXMINF1A1X1A1LN3，解得AE21A由知，存在实数AE2，使FX的最小值为342013山东济宁一模已知函数FXXLNX，GXLNXX1求函数FX的单调区间；2求证对任意的M，N0，E，都有FMGN注E271828是自然对12数的底数解析1FXXLNXX0，FX1X01XX1X由FX0，得X1，由FX0，GXX0LNXX1LNXX2当X0，E时，GX0，GX在0，E上单调递增当X0，E时，GXMAXGE1E对任意的M，N0，E，FMGNFMMINGNMAX11E12即证得，对任意的M，N0，E，都有FMGN1252013汕头质量测评设函数FXX3X2A21X，其中A0131若函数YFX在X1处取得极值，求A的值；2已知函数FX有3个不同的零点，分别为0、X1、X2，且X1F1恒成立，求A的取值范围解析1FXX22XA21，因为YFX在X1处取得极值，所以F10即1221A210解得A2经检验得A22由题意得FXXX2XA21XXX1XX21313所以方程X2XA210有两个相异的实根X1，X213故1A210，解得A431212且X1X23又因为X1X1X23，故X2132若X11F1恒成立的充要条件为F1A20131当M1时，求曲线YFX在1，F1点处的切线的方程；2求函数FX的单调区间与极值；3已知函数GXFX有三个互不相同的零点，求M的取值范围13解析1当M1时，FXX3X2，FXX22X，故F1113所以曲线YFX在点1，F1处的切线斜率为1切线方程为3X3Y102FXX22XM21，令FX0，得到X1M或X1M因为M0，所以1M1M当X变化时，FX，FX的变化情况如下表X，1M1M1M,1M1M1M，FX00FX极小值极大值FX在，1M和1M，内减函数，在1M，1M内增函数函数FX在X1M处取得极大值F1M，且F1MM3M22313函数FX在X1M处取得极小值F1M，且F1MM3M223133由2知，函数GX在X1M处取得极大值G1MF1M，13且G1MM3M223函数GX在X1M处取得极小值G1MF1M，13且G1MM3M223根据三次函数的图像与性质，函数GXFX有三个互不相同的零点，只需要13ERROR即ERROR所以M的取值范围是23，72013沧州七校联考设A为实数，函数FXEX2X2A，XR1求FX的单调区间与极值；2求证当ALN21且X0时，EXX22AX1解析1由FXEX2X2A，XR，知FXEX2，XR令FX0，得XLN2于是当X变化时FX，FX的变化情况如下表X，LN2LN2LN2，FX0FX21LN2A故FX的单调递减区间是，LN2，单调递增区间是LN2，FX在XLN2处取得极小值，极小值为FLN2ELN22LN22A21LN2A2设GXEXX22AX1，XR于是GXEX2X2A，XR由1知当ALN21时，GX最小值GLN221LN2A0于是对任意XR，都有GX0，所以GX在R内单调递增于是当ALN21时，对任意X0，都有GXG0而G00，从而对任意X0，GX0即EXX22AX10，故EXX22AX182013西北五校已知函数FXAX22A1X2LNXAR121若曲线YFX在X1和X3处的切线互相平行，求A的值；2求FX的单调区间；3设GXX22X，若对任意X10,2，均存在X20,2，使得FX102X1由F1F3，解得A232FXX0AX1X2X当A0时，X0，AX10；在区间2，上FX2，121A在区间0,2和上FX0；在区间上FX时，00；在区间上FXLN21故LN21时，FX在上单调递增，在上单调递减，故FXMAXF120，1A1A，21A22LNA12A由A可知LNALNLN1,2LNA2，2LNALN2112011天津文已知函数FX4X33TX26T2XT1，XR，其中TR1当T1时，求曲线YFX在点0，F0处的切线方程；2当T0时，求FX的单调区间；3证明对任意T0，FX在区间0,1内均存在零点解析1当T1时，FX4X33X26X，F00，FX12X26X6，F06所以曲线YFX在点0，F0处的切线方程为Y6X2FX12X26TX6T2令FX0，解得XT或X因为T0，以下分T2两种情况讨论若T0，则T0时，FX在0，内单调递减，在，内单调递增以下T2T2分两种情况讨论当1，即T2时，FX在0,1内单调递减F0T10，T2F16T24T3644230所以FX在，1内存在零点T2若T1,2，FT3T10所以FX在0，内存在零点T2所以，对任意T0,2，FX在区间0,1内均存在零点综上，对任意T0，FX在区间0,1内均存在零点22011江西文设FXX3MX2NX131如果GXFX2X3在X2处取得最小值5，求FX的解析式；2如果MN0，即M2N不妨设为X1，X2，则|X2X1|2为正整数M2N故M2时才可能有符合条件的M，N，当M2时，只有N3符合要求，当M3时，只有N5符合要求，当M4时，没有符合要求的N综上所述，只有M2，N3或M3，N5满足上述要求3已知函数FXEXAX，GXEXLNXE2718281设曲线YFX在X1处的切线与直线XE1Y1垂直，求A的值；2若对于任意实数X0，FX0恒成立，试确定实数A的取值范围；3当A1时，是否存在实数X01，E，使曲线CYGXFX在点XX0处的切线与Y轴垂直若存在，求出X0的值；若不存在，请说明理由解析1由题知，FXEXA因此曲线YFX在点1，F1处的切线L的斜率为EA，又直线XE1Y1的斜率为，11EEA1A111E2当X0时，FXEXAX0恒成立，若X0，A为任意实数，FXEXAX0恒成立若X0，FXEXAX0恒成立，即当X0时，A恒成立EXX设QXQXEXXEXXEXX21XEXX2当X0,1时，QX0，则QX在0,1上单调递增，当X1，时，QX0恒成立，A的取值范围为E，3依题意，曲线C的方程为YEXLNXEXX令MXEXLNXEXX，MXEXLNXEX1LNX1EX1EXX1X设HXLNX1，则HX1X1X21XX1X2当X1，E时，HX0故HX在1，E上为增函数，因此HX在区间1，E上的最小值为H1LN10所以HXLNX101X当X01，E时，曲线YEXLNXEXX在点XX0处的切线与Y轴垂直等价于方程MX00在X1，E上有实数解而MX00，即方程MX00无实数解故不存在实数X01，E，使曲线YMX在点XX0处的切线与Y轴垂直4已知X，函数FXX2，HX2ELNXE为自然常数121求证FXHX；2若FXHX且GXHX恒成立，则称函数HX的图像为函数FX，GX的“边界”已知函数GX4X2PXQP，QR，试判断“函数FX，GX以函数HX的图像为边界”和“函数FX，GX的图像有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立若能同时成立，请求出实数P、Q的值；若不能同时成立，请说明理由解析1证明记UXFXHXX22ELNX，则UX2X，2EX令UX0，因为X，所以X12E所以函数UX在，上单调递减，在，上单调递增12EEUXMINUFHEE0，即UX0，EEE所以FXHX2由1知，FXHX对X恒成立，当且仅当X时等号成立12E记VXHXGX2ELNX4X2PXQ，则“VX0恒成立”与“函数FX，GX的图像有且仅有一个公共点”同时成立，即VX0对X恒成立，当且仅当X时等号成立12E所以函数VX在X时取极小值E注意到VX8XP，2EX8X2PX2EX由V0，解得P10EE此时VX，8XEXE4X由X知，函数VX在，上单调递减，在，上单调递增，即VX1212EEMINVHG5EQ0，Q5E，EEE综上，两个条件能同时成立，此时P10，Q5EE52012山东卷已知函数FXK为常数，E271828是自然对数的底LNXKEX数，曲线YFX在点1，F1处的切线与X轴平行1求K的值；2求FX的单调区间；3设GXX2XFX，其中FX为FX的导函数，证明对任意X0，GX0；当X1，时，HX0，所以当X0,1时，FX0；当X1，时，FX0，GX0，HX单调递增；当XE2，时，HX0，X单调递增，X00故当X0，时，XEXX10，即1EXX1所以1XXLNX1E20，GX3千元设该容器的建造费用为Y千元1写出Y关于R的函数表达式，并求该函数的定义域；2求该容器的建造费用最小时的R解析1设容器的容积为V，由题意知VR2LR3，又V，43803故LRRV43R3R2803R2434320R2由于L2R，因此03，所以C20当R30时，R20C2320C2令M，则M0320C2所以YRMR2RMM28C2R2当0时，92当RM时，Y0；当R0，M时，Y0所以RM是函数Y的极小值点，也是最小值点当M2即3时，建造费用最小时R92320C272013江南十校设M是满足下列条件的函数FX构成的集合“方程FXX0有实数根；函数FX的导数FX满足01是否是集合M中的元素，并说明理由；X2LNX23“对于2中函数GX定义域内的任一区间M，N，都存在X0M，N，使得GNGMNMGX0”，请利用函数YLNX的图像说明这一结论解析1令HXFXX，则HXFX11，X2LNX2则FE0，FE221上任意两点AM，LNM和BN，LNN的连线段AB如图所示，在曲线YLNXMXN上都一定存在一点PX0，LNX0，使得该点处的切线平行于AB，根据YLNXX1图像知该等式一定成立82013郑州质检已知函数FXXLNXA在X1处取得极值1求实数A的值；2若关于X的方程FX2XX2B在，2上恰有两个不相等的实数根，求实数B12的取值范围答案102LN2B0，则GX2X31X2X23X1X2X1X1X令GX0，得X1，X2112当X变化时，GX、GX的变化情况如下表X0，1212，11211,22GX00GX极大值极小值B2LN2当X1时，GX的极小值为G1B2又GBLN2，G2B2LN21254方程FX2XX2B在，2上恰有两个不相等的实数根，12ERROR即ERROR解得LN2B时，由X0，得X10，X211,01212A在区间1，X2上，X0，在区间X2,0上